Seri Fourier. Contoh solusi. Deret Fourier dalam contoh dan soal Contoh perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier

2. Penentuan koefisien deret menggunakan rumus Fourier.

Misalkan suatu fungsi periodik ƒ(x) dengan periode 2π sedemikian rupa sehingga diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen ke fungsi tertentu dalam interval (-π, π), yaitu, adalah jumlah dari deret ini:

Misalkan integral fungsi di ruas kiri persamaan ini sama dengan jumlah integral suku-suku deret tersebut. Hal ini benar jika kita berasumsi bahwa deret bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien suatu deret trigonometri tertentu konvergen mutlak, yaitu deret bilangan positif konvergen.

Deret (1) bersifat mayorizable dan dapat diintegrasikan suku demi suku dalam interval (-π, π). Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan (2):

Mari kita evaluasi secara terpisah setiap integral yang muncul di sisi kanan:

,

,

Dengan demikian, , Di mana

. (4)

Estimasi koefisien Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Misalkan fungsi ƒ(x) periode 2π mempunyai turunan kontinu ƒ (s) (x) berorde s, yang memenuhi pertidaksamaan pada seluruh sumbu real:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

maka koefisien Fourier dari fungsi tersebut memenuhi pertidaksamaan

Bukti. Mengintegrasikan berdasarkan bagian dan mempertimbangkannya

ƒ(-π) = ƒ(π), kita punya

Mengintegrasikan ruas kanan (7) secara berurutan, dengan memperhatikan turunan ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinu dan bernilai sama di titik t = -π dan t = π, sebagai serta perkiraan (5), kita memperoleh perkiraan pertama (6).

Estimasi kedua (6) diperoleh dengan cara serupa.

Teorema 2. Untuk koefisien Fourier ƒ(x) berlaku pertidaksamaan berikut:

(8)

Bukti. Kita punya

(9)

Memperkenalkan perubahan variabel dalam kasus ini dan dengan mempertimbangkan bahwa ƒ(x) adalah fungsi periodik, kita peroleh

Menambahkan (9) dan (10), kita dapatkan

Kami melakukan pembuktian untuk b k dengan cara yang sama.

Konsekuensi. Jika fungsi ƒ(x) kontinu, maka koefisien Fouriernya cenderung nol: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Ruang fungsi dengan hasil kali skalar.

Suatu fungsi ƒ(x) disebut kontinu sepotong-sepotong pada suatu interval jika fungsi tersebut kontinu pada interval tersebut, dengan kemungkinan pengecualian pada sejumlah titik berhingga yang mempunyai diskontinuitas jenis pertama. Titik-titik tersebut dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan bilangan real dan, sebagai hasilnya, fungsi kontinu sepotong-sepotong pada segmen tersebut diperoleh lagi.

Hasil kali skalar dari dua potongan kontinu pada (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Jelasnya, untuk setiap fungsi kontinu sepotong-sepotong ƒ, φ, ψ sifat-sifat berikut terpenuhi:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) dan dari persamaan (ƒ , ƒ) = 0 maka ƒ(x) =0 pada , tidak termasuk, mungkin, sejumlah titik x yang terbatas;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

dimana α, β adalah bilangan real sembarang.

Kami akan menunjukkan himpunan semua fungsi kontinu sepotong-sepotong yang ditentukan pada interval di mana produk skalar dimasukkan menurut rumus (11), dan menyebutnya ruang

Catatan 1.

Dalam matematika, ruang = (a, b) adalah himpunan fungsi ƒ(x) yang dapat diintegralkan dalam pengertian Lebesgue bersama dengan kuadratnya, yang hasil kali skalarnya dimasukkan menurut rumus (11). Ruang yang dimaksud adalah suatu bagian. Ruang mempunyai banyak sifat ruang, namun tidak semuanya.

Dari properti 1), 2), 3) mengikuti ketidaksetaraan Bunyakovsky yang penting | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, yang dalam bahasa integral terlihat seperti ini:

Besarnya

disebut norma fungsi f.

Norma mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1) || f || ≥ 0, dalam hal ini persamaan hanya dapat berlaku untuk fungsi nol f = 0, yaitu fungsi yang sama dengan nol, kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik berhingga;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | | · || ƒ ||,

dimana α adalah bilangan real.

Sifat kedua dalam bahasa integral terlihat seperti ini:

dan disebut pertidaksamaan Minkowski.

Mereka mengatakan bahwa suatu barisan fungsi ( f n ) milik, konvergen ke suatu fungsi milik dalam arti kuadrat rata-rata pada (atau juga dalam norma) jika

Perhatikan bahwa jika barisan fungsi ƒ n (x) konvergen secara seragam ke fungsi ƒ (x) pada segmen tersebut , maka untuk n yang cukup besar, selisih ƒ (x) - ƒ n (x) dalam nilai absolut harus kecil untuk semua x dari segmen tersebut.

Jika ƒ n (x) cenderung ke ƒ (x) dalam arti kuadrat rata-rata pada interval , maka perbedaan yang ditunjukkan mungkin tidak kecil untuk n besar di mana pun di . Di beberapa tempat pada segmen, perbedaan ini mungkin besar, tetapi satu-satunya hal yang penting adalah bahwa integral kuadratnya terhadap segmen tersebut kecil untuk n besar.

Contoh. Misalkan fungsi linier sepotong-sepotong kontinu ƒ n (x) (n = 1, 2,...) yang ditunjukkan pada gambar diberikan, dan

(Bugrov, hal. 281, gbr. 120)

Untuk sembarang bilangan asli n

dan akibatnya, barisan fungsi ini, meskipun konvergen ke nol sebagai n → ∞, tidak konvergen secara seragam. Sementara itu

yaitu barisan fungsi (f n (x)) cenderung nol dalam arti kuadrat rata-rata pada .

Dari unsur-unsur barisan fungsi tertentu ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (milik ) kita buat suatu deret

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Jumlah n suku pertamanya

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

ada fungsi milik . Jika kebetulan terdapat fungsi ƒ sedemikian rupa

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

kemudian mereka mengatakan bahwa deret (12) konvergen ke fungsi ƒ dalam arti kuadrat rata-rata dan tulis

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Catatan 2.

Kita dapat mempertimbangkan spasi = (a, b) dari fungsi bernilai kompleks ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), dimana ƒ 1 (x) dan ƒ 2 (x) adalah fungsi kontinu sepotong-sepotong nyata . Dalam ruang ini, fungsi dikalikan dengan bilangan kompleks dan hasil kali skalar dari fungsi ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) dan φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) didefinisikan sebagai berikut:

dan norma ƒ didefinisikan sebagai nilai

Deret Fourier merupakan representasi suatu fungsi sembarang dengan periode tertentu dalam bentuk deret. Secara umum, penyelesaian ini disebut penguraian suatu unsur sepanjang basis ortogonal. Perluasan fungsi ke dalam deret Fourier adalah alat yang cukup ampuh untuk menyelesaikan berbagai masalah karena sifat transformasi ini selama integrasi, diferensiasi, serta pergeseran ekspresi melalui argumen dan konvolusi.

Seseorang yang tidak akrab dengan matematika tingkat tinggi, serta karya ilmuwan Prancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan memahami apa itu “deret” ini dan untuk apa mereka dibutuhkan. Sementara itu, transformasi ini sudah cukup terintegrasi ke dalam kehidupan kita. Ini digunakan tidak hanya oleh ahli matematika, tetapi juga oleh fisikawan, kimia, dokter, astronom, seismolog, ahli kelautan dan banyak lainnya. Mari kita juga melihat lebih dekat karya-karya ilmuwan besar Perancis yang membuat penemuan lebih maju pada masanya.

Manusia dan transformasi Fourier

Deret Fourier merupakan salah satu metode (bersama analisis dan lain-lain). Proses ini terjadi setiap kali seseorang mendengar suatu bunyi. Telinga kita secara otomatis mengubah partikel elementer dalam media elastis menjadi baris (sepanjang spektrum) tingkat volume yang berurutan untuk nada dengan ketinggian berbeda. Selanjutnya, otak mengubah data tersebut menjadi suara yang familiar bagi kita. Semua ini terjadi di luar keinginan atau kesadaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, diperlukan beberapa tahun untuk mempelajari matematika yang lebih tinggi.

Lebih lanjut mengenai transformasi Fourier

Transformasi Fourier dapat dilakukan dengan menggunakan metode analitis, numerik dan lainnya. Deret Fourier mengacu pada metode numerik untuk menguraikan proses osilasi apa pun - mulai dari pasang surut air laut dan gelombang cahaya hingga siklus aktivitas matahari (dan objek astronomi lainnya). Dengan menggunakan teknik matematika ini, Anda dapat menganalisis fungsi, merepresentasikan setiap proses osilasi sebagai rangkaian komponen sinusoidal yang bergerak dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoidal yang berhubungan dengan frekuensi tertentu. Proses ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang timbul di bawah pengaruh energi panas, cahaya atau listrik. Selain itu, deret Fourier memungkinkan untuk mengisolasi komponen konstan dalam sinyal osilasi kompleks, sehingga memungkinkan interpretasi yang tepat dari pengamatan eksperimental yang diperoleh dalam bidang kedokteran, kimia, dan astronomi.

Latar belakang sejarah

Bapak pendiri teori ini adalah matematikawan Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier. Transformasi ini kemudian dinamai menurut namanya. Awalnya, ilmuwan menggunakan metodenya untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduktivitas termal - penyebaran panas dalam benda padat. Fourier menyarankan agar distribusi awal yang tidak beraturan dapat diuraikan menjadi sinusoidal sederhana, yang masing-masing memiliki suhu minimum dan maksimumnya sendiri, serta fasenya sendiri. Dalam hal ini, setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematika yang menggambarkan puncak atas dan bawah kurva, serta fase masing-masing harmonik, disebut transformasi Fourier dari ekspresi distribusi suhu. Penulis teori ini mereduksi fungsi distribusi umum, yang sulit dijelaskan secara matematis, menjadi rangkaian kosinus dan sinus yang sangat sesuai, yang bersama-sama memberikan distribusi aslinya.

Prinsip transformasi dan pandangan orang-orang sezaman

Ilmuwan sezaman - ahli matematika terkemuka di awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Keberatan utama adalah pernyataan Fourier bahwa fungsi terputus-putus, yang menggambarkan garis lurus atau kurva terputus-putus, dapat direpresentasikan sebagai jumlah ekspresi sinusoidal yang kontinu. Sebagai contoh, perhatikan langkah Heaviside: nilainya adalah nol di sebelah kiri diskontinuitas dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik pada arus bolak-balik pada suatu rangkaian tertutup. Orang-orang sezaman dengan teori pada saat itu belum pernah menghadapi situasi serupa di mana ekspresi diskontinyu akan dijelaskan oleh kombinasi fungsi biasa yang kontinu seperti eksponensial, sinus, linier, atau kuadrat.

Apa yang membingungkan matematikawan Perancis tentang teori Fourier?

Lagi pula, jika ahli matematika itu benar dalam pernyataannya, maka dengan menjumlahkan deret Fourier trigonometri tak hingga, seseorang dapat memperoleh representasi akurat dari ekspresi langkah, meskipun ekspresi tersebut memiliki banyak langkah yang serupa. Pada awal abad kesembilan belas, pernyataan seperti itu terkesan tidak masuk akal. Namun terlepas dari semua keraguan, banyak ahli matematika memperluas cakupan studi fenomena ini, melampaui studi konduktivitas termal. Namun, sebagian besar ilmuwan terus tersiksa oleh pertanyaan: “Dapatkah jumlah deret sinusoidal menyatu dengan nilai pasti dari fungsi diskontinu tersebut?”

Konvergensi deret Fourier: sebuah contoh

Pertanyaan tentang konvergensi muncul setiap kali diperlukan penjumlahan deret bilangan tak hingga. Untuk memahami fenomena ini, perhatikan contoh klasik. Akankah Anda dapat mencapai tembok jika setiap langkah berikutnya berukuran setengah dari langkah sebelumnya? Katakanlah Anda berada dua meter dari target, langkah pertama membawa Anda ke setengah jalan, langkah berikutnya membawa Anda ke tanda tiga perempat, dan setelah langkah kelima Anda sudah menempuh hampir 97 persen jalan. Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang Anda ambil, Anda tidak akan mencapai tujuan yang Anda inginkan dalam arti matematis yang ketat. Dengan menggunakan perhitungan numerik, dapat dibuktikan bahwa pada akhirnya kita bisa mencapai jarak tertentu. Pembuktian ini setara dengan menunjukkan bahwa penjumlahan dari setengah, seperempat, dan seterusnya akan cenderung pada kesatuan.

Pertanyaan tentang Konvergensi: Kedatangan Kedua, atau Instrumen Lord Kelvin

Isu ini kembali mengemuka pada akhir abad kesembilan belas, ketika mereka mencoba menggunakan deret Fourier untuk memprediksi intensitas pasang surut. Pada saat ini, Lord Kelvin menemukan sebuah instrumen, yaitu perangkat komputasi analog yang memungkinkan pelaut militer dan pedagang untuk memantau fenomena alam ini. Mekanisme ini menentukan rangkaian fase dan amplitudo dari tabel ketinggian pasang surut dan titik waktu terkait, yang diukur secara cermat di pelabuhan tertentu sepanjang tahun. Setiap parameter merupakan komponen sinusoidal dari ekspresi ketinggian pasang surut dan merupakan salah satu komponen reguler. Pengukuran tersebut dimasukkan ke dalam instrumen penghitungan Lord Kelvin, yang mensintesis kurva yang memperkirakan ketinggian air sebagai fungsi waktu untuk tahun berikutnya. Segera kurva serupa dibuat untuk semua pelabuhan di dunia.

Bagaimana jika prosesnya terganggu oleh fungsi yang terputus-putus?

Pada saat itu, tampak jelas bahwa alat prediksi gelombang pasang dengan sejumlah besar elemen penghitungan dapat menghitung fase dan amplitudo dalam jumlah besar sehingga memberikan prediksi yang lebih akurat. Namun ternyata pola ini tidak teramati dalam kasus dimana ekspresi pasang surut yang seharusnya disintesis mengandung lompatan yang tajam, yaitu terputus-putus. Jika data dari tabel momen waktu dimasukkan ke dalam perangkat, perangkat tersebut menghitung beberapa koefisien Fourier. Fungsi aslinya dikembalikan berkat komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien yang ditemukan). Perbedaan antara ekspresi asli dan ekspresi yang direkonstruksi dapat diukur kapan saja. Saat melakukan perhitungan dan perbandingan berulang kali, terlihat jelas bahwa nilai kesalahan terbesar tidak berkurang. Namun, mereka terlokalisasi di wilayah yang sesuai dengan titik diskontinuitas, dan di titik lain cenderung nol. Pada tahun 1899, hasil ini secara teoritis dikonfirmasi oleh Joshua Willard Gibbs dari Universitas Yale.

Konvergensi deret Fourier dan perkembangan matematika secara umum

Analisis Fourier tidak dapat diterapkan pada ekspresi yang mengandung jumlah paku tak terhingga dalam interval tertentu. Secara umum deret Fourier, jika fungsi aslinya diwakili oleh hasil pengukuran fisis nyata, selalu konvergen. Pertanyaan tentang konvergensi proses ini untuk kelas fungsi tertentu menyebabkan munculnya cabang baru dalam matematika, misalnya teori fungsi umum. Dia dikaitkan dengan nama-nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinski dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, landasan teori yang jelas dan tepat diciptakan untuk ekspresi seperti fungsi delta Dirac (yang menggambarkan suatu wilayah dari suatu area yang terkonsentrasi di lingkungan suatu titik yang sangat kecil) dan “langkah” Heaviside. Berkat karya ini, deret Fourier dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: muatan titik, massa titik, dipol magnet, dan beban terpusat pada balok.

Metode Fourier

Deret Fourier, sesuai dengan prinsip interferensi, dimulai dengan penguraian bentuk-bentuk kompleks menjadi bentuk-bentuk yang lebih sederhana. Misalnya, perubahan aliran panas dijelaskan oleh perjalanannya melalui berbagai rintangan yang terbuat dari bahan penyekat panas yang bentuknya tidak beraturan atau perubahan permukaan bumi - gempa bumi, perubahan orbit benda langit - pengaruh planet. Biasanya, persamaan yang menggambarkan sistem klasik sederhana dapat dengan mudah diselesaikan untuk setiap gelombang. Fourier menunjukkan bahwa solusi sederhana juga dapat dijumlahkan untuk menghasilkan solusi terhadap masalah yang lebih kompleks. Dalam istilah matematika, deret Fourier adalah teknik untuk merepresentasikan ekspresi sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinus. Oleh karena itu, analisis ini disebut juga dengan “analisis harmonik”.

Seri Fourier - teknik ideal sebelum “era komputer”

Sebelum terciptanya teknologi komputer, teknik Fourier adalah senjata terbaik di gudang ilmuwan ketika bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan penyelesaian tidak hanya masalah sederhana yang dapat diterapkan langsung pada hukum mekanika Newton, tetapi juga persamaan fundamental. Sebagian besar penemuan ilmu pengetahuan Newton pada abad kesembilan belas hanya dimungkinkan melalui teknik Fourier.

Deret Fourier hari ini

Dengan berkembangnya komputer, transformasi Fourier telah meningkat ke tingkat yang baru secara kualitatif. Teknik ini tertanam kuat di hampir semua bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Contohnya adalah audio dan video digital. Implementasinya menjadi mungkin hanya berkat teori yang dikembangkan oleh ahli matematika Perancis pada awal abad kesembilan belas. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk yang kompleks memungkinkan terjadinya terobosan dalam studi luar angkasa. Selain itu, mempengaruhi studi fisika bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, dan seismologi.

Deret Fourier trigonometri

Dalam matematika, deret Fourier adalah cara merepresentasikan fungsi kompleks sembarang sebagai penjumlahan dari fungsi yang lebih sederhana. Dalam kasus umum, jumlah ekspresi tersebut tidak terbatas. Selain itu, semakin banyak jumlahnya yang diperhitungkan dalam perhitungan, semakin akurat hasil akhirnya. Paling sering, fungsi trigonometri kosinus atau sinus digunakan sebagai fungsi paling sederhana. Dalam hal ini, deret Fourier disebut trigonometri, dan penyelesaian ekspresi tersebut disebut ekspansi harmonik. Metode ini memegang peranan penting dalam matematika. Pertama-tama, deret trigonometri menyediakan sarana untuk menggambarkan dan juga mempelajari fungsi; ini adalah alat utama teori. Selain itu, ini memungkinkan Anda memecahkan sejumlah masalah dalam fisika matematika. Akhirnya, teori ini memberikan kontribusi terhadap perkembangan sejumlah cabang ilmu matematika yang sangat penting (teori integral, teori fungsi periodik). Selain itu, ini menjadi titik awal untuk pengembangan fungsi-fungsi variabel riil berikut ini, dan juga meletakkan dasar bagi analisis harmonik.

Itu sudah cukup membosankan. Dan saya merasa saatnya telah tiba ketika tiba waktunya untuk mengekstraksi makanan kaleng baru dari cadangan teori yang strategis. Apakah mungkin untuk memperluas fungsi menjadi rangkaian dengan cara lain? Misalnya, nyatakan ruas garis lurus dalam sinus dan cosinus? Tampaknya luar biasa, tetapi fungsi yang tampaknya jauh itu bisa saja terjadi
"penyatuan kembali". Selain derajat teori dan praktik yang sudah dikenal, ada pendekatan lain untuk memperluas suatu fungsi menjadi suatu deret.

Dalam pelajaran ini kita akan mengenal deret Fourier trigonometri, membahas masalah konvergensi dan penjumlahannya, dan tentu saja kita akan menganalisis banyak contoh perluasan fungsi dalam deret Fourier. Saya dengan tulus ingin menyebut artikel ini sebagai “Deret Fourier untuk Boneka,” tetapi ini tidak jujur, karena menyelesaikan masalah memerlukan pengetahuan tentang cabang analisis matematis lain dan beberapa pengalaman praktis. Oleh karena itu, pembukaannya akan menyerupai pelatihan astronot =)

Pertama, Anda harus mendekati studi materi halaman dengan sangat baik. Mengantuk, istirahat dan sadar. Tanpa emosi yang kuat tentang patah kaki hamster dan pikiran obsesif tentang sulitnya hidup ikan akuarium. Deret Fourier tidak sulit untuk dipahami, tetapi tugas-tugas praktis hanya memerlukan peningkatan konsentrasi perhatian - idealnya, Anda harus melepaskan diri sepenuhnya dari rangsangan eksternal. Situasi ini diperburuk oleh kenyataan bahwa tidak ada cara mudah untuk memeriksa solusi dan jawabannya. Oleh karena itu, jika kesehatan Anda di bawah rata-rata, lebih baik lakukan sesuatu yang lebih sederhana. Apakah itu benar?

Kedua, sebelum terbang ke luar angkasa, perlu mempelajari panel instrumen pesawat ruang angkasa. Mari kita mulai dengan nilai fungsi yang harus diklik pada mesin:

Untuk nilai alami apa pun:

1) . Memang, sinusoidal “menjahit” sumbu x melalui setiap “pi”:
. Dalam kasus nilai argumen negatif, hasilnya tentu saja akan sama: .

2) . Namun tidak semua orang mengetahui hal ini. Cosinus "pi" setara dengan "blinker":

Argumen negatif tidak mengubah keadaan: .

Mungkin itu cukup.

Dan ketiga, korps kosmonot yang terhormat, Anda harus mampu... mengintegrasikan.
Khususnya, dengan percaya diri masukkan fungsi tersebut ke dalam tanda diferensial, mengintegrasikan sedikit demi sedikit dan berdamai dengan Rumus Newton-Leibniz. Mari kita mulai latihan penting sebelum penerbangan. Saya sangat tidak menyarankan untuk melewatkannya, agar tidak terjepit dalam keadaan tanpa bobot nanti:

Contoh 1

Menghitung integral tertentu

dimana mengambil nilai-nilai alam.

Larutan: integrasi dilakukan pada variabel “x” dan pada tahap ini variabel diskrit “en” dianggap sebagai konstanta. Dalam semua integral letakkan fungsinya di bawah tanda diferensial:

Versi singkat dari solusi yang bagus untuk ditargetkan terlihat seperti ini:

Mari kita biasakan:

Empat poin tersisa ada pada Anda sendiri. Cobalah untuk mendekati tugas dengan hati-hati dan tuliskan integralnya secara singkat. Contoh solusi di akhir pelajaran.

Setelah melakukan latihan KUALITAS, kami mengenakan pakaian antariksa
dan bersiap untuk memulai!

Perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier pada interval tersebut

Perhatikan beberapa fungsi itu bertekad setidaknya untuk jangka waktu tertentu (dan mungkin untuk jangka waktu yang lebih lama). Jika fungsi ini dapat diintegralkan pada interval, maka dapat diperluas menjadi trigonometri Seri Fourier:
, di mana yang disebut Koefisien Fourier.

Dalam hal ini nomor tersebut dipanggil periode dekomposisi, dan nomornya adalah waktu paruh dekomposisi.

Jelaslah bahwa secara umum deret Fourier terdiri dari sinus dan cosinus:

Baiklah, mari kita tuliskan secara detail:

Suku nol suatu deret biasanya ditulis dalam bentuk .

Koefisien Fourier dihitung menggunakan rumus berikut:

Saya memahami betul bahwa mereka yang mulai mempelajari topik ini masih belum memahami istilah-istilah baru: periode dekomposisi, setengah siklus, Koefisien Fourier dll. Jangan panik, ini tidak sebanding dengan keseruan sebelum pergi ke luar angkasa. Mari kita pahami semuanya dalam contoh berikut, sebelum menjalankannya adalah logis untuk mengajukan pertanyaan praktis yang mendesak:

Apa yang perlu Anda lakukan dalam tugas berikut?

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier. Selain itu, sering kali kita perlu menggambarkan grafik suatu fungsi, grafik jumlah suatu deret, jumlah parsial, dan dalam kasus fantasi profesor yang canggih, lakukan hal lain.

Bagaimana cara memperluas suatu fungsi menjadi deret Fourier?

Intinya, Anda perlu menemukannya Koefisien Fourier, yaitu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu.

Silakan salin bentuk umum deret Fourier dan ketiga rumus kerjanya ke dalam buku catatan Anda. Saya sangat senang beberapa pengunjung situs mewujudkan impian masa kecil mereka menjadi astronot tepat di depan mata saya =)

Contoh 2

Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval tersebut. Buatlah grafik, grafik jumlah deret dan jumlah parsial.

Larutan: Bagian pertama dari tugas ini adalah memperluas fungsi menjadi deret Fourier.

Permulaannya standar, pastikan untuk menuliskannya:

Dalam soal ini, periode ekspansi adalah setengah periode.

Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier pada interval:

Dengan menggunakan rumus yang sesuai, kami menemukannya Koefisien Fourier. Sekarang kita perlu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu. Untuk kenyamanan, saya akan memberi nomor poinnya:

1) Integral pertama adalah yang paling sederhana, namun juga membutuhkan perhatian:

2) Gunakan rumus kedua:

Integral ini terkenal dan dia mengambilnya sepotong demi sepotong:

Digunakan saat ditemukan metode menjumlahkan suatu fungsi di bawah tanda diferensial.

Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, akan lebih mudah untuk segera menggunakannya rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu :

Beberapa catatan teknis. Pertama, setelah menerapkan formula seluruh ekspresi harus diapit tanda kurung besar, karena ada konstanta sebelum integral asal. Jangan sampai kita kehilangan dia! Tanda kurung dapat diperluas pada langkah selanjutnya; Saya melakukan ini sebagai upaya terakhir. Dalam "bagian" pertama Kami sangat berhati-hati dalam melakukan substitusi; seperti yang Anda lihat, konstanta tidak digunakan, dan limit integrasi disubstitusikan ke dalam hasil kali. Tindakan ini ditandai dalam tanda kurung siku. Nah, Anda sudah familiar dengan integral "bagian" kedua dari rumus dari tugas pelatihan ;-)

Dan yang paling penting - konsentrasi ekstrim!

3) Kami mencari koefisien Fourier ketiga:

Diperoleh kerabat dari integral sebelumnya, yang juga terintegrasi sedikit demi sedikit:

Contoh ini sedikit lebih rumit, saya akan mengomentari langkah selanjutnya langkah demi langkah:

(1) Ekspresi tersebut diapit seluruhnya dalam tanda kurung besar. Saya tidak ingin terlihat membosankan, mereka terlalu sering kehilangan konstanta.

(2) Dalam hal ini, saya langsung membuka tanda kurung besar tersebut. Perhatian khusus Kami mengabdikan diri pada “bagian” pertama: terus-menerus merokok di sela-sela dan tidak berpartisipasi dalam substitusi batas integrasi ( dan ) ke dalam produk. Karena catatan yang berantakan, sekali lagi disarankan untuk menyorot tindakan ini dengan tanda kurung siku. Dengan "bagian" kedua semuanya lebih sederhana: di sini pecahan muncul setelah membuka tanda kurung besar, dan konstanta muncul sebagai hasil pengintegrasian integral yang sudah dikenal ;-)

(3) Dalam tanda kurung siku kita melakukan transformasi, dan pada integral kanan - substitusi limit integrasi.

(4) Kita hilangkan “lampu berkedip” dari tanda kurung siku: , lalu buka tanda kurung bagian dalam: .

(5) Kami membatalkan 1 dan –1 dalam tanda kurung dan melakukan penyederhanaan akhir.

Akhirnya, ketiga koefisien Fourier ditemukan:

Mari kita substitusikan ke dalam rumus :

Pada saat yang sama, jangan lupa membaginya menjadi dua. Pada langkah terakhir, konstanta (“minus dua”), yang tidak bergantung pada “en”, dikeluarkan dari penjumlahan.

Jadi, kita memperoleh perluasan fungsi menjadi deret Fourier pada interval:

Mari kita pelajari masalah konvergensi deret Fourier. Saya akan menjelaskan teorinya secara khusus Teorema Dirichlet, secara harfiah "di jari", jadi jika Anda memerlukan formulasi yang ketat, silakan merujuk ke buku teks tentang analisis matematika (misalnya Bohan jilid ke-2; atau Fichtenholtz jilid ke-3, tetapi lebih sulit).

Bagian kedua dari soal ini memerlukan penggambaran grafik, grafik jumlah suatu deret, dan grafik jumlah parsial.

Grafik fungsinya seperti biasa garis lurus pada suatu bidang, yang digambar dengan garis putus-putus hitam:

Mari kita cari tahu jumlah deretnya. Seperti yang Anda ketahui, deret fungsi konvergen ke fungsi. Dalam kasus kami, deret Fourier yang dibangun untuk setiap nilai "x" akan konvergen ke fungsi, yang ditunjukkan dengan warna merah. Fungsi ini dapat ditoleransi pecahnya jenis pertama pada titik-titik, tetapi juga ditentukan pada titik-titik tersebut (titik-titik merah pada gambar)

Dengan demikian: . Sangat mudah untuk melihat bahwa ini sangat berbeda dari fungsi aslinya, itulah sebabnya ada dalam entri Tanda gelombang digunakan sebagai pengganti tanda sama dengan.

Mari kita pelajari algoritma yang cocok untuk menyusun jumlah suatu deret.

Pada interval pusat, deret Fourier menyatu dengan fungsi itu sendiri (segmen merah pusat bertepatan dengan garis putus-putus hitam dari fungsi linier).

Sekarang mari kita bicara sedikit tentang sifat pemuaian trigonometri yang sedang dibahas. Seri Fourier hanya fungsi periodik (konstanta, sinus, dan kosinus) yang dimasukkan, jadi jumlah deretnya juga merupakan fungsi periodik.

Apa maksudnya dalam contoh spesifik kita? Dan ini berarti jumlah deretnya –tentu saja berkala dan segmen merah pada interval harus diulang tanpa henti di kiri dan kanan.

Saya rasa makna ungkapan “masa pembusukan” kini akhirnya menjadi jelas. Sederhananya, setiap kali situasinya berulang lagi dan lagi.

Dalam praktiknya, biasanya cukup menggambarkan tiga periode dekomposisi, seperti yang dilakukan pada gambar. Nah, dan juga “tunggul” periode yang berdekatan - sehingga jelas bahwa grafiknya terus berlanjut.

Yang menarik adalah titik diskontinuitas jenis pertama. Pada titik-titik tersebut, deret Fourier menyatu menjadi nilai-nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah “lompatan” diskontinuitas (titik merah pada gambar). Bagaimana cara mengetahui ordinat titik-titik tersebut? Pertama, mari kita cari ordinat “lantai atas”: untuk melakukan ini, kita menghitung nilai fungsi di titik paling kanan dari periode pusat pemuaian: . Untuk menghitung ordinat “lantai bawah”, cara termudah adalah dengan mengambil nilai paling kiri pada periode yang sama: . Ordinat nilai rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari jumlah “atas dan bawah”: . Fakta yang menyenangkan adalah ketika membuat gambar, Anda akan segera melihat apakah bagian tengahnya dihitung dengan benar atau salah.

Mari kita buat penjumlahan sebagian dari deret tersebut dan pada saat yang sama mengulangi arti istilah “konvergensi”. Motifnya juga diketahui dari pembelajaran tentang jumlah deret angka. Mari kita uraikan kekayaan kita secara detail:

Untuk membuat penjumlahan sebagian, Anda perlu menulis nol + dua suku lagi dari deret tersebut. Yaitu,

Pada gambar, grafik fungsi ditampilkan dalam warna hijau, dan, seperti yang Anda lihat, grafik tersebut “membungkus” jumlah penuh dengan cukup rapat. Jika kita mempertimbangkan penjumlahan sebagian dari lima suku suatu deret, maka grafik fungsi ini akan mendekati garis merah dengan lebih akurat, jika ada seratus suku, maka “ular hijau” akan benar-benar menyatu dengan ruas merah; dll. Dengan demikian, deret Fourier konvergen ke jumlahnya.

Menarik untuk dicatat bahwa jumlah parsial apa pun adalah fungsi berkelanjutan, namun, jumlah total seri tersebut masih terputus-putus.

Dalam praktiknya, tidak jarang membuat grafik jumlah parsial. Bagaimana cara melakukan ini? Dalam kasus kami, perlu untuk mempertimbangkan fungsi pada segmen, menghitung nilainya di ujung segmen dan pada titik tengah (semakin banyak titik yang Anda pertimbangkan, semakin akurat grafiknya). Kemudian Anda harus menandai titik-titik ini pada gambar dan dengan hati-hati menggambar grafik pada periode tersebut, dan kemudian “mereplikasinya” ke dalam interval yang berdekatan. Bagaimana lagi? Bagaimanapun juga, perkiraan juga merupakan fungsi periodik... ...dalam beberapa hal grafiknya mengingatkan saya pada irama jantung yang mulus pada tampilan perangkat medis.

Melakukan konstruksi tentu saja sangat tidak nyaman, karena Anda harus sangat berhati-hati, menjaga akurasi tidak kurang dari setengah milimeter. Namun, saya akan menyenangkan pembaca yang tidak nyaman dengan menggambar - dalam masalah "nyata" tidak selalu perlu melakukan menggambar; di sekitar 50% kasus, perlu untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier dan hanya itu .

Setelah menyelesaikan gambar, kami menyelesaikan tugas:

Menjawab:

Dalam banyak tugas, fungsinya terganggu pecahnya jenis pertama tepat selama periode dekomposisi:

Contoh 3

Perluas fungsi yang diberikan pada interval menjadi deret Fourier. Gambarlah grafik fungsi dan jumlah deret tersebut.

Fungsi yang diusulkan ditentukan secara sepotong-sepotong (dan, perhatikan, hanya pada segmen tersebut) dan bertahan pecahnya jenis pertama pada titik. Apakah mungkin menghitung koefisien Fourier? Tidak masalah. Ruas kiri dan kanan fungsi tersebut dapat diintegralkan pada intervalnya, oleh karena itu integral pada masing-masing rumus harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua integral. Mari kita lihat, misalnya, bagaimana hal ini dilakukan untuk koefisien nol:

Integral kedua ternyata sama dengan nol, yang mengurangi usaha, tetapi hal ini tidak selalu terjadi.

Dua koefisien Fourier lainnya dijelaskan dengan cara yang sama.

Bagaimana cara menunjukkan jumlah suatu deret? Pada interval kiri kita menggambar segmen garis lurus, dan pada interval - segmen garis lurus (kita menyorot bagian sumbu dalam huruf tebal dan tebal). Artinya, pada interval ekspansi, jumlah deret tersebut bertepatan dengan fungsi di semua tempat kecuali tiga titik “buruk”. Pada titik diskontinuitas fungsi, deret Fourier akan konvergen ke suatu nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah “lompatan” diskontinuitas. Tidak sulit untuk melihatnya secara lisan: batas sisi kiri: , batas sisi kanan: dan, tentu saja, ordinat titik tengahnya adalah 0,5.

Karena periodisitas penjumlahannya, gambaran tersebut harus “dikalikan” ke dalam periode-periode yang berdekatan, khususnya hal yang sama harus digambarkan pada interval dan . Pada saat yang sama, pada titik-titik deret Fourier akan menyatu ke nilai median.

Sebenarnya tidak ada hal baru di sini.

Cobalah untuk mengatasi tugas ini sendiri. Contoh perkiraan desain akhir dan gambar di akhir pelajaran.

Perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier dalam periode sembarang

Untuk periode ekspansi sembarang, di mana “el” adalah bilangan positif apa pun, rumus deret Fourier dan koefisien Fourier dibedakan dengan argumen yang sedikit lebih rumit untuk sinus dan kosinus:

Jika , maka kita mendapatkan rumus interval yang kita gunakan untuk memulai.

Algoritme dan prinsip untuk memecahkan masalah dipertahankan sepenuhnya, tetapi kompleksitas teknis perhitungannya meningkat:

Contoh 4

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier dan plot jumlahnya.

Larutan: sebenarnya analog dari Contoh No. 3 dengan pecahnya jenis pertama pada titik. Dalam soal ini, periode ekspansi adalah setengah periode. Fungsi ini didefinisikan hanya pada setengah interval, tetapi hal ini tidak mengubah keadaan - yang penting kedua bagian fungsi tersebut dapat diintegrasikan.

Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier:

Karena fungsinya diskontinu di titik asal, setiap koefisien Fourier jelas harus ditulis sebagai jumlah dari dua integral:

1) Saya akan menulis integral pertama sedetail mungkin:

2) Kita mengamati permukaan Bulan dengan cermat:

Integral kedua ambil sepotong demi sepotong:

Apa saja yang harus kita perhatikan setelah kita membuka kelanjutan solusinya dengan tanda bintang?

Pertama, kita tidak kehilangan integral pertama , dimana kita segera mengeksekusi berlangganan tanda diferensial. Kedua, jangan lupakan konstanta naas sebelum tanda kurung besar dan jangan bingung dengan tanda-tandanya saat menggunakan rumus . Kurung besar masih lebih nyaman untuk segera dibuka pada langkah berikutnya.

Selebihnya adalah masalah teknik; kesulitan hanya dapat disebabkan oleh kurangnya pengalaman dalam menyelesaikan integral.

Ya, bukan tanpa alasan rekan-rekan terkemuka matematikawan Prancis Fourier marah - bagaimana dia berani menyusun fungsi menjadi deret trigonometri?! =) Omong-omong, mungkin semua orang tertarik dengan arti praktis dari tugas yang dimaksud. Fourier sendiri mengerjakan model matematika konduktivitas termal, dan selanjutnya rangkaian yang dinamai menurut namanya mulai digunakan untuk mempelajari banyak proses periodik, yang terlihat dan tidak terlihat di dunia sekitarnya. Sekarang, omong-omong, saya mendapati diri saya berpikir bahwa bukan kebetulan saya membandingkan grafik contoh kedua dengan ritme periodik jantung. Mereka yang tertarik dapat membiasakan diri dengan aplikasi praktisnya Transformasi Fourier di sumber pihak ketiga. ...Meskipun lebih baik tidak melakukannya - itu akan diingat sebagai Cinta Pertama =)

3) Dengan mempertimbangkan tautan lemah yang berulang kali disebutkan, mari kita lihat koefisien ketiga:

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Mari kita substitusikan koefisien Fourier yang ditemukan ke dalam rumus , jangan lupa membagi koefisien nol menjadi dua:

Mari kita plot jumlah deretnya. Mari kita ulangi prosedurnya secara singkat: kita membuat garis lurus pada suatu interval, dan garis lurus pada suatu interval. Jika nilai “x” adalah nol, kita letakkan sebuah titik di tengah “lompatan” celah dan “replikasi” grafik untuk periode-periode yang berdekatan:


Pada “persimpangan” periode, jumlahnya juga akan sama dengan titik tengah “lompatan” kesenjangan.

Siap. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa fungsi itu sendiri menurut kondisinya hanya ditentukan pada setengah interval dan, tentu saja, bertepatan dengan jumlah deret pada interval tersebut.

Menjawab:

Kadang-kadang fungsi yang diberikan sedikit demi sedikit bersifat kontinu selama periode ekspansi. Contoh paling sederhana: . Larutan (lihat Bohan jilid 2) sama seperti pada dua contoh sebelumnya: meskipun kelangsungan fungsi pada titik , setiap koefisien Fourier dinyatakan sebagai jumlah dari dua integral.

Pada interval dekomposisi titik diskontinuitas jenis pertama dan/atau mungkin terdapat lebih banyak titik “persimpangan” pada grafik (dua, tiga, dan umumnya titik mana saja terakhir kuantitas). Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada setiap bagian, maka fungsi tersebut juga dapat diperluas dalam deret Fourier. Tapi dari pengalaman praktis saya tidak ingat hal kejam seperti itu. Namun, ada tugas yang lebih sulit daripada yang baru saja dipertimbangkan, dan di akhir artikel terdapat tautan ke rangkaian Fourier yang semakin kompleks untuk semua orang.

Sementara itu, mari bersantai, bersandar di kursi dan merenungkan hamparan bintang yang tak berujung:

Contoh 5

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier pada interval dan plot jumlah deret tersebut.

Dalam masalah ini fungsinya kontinu pada setengah interval ekspansi, yang menyederhanakan solusi. Semuanya sangat mirip dengan Contoh No. 2. Tidak ada jalan keluar dari pesawat luar angkasa - Anda harus memutuskan =) Contoh desain perkiraan di akhir pelajaran, diagram terlampir.

Perluasan deret Fourier fungsi genap dan ganjil

Dengan fungsi genap dan ganjil, proses penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana. Dan inilah alasannya. Mari kita kembali ke perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier dengan periode “dua pi” dan periode sewenang-wenang “dua el” .

Anggaplah fungsi kita genap. Suku umum deret tersebut, seperti yang Anda lihat, mengandung cosinus genap dan sinus ganjil. Dan jika kita memperluas fungsi GENAP, mengapa kita membutuhkan sinus ganjil?! Mari kita atur ulang koefisien yang tidak perlu: .

Dengan demikian, fungsi genap dapat diperluas dalam deret Fourier hanya dalam kosinus:

Sejak integral dari fungsi genap sepanjang segmen integrasi yang simetris terhadap nol dapat digandakan, kemudian koefisien Fourier yang tersisa disederhanakan.

Untuk kesenjangannya:

Untuk interval sembarang:

Contoh buku teks yang dapat ditemukan di hampir semua buku teks analisis matematika mencakup perluasan fungsi genap . Selain itu, mereka telah ditemui beberapa kali dalam praktik pribadi saya:

Contoh 6

Fungsinya diberikan. Diperlukan:

1) memperluas fungsi menjadi deret Fourier dengan titik , di mana merupakan bilangan positif sembarang;

2) tuliskan perluasan interval, buatlah suatu fungsi dan buat grafik jumlah total deret tersebut.

Larutan: di paragraf pertama diusulkan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk umum, dan ini sangat mudah! Jika perlu, gantikan saja nilai Anda.

1) Dalam soal ini, periode pemuaian adalah setengah periode. Selama tindakan lebih lanjut, khususnya selama integrasi, “el” dianggap konstan

Fungsinya genap, artinya dapat diperluas menjadi deret Fourier hanya dalam kosinus: .

Kami mencari koefisien Fourier menggunakan rumus . Perhatikan keuntungan tanpa syarat mereka. Pertama, integrasi dilakukan pada segmen ekspansi positif, yang berarti kita membuang modul dengan aman , hanya mempertimbangkan “X” dari dua bagian. Dan kedua, integrasi menjadi lebih sederhana.

Dua:

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Dengan demikian:
, sedangkan konstanta , yang tidak bergantung pada “en”, dikeluarkan dari penjumlahan.

Menjawab:

2) Mari kita tuliskan perluasan interval; untuk melakukan ini, kita substitusikan nilai setengah periode yang diperlukan ke dalam rumus umum:

Perluasan deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil perluasan suatu fungsi yang diberikan pada interval menjadi deret sinus atau cosinus Deret Fourier untuk fungsi dengan periode sembarang Representasi kompleks deret Fourier Deret Fourier dalam sistem fungsi ortogonal umum Deret Fourier dalam suatu sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Kesetaraan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem

Ekspansi deret Fourier fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi f(x), terdefinisi pada interval \-1, dimana I > 0, disebut genap jika grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu ordinat. Suatu fungsi f(x), yang didefinisikan pada ruas J), dimana I > 0, disebut ganjil jika grafik fungsi ganjil tersebut simetris terhadap titik asal. Contoh. a) Fungsinya genap pada interval |-jt, jt), karena untuk semua x e b) Fungsinya ganjil, karena perluasan deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil adalah perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi deret sinus atau cosinus. Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan periode sembarang Representasi kompleks deret Fourier Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal umum Deret Fourier untuk sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Kesetaraan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem c) Fungsi f(x)=x2-x, dimana tidak termasuk dalam fungsi genap maupun ganjil, karena Misalkan fungsi f(x), yang memenuhi syarat Teorema 1, genap pada interval x|. Lalu untuk semua orang yaitu /(x) cos nx merupakan fungsi genap, dan f(x) sinnx merupakan fungsi ganjil. Oleh karena itu, koefisien Fourier dari suatu fungsi genap /(x) akan sama. Oleh karena itu, deret Fourier dari suatu fungsi genap berbentuk f(x) sin х - suatu fungsi genap. Oleh karena itu, kita akan mendapatkan Jadi, deret Fourier dari suatu fungsi ganjil berbentuk Contoh 1. Perluas fungsi 4 menjadi deret Fourier pada interval -x ^ x ^ n Karena fungsi ini genap dan memenuhi syarat Teorema 1, maka deret Fouriernya berbentuk Temukan koefisien Fourier. Kita telah menerapkan integrasi per bagian dua kali, kita mendapatkan bahwa Jadi, deret Fourier dari fungsi ini terlihat seperti ini: atau, dalam bentuk diperluas, Persamaan ini berlaku untuk sembarang x €, karena pada titik x = ±ir jumlah dari deret tersebut berimpit dengan nilai fungsi f(x ) = x2, karena grafik fungsi f(x) = x dan jumlah deret yang dihasilkan diberikan pada Gambar. Komentar. Deret Fourier ini memungkinkan kita mencari jumlah salah satu deret numerik konvergen, yaitu untuk x = 0 kita peroleh Contoh 2. Perluas fungsi /(x) = x menjadi deret Fourier pada intervalnya. 6. § 6. Perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi suatu deret dalam sinus atau kosinus Biarkan fungsi monotonik sepotong-sepotong berbatas / diberikan pada interval tersebut. Nilai fungsi ini pada interval 0| dapat didefinisikan lebih lanjut dengan berbagai cara. Misalnya, Anda dapat mendefinisikan suatu fungsi / pada segmen tc] sehingga /. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa) “diperluas ke segmen 0] secara genap”; deret Fouriernya hanya berisi kosinus. Jika fungsi /(x) terdefinisi pada interval [-l-,mc] sehingga /(, maka hasilnya adalah fungsi ganjil, lalu dikatakan / “diperluas ke interval [-*, 0] dengan cara ganjil”; dalam hal ini, deret Fourier hanya akan memuat sinus. Jadi, setiap fungsi monotonik sepotong-sepotong yang dibatasi f(x) yang didefinisikan pada interval dapat diperluas menjadi deret Fourier baik dalam sinus maupun sinus. . cosinus.Contoh 1. Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier: a) dalam cosinus; b) oleh sinus. Hal ini memberikan dan oleh karena itu, Secara geometris, sifat ini berarti bahwa dalam kasus area yang diarsir pada Gambar. 10 area sama satu sama lain. Khususnya, untuk suatu fungsi f(x) dengan periode yang kita peroleh pada Ekspansi ke dalam deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil, perluasan suatu fungsi yang diberikan pada suatu interval menjadi deret dalam sinus atau kosinus Deret Fourier untuk suatu fungsi dengan sembarang periode Notasi kompleks deret Fourier Deret Fourier pada sistem ortogonal umum fungsi Deret Fourier pada sistem ortogonal Sifat minimal koefisien Fourier Pertidaksamaan Bessel Persamaan Parseval Sistem tertutup Kelengkapan dan ketertutupan sistem Contoh 2. Fungsi x periodik dengan suatu periode Karena keanehan fungsi ini, tanpa menghitung integral, kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap Sifat terbukti khususnya menunjukkan bahwa koefisien Fourier suatu fungsi periodik f(x) dengan periode 21 dapat dihitung dengan menggunakan rumus dimana a adalah bilangan real sembarang (perhatikan bahwa fungsi cos - dan sin mempunyai periode 2/). Contoh 3. Perluas menjadi deret Fourier suatu fungsi yang diberikan pada interval dengan periode 2x (Gbr. 11). 4 Mari kita cari koefisien Fourier dari fungsi ini. Dengan memasukkan rumus kita menemukan bahwa untuk Oleh karena itu, deret Fourier akan terlihat seperti ini: Pada titik x = jt (titik diskontinuitas jenis pertama) kita mempunyai §8. Rekaman kompleks deret Fourier Bagian ini menggunakan beberapa elemen analisis kompleks (lihat Bab XXX, di mana semua tindakan yang dilakukan di sini dengan ekspresi kompleks dibenarkan secara ketat). Biarkan fungsi f(x) memenuhi kondisi yang cukup untuk ekspansi menjadi deret Fourier. Kemudian pada ruas x] dapat direpresentasikan dengan deret berbentuk Menggunakan rumus Euler Mensubstitusi ekspresi ini ke dalam deret (1) sebagai ganti cos πx dan sin φx kita akan mendapatkan Notasi berikut Mari kita perkenalkan notasi berikut Maka deret (2) akan diambil bentuk Jadi, deret Fourier (1) direpresentasikan dalam bentuk kompleks (3). Mari kita cari ekspresi koefisien melalui integral. Kami memiliki Demikian pula, kami menemukan Rumus akhir untuk с„, с_п dan с dapat ditulis sebagai berikut: . . Koefisien „ disebut koefisien Fourier kompleks dari fungsi tersebut. Untuk fungsi periodik dengan periode), bentuk kompleks deret Fourier akan berbentuk dimana koefisien Cn dihitung menggunakan rumus ) dan (4) dipahami sebagai berikut: deret (3) dan (4) disebut konvergen untuk suatu nilai tertentu jika ada batasan Contoh. Perluas fungsi periode menjadi deret Fourier kompleks. Fungsi ini memenuhi kondisi yang cukup untuk perluasan menjadi deret Fourier. Mari kita cari koefisien Fourier kompleks dari fungsi ini. Kita punya ganjil untuk genap n, atau, singkatnya. Mengganti nilainya), akhirnya kita memperoleh Perhatikan bahwa deret ini juga dapat ditulis sebagai berikut: Deret Fourier untuk sistem fungsi ortogonal umum 9.1. Sistem fungsi ortogonal Mari kita nyatakan dengan himpunan semua fungsi (nyata) yang terdefinisi dan dapat diintegralkan pada interval [a, 6] dengan kuadrat, yaitu fungsi yang memiliki integral. Khususnya, semua fungsi f(x) kontinu pada interval [a , 6], milik 6], dan nilai integral Lebesgue-nya bertepatan dengan nilai integral Riemann. Definisi. Suatu sistem fungsi, dimana, disebut ortogonal pada interval [a, b\, jika Kondisi (1) mengasumsikan, khususnya, bahwa tidak ada fungsi yang identik dengan nol. Integral dipahami dalam pengertian Lebesgue. Namun, dalam beberapa kasus, misalnya, ketika deret (4) konvergen secara seragam, semua fungsi kontinu dan interval (a, 6) berhingga, operasi ini sah. Namun bagi kami sekarang yang penting adalah penafsiran formal. Jadi, biarkan suatu fungsi diberikan. Mari kita bentuk bilangan c* menurut rumus (5) dan tuliskan. Deret di sebelah kanan disebut deret Fourier dari fungsi f(x) terhadap sistem (^n(i)). disebut koefisien Fourier dari fungsi f(x) terhadap sistem ini. Tanda ~ pada rumus (6) hanya berarti bilangan Cn berhubungan dengan fungsi f(x) dengan rumus (5) (tidak diasumsikan bahwa deret di sebelah kanan konvergen sama sekali, apalagi konvergen ke fungsi f (X)). Oleh karena itu, pertanyaan yang wajar muncul: apa sajakah sifat-sifat rangkaian ini? Dalam artian apa “mewakili” fungsi f(x)? 9.3. Definisi Konvergensi rata-rata. Suatu barisan konvergen ke elemen ] rata-rata jika normanya berada pada ruang Teorema 6. Jika suatu barisan ) konvergen seragam, maka barisan tersebut konvergen rata-rata. bila Tn(x) adalah jumlah parsial ke-71 deret Fourier fungsi /(x) pada sistem (. Setting ak = sk, dari (7) diperoleh Persamaan (9) disebut identitas Bessel. Karena kirinya sisi non-negatif, maka pertidaksamaan Bessel mengikuti dari situ. Karena saya di sini secara sembarang, maka pertidaksamaan Bessel dapat direpresentasikan dalam bentuk yang diperkuat, yaitu untuk sembarang fungsi / rangkaian koefisien Fourier kuadrat dari fungsi ini menurut. sistem ortonormal) konvergen. Karena sistem ortonormal pada interval [-x, m], maka pertidaksamaan (10) yang diterjemahkan ke dalam notasi biasa deret trigonometri Fourier menghasilkan relasi do yang valid untuk sembarang fungsi /(x) dengan kuadrat integral. Jika f2(x) dapat diintegralkan, maka, karena syarat yang diperlukan agar deret tersebut konvergensi di sisi kiri pertidaksamaan (11), kita peroleh bahwa. Persamaan Parseval Untuk beberapa sistem (^„(x)), tanda pertidaksamaan pada rumus (10) dapat diganti (untuk semua fungsi f(x) 6 ×) dengan tanda sama dengan. Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan Parseval-Steklov (kondisi kelengkapan). Identitas Bessel (9) memungkinkan kita untuk menulis kondisi (12) dalam bentuk ekuivalen. Jadi, terpenuhinya kondisi kelengkapan berarti jumlah parsial Sn(x) dari deret Fourier fungsi /(x) konvergen ke fungsi tersebut. /(x) rata-rata, mis. sesuai dengan norma ruang 6]. Definisi. Suatu sistem ortonormal ( disebut lengkap dalam b2[аy b] jika setiap fungsi dapat didekati dengan akurasi rata-rata dengan kombinasi linier dari bentuk dengan jumlah suku yang cukup banyak, yaitu jika untuk sembarang fungsi /(x) ∈ b2 [a, b\ dan untuk sembarang e > 0 terdapat bilangan asli nq dan bilangan a\, a2y..., sehingga Tidak Dari alasan di atas, Teorema 7 mengikuti Jika Dengan melakukan ortonormalisasi sistem ) lengkap dalam ruang, deret Fourier dari setiap fungsi / untuk sistem ini rata-rata konvergen menjadi f(x), yaitu menurut norma menyiratkan pernyataan tersebut. Teorema 8. Jika suatu fungsi /o deret Fourier trigonometrinya konvergen secara rata-rata. 9.5. Sistem tertutup. Kelengkapan dan ketertutupan sistem Definisi. Suatu sistem fungsi ortonormal \ disebut tertutup jika dalam ruang Li\a, b) tidak ada fungsi bukan nol yang ortogonal terhadap semua fungsi dalam ruang L2\a, b\, konsep kelengkapan dan ketertutupan sistem ortonormal bertepatan. Latihan 1. Perluas fungsi deret Fourier pada interval (-i-, x) 2. Perluas fungsi 3 pada deret Fourier pada interval (-tr, tr) 3. Perluas fungsi 4 pada deret Fourier pada interval (-tr, tr) ke dalam deret Fourier pada interval (-jt, tr) fungsi 5. Perluas fungsi f(x) = x + x menjadi deret Fourier pada interval (-t, t). 6. Perluas fungsi n menjadi deret Fourier pada interval (-jt, tr) 7. Perluas fungsi /(x) = sin2 x menjadi deret Fourier pada interval (-tr, x). 8. Perluas fungsi f(x) = y menjadi deret Fourier pada interval (-tr, jt) 9. Perluas fungsi f(x) = | dosa x|. 10. Perluas fungsi f(x) = § menjadi deret Fourier pada interval (-π-, π). 11. Perluas fungsi f(x) = sin § menjadi deret Fourier pada interval (-tr, tr). 12. Perluas fungsi f(x) = n -2x, yang diberikan pada interval (0, x), menjadi deret Fourier, perluas hingga interval (-x, 0): a) secara genap; b) dengan cara yang aneh. 13. Perluas fungsi /(x) = x2, yang diberikan pada interval (0, x), menjadi deret Fourier dalam sinus. 14. Perluas fungsi /(x) = 3, yang diberikan pada interval (-2,2), menjadi deret Fourier. 15. Perluas fungsi f(x) = |x| menjadi deret Fourier, yang diberikan pada interval (-1,1). 16. Perluas fungsi f(x) = 2x, yang ditentukan dalam interval (0,1), menjadi deret Fourier dalam sinus.

Seri Fourier– cara merepresentasikan fungsi kompleks sebagai penjumlahan dari fungsi-fungsi yang lebih sederhana dan terkenal.
Sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik. Mereka juga membentuk basis ortogonal. Sifat ini dapat dijelaskan dengan analogi sumbu X X X Dan Y Y Y pada bidang koordinat. Sama seperti kita dapat mendeskripsikan koordinat suatu titik terhadap sumbu, kita juga dapat mendeskripsikan fungsi apa pun terhadap sinus dan cosinus. Fungsi trigonometri dipahami dengan baik dan mudah digunakan dalam matematika.

Sinus dan cosinus dapat direpresentasikan sebagai gelombang berikut:

Yang biru adalah cosinus, yang merah adalah sinus. Gelombang seperti ini disebut juga harmonik. Cosinus genap, sinus ganjil. Istilah harmonik berasal dari zaman kuno dan dikaitkan dengan pengamatan tentang hubungan nada-nada dalam musik.

Apa itu deret Fourier

Deret yang menggunakan fungsi sinus dan kosinus yang paling sederhana disebut trigonometri. Dinamakan untuk menghormati penemunya, Jean Baptiste Joseph Fourier, pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. yang membuktikan bahwa fungsi apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi harmonik tersebut. Dan semakin banyak yang Anda ambil, semakin akurat representasi ini. Misalnya, gambar di bawah ini: Anda dapat melihat bahwa dengan sejumlah besar harmonisa, yaitu anggota deret Fourier, grafik merah menjadi lebih dekat ke grafik biru - fungsi aslinya.

Penerapan praktis di dunia modern

Apakah baris-baris ini diperlukan sekarang? Di mana mereka dapat digunakan secara praktis dan apakah ada orang lain selain ahli matematika teoretis yang menggunakannya? Ternyata Fourier terkenal di seluruh dunia karena manfaat praktis dari serinya yang tak terhitung banyaknya. Mereka nyaman digunakan di mana ada getaran atau gelombang: akustik, astronomi, teknik radio, dll. Contoh paling sederhana penggunaannya: mekanisme pengoperasian kamera atau kamera video. Untuk menjelaskan secara singkat, perangkat ini tidak hanya merekam gambar, tetapi juga koefisien deret Fourier. Dan ini berfungsi di mana saja - saat melihat gambar di Internet, film, atau mendengarkan musik. Berkat seri Fourier kini Anda dapat membaca artikel ini dari ponsel Anda. Tanpa transformasi Fourier, kita tidak akan memiliki bandwidth koneksi Internet yang cukup untuk sekedar menonton video YouTube, bahkan dalam kualitas standar.

Diagram ini menunjukkan transformasi Fourier dua dimensi, yang digunakan untuk menguraikan gambar menjadi harmonik, yaitu komponen dasar. Pada diagram ini nilai -1 diberi kode warna hitam, 1 dengan warna putih. Di kanan bawah grafik frekuensinya bertambah.

Ekspansi deret Fourier

Anda mungkin sudah bosan membaca, jadi mari beralih ke rumusnya.
Untuk teknik matematika seperti memperluas fungsi menjadi deret Fourier, Anda harus mengambil integral. Banyak integral. Secara umum, deret Fourier ditulis sebagai jumlah tak terhingga:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (an cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =SEBUAH+n=1∑ ∞ ​ (A N​ karena (nx ) +B N​ dosa (nx ) )
Di mana
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxSEBUAH=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ karena(nx)dxA N​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (nx) dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ dosa(nx)dxB N​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) dosa (n x) d x

Jika kita bisa menghitung jumlah yang tak terhingga dan a_n A N​ Dan b n b_n B N​ (mereka disebut koefisien ekspansi Fourier, A A A- ini hanyalah konstanta ekspansi ini), maka rangkaian yang dihasilkan akan 100% identik dengan fungsi aslinya f(x) f(x) f(x) pada segmen dari − π -\pi − π ke π\pi π . Segmen ini disebabkan oleh sifat integrasi sinus dan kosinus. Semakin banyak tidak N, yang untuknya kita menghitung koefisien muai seri dari fungsi tersebut, semakin akurat pemuaian ini.

Contoh

Mari kita ambil fungsi sederhana kamu = 5 x kamu=5x kamu=5x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0SEBUAH=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \karena(x)dx = 0A 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) dx =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \dosa(x)dx = 10B 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) dosa (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x dosa (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ gaya tampilan\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0A 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) dx =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5B 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ F(X) dosa(2 X) DX= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 Xdosa(2 X) DX= − 5

Dan sebagainya. Dalam hal fungsi seperti itu, kita dapat langsung mengatakan semuanya sebuah = 0 a_n=0AN​ = 0 , koefisien b n b_nBN​ harus menghitung. Jika kita mengambil empat suku pertama dari ekspansi deret Fourier untuk fungsinya kamu = 5 x kamu=5xkamu= 5 X, kita mendapatkan:

$5X\approx 10\cdot \mathrm{dosa}(X)-5\cdot \mathrm{dosa}(2\cdot X)+310\cdot \mathrm{dosa}(3\cdot X)-25\cdot \mathrm{dosa}(4\cdot X)$

Grafik fungsi yang dihasilkan akan terlihat seperti ini:

Ekspansi deret Fourier yang dihasilkan mendekati fungsi awal kita. Jika kita mengambil lebih banyak suku dari deret tersebut, misalnya 15, kita akan melihat yang berikut:

Semakin banyak suku pemuaian dalam suatu rangkaian, semakin tinggi akurasinya.
Jika kita sedikit mengubah skala grafik, kita dapat melihat ciri transformasi lainnya: deret Fourier adalah fungsi periodik dengan periode 2 π 2\pi2 π .

Dengan demikian, kita dapat menyatakan fungsi apa pun yang kontinu pada interval tersebut [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Semua ini diperlukan untuk memudahkan analisis beberapa fenomena yang dijelaskan oleh fungsi kompleks. Tidak selalu mungkin untuk menghitung turunan secara analitis (yaitu menggunakan rumus), tetapi dalam kasus himpunan sinus dan cosinus, masalah seperti itu tidak akan muncul. Perluasan deret Fourier sendiri menunjukkan bahwa permasalahan seringkali dapat diselesaikan secara analitis dengan menggunakan model yang disederhanakan, salah satu contohnya adalah deret Fourier.