سری فوریه. نمونه هایی از راه حل ها سری فوریه در مثال ها و مسائل نمونه هایی از بسط یک تابع به سری فوریه

2. تعیین ضرایب سری با استفاده از فرمول های فوریه.

اجازه دهید یک تابع تناوبی ƒ(x) با دوره 2π به گونه ای باشد که با یک سری مثلثاتی نشان داده شود که به یک تابع معین در بازه (-π, π) همگرا می شود، یعنی مجموع این سری است:

فرض کنید انتگرال تابع سمت چپ این تساوی برابر است با مجموع انتگرال های عبارت های این سری. اگر فرض کنیم سری اعداد متشکل از ضرایب یک سری مثلثاتی معین کاملاً همگرا باشد، یعنی سری اعداد مثبت همگرا شوند، این درست خواهد بود.

سری (1) قابل بزرگ شدن است و می توان آن را ترم به ترم در بازه (-π, π) ادغام کرد. بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم (2):

اجازه دهید هر انتگرال را که در سمت راست ظاهر می شود به طور جداگانه ارزیابی کنیم:

,

,

بنابراین، ، کجا

. (4)

برآورد ضرایب فوریه. (بوگروف)

قضیه 1. اجازه دهید تابع ƒ(x) دوره 2π دارای مشتق پیوسته ƒ (s) (x) از مرتبه s باشد که نابرابری را در کل محور واقعی برآورده می کند:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

سپس ضرایب فوریه تابع ƒ نابرابری را برآورده می کند

اثبات یکپارچه سازی توسط قطعات و در نظر گرفتن آن

ƒ(-π) = ƒ(π)، داریم

ادغام سمت راست (7) به صورت متوالی، با در نظر گرفتن اینکه مشتقات ƒ ΄، …، ƒ (s-1) پیوسته هستند و مقادیر یکسانی را در نقاط t = -π و t = π دارند، و همچنین تخمین (5)، تخمین اول (6) را به دست می آوریم.

تخمین دوم (6) نیز به روشی مشابه به دست می آید.

قضیه 2. برای ضرایب فوریه ƒ(x) نابرابری زیر صادق است:

(8)

اثبات ما داریم

(9)

با معرفی یک تغییر متغیر در این مورد و با در نظر گرفتن اینکه ƒ(x) یک تابع تناوبی است، به دست می آوریم.

با اضافه کردن (9) و (10) به دست می آید

ما اثبات b k را به روشی مشابه انجام می دهیم.

نتیجه. اگر تابع ƒ(x) پیوسته باشد، ضرایب فوریه آن به صفر گرایش دارند: a k → 0، b k → 0، k → ∞.

فضای توابع با محصول اسکالر.

تابع ƒ(x) به صورت تکه ای پیوسته در یک بازه نامیده می شود اگر در این بازه پیوسته باشد، به استثنای تعداد محدودی از نقاط که دارای ناپیوستگی هایی از نوع اول باشد. چنین نقاطی را می توان در اعداد حقیقی جمع و ضرب کرد و در نتیجه دوباره توابع پیوسته تکه تکه بر روی قطعه به دست می آید.

حاصل ضرب اسکالر دو تکه ای پیوسته روی (الف< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

بدیهی است که برای هر توابع پیوسته تکه ای ƒ, φ, ψ خصوصیات زیر برآورده می شوند:

1) (ƒ، φ) =(φ، ƒ);

2) (ƒ , ƒ) و از تساوی (ƒ , ƒ) = 0 نتیجه می شود که ƒ(x) =0 در ƒ(x) = 0 on , به استثنای تعداد محدودی از نقاط x.

3) (α ƒ + β φ، ψ) = α (ƒ، ψ) + β (φ، ψ)،

که در آن α، β اعداد حقیقی دلخواه هستند.

مجموعه ای از تمام توابع پیوسته تکه ای تعریف شده در بازه ای که حاصل ضرب اسکالر طبق فرمول (11) معرفی می شود را نشان خواهیم داد. و به آن فضا می گویند

تبصره 1.

در ریاضیات، فضای = (a, b) مجموعهای از توابع ƒ(x) است که به معنای Lebesgue روی همراه با مربعهایشان قابل ادغام هستند، که حاصل ضرب اسکالر مطابق فرمول (11) معرفی میشود. فضای مورد نظر یک قسمت است. فضا دارای بسیاری از ویژگی های فضا است، اما نه همه آنها.

از خواص 1)، 2)، 3) نابرابری مهم بونیاکوفسکی | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½ که در زبان انتگرال ها به این صورت است:

بزرگی

هنجار تابع f نامیده می شود.

هنجار دارای ویژگی های زیر است:

1) || f || ≥ 0، در این مورد تساوی فقط می تواند برای تابع صفر f = 0 باشد، به عنوان مثال، یک تابع برابر با صفر، به جز، شاید، برای تعداد محدودی از نقاط.

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||،

جایی که α یک عدد واقعی است.

ویژگی دوم در زبان انتگرال ها به صورت زیر است:

و نابرابری مینکوفسکی نامیده می شود.

آنها می گویند که دنباله ای از توابع ( f n ) به تابعی تعلق دارد، همگرا می شود که به معنای مربع میانگین در (یا در هنجار) تعلق دارد اگر

توجه داشته باشید که اگر دنباله توابع ƒ n (x) به طور یکنواخت به تابع ƒ (x) در قطعه همگرا شود، برای n به اندازه کافی بزرگ تفاوت ƒ (x) - ƒ n (x) در مقدار مطلق باید برای همه کوچک باشد. x از بخش

اگر ƒ n (x) به معنای مربع میانگین در بازه به ƒ (x) تمایل داشته باشد، در این صورت تفاوت نشان داده شده ممکن است برای n بزرگ در همه جا کوچک نباشد. در برخی از نقاط این بخش ممکن است این تفاوت زیاد باشد، اما تنها نکته مهم این است که انتگرال مربع آن روی قطعه برای n بزرگ کوچک است.

مثال. اجازه دهید تابع خطی پیوسته ƒ n (x) (n = 1, 2,...) نشان داده شده در شکل داده شود، و

(بوگروف، ص 281، شکل 120)

برای هر عدد طبیعی n

و در نتیجه، این دنباله از توابع، اگرچه به صورت n → ∞ به صفر همگرا می شود، به طور یکنواخت همگرا نمی شود. در ضمن

یعنی دنباله توابع (f n (x)) به معنای مربع میانگین در .

از عناصر یک دنباله معین از توابع ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (متعلق به ) یک سری می سازیم

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

مجموع n جمله اول آن

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

یک تابع متعلق به وجود دارد. اگر اتفاق بیفتد که تابعی وجود داشته باشد به طوری که

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞)،

سپس می گویند سری (12) به تابع ƒ به معنای مربع میانگین همگرا می شود و می نویسند

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

تبصره 2.

میتوانیم فضای = (a, b) توابع با مقدار مختلط را در نظر بگیریم ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x)، که در آن ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) توابع پیوسته تکهای واقعی هستند. . در این فضا، توابع در اعداد مختلط ضرب می شوند و حاصل ضرب اسکالر توابع ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) و φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) ) به صورت زیر تعریف می شود:

و هنجار ƒ به عنوان مقدار تعریف می شود

سری های فوریه نمایشی از یک تابع دلخواه با یک دوره خاص در قالب یک سری هستند. به طور کلی، این محلول را تجزیه یک عنصر در امتداد یک پایه متعامد می نامند. بسط توابع به سری فوریه به دلیل ویژگی های این تبدیل در حین ادغام، تمایز و همچنین جابجایی عبارات توسط استدلال و کانولوشن، ابزار نسبتاً قدرتمندی برای حل مسائل مختلف است.

فردی که با ریاضیات عالی و همچنین با کارهای دانشمند فرانسوی فوریه آشنا نیست، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که این "سری ها" چیست و برای چه چیزی مورد نیاز است. در همین حال، این دگرگونی کاملاً در زندگی ما ادغام شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که به کشفی جلوتر از زمان خود دست یافت.

انسان و فوریه تبدیل می شوند

>

سری های فوریه یکی از روش ها هستند (همراه با آنالیز و روش های دیگر این فرآیند با هر بار شنیدن صدایی اتفاق می افتد). گوش ما به طور خودکار ذرات بنیادی را در یک محیط الاستیک به ردیف هایی (در امتداد طیف) از سطوح حجمی متوالی برای تن هایی با ارتفاع های مختلف تبدیل می کند. در مرحله بعد، مغز این داده ها را به صداهایی تبدیل می کند که برای ما آشنا هستند. همه اینها خارج از میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی را مطالعه کنیم.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

>

تبدیل فوریه را می توان با استفاده از روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به روش عددی تجزیه هر گونه فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس ها و امواج نور تا چرخه های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیکهای ریاضی، میتوانید توابع را تجزیه و تحلیل کنید و هر فرآیند نوسانی را بهعنوان مجموعهای از اجزای سینوسی که از حداقل به حداکثر حرکت میکنند و به عقب نشان میدهند، نشان میدهند. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی های مربوط به یک فرکانس خاص را توصیف می کند. این فرآیند را می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده که فرآیندهای دینامیکی ناشی از انرژی حرارتی، نور یا الکتریکی را توصیف می کند، استفاده کرد. همچنین سری فوریه جداسازی اجزای ثابت در سیگنالهای نوسانی پیچیده را امکانپذیر میسازد و تفسیر صحیح مشاهدات تجربی بهدستآمده در پزشکی، شیمی و نجوم را ممکن میسازد.

پیشینه تاریخی

>

بنیانگذار این نظریه، ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی است. این تحول متعاقباً به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند از روش خود برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت حرارتی - انتشار گرما در جامدات استفاده کرد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه را می توان به سینوسی های ساده تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود و همچنین فاز خاص خود را دارند. در این حالت، هر یک از این اجزاء از حداقل به حداکثر و به عقب اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده این نظریه تابع توزیع کلی را که توصیف ریاضی آن دشوار است، به یک سری بسیار راحت از کسینوس و سینوس تقلیل داد که با هم توزیع اصلی را به دست میدهند.

اصل تحول و دیدگاه معاصران

>

معاصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. ایراد اصلی ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته، که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می کند، می تواند به عنوان مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، مرحله Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن در سمت چپ ناپیوستگی صفر و در سمت راست یک است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به یک متغیر موقت را هنگامی که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با وضعیت مشابهی مواجه نشده بودند که در آن یک عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف شود.

چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در مورد نظریه فوریه گیج کرد؟

>

به هر حال، اگر ریاضیدان در اظهارات خود درست گفته باشد، با جمع کردن سری فوریه مثلثاتی بی نهایت، می توان نمایش دقیقی از عبارت گام به دست آورد، حتی اگر مراحل مشابه زیادی داشته باشد. در آغاز قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش دادند و آن را فراتر از مطالعه هدایت حرارتی بردند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان با این سوال عذاب میکشیدند: «آیا مجموع یک سری سینوسی میتواند به مقدار دقیق تابع ناپیوسته همگرا شود؟»

همگرایی سری فوریه: یک مثال

>

مسئله همگرایی هر زمان که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد را جمع کنیم، مطرح می شود. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر مرحله بعدی نصف مرحله قبلی باشد، هرگز قادر خواهید بود به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف خود فاصله دارید، اولین قدم شما را به نیمه راه می برد، مرحله بعدی شما را به نقطه سه چهارم می رساند و پس از پنجمین مرحله تقریباً 97 درصد مسیر را طی کرده اید. با این حال، مهم نیست که چند قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر خود نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی می توان ثابت کرد که در نهایت می توان به اندازه یک فاصله معین نزدیک شد. این برهان معادل نشان دادن این است که مجموع یک دوم، یک چهارم و غیره به وحدت گرایش دارد.

پرسش همگرایی: آمدن ثانوی یا ابزار لرد کلوین

>

این موضوع دوباره در اواخر قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که آنها سعی کردند از سری فوریه برای پیش بینی شدت جزر و مد استفاده کنند. در این زمان، لرد کلوین ابزاری را اختراع کرد که یک دستگاه محاسباتی آنالوگ بود که به ملوانان نظامی و دریایی تجاری اجازه می داد تا این پدیده طبیعی را نظارت کنند. این مکانیسم مجموعهای از فازها و دامنهها را از جدول ارتفاع جزر و مد و نقاط زمانی مربوطه تعیین میکند که به دقت در یک بندر معین در طول سال اندازهگیری میشوند. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. اندازهگیریها به ابزار محاسباتی لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال بعد پیشبینی میکرد. خیلی زود منحنی های مشابهی برای تمام بندرهای جهان ترسیم شد.

اگر فرآیند توسط یک عملکرد ناپیوسته مختل شود چه؟

>

در آن زمان بدیهی به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مد با تعداد زیادی عناصر شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و در نتیجه پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این حال، مشخص شد که این الگو در مواردی مشاهده نمی شود که بیان جزر و مدی که باید سنتز شود حاوی یک پرش شدید است، یعنی ناپیوسته بود. اگر داده های جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (مطابق با ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازسازی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر، واضح است که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی محلی هستند و در هر نقطه دیگری به سمت صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تأیید شد.

همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی

>

تحلیل فوریه برای عباراتی که دارای تعداد نامتناهی اسپک در یک بازه زمانی معین هستند، قابل استفاده نیست. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اصلی با نتیجه یک اندازه گیری فیزیکی واقعی نشان داده شود، همیشه همگرا هستند. سؤالاتی در مورد همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور شاخه های جدیدی در ریاضیات شد، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. او با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinski و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، یک مبنای نظری واضح و دقیق برای عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (که منطقه ای از یک ناحیه متمرکز در یک همسایگی بینهایت کوچک از یک نقطه را توصیف می کند) و «گام» هیوساید ایجاد شد. به لطف این کار، سری فوریه برای حل معادلات و مسائل مربوط به مفاهیم شهودی: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی و بار متمرکز روی یک پرتو قابل استفاده شد.

روش فوریه

>

سری های فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به شکل های ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در جریان گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار یک جرم آسمانی - تأثیر توضیح داده می شود. از سیارات به عنوان یک قاعده، چنین معادلاتی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، می توانند به راحتی برای هر موج جداگانه حل شوند. فوریه نشان داد که راه حل های ساده را نیز می توان برای ایجاد راه حل برای مسائل پیچیده تر جمع کرد. در اصطلاح ریاضی، سری فوریه تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوس است. بنابراین، این تحلیل به عنوان "تحلیل هارمونیک" نیز شناخته می شود.

سری فوریه - یک تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"

>

قبل از ایجاد فناوری رایانه، تکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه به شکل پیچیده این امکان را فراهم می کند که نه تنها مسائل ساده ای را که می توان مستقیماً در قوانین مکانیک نیوتن اعمال کرد، بلکه معادلات اساسی را نیز حل کرد. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با تکنیک فوریه امکان پذیر شد.

سری فوریه امروز

>

با توسعه کامپیوترها، تبدیل فوریه به سطح کیفی جدیدی ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینههای علم و فناوری بهطور محکمی تثبیت شده است. به عنوان مثال صدا و تصویر دیجیتال است. اجرای آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد امکان پذیر شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار و زلزله شناسی را تحت تاثیر قرار داد.

سری فوریه مثلثاتی

>

در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش توابع پیچیده دلخواه به صورت مجموع توابع ساده تر است. در موارد کلی، تعداد چنین عباراتی می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی دقیق تر است. اغلب، توابع مثلثاتی کسینوس یا سینوس به عنوان ساده ترین آنها استفاده می شود. در این حالت سری های فوریه را مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی ابزاری برای به تصویر کشیدن و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعدادی از مسائل در فیزیک ریاضی را حل کنید. در نهایت، این نظریه به توسعه تعدادی از شاخه های بسیار مهم علوم ریاضی (نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی) کمک کرد. علاوه بر این، به عنوان نقطه شروع برای توسعه توابع زیر یک متغیر واقعی عمل کرد و همچنین پایه و اساس تحلیل هارمونیک را گذاشت.

که در حال حاضر بسیار خسته کننده هستند. و من احساس می کنم لحظه ای فرا رسیده است که زمان آن فرا رسیده است که کنسروهای جدید را از ذخایر استراتژیک تئوری استخراج کنیم. آیا می توان تابع را به روش دیگری به یک سری گسترش داد؟ مثلاً پاره خط مستقیم را بر حسب سینوس و کسینوس بیان کنید؟ باورنکردنی به نظر می رسد، اما چنین عملکردهای به ظاهر دوری می تواند باشد
"اتحاد مجدد". علاوه بر درجات آشنا در تئوری و عمل، رویکردهای دیگری برای گسترش یک تابع به یک سری وجود دارد.

در این درس با سری فوریه مثلثاتی آشنا می شویم، موضوع همگرایی و مجموع آن را بررسی می کنیم و البته نمونه های متعددی از بسط توابع در سری فوریه را تحلیل خواهیم کرد. من صمیمانه میخواستم مقاله را «سری فوریه برای آدمکها» بنامم، اما این بیمعنی است، زیرا حل مسائل مستلزم دانش سایر شاخههای تحلیل ریاضی و تجربه عملی است. بنابراین، مقدمه شبیه آموزش فضانوردان خواهد بود =)

در مرحله اول، شما باید به مطالعه مطالب صفحه در فرم عالی نزدیک شوید. خواب آلود، استراحت و هوشیار. بدون احساسات شدید در مورد پنجه همستر شکسته و افکار وسواسی در مورد سختی های زندگی برای ماهی های آکواریومی. درک سری فوریه دشوار نیست، اما کارهای عملی به سادگی نیاز به افزایش تمرکز دارند - در حالت ایده آل، شما باید کاملاً خود را از محرک های خارجی جدا کنید. شرایط بدتر از این است که هیچ راه آسانی برای بررسی راه حل و پاسخ وجود ندارد. بنابراین، اگر سلامتی شما کمتر از حد متوسط است، بهتر است کار سادهتری انجام دهید. آیا حقیقت دارد.

در مرحله دوم، قبل از پرواز به فضا، لازم است صفحه ابزار فضاپیما را مطالعه کنید. بیایید با مقادیر توابعی که باید روی دستگاه کلیک کنید شروع کنیم:

برای هر ارزش طبیعی:

1) . در واقع، سینوسی محور x را از طریق هر pi میبیند:
. در مورد مقادیر منفی آرگومان، البته نتیجه یکسان خواهد بود: .

2) . اما همه این را نمی دانستند. کسینوس "pi" معادل "چشمک زن" است:

استدلال منفی موضوع را تغییر نمی دهد: .

شاید همین کافی باشد.

و ثالثاً سپاه کیهان نوردان عزیز باید بتوانید ... ادغام کردن.
به طور خاص، با اطمینان تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید, ادغام تکه تکهو در صلح با فرمول نیوتن لایب نیتس. بیایید تمرینات مهم قبل از پرواز را شروع کنیم. من قاطعانه توصیه نمی کنم از آن بگذرید تا بعداً دچار بی وزنی نشوید:

مثال 1

انتگرال های معین را محاسبه کنید

جایی که ارزش های طبیعی را می گیرد.

راه حل: یکپارچه سازی بر روی متغیر x انجام می شود و در این مرحله متغیر گسسته “en” ثابت در نظر گرفته می شود. در تمام انتگرال ها تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید:

یک نسخه کوتاه از راه حلی که هدف گذاری آن خوب است به این صورت است:

بیایید به آن عادت کنیم:

چهار امتیاز باقی مانده به تنهایی است. سعی کنید با وجدان به کار نزدیک شوید و انتگرال ها را به صورت کوتاه بنویسید. نمونه راه حل در پایان درس.

بعد از انجام تمرینات QUALITY، لباس فضایی به تن می کنیم
و آماده شدن برای شروع!

بسط یک تابع به یک سری فوریه در بازه

>

برخی از عملکردها را در نظر بگیرید تعیین شده استحداقل برای یک دوره زمانی (و احتمالاً برای یک دوره طولانی تر). اگر این تابع در بازه قابل ادغام باشد، می توان آن را به مثلثاتی گسترش داد سری فوریه:
، به اصطلاح کجا هستند ضرایب فوریه.

در این حالت شماره تماس گرفته می شود دوره تجزیه، و شماره است نیمه عمر تجزیه.

بدیهی است که در حالت کلی سری فوریه از سینوس و کسینوس تشکیل شده است:

در واقع، بیایید آن را با جزئیات بنویسیم:

عبارت صفر سری معمولاً به شکل نوشته می شود.

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

من به خوبی درک می کنم که کسانی که شروع به مطالعه این موضوع می کنند هنوز در مورد اصطلاحات جدید نامشخص هستند: دوره تجزیه, نیم چرخه, ضرایب فوریهو غیره. نترسید، این با هیجان قبل از رفتن به فضا قابل مقایسه نیست. بیایید همه چیز را در مثال زیر درک کنیم، قبل از اجرای آن، منطقی است که سوالات عملی فوری بپرسیم:

در کارهای زیر چه کاری باید انجام دهید؟

>

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید. علاوه بر این، اغلب لازم است نمودار یک تابع، نمودار مجموع یک سری، مجموع جزئی به تصویر کشیده شود، و در مورد فانتزی های استادانه پیچیده، کار دیگری انجام شود.

چگونه یک تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم؟

>

در اصل، شما باید پیدا کنید ضرایب فوریهیعنی سه تا بنویسید و حساب کنید انتگرال معین.

لطفا فرم کلی سری فوریه و سه فرمول کاری را در دفترچه خود کپی کنید. من بسیار خوشحالم که برخی از بازدیدکنندگان سایت در حال تحقق رویای کودکی خود برای فضانورد شدن در مقابل چشمان من هستند =)

مثال 2

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید. یک نمودار بسازید، نموداری از مجموع سری و مجموع جزئی.

راه حل: بخش اول کار، گسترش تابع به یک سری فوریه است.

شروع استاندارد است، حتما یادداشت کنید که:

در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است.

اجازه دهید تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهیم:

با استفاده از فرمول های مناسب می یابیم ضرایب فوریه. اکنون باید سه را بنویسیم و محاسبه کنیم انتگرال معین. برای راحتی، نکات را شماره گذاری می کنم:

1) انتگرال اول ساده ترین است، اما به کره چشم نیز نیاز دارد:

2) از فرمول دوم استفاده کنید:

این انتگرال به خوبی شناخته شده است و تکه تکه آن را می گیرد:

وقتی پیدا شد استفاده می شود روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

در کار مورد بررسی، استفاده فوری راحت تر است فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین :

چند نکته فنی ابتدا پس از اعمال فرمول کل عبارت باید در پرانتزهای بزرگ محصور شود، زیرا قبل از انتگرال اصلی یک ثابت وجود دارد. از دستش ندهیم! این پرانتز را می توان در هر مرحله بعدی گسترش داد. در اولین "قطعه" همانطور که می بینید، در جایگزینی دقت زیادی نشان می دهیم، از ثابت استفاده نمی شود و محدودیت های یکپارچه سازی در محصول جایگزین می شود. این عمل در پرانتز مربع مشخص شده است. خوب، شما با انتگرال دومین "قطعه" فرمول از کار آموزشی آشنا هستید؛-)

و مهمتر از همه - تمرکز شدید!

3) ما به دنبال سومین ضریب فوریه هستیم:

نسبی از انتگرال قبلی به دست می آید که آن نیز می باشد تکه تکه ادغام می شود:

این نمونه کمی پیچیده تر است، من در مورد مراحل بعدی گام به گام نظر خواهم داد:

(1) عبارت به طور کامل در پرانتزهای بزرگ محصور شده است. من نمی خواستم خسته کننده به نظر برسم، آنها اغلب ثابت را از دست می دهند.

(2) در این مورد، من بلافاصله این پرانتزهای بزرگ را باز کردم. توجه ویژهما خود را وقف اولین "قطعه" می کنیم: ثابت دود در حاشیه است و در جایگزینی محدودیت های ادغام (و) در محصول شرکت نمی کند. با توجه به شلوغی رکورد، مجدداً توصیه می شود این عمل را با براکت های مربع برجسته کنید. با "قطعه" دوم همه چیز ساده تر است: در اینجا کسری پس از باز کردن پرانتزهای بزرگ ظاهر شد و ثابت - در نتیجه ادغام انتگرال آشنا؛-)

(3) در براکت های مربع، تبدیل ها را انجام می دهیم، و در انتگرال راست - جایگزینی محدودیت های ادغام.

(4) "چراغ چشمک زن" را از روی براکت های مربع برداشته و سپس براکت های داخلی را باز می کنیم: .

(5) ما 1 و -1 را در پرانتز لغو می کنیم و ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.

در نهایت، هر سه ضریب فوریه یافت می شود:

بیایید آنها را در فرمول جایگزین کنیم :

در عین حال، تقسیم به نصف را فراموش نکنید. در مرحله آخر، ثابت ("منهای دو")، که به "en" بستگی ندارد، خارج از جمع گرفته می شود.

بنابراین، ما بسط تابع را به یک سری فوریه در بازه به دست آوردهایم:

اجازه دهید موضوع همگرایی سری فوریه را بررسی کنیم. من به طور خاص نظریه را توضیح خواهم داد قضیه دیریکله، به معنای واقعی کلمه "روی انگشتان"، بنابراین اگر به فرمول بندی دقیق نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی تجزیه و تحلیل ریاضی مراجعه کنید. (مثلاً جلد دوم بوهان؛ یا جلد سوم فیشتنهولتز، اما دشوارتر است).

بخش دوم مسئله مستلزم ترسیم یک نمودار، یک نمودار از مجموع یک سری و یک نمودار از یک جمع جزئی است.

نمودار تابع معمول است خط مستقیم در هواپیما، که با یک خط نقطه سیاه ترسیم شده است:

بیایید مجموع سریال را دریابیم. همانطور که می دانید سری های تابع به توابع همگرا می شوند. در مورد ما، سری فوریه ساخته شده است برای هر مقدار "x"به تابعی که با رنگ قرمز نشان داده شده است همگرا می شود. این تابع را تحمل می کند پارگی های نوع 1در نقاط، اما در آنها نیز تعریف شده است (نقاط قرمز در نقاشی)

بدین ترتیب: . به راحتی می توان فهمید که تفاوت قابل توجهی با عملکرد اصلی دارد، به همین دلیل در ورودی تایلد به جای علامت تساوی استفاده می شود.

بیایید الگوریتمی را مطالعه کنیم که برای ساخت مجموع یک سری مناسب است.

در بازه مرکزی، سری فوریه به خود تابع همگرا می شود (قسمت قرمز مرکزی با خط نقطه چین سیاه تابع خطی منطبق است).

حال اجازه دهید کمی در مورد ماهیت بسط مثلثاتی مورد بررسی صحبت کنیم. سری فوریه فقط توابع تناوبی (ثابت، سینوس و کسینوس) گنجانده شده است، بنابراین مجموع سری همچنین تابع تناوبی است.

این در مثال خاص ما به چه معناست؟ و این یعنی مجموع سریال –قطعا دوره ایو قسمت قرمز فاصله باید بی انتها در سمت چپ و راست تکرار شود.

من فکر می کنم که معنای عبارت "دوره تجزیه" اکنون بالاخره روشن شده است. به بیان ساده، هر بار که وضعیت دوباره و دوباره تکرار می شود.

در عمل معمولاً به تصویر کشیدن سه دوره تجزیه کافی است، همانطور که در نقاشی انجام می شود. خوب، و همچنین "نخمه" دوره های همسایه - به طوری که واضح است که نمودار ادامه دارد.

مورد توجه خاص هستند نقاط ناپیوستگی از نوع 1. در چنین نقاطی، سری فوریه به مقادیر جدا شده همگرا می شود، که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارند (نقاط قرمز در نقاشی). چگونه می توان ترتیب این نقاط را فهمید؟ اول، بیایید ترتیب "طبقه بالا" را پیدا کنیم: برای انجام این کار، مقدار تابع را در سمت راست ترین نقطه دوره مرکزی گسترش محاسبه می کنیم: . برای محاسبه ترتیب "طبقه پایین"، ساده ترین راه این است که سمت چپ ترین مقدار همان دوره را بگیرید: . ترتیب مقدار میانگین، میانگین حسابی مجموع «بالا و پایین» است: . یک واقعیت خوشایند این است که هنگام ساخت یک نقاشی، بلافاصله خواهید دید که آیا وسط به درستی یا نادرست محاسبه شده است.

بیایید یک مجموع جزئی از سری بسازیم و در همان زمان معنای اصطلاح "همگرایی" را تکرار کنیم. انگیزه نیز از درس در مورد شناخته شده است مجموع یک سری اعداد. اجازه دهید ثروت خود را با جزئیات شرح دهیم:

برای ایجاد یک جمع جزئی، باید صفر + دو عبارت دیگر از سری را بنویسید. یعنی

در نقاشی، نمودار تابع به رنگ سبز نشان داده شده است، و همانطور که می بینید، مجموع کامل را کاملاً محکم می کند. اگر مجموع جزئی از پنج عبارت از سری را در نظر بگیریم، نمودار این تابع خطوط قرمز را با دقت بیشتری تقریب میکند، اگر صد جمله وجود داشته باشد، در واقع "مار سبز" به طور کامل با بخشهای قرمز ادغام میشود. و غیره بنابراین، سری فوریه به مجموع آن همگرا می شود.

جالب است بدانید که هر مقدار جزئی باشد عملکرد پیوستهبا این حال، مجموع کل سریال هنوز ناپیوسته است.

در عمل، ساختن نمودار مجموع جزئی چندان نادر نیست. چگونه این کار را انجام دهیم؟ در مورد ما، لازم است تابع را در بخش در نظر بگیریم، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقاط میانی محاسبه کنیم (هر چه نقاط بیشتری را در نظر بگیرید، نمودار دقیق تر خواهد بود). سپس باید این نقاط را روی نقاشی علامت بزنید و نموداری را با دقت روی نقطه بکشید و سپس آن را در فواصل مجاور "تکرار" کنید. دیگر چگونه؟ به هر حال، تقریب نیز یک تابع تناوبی است... ...از برخی جهات نمودار آن من را به یاد ریتم یکنواخت قلب در صفحه نمایش یک دستگاه پزشکی می اندازد.

البته انجام ساخت و ساز خیلی راحت نیست، زیرا باید بسیار مراقب باشید و دقت کمتر از نیم میلی متر را حفظ کنید. با این حال، من از خوانندگانی که با ترسیم راحت نیستند خوشحال خواهم شد - در یک مشکل "واقعی" همیشه لازم نیست که یک نقاشی در حدود 50٪ موارد گسترش یابد و این کار به یک سری فوریه تبدیل شود .

پس از اتمام نقاشی، کار را تکمیل می کنیم:

پاسخ دهید:

در بسیاری از وظایف، عملکرد آسیب می بیند پارگی از نوع 1درست در طول دوره تجزیه:

مثال 3

تابع داده شده در بازه را به یک سری فوریه بسط دهید. نموداری از تابع و مجموع کل سری رسم کنید.

تابع پیشنهادی به صورت تکه ای مشخص می شود (و توجه داشته باشید، فقط در بخش)و تحمل می کند پارگی از نوع 1در نقطه . آیا می توان ضرایب فوریه را محاسبه کرد؟ مشکلی نیست هر دو سمت چپ و راست تابع در فواصل خود قابل انتگرال هستند، بنابراین انتگرال های هر یک از سه فرمول باید به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده شوند. برای مثال، بیایید ببینیم که چگونه این کار برای یک ضریب صفر انجام می شود:

انتگرال دوم برابر با صفر بود که کار را کاهش داد، اما همیشه اینطور نیست.

دو ضریب فوریه دیگر به طور مشابه توضیح داده شده اند.

چگونه مجموع یک سریال را نشان دهیم؟ در فاصله سمت چپ یک بخش خط مستقیم و در فاصله - یک بخش خط مستقیم ترسیم می کنیم (بخش محور را به صورت پررنگ و پررنگ برجسته می کنیم). یعنی در بازه گسترش، مجموع سری با تابع در همه جا منطبق است به جز سه نقطه "بد". در نقطه ناپیوستگی تابع، سری فوریه به یک مقدار جدا شده همگرا می شود که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارد. دیدن شفاهی آن دشوار نیست: حد چپ: , حد راست: و بدیهی است که ترتیب نقطه میانی 0.5 است.

به دلیل تناوب بودن مجموع، تصویر باید در دوره های همسایه "ضرب" شود، به ویژه، همان چیز باید در فواصل و . در همان زمان، در نقاط سری فوریه به مقادیر میانه همگرا می شود.

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد.

سعی کنید خودتان با این کار کنار بیایید. نمونه تقریبی طرح نهایی و نقاشی در پایان درس.

بسط یک تابع به یک سری فوریه در یک دوره دلخواه

>

برای یک دوره بسط دلخواه، جایی که "el" هر عدد مثبتی است، فرمول های سری فوریه و ضرایب فوریه با استدلال کمی پیچیده تر برای سینوس و کسینوس متمایز می شوند:

اگر , سپس فرمول های فاصله ای را که با آن شروع کردیم به دست می آوریم.

الگوریتم و اصول حل مسئله کاملاً حفظ شده است، اما پیچیدگی فنی محاسبات افزایش می یابد:

مثال 4

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید و مجموع آن را رسم کنید.

راه حل: در واقع آنالوگ مثال شماره 3 با پارگی از نوع 1در نقطه . در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است. تابع فقط در نیم فاصله تعریف می شود، اما این موضوع را تغییر نمی دهد - مهم است که هر دو قطعه تابع قابل ادغام باشند.

بیایید تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم:

از آنجایی که تابع در مبدأ ناپیوسته است، هر ضریب فوریه باید به صورت مجموع دو انتگرال نوشته شود:

1) من انتگرال اول را تا حد امکان با جزئیات بیشتر می نویسم:

2) ما با دقت به سطح ماه نگاه می کنیم:

انتگرال دوم آن را تکه تکه بردار:

بعد از اینکه ادامه راه حل را با ستاره باز کردیم به چه نکاتی توجه کنیم؟

اولا، ما انتگرال اول را از دست نمی دهیم ، جایی که بلافاصله اجرا می کنیم عضویت در علامت دیفرانسیل. ثانیا، ثابت بدبخت را قبل از براکت های بزرگ فراموش نکنید و با علائم گیج نشویدهنگام استفاده از فرمول . براکت های بزرگ هنوز هم راحت تر هستند که بلافاصله در مرحله بعد باز شوند.

بقیه مسائل مربوط به تکنیک است.

بله، بیخود نبود که همکاران برجسته ریاضیدان فرانسوی فوریه خشمگین شدند - او چگونه جرات کرد توابع را در سری های مثلثاتی ترتیب دهد؟! =) به هر حال، احتمالاً همه به معنای عملی کار مورد نظر علاقه مند هستند. خود فوریه روی یک مدل ریاضی هدایت حرارتی کار کرد و متعاقباً از سری به نام او برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای دوره ای استفاده شد که در دنیای اطراف قابل مشاهده و نامرئی هستند. حالا اتفاقاً به این فکر افتادم که تصادفی نیست که نمودار مثال دوم را با ریتم تناوبی قلب مقایسه کردم. علاقه مندان می توانند با کاربرد عملی آشنا شوند تبدیل فوریهدر منابع شخص ثالث ...اگرچه بهتر است این کار را نکنیم - به عنوان عشق اول به خاطر سپرده می شود =)

3) با در نظر گرفتن پیوندهای ضعیف مکرر ذکر شده، اجازه دهید به ضریب سوم نگاه کنیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

اجازه دهید ضرایب فوریه پیدا شده را در فرمول جایگزین کنیم ، فراموش نکنید که ضریب صفر را به نصف تقسیم کنید:

بیایید مجموع سریال را ترسیم کنیم. اجازه دهید به طور خلاصه این روش را تکرار کنیم: یک خط مستقیم در یک بازه و یک خط مستقیم در یک فاصله ایجاد می کنیم. اگر مقدار "x" صفر باشد، نقطه ای را در وسط "پرش" شکاف قرار می دهیم و نمودار را برای دوره های مجاور "تکرار" می کنیم:


در "اتصالات" دوره ها، مجموع نیز برابر با نقاط میانی "پرش" شکاف خواهد بود.

آماده است. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که خود تابع با شرط فقط در یک نیمه بازه تعریف می شود و بدیهی است که با مجموع سری ها در فواصل منطبق است.

پاسخ دهید:

گاهی اوقات یک تابع به صورت تکه ای در طول دوره گسترش پیوسته است. ساده ترین مثال: . راه حل (رجوع کنید به جلد 2 بوهان)مانند دو مثال قبلی: با وجود تداوم عملکرددر نقطه، هر ضریب فوریه به صورت مجموع دو انتگرال بیان می شود.

در فاصله تجزیه نقاط ناپیوستگی از نوع 1و/یا ممکن است نقاط "اتصال" بیشتری در نمودار وجود داشته باشد (دو، سه و به طور کلی هر کدام نهاییمقدار). اگر یک تابع در هر قسمت قابل ادغام باشد، در سری فوریه نیز قابل گسترش است. اما از تجربه عملی چنین چیز بی رحمانه ای را به خاطر نمی آورم. با این حال، وظایف دشوارتر از آنچه که در نظر گرفته شد وجود دارد، و در پایان مقاله پیوندهایی به سری فوریه با پیچیدگی افزایش یافته برای همه وجود دارد.

در این میان، بیایید استراحت کنیم، به صندلی هایمان تکیه دهیم و به وسعت بی پایان ستاره ها فکر کنیم:

مثال 5

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید و مجموع سری را رسم کنید.

در این مشکل تابع مستمردر نیمه بازه انبساط، که راه حل را ساده می کند. همه چیز بسیار شبیه به مثال شماره 2 است. هیچ فراری از سفینه فضایی وجود ندارد - باید تصمیم بگیرید =) یک نمونه طراحی تقریبی در پایان درس، یک نمودار پیوست شده است.

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد

>

با توابع زوج و فرد، روند حل مسئله به طور قابل توجهی ساده شده است. و در اینجا دلیل آن است. اجازه دهید به بسط یک تابع در یک سری فوریه با دوره "دو پی" بازگردیم. و دوره دلخواه "دو ال" .

بیایید فرض کنیم که تابع ما زوج است. اصطلاح کلی سریال همانطور که می بینید شامل کسینوس های زوج و سینوس های فرد است. و اگر در حال گسترش یک تابع زوج هستیم، پس چرا به سینوس های فرد نیاز داریم؟! بیایید ضریب غیر ضروری را تنظیم مجدد کنیم: .

بنابراین، یک تابع زوج در یک سری فوریه فقط در کسینوس قابل گسترش است:

از آنجایی که انتگرال توابع زوجدر امتداد یک بخش ادغام که با توجه به صفر متقارن است می توان دو برابر کرد، سپس ضرایب فوریه باقی مانده ساده می شوند.

برای شکاف:

برای یک فاصله دلخواه:

نمونههای کتاب درسی که تقریباً در هر کتاب درسی تحلیل ریاضی یافت میشود شامل بسط توابع زوج است. . علاوه بر این، چندین بار در تمرین شخصی من با آنها برخورد شده است:

مثال 6

تابع داده شده است. مورد نیاز:

1) تابع را به یک سری فوریه با نقطه بسط دهید، جایی که یک عدد مثبت دلخواه است.

2) بسط را روی بازه یادداشت کنید، یک تابع بسازید و مجموع کل سری را رسم کنید.

راه حل: در پاراگراف اول پیشنهاد شده است که مشکل به صورت کلی حل شود و این بسیار راحت است! اگر نیاز دارید، فقط ارزش خود را جایگزین کنید.

1) در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است. در طی اقدامات بعدی، به ویژه در طول ادغام، "el" یک ثابت در نظر گرفته می شود

تابع زوج است، به این معنی که می توان آن را به یک سری فوریه فقط در کسینوس گسترش داد: .

با استفاده از فرمول ها به دنبال ضرایب فوریه می گردیم . به مزایای بی قید و شرط آنها توجه کنید. اولا، ادغام در بخش مثبت توسعه انجام می شود، به این معنی که ما با خیال راحت از شر ماژول خلاص می شویم. ، فقط "X" دو قطعه را در نظر می گیریم. و در مرحله دوم، یکپارچگی به طور قابل توجهی ساده شده است.

دو:

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

بدین ترتیب:
، در حالی که ثابت، که به "en" بستگی ندارد، خارج از مجموع گرفته می شود.

پاسخ دهید:

2) بیایید بسط را در بازه یادداشت کنیم، برای انجام این کار، مقدار نیم دوره مورد نیاز را به فرمول کلی جایگزین می کنیم:

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد بسط یک تابع داده شده در بازه به یک سری در سینوس یا کسینوس سری فوریه برای یک تابع با دوره دلخواه نمایش پیچیده سری فوریه سری فوریه در سیستم های متعامد کلی توابع سری فوریه در یک سیستم متعامد ویژگی حداقلی ضرایب فوریه نابرابری بسل برابری پارسوال سیستم های بسته کامل بودن و سیستم های بسته

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد یک تابع f(x)، تعریف شده در بازه \-1، جایی که I > 0 است، حتی اگر نمودار تابع زوج متقارن حول محور ارتین باشد، فراخوانی می شود. تابع f(x)، تعریف شده در قطعه J)، جایی که I > 0 باشد، اگر نمودار تابع فرد نسبت به مبدا متقارن باشد، فرد نامیده می شود. مثال. الف) تابع در بازه |-jt، jt زوج است، زیرا برای همه x e ب) تابع فرد است، زیرا بسط سری فوریه توابع زوج و فرد، بسط تابعی است که در یک بازه به یک سری در سینوس یا سینوس داده می شود. کسینوس های سری فوریه برای یک تابع با دوره دلخواه نمادگذاری پیچیده سری فوریه برای سیستم های متعامد عمومی توابع سری فوریه. سیستم متعامد حداقل خاصیت ضرایب فوریه نابرابری بسل تساوی پارسوال سیستم های بسته کامل بودن و بسته بودن سیستم ها ج) تابع f(x)=x2-x، جایی که به هیچکدام از توابع زوج یا فرد تعلق ندارد، زیرا تابع f(x) راضی کننده است. شرایط قضیه 1، حتی در بازه x| است. سپس برای همه یعنی. /(x) cos nx یک تابع زوج است و f(x) sinnx یک تابع فرد است. بنابراین، ضرایب فوریه یک تابع زوج /(x) برابر خواهد بود، بنابراین، سری فوریه یک تابع زوج شکل f(x) را دارد - یک تابع زوج. بنابراین، خواهیم داشت بنابراین، سری فوریه یک تابع فرد به شکل مثال 1 است. تابع 4 را به یک سری فوریه در بازه -x ^ x ^ n گسترش دهید، زیرا این تابع زوج است و شرایط قضیه 1 را برآورده می کند. سپس سری فوریه آن به شکل یافتن ضرایب فوریه است. ما دو بار اعمال یکپارچه سازی توسط قطعات را داریم، به این نتیجه می رسیم که بنابراین، سری فوریه این تابع به این صورت است: یا به شکل بسط یافته، این برابری برای هر x € معتبر است، زیرا در نقاط x = ±ir مجموع سری با مقادیر تابع f(x) = x2 منطبق است، زیرا نمودارهای تابع f(x) = x و مجموع سری حاصل در شکل داده شده است. نظر دهید. این سری فوریه به ما اجازه می دهد که مجموع یکی از سری های عددی همگرا را پیدا کنیم، یعنی برای x = 0 مثال 2 را به دست می آوریم. تابع /(x) = x را در یک سری فوریه در بازه گسترش می دهیم. 6. § 6. بسط یک تابع داده شده در یک بازه به یک سری در سینوس یا کسینوس اجازه دهید یک تابع یکنواخت قطعه ای محدود / بر روی بازه داده شود. مقادیر این تابع در بازه 0| را می توان به روش های مختلف بیشتر تعریف کرد. به عنوان مثال، می توانید یک تابع / در بخش tc] تعریف کنید تا /. در این مورد آنها می گویند که) "به بخش 0] به صورت یکنواخت گسترش یافته است". سری فوریه آن فقط دارای کسینوس خواهد بود. اگر تابع /(x) در بازه [-l-، mc] تعریف شود به طوری که /(، نتیجه یک تابع فرد است، و سپس می گویند که / به بازه [-*، 0] گسترش یافته است. در این حالت، سری فوریه فقط شامل سینوس ها می شود. . کسینوس ها مثال 1. تابع را به یک سری فوریه بسط دهید: الف) در کسینوس. ب) توسط سینوس ها. این به دست می دهد و بنابراین، از نظر هندسی، این ویژگی به این معنی است که در مورد ناحیه سایه دار در شکل. 10 ناحیه با هم برابرند. به طور خاص، برای یک تابع f(x) با یک دوره، ما در بسط به یک سری فوریه از توابع زوج و فرد، بسط یک تابع داده شده در یک بازه به یک سری در سینوس یا کسینوس سری فوریه برای یک تابع با یک تابع دلخواه بدست می آوریم. دوره نمادگذاری مختلط سری فوریه سری فوریه به طور کلی توابع سیستم های متعامد سری فوریه در یک سیستم متعامد ویژگی حداقلی ضرایب فوریه نابرابری بسل تساوی پارسوال سیستم های بسته کامل بودن و بسته بودن سیستم ها مثال 2. تابع x تناوبی با یک نقطه به دلیل عجیب بودن این تابع، بدون محاسبه انتگرال، می توانیم بگوییم که برای هر خاصیت اثبات شده، به ویژه، نشان می دهد که ضرایب فوریه یک تابع تناوبی f(x) با دوره 21 را می توان با استفاده از فرمول هایی که a است محاسبه کرد. عدد واقعی دلخواه (توجه داشته باشید که توابع cos - و sin دارای دوره 2/ هستند). مثال 3. یک تابع داده شده در بازه ای با دوره 2x را به یک سری فوریه بسط دهید (شکل 11). 4 بیایید ضرایب فوریه این تابع را پیدا کنیم. با قرار دادن فرمول ها متوجه می شویم که برای بنابراین، سری فوریه به این صورت خواهد بود: در نقطه x = jt (نقطه ناپیوستگی از نوع اول) §8 داریم. ضبط پیچیده سری فوریه این بخش از برخی از عناصر تحلیل پیچیده استفاده می کند (به فصل XXX مراجعه کنید، جایی که تمام اقدامات انجام شده در اینجا با عبارات پیچیده کاملاً توجیه شده است). اجازه دهید تابع f(x) شرایط کافی برای بسط به یک سری فوریه را برآورده کند. سپس در قسمت x] می توان آن را با یک سری از شکل نشان داد. با استفاده از فرمول های اویلر، جایگزین کردن این عبارات به سری (1) به جای cos πx و sin φx، خواهیم داشت. شکل بنابراین، سری فوریه (1) به شکل پیچیده (3) نشان داده می شود. بیایید عباراتی را برای ضرایب از طریق انتگرال پیدا کنیم. ما داریم به طور مشابه، می یابیم که فرمول های نهایی برای с„، с_п و с را می توان به صورت زیر نوشت: . . ضرایب * ضرایب مختلط فوریه تابع نامیده می شوند ) و (4) به صورت زیر درک می شود: سری (3) و (4) برای مقادیر معینی همگرا نامیده می شوند اگر محدودیت هایی وجود داشته باشد مثال. تابع دوره را به یک سری فوریه بسط دهید این تابع شرایط کافی را برای بسط به سری فوریه برآورده می کند. اجازه دهید ضرایب فوریه مختلط این تابع را پیدا کنیم. برای زوج n یا به طور خلاصه برای فرد داریم. با جایگزینی مقادیر)، در نهایت به دست می آوریم توجه داشته باشید که این سری را می توان به صورت زیر نیز نوشت: سری فوریه برای سیستم های متعامد کلی توابع 9.1. سیستم های متعامد توابع اجازه دهید با مجموعه ای از همه توابع (واقعی) تعریف شده و قابل انتگرال گیری در بازه [a, 6] با یک مربع نشان دهیم، به عنوان مثال، آنهایی که برای آنها یک انتگرال وجود دارد، به طور خاص، همه توابع f(x) پیوسته در بازه [a، 6]، متعلق به 6 است، و مقادیر انتگرال Lebesgue آنها با مقادیر انتگرال های ریمان منطبق است. تعریف. سیستمی از توابع، که در آن، در بازه [a, b\، متعامد نامیده می شود، اگر شرط (1) به ویژه فرض کند که هیچ یک از توابع به طور یکسان صفر نباشد. انتگرال به معنای Lebesgue درک می شود. با این حال، در برخی موارد، به عنوان مثال، زمانی که سری (4) به طور یکنواخت همگرا می شود، همه توابع پیوسته و فاصله (a، 6) محدود است، این عمل قانونی است. اما برای ما اکنون این تفسیر رسمی است که مهم است. بنابراین، اجازه دهید یک تابع داده شود. اجازه دهید اعداد c* را طبق فرمول (5) بنویسیم. سری فوریه تابع f(x) نسبت به سیستم (^n(i)). ضرایب فوریه تابع f(x) نسبت به این سیستم نامیده می شوند. علامت ~ در فرمول (6) فقط به این معنی است که اعداد Cn با فرمول (5) با تابع f(x) مرتبط هستند (فرض نمی شود که سری سمت راست اصلاً همگرا شود، خیلی کمتر به تابع f همگرا می شود. (x)). بنابراین طبیعتا این سوال پیش می آید که این سری چه ویژگی هایی دارد؟ به چه معنا تابع f(x) را "نماینده" می کند؟ 9.3. همگرایی در تعریف متوسط. یک دنباله به طور متوسط به عنصر ] همگرا می شود اگر هنجار در فضای قضیه 6 باشد. اگر دنباله ای به طور یکنواخت همگرا شود، آنگاه به طور متوسط همگرا می شود. وقتی Tn(x) هفتاد و یکمین مجموع جزئی سری فوریه تابع /(x) روی سیستم باشد (. تنظیم ak = sk، از (7) برابری (9) را به دست می آوریم، هویت بسل نامیده می شود. سمت غیر منفی است، پس از آن نابرابری بسل به دست می آید، از آنجایی که من به طور دلخواه اینجا هستم، نابرابری بسل را می توان به شکل تقویت شده نشان داد، یعنی برای هر تابع / سری ضرایب فوریه مجذور این تابع در یک سیستم متعامد همگرا می شود. . از آنجایی که سیستم در بازه [-x, m] متعامد است، پس نابرابری (10) که به نماد معمول سری فوریه مثلثاتی ترجمه می شود، رابطه do را به دست می دهد که برای هر تابع /(x) با مربع انتگرال پذیر معتبر است. اگر f2(x) انتگرال پذیر باشد، با توجه به شرط لازم برای همگرایی سری در سمت چپ نابرابری (11)، آن را به دست می آوریم. تساوی پارسوال برای برخی از سیستم ها (^„(x))، علامت نابرابری در فرمول (10) را می توان با علامت مساوی جایگزین کرد (برای همه توابع f(x) 6 ×). برابری حاصل را برابری پارسوال-استکلوف (شرط کامل بودن) می نامند. هویت بسل (9) به ما امکان می دهد شرط (12) را به شکلی معادل بنویسیم. بنابراین، تحقق شرط کامل بودن به این معنی است که مجموع جزئی Sn(x) سری فوریه تابع /(x) با تابع همگرا می شوند. /(x) به طور متوسط، i.e. طبق هنجار فضای 6]. تعریف. یک سیستم متعامد (در b2[аy b] کامل نامیده می شود اگر هر تابع را بتوان با هر دقتی به طور متوسط با یک ترکیب خطی از فرم با تعداد زیادی عبارت تقریب زد، یعنی اگر برای هر تابع /(x) ∈ b2 [a، b\ و برای هر e > 0 یک عدد طبیعی nq و اعداد a\، a2y... وجود دارد، به طوری که خیر از استدلال بالا قضیه 7 را دنبال می کند. اگر با متعارف سازی سیستم ) در فضا کامل باشد، سری فوریه هر تابع / در این سیستم به طور متوسط به f(x) همگرا می شود، یعنی طبق هنجار می توان نشان داد که سیستم مثلثاتی در فضا کامل است. قضیه 8. اگر تابعی /o سری فوریه مثلثاتی آن به طور میانگین به آن همگرا شود. 9.5. سیستم های بسته تعریف کامل و بسته بودن سیستم ها. یک سیستم متعامد از توابع \ بسته نامیده می شود که در فضای Li\a، b) هیچ تابع غیرصفری متعامد به همه توابع وجود نداشته باشد در فضای L2\a, b\، مفاهیم کامل بودن و بسته بودن سیستم های متعامد منطبق هستند. تمرینات 1. گسترش تابع در یک سری فوریه در بازه (-i-، x) 2. گسترش تابع 3 در یک سری فوریه در بازه (-tr، tr) 3. گسترش تابع 4 در یک سری فوریه در بازه (-tr, tr) به سری فوریه در بازه (-jt, tr) تابع 5. تابع f(x) = x + x را به یک سری فوریه در بازه (-t, t) بسط دهید. 6. تابع n را به یک سری فوریه در بازه (-jt, tr) گسترش دهید. 8. تابع f(x) = y را به یک سری فوریه در بازه (-tr, jt) بسط دهید. 9. تابع f(x) = | گناه x|. 10. تابع f(x) = § را به یک سری فوریه در بازه (-π-، π) بسط دهید. 11. تابع f(x) = sin § را در یک سری فوریه در بازه (-tr, tr) بسط دهید. 12. تابع f(x) = n -2x، داده شده در بازه (0، x)، را به یک سری فوریه بسط دهید، آن را به بازه (-x، 0) بسط دهید: a) به صورت زوج. ب) به روشی عجیب و غریب 13. تابع /(x) = x2، داده شده در بازه (0، x)، را به یک سری فوریه در سینوس بسط دهید. 14. تابع /(x) = 3، داده شده در بازه (2،2-) را به یک سری فوریه بسط دهید. 15. تابع f(x) = |x| را که در بازه (-1،1) داده شده است، در یک سری فوریه بسط دهید. 16. تابع f(x) = 2x، مشخص شده در بازه (0،1) را به یک سری فوریه در سینوس بسط دهید.

سری فوریه- راهی برای نمایش یک تابع پیچیده به عنوان مجموع تابع های ساده تر و شناخته شده.
سینوس و کسینوس توابع تناوبی هستند. آنها همچنین یک پایه متعامد را تشکیل می دهند. این ویژگی را می توان با قیاس با محورها توضیح داد X X Xو Y Y Yدر هواپیما مختصات همانطور که می توانیم مختصات یک نقطه را با توجه به محورها توصیف کنیم، می توانیم هر تابعی را با توجه به سینوس ها و کسینوس ها توصیف کنیم. توابع مثلثاتی به خوبی درک شده و به راحتی در ریاضیات قابل استفاده هستند.

سینوس ها و کسینوس ها را می توان به شکل امواج زیر نشان داد:

آبی ها کسینوس هستند، قرمزها سینوس هستند. به چنین امواجی هارمونیک نیز می گویند. کسینوس زوج هستند، سینوس ها فرد هستند. اصطلاح هارمونیک از دوران باستان می آید و با مشاهداتی در مورد رابطه زیر و بم در موسیقی همراه است.

سری فوریه چیست؟

>

چنین سری که در آن از ساده ترین توابع سینوس و کسینوس استفاده می شود، مثلثاتی نامیده می شود. این نام به افتخار مخترع آن، ژان باپتیست ژوزف فوریه، در پایان قرن 18 و آغاز قرن 19 نامگذاری شد. او ثابت کرد که هر تابعی را می توان به عنوان ترکیبی از این هارمونیک ها نشان داد. و هر چه تعداد آنها بیشتر باشد، این نمایش دقیق تر خواهد بود. به عنوان مثال، تصویر زیر: می توانید متوجه شوید که با تعداد زیادی هارمونیک، یعنی اعضای سری فوریه، نمودار قرمز به رنگ آبی نزدیکتر می شود - تابع اصلی.

کاربرد عملی در دنیای مدرن

>

آیا در حال حاضر به این ردیف ها نیاز است؟ کجا می توان از آنها به صورت عملی استفاده کرد و آیا غیر از ریاضیدانان نظری کسی از آنها استفاده می کند؟ معلوم می شود که فوریه در سراسر جهان مشهور است زیرا مزایای عملی سریال او به معنای واقعی کلمه غیرقابل محاسبه است. استفاده از آنها در جاهایی که هر گونه ارتعاش یا امواج وجود دارد راحت است: آکوستیک، نجوم، مهندسی رادیو و غیره. ساده ترین مثال استفاده از آن: مکانیسم عملکرد دوربین یا دوربین فیلمبرداری. برای توضیح مختصر، این دستگاه ها نه تنها تصاویر، بلکه ضرایب سری فوریه را ثبت می کنند. و در همه جا کار می کند - هنگام مشاهده تصاویر در اینترنت، یک فیلم یا گوش دادن به موسیقی. به لطف سری فوریه است که اکنون می توانید این مقاله را از تلفن همراه خود بخوانید. بدون تبدیل فوریه، ما پهنای باند اتصال اینترنت کافی برای تماشای یک ویدیوی YouTube را حتی با کیفیت استاندارد نداریم.

این نمودار یک تبدیل فوریه دو بعدی را نشان می دهد که برای تجزیه تصویر به هارمونیک ها، یعنی اجزای اصلی استفاده می شود. در این نمودار مقدار -1 با رنگ مشکی، 1 در سمت راست و پایین نمودار، فرکانس افزایش می یابد.

بسط سری فوریه

>

احتمالاً از خواندن خسته شده اید، پس بیایید به فرمول ها برویم.
برای چنین تکنیک ریاضی مانند گسترش توابع به یک سری فوریه، شما باید انتگرال بگیرید. انتگرال های زیادی به طور کلی سری فوریه به صورت مجموع نامتناهی نوشته می شود:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n گناه ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (الف n cos (n x ) +ب n گناه (n x))
کجا
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxالف n = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxب n = π 1 − π ∫ π f (x) گناه (n x) d x

اگر به نحوی بتوانیم یک عدد بی نهایت بشماریم a n a_n الف n و b n b_n ب n (به آنها ضرایب بسط فوریه می گویند، A A الف- این به سادگی ثابت این بسط است)، سپس سری حاصل 100٪ با تابع اصلی یکسان خواهد بود. f(x) f(x) f(x)در بخش از − π -\pi − π به π\pi π . این بخش به دلیل ویژگی های یکپارچه سازی سینوس و کسینوس است. هر چه بیشتر n n n، که برای آن ضرایب بسط سری تابع را محاسبه می کنیم، این بسط دقیق تر خواهد بود.

مثال

بیایید یک تابع ساده را در نظر بگیریم y = 5 x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0الف 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10ب 1 = π 1 − π ∫ π f (x) گناه (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x گناه (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0الف 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5ب 2 = π 1 − π ∫ π f(x) گناه(2 x) دx= π 1 − π ∫ π 5 xگناه(2 x) دx= − 5

و غیره. در مورد چنین عملکردی، بلافاصله می توان گفت که همه چیز a n = 0 a_n=0الفn = 0 ، ضرایب b n b_nبn باید محاسبه کند. اگر چهار عبارت اول بسط سری فوریه را برای تابع در نظر بگیریم y = 5 x y = 5xy= 5 x، دریافت می کنیم:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{گناه}(x)-5\cdot \mathrm{گناه}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{گناه}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{گناه}(4\cdot x)$

نمودار تابع به دست آمده به صورت زیر خواهد بود:

بسط سری فوریه حاصل به عملکرد اصلی ما نزدیک می شود. اگر تعداد بیشتری از عبارت های سری را مثلاً 15 در نظر بگیریم، موارد زیر را مشاهده خواهیم کرد:

هر چه مدت بسط در یک سری بیشتر باشد، دقت بالاتری دارد.
اگر مقیاس نمودار را کمی تغییر دهیم، میتوانیم متوجه ویژگی دیگری از تبدیل شویم: سری فوریه یک تابع تناوبی با نقطه است. 2 π 2\pi2 π .

بنابراین، ما می توانیم هر تابعی را که در بازه پیوسته است، نشان دهیم [ - π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . همه اینها برای تسهیل تجزیه و تحلیل برخی از پدیده هایی که توسط توابع پیچیده توصیف می شوند مورد نیاز است. همیشه نمی توان مشتق را به صورت تحلیلی محاسبه کرد (یعنی با استفاده از یک فرمول)، اما در مورد مجموعه ای از سینوس ها و کسینوس ها، چنین مشکلی ایجاد نمی شود. بسط سری فوریه خود نشان می دهد که اغلب می توان مسائل را به صورت تحلیلی با استفاده از مدل های ساده شده حل کرد که یکی از نمونه های آن سری فوریه است.