Furjē sērija. Risinājumu piemēri. Furjē rindas piemēros un uzdevumos Piemēri funkcijas paplašināšanai Furjē sērijā

2. Sērijas koeficientu noteikšana, izmantojot Furjē formulas.

Lai periodiska funkcija ƒ(x) ar periodu 2π būtu tāda, ka to attēlo trigonometriskā rinda, kas saplūst ar noteiktu funkciju intervālā (-π, π), t.i., ir šīs rindas summa:

Pieņemsim, ka šīs vienādības kreisajā pusē esošās funkcijas integrālis ir vienāds ar šīs rindas nosacījumu integrāļu summu. Tas būs taisnība, ja pieņemsim, ka skaitļu rindas, kas sastāv no noteiktas trigonometriskās rindas koeficientiem, ir absolūti konverģentas, t.i., pozitīvās skaitļu rindas saplūst

Sērija (1) ir maināma un var tikt integrēta intervālā (-π, π). Integrēsim abas vienlīdzības puses (2):

Novērtēsim atsevišķi katru integrāli, kas parādās labajā pusē:

,

,

Tādējādi , kur

. (4)

Furjē koeficientu novērtējums. (Bugrovs)

1. teorēma. Pieņemsim, ka 2π perioda funkcijai ƒ(x) ir nepārtraukts atvasinājums ƒ(s) (x) s kārtas, kas apmierina nevienādību uz visas reālās ass:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

tad funkcijas Furjē koeficienti ƒ apmierina nevienādību

Pierādījums. Integrējot pa daļām un ņemot vērā to

ƒ(-π) = ƒ(π), mums ir

Secīgi integrējot (7) labo pusi, ņemot vērā, ka atvasinājumi ƒ ΄, …, ƒ (s-1) ir nepārtraukti un iegūst vienādas vērtības punktos t = -π un t = π, kā kā arī aplēsi (5), iegūstam pirmo tāmi (6).

Otro aplēsi (6) iegūst līdzīgi.

2. teorēma. Furjē koeficientiem ƒ(x) pastāv šāda nevienādība:

(8)

Pierādījums. Mums ir

(9)

Šajā gadījumā ieviešot mainīgā lieluma maiņu un ņemot vērā, ka ƒ(x) ir periodiska funkcija, iegūstam

Saskaitot (9) un (10), mēs iegūstam

Mēs veicam b k pierādīšanu līdzīgi.

Sekas. Ja funkcija ƒ(x) ir nepārtraukta, tad tās Furjē koeficientiem ir tendence uz nulli: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funkciju telpa ar skalāro reizinājumu.

Tiek uzskatīts, ka funkcija ƒ(x) ir nepārtraukta intervālā, ja tā ir nepārtraukta šajā intervālā, izņemot ierobežotu punktu skaitu, kur tai ir pirmā veida pārtraukumi. Šādus punktus var saskaitīt un reizināt ar reāliem skaitļiem un rezultātā atkal iegūt pa daļām nepārtrauktas funkcijas segmentā.

Skalārais reizinājums diviem gabalos nepārtrauktiem uz (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Acīmredzot jebkurām pa daļām nepārtrauktām funkcijām ƒ, φ, ψ ir izpildītas šādas īpašības:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) un no vienādības (ƒ , ƒ) = 0 izriet, ka ƒ(x) =0 uz , izslēdzot, iespējams, noteiktu punktu skaitu x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

kur α, β ir patvaļīgi reāli skaitļi.

Mēs apzīmēsim visu pa daļām nepārtrauktu funkciju kopu, kas definētas intervālā, kuram tiek ievadīts skalārais reizinājums saskaņā ar formulu (11), un sauc to par kosmosu

1. piezīme.

Matemātikā telpa = (a, b) ir funkciju kopums ƒ(x), kuras ir integrējamas Lēbesga izpratnē kopā ar to kvadrātiem, kurām pēc formulas (11) tiek ieviests skalārais reizinājums. Attiecīgā telpa ir daļa. Kosmosam ir daudz kosmosa īpašību, bet ne visas.

No īpašībām 1), 2), 3) izriet svarīgā Buņakovska nevienlīdzība | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, kas integrāļu valodā izskatās šādi:

Lielums

sauc par funkcijas f normu.

Normai ir šādas īpašības:

1) || f || ≥ 0, šajā gadījumā vienlīdzība var būt tikai nulles funkcijai f = 0, t.i., funkcijai, kas vienāda ar nulli, izņemot, iespējams, ierobežotam punktu skaitam;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

kur α ir reāls skaitlis.

Otrais īpašums integrāļu valodā izskatās šādi:

un to sauc par Minkovska nevienlīdzību.

Viņi saka, ka funkciju secība ( f n ) pieder, saplūst ar funkciju pieder vidējā kvadrāta nozīmē (vai arī normai), ja

Ņemiet vērā, ka, ja funkciju secība ƒ n (x) vienmērīgi saplūst ar funkciju ƒ (x) segmentā , tad pietiekami lielai n starpībai ƒ (x) - ƒ n (x) absolūtajā vērtībā visiem jābūt mazai. x no segmenta .

Ja ƒ n (x) tiecas uz ƒ (x) vidējā kvadrāta nozīmē uz intervālu , tad norādītā starpība var nebūt maza lielam n visur uz . Dažās segmenta vietās šī atšķirība var būt liela, taču svarīgi ir tikai tas, ka tā kvadrāta integrālis pāri segmentam ir mazs lielam n.

Piemērs. Dota attēlā redzamā nepārtrauktā gabalos lineārā funkcija ƒ n (x) (n = 1, 2,...) un

(Bugrov, 281. lpp., 120. att.)

Jebkuram naturālam skaitlim n

un līdz ar to šī funkciju secība, lai gan tā saplūst ar nulli kā n → ∞, tomēr nekonverģē vienmērīgi. Tikmēr

tas ir, funkciju secībai (f n (x)) ir tendence uz nulli vidējā kvadrāta nozīmē uz .

No noteiktas funkciju secības elementiem ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (kas pieder pie ) veidojam virkni

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Tā pirmo n vārdu summa

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

ir funkcija, kas pieder . Ja gadās, ka pastāv funkcija ƒ tāda, ka

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

tad viņi saka, ka sērija (12) saplūst ar funkciju ƒ vidējā kvadrāta nozīmē un raksta

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

2. piezīme.

Var uzskatīt komplekso vērtību funkciju telpu = (a, b) ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), kur ƒ 1 (x) un ƒ 2 (x) ir reālas nepārtrauktas funkcijas. . Šajā telpā funkcijas tiek reizinātas ar kompleksajiem skaitļiem un funkciju ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) un φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) skalāro reizinājumu. ) ir definēts šādi:

un norma ƒ ir definēta kā vērtība

Furjē rindas ir patvaļīgas funkcijas attēlojums ar noteiktu periodu sērijas formā. Kopumā šo risinājumu sauc par elementa sadalīšanu pa ortogonālu pamatu. Funkciju paplašināšana Furjē sērijās ir diezgan spēcīgs instruments dažādu problēmu risināšanai, pateicoties šīs transformācijas īpašībām integrācijas, diferenciācijas, kā arī izteiksmju maiņas ar argumentu un konvolūciju laikā.

Cilvēks, kurš nepārzina augstāko matemātiku, kā arī franču zinātnieka Furjē darbus, visticamāk, nesapratīs, kas ir šīs “sērijas” un kam tās vajadzīgas. Tikmēr šī transformācija ir kļuvusi diezgan integrēta mūsu dzīvē. To izmanto ne tikai matemātiķi, bet arī fiziķi, ķīmiķi, ārsti, astronomi, seismologi, okeanogrāfi un daudzi citi. Ļaujiet mums arī sīkāk aplūkot izcilā franču zinātnieka darbus, kurš izdarīja atklājumu, kas apsteidza savu laiku.

Cilvēks un Furjē transformācija

>

Furjē sērijas ir viena no metodēm (kopā ar analīzi un citām). Šis process notiek katru reizi, kad cilvēks dzird skaņu. Mūsu auss automātiski pārveido elementārdaļiņas elastīgā vidē secīgu skaļuma līmeņu rindās (gar spektru) dažāda augstuma toņiem. Tālāk smadzenes pārvērš šos datus mums pazīstamās skaņās. Tas viss notiek ārpus mūsu vēlmes vai apziņas, pats no sevis, taču, lai šos procesus izprastu, būs nepieciešami vairāki gadi, lai apgūtu augstāko matemātiku.

Vairāk par Furjē transformāciju

>

Furjē transformāciju var veikt, izmantojot analītiskas, skaitliskas un citas metodes. Furjē sērijas attiecas uz jebkādu svārstību procesu sadalīšanas skaitlisko metodi - no okeāna plūdmaiņām un gaismas viļņiem līdz saules (un citu astronomisko objektu) aktivitātes cikliem. Izmantojot šīs matemātiskās metodes, varat analizēt funkcijas, attēlojot visus svārstīgos procesus kā sinusoidālu komponentu virkni, kas pārvietojas no minimuma uz maksimumu un atpakaļ. Furjē transformācija ir funkcija, kas apraksta noteiktai frekvencei atbilstošo sinusoīdu fāzi un amplitūdu. Šo procesu var izmantot, lai atrisinātu ļoti sarežģītus vienādojumus, kas apraksta dinamiskus procesus, kas rodas siltuma, gaismas vai elektriskās enerģijas ietekmē. Tāpat Furjē rindas ļauj izolēt nemainīgus komponentus sarežģītos svārstīgos signālos, ļaujot pareizi interpretēt medicīnā, ķīmijā un astronomijā iegūtos eksperimentālos novērojumus.

Vēsturiskais fons

>

Šīs teorijas dibinātājs ir franču matemātiķis Žans Batists Džozefs Furjē. Šī transformācija vēlāk tika nosaukta viņa vārdā. Sākotnēji zinātnieks ar savu metodi pētīja un skaidroja siltumvadītspējas mehānismus – siltuma izplatīšanos cietās vielās. Furjē ierosināja, ka sākotnējo neregulāro sadalījumu var sadalīt vienkāršos sinusoīdos, no kuriem katram būs savs temperatūras minimums un maksimums, kā arī sava fāze. Šajā gadījumā katra šāda sastāvdaļa tiks mērīta no minimuma līdz maksimumam un atpakaļ. Matemātiskā funkcija, kas apraksta līknes augšējo un apakšējo virsotni, kā arī katras harmonikas fāzi, tiek saukta par temperatūras sadalījuma izteiksmes Furjē transformāciju. Teorijas autors matemātiski grūti aprakstīto vispārējo sadalījuma funkciju reducēja līdz ļoti ērtai kosinusa un sinusa rindai, kas kopā dod sākotnējo sadalījumu.

Transformācijas princips un laikabiedru uzskati

>

Zinātnieka laikabiedri – deviņpadsmitā gadsimta sākuma vadošie matemātiķi – nepieņēma šo teoriju. Galvenais iebildums bija Furjē apgalvojums, ka pārtrauktu funkciju, kas apraksta taisnu līniju vai pārtrauktu līkni, var attēlot kā nepārtrauktu sinusoidālu izteiksmju summu. Kā piemēru apsveriet Heaviside soli: tā vērtība ir nulle pa kreisi no pārtraukuma un viens pa labi. Šī funkcija apraksta elektriskās strāvas atkarību no pagaidu mainīgā, kad ķēde ir aizvērta. Teorijas laikabiedri tajā laikā nekad nebija saskārušies ar līdzīgu situāciju, kad pārtraukta izteiksme tiktu aprakstīta ar nepārtrauktu, parastu funkciju, piemēram, eksponenciāla, sinusa, lineāra vai kvadrātveida, kombināciju.

Kas mulsināja franču matemātiķus Furjē teorijā?

>

Galu galā, ja matemātiķim bija taisnība savos apgalvojumos, tad, summējot bezgalīgās trigonometriskās Furjē rindas, var iegūt precīzu soļa izteiksmes attēlojumu, pat ja tai ir daudz līdzīgu soļu. Deviņpadsmitā gadsimta sākumā šāds apgalvojums šķita absurds. Bet, neskatoties uz visām šaubām, daudzi matemātiķi paplašināja šīs parādības izpētes jomu, pārsniedzot siltumvadītspējas izpēti. Tomēr lielāko daļu zinātnieku joprojām mocīja jautājums: "Vai sinusoidālās sērijas summa var saplūst ar precīzu pārtrauktās funkcijas vērtību?"

Furjē rindu konverģence: piemērs

>

Jautājums par konverģenci rodas ikreiz, kad ir nepieciešams summēt bezgalīgas skaitļu rindas. Lai saprastu šo fenomenu, apsveriet klasisku piemēru. Vai jūs kādreiz varēsit sasniegt sienu, ja katrs nākamais solis būs uz pusi mazāks nekā iepriekšējais? Pieņemsim, ka esat divus metrus no mērķa, pirmais solis jūs aizvedīs līdz pusceļa atzīmei, nākamais - līdz trīs ceturtdaļas atzīmei, un pēc piektā jūs būsiet nobraucis gandrīz 97 procentus no ceļa. Tomēr neatkarīgi no tā, cik soļu jūs veicat, jūs nesasniegsiet savu iecerēto mērķi stingrā matemātiskā nozīmē. Izmantojot skaitliskus aprēķinus, var pierādīt, ka galu galā ir iespējams pietuvoties līdz noteiktam attālumam. Šis pierādījums ir līdzvērtīgs pierādīšanai, ka summai puse, viena ceturtdaļa utt. ir tendence uz vienotību.

Konverģences jautājums: Otrā atnākšana jeb Lorda Kelvina ierīce

>

Šis jautājums atkal tika izvirzīts deviņpadsmitā gadsimta beigās, kad viņi mēģināja izmantot Furjē sērijas, lai prognozētu plūdmaiņu intensitāti. Šajā laikā lords Kelvins izgudroja instrumentu, kas bija analoga skaitļošanas ierīce, kas ļāva militārajiem un tirdzniecības jūras jūrniekiem uzraudzīt šo dabas parādību. Šis mehānisms noteica fāžu un amplitūdu kopas no plūdmaiņu augstuma un atbilstošo laika punktu tabulas, kas tika rūpīgi mērītas noteiktā ostā visa gada garumā. Katrs parametrs bija plūdmaiņas augstuma izteiksmes sinusoidāls komponents un viens no parastajiem komponentiem. Mērījumi tika ievadīti Lorda Kelvina aprēķina instrumentā, kas sintezēja līkni, kas paredzēja ūdens augstumu kā laika funkciju nākamajam gadam. Ļoti drīz līdzīgas līknes tika sastādītas visām pasaules ostām.

Ko darīt, ja procesu traucē pārtraukta funkcija?

>

Toreiz šķita pašsaprotami, ka paisuma viļņu prognozētājs ar lielu skaitu skaitīšanas elementu spēj aprēķināt lielu skaitu fāžu un amplitūdu un tādējādi sniegt precīzākas prognozes. Tomēr izrādījās, ka šis modelis nav novērots gadījumos, kad sintezējamā paisuma izteiksme saturēja strauju lēcienu, tas ir, tā bija pārtraukta. Ja ierīcē tiek ievadīti dati no laika momentu tabulas, tā aprēķina vairākus Furjē koeficientus. Sākotnējā funkcija tiek atjaunota, pateicoties sinusoidālajiem komponentiem (saskaņā ar atrastajiem koeficientiem). Atšķirību starp sākotnējo un rekonstruēto izteiksmi var izmērīt jebkurā punktā. Veicot atkārtotus aprēķinus un salīdzinājumus, ir skaidrs, ka lielākās kļūdas vērtība nesamazinās. Tomēr tie ir lokalizēti reģionā, kas atbilst pārtraukuma punktam, un jebkurā citā punktā tiem ir tendence uz nulli. 1899. gadā šo rezultātu teorētiski apstiprināja Džošua Vilards Gibss no Jēlas universitātes.

Furjē rindu konverģence un matemātikas attīstība kopumā

>

Furjē analīze nav piemērojama izteiksmēm, kas satur bezgalīgu skaitu smailes noteiktā intervālā. Kopumā Furjē rindas, ja sākotnējo funkciju attēlo reāla fiziskā mērījuma rezultāts, vienmēr saplūst. Jautājumi par šī procesa konverģenci konkrētām funkciju klasēm noveda pie jaunu nozaru rašanās matemātikā, piemēram, vispārināto funkciju teorijā. Viņa ir saistīta ar tādiem vārdiem kā L. Švarcs, J. Mikusinskis un J. Templs. Šīs teorijas ietvaros tika radīta skaidra un precīza teorētiskā bāze tādām izteiksmēm kā Diraka delta funkcija (tā apraksta viena apgabala reģionu, kas koncentrēts bezgalīgi mazā punkta apkārtnē) un Heaviside “solis”. Pateicoties šim darbam, Furjē sērija kļuva piemērojama vienādojumu un problēmu risināšanai, kas ietver intuitīvus jēdzienus: punktveida lādiņš, punktveida masa, magnētiskie dipoli un koncentrēta slodze uz staru kūli.

Furjē metode

>

Furjē sērijas saskaņā ar traucējumu principiem sākas ar sarežģītu formu sadalīšanu vienkāršākos. Piemēram, siltuma plūsmas izmaiņas ir izskaidrojamas ar tās iziešanu cauri dažādiem šķēršļiem, kas izgatavoti no neregulāras formas siltumizolācijas materiāla vai zemes virsmas izmaiņām - zemestrīci, debess ķermeņa orbītas izmaiņām - ietekmi. planētu. Parasti šādus vienādojumus, kas apraksta vienkāršas klasiskās sistēmas, var viegli atrisināt katram atsevišķam vilnim. Furjē parādīja, ka vienkāršus risinājumus var arī summēt, lai radītu risinājumus sarežģītākām problēmām. Matemātiskā izteiksmē Furjē rindas ir paņēmiens izteiksmes attēlošanai kā harmoniku - kosinusa un sinusa - summa. Tāpēc šo analīzi sauc arī par “harmonisko analīzi”.

Furjē sērija - ideāls paņēmiens pirms “datoru laikmeta”

>

Pirms datortehnoloģiju radīšanas Furjē metode bija labākais ierocis zinātnieku arsenālā, strādājot ar mūsu pasaules viļņu dabu. Furjē sērija sarežģītā formā ļauj atrisināt ne tikai vienkāršas problēmas, kuras var tieši attiecināt uz Ņūtona mehānikas likumiem, bet arī fundamentālos vienādojumus. Lielākā daļa Ņūtona zinātnes atklājumu deviņpadsmitajā gadsimtā bija iespējami tikai Furjē tehnikas dēļ.

Furjē sērija šodien

>

Attīstoties datoriem, Furjē transformācijas ir pacēlušās kvalitatīvi jaunā līmenī. Šī tehnika ir stingri nostiprināta gandrīz visās zinātnes un tehnoloģiju jomās. Piemērs ir digitālais audio un video. Tās īstenošana kļuva iespējama tikai pateicoties teorijai, ko deviņpadsmitā gadsimta sākumā izstrādāja franču matemātiķis. Tādējādi Furjē sērija sarežģītā formā ļāva veikt izrāvienu kosmosa izpētē. Turklāt tas ietekmēja pusvadītāju materiālu un plazmas fizikas izpēti, mikroviļņu akustiku, okeanogrāfiju, radaru un seismoloģiju.

Trigonometriskā Furjē sērija

>

Matemātikā Furjē rindas ir veids, kā attēlot patvaļīgas sarežģītas funkcijas kā vienkāršāku funkciju summu. Vispārīgos gadījumos šādu izteiksmju skaits var būt bezgalīgs. Turklāt, jo vairāk to skaits tiek ņemts vērā aprēķinā, jo precīzāks ir gala rezultāts. Visbiežāk kā vienkāršākās tiek izmantotas kosinusa vai sinusa trigonometriskās funkcijas. Šajā gadījumā Furjē rindas sauc par trigonometriskām, un šādu izteiksmju risinājumu sauc par harmonisko izplešanos. Šai metodei ir liela nozīme matemātikā. Pirmkārt, trigonometriskā sērija ir līdzeklis funkciju attēlošanai un arī izpētei, tas ir galvenais teorijas aparāts. Turklāt tas ļauj atrisināt vairākas problēmas matemātiskajā fizikā. Visbeidzot, šī teorija veicināja attīstību un iedzīvināja vairākas ļoti svarīgas matemātikas zinātnes nozares (integrāļu teorija, periodisko funkciju teorija). Turklāt tas kalpoja kā sākumpunkts turpmāko reālā mainīgā funkciju izstrādei, kā arī lika pamatu harmoniku analīzei.

Kas jau ir diezgan garlaicīgi. Un jūtu, ka ir pienācis brīdis, kad no teorijas stratēģiskajām rezervēm ir pienācis laiks izvilkt jaunus konservus. Vai ir iespējams kā citādi izvērst funkciju sērijā? Piemēram, izteikt taisnās līnijas segmentu, izmantojot sinusus un kosinusus? Šķiet neticami, bet tik šķietami attālas funkcijas var būt
"atkalapvienošanās". Papildus jau zināmajiem grādiem teorijā un praksē ir arī citas pieejas funkcijas izvēršanai sērijā.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar trigonometrisko Furjē rindu, pieskarsimies jautājumam par to konverģenci un summu, kā arī, protams, analizēsim daudzus Furjē rindu funkciju paplašināšanas piemērus. Es patiesi gribēju rakstu nosaukt par “Furjē sēriju manekeniem”, taču tas būtu neprātīgi, jo problēmu risināšanai būtu nepieciešamas zināšanas par citām matemātiskās analīzes nozarēm un zināma praktiska pieredze. Tāpēc preambula atgādinās astronautu apmācību =)

Pirmkārt, jums vajadzētu pievērsties lapu materiālu izpētei lieliskā formā. Miegains, atpūties un prātīgs. Bez spēcīgām emocijām par lauztu kāmja kāju un uzmācīgām domām par akvārija zivtiņu dzīves grūtībām. Furjē sērija nav grūti saprotama, taču praktiskie uzdevumi vienkārši prasa pastiprinātu uzmanības koncentrāciju - ideālā gadījumā jums vajadzētu pilnībā atraut sevi no ārējiem stimuliem. Situāciju pasliktina tas, ka nav viegli pārbaudīt risinājumu un atbildēt. Tādējādi, ja jūsu veselība ir zem vidējā līmeņa, labāk ir darīt ko vienkāršāku. Vai tā ir taisnība.

Otrkārt, pirms lidošanas kosmosā ir jāizpēta kosmosa kuģa instrumentu panelis. Sāksim ar to funkciju vērtībām, uz kurām jānoklikšķina uz mašīnas:

Jebkurai dabas vērtībai:

1) . Patiešām, sinusoīds “izšuj” x asi caur katru “pi”:
. Argumenta negatīvu vērtību gadījumā rezultāts, protams, būs tāds pats: .

2) . Bet ne visi to zināja. Kosinuss "pi" ir ekvivalents "mirgotājam":

Negatīvs arguments lietu nemaina: .

Varbūt ar to pietiek.

Un treškārt, dārgais kosmonautu korpuss, jums ir jāspēj... integrēt.
Jo īpaši pārliecinoši iekļaut funkciju zem diferenciālzīmes, integrēt pa daļām un esi mierā ar Ņūtona-Leibnica formula. Sāksim svarīgus pirmslidojuma vingrinājumus. Kategoriski neiesaku to izlaist, lai vēlāk nešķistu bezsvara stāvoklī:

1. piemērs

Aprēķināt noteiktos integrāļus

kur ņem dabas vērtības.

Risinājums: integrācija tiek veikta virs mainīgā “x”, un šajā posmā diskrētais mainīgais “en” tiek uzskatīts par konstanti. Visos integrāļos novietojiet funkciju zem diferenciālzīmes:

Īsa risinājuma versija, kas būtu piemērota mērķauditorijai, izskatās šādi:

Pieradīsim pie tā:

Četri atlikušie punkti ir jūsu pašu ziņā. Mēģiniet pieiet uzdevumam apzinīgi un īsi uzrakstiet integrāļus. Risinājumu paraugi nodarbības beigās.

Pēc vingrinājumu KVALITĀTE izpildīšanas uzvelkam skafandrus
un gatavojamies startam!

Funkcijas paplašināšana Furjē sērijā intervālā

>

Apsveriet kādu funkciju, kas noteikts vismaz uz noteiktu laiku (un, iespējams, ilgāku laiku). Ja šī funkcija ir integrējama intervālā, tad to var izvērst trigonometriskā formā Furjē sērija:
, kur ir ts Furjē koeficienti.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs sadalīšanās periods, un numurs ir sadalīšanās pusperiods.

Ir skaidrs, ka vispārīgā gadījumā Furjē rinda sastāv no sinusiem un kosinusiem:

Patiešām, pierakstīsim to detalizēti:

Sērijas nulles termiņu parasti raksta formā .

Furjē koeficientus aprēķina, izmantojot šādas formulas:

Es lieliski saprotu, ka tiem, kas sāk pētīt tēmu, joprojām nav skaidrības par jaunajiem terminiem: sadalīšanās periods, puscikls, Furjē koeficienti utt. Nekrītiet panikā, tas nav salīdzināms ar satraukumu pirms došanās kosmosā. Sapratīsim visu šajā piemērā, pirms kura izpildes ir loģiski uzdot aktuālus praktiskus jautājumus:

Kas jums jādara tālāk norādītajos uzdevumos?

>

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā. Turklāt bieži vien ir nepieciešams attēlot funkcijas grafiku, sērijas summas grafiku, daļēju summu un izsmalcinātu profesora fantāziju gadījumā darīt kaut ko citu.

Kā funkciju paplašināt Furjē sērijā?

>

Būtībā jums ir jāatrod Furjē koeficienti, tas ir, sastādiet un aprēķiniet trīs noteikts integrālis.

Lūdzu, kopējiet Furjē sērijas vispārīgo formu un trīs darba formulas savā piezīmju grāmatiņā. Es ļoti priecājos, ka daži vietnes apmeklētāji manā acu priekšā īsteno savu bērnības sapni kļūt par astronautu =)

2. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla. Izveidojiet grafiku, rindas summas un daļējās summas grafiku.

Risinājums: Pirmā uzdevuma daļa ir paplašināt funkciju Furjē sērijā.

Sākums ir standarta, noteikti pierakstiet, ka:

Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā intervālā:

Izmantojot atbilstošās formulas, mēs atrodam Furjē koeficienti. Tagad mums ir jāsastāda un jāaprēķina trīs noteikts integrālis. Ērtības labad es numurēšu punktus:

1) Pirmais integrālis ir visvienkāršākais, taču tam ir nepieciešami arī acs āboli:

2) Izmantojiet otro formulu:

Šis integrālis ir labi zināms un viņš to ņem pa gabalu:

Lietots, kad atrasts metode, kā funkciju iekļaut zem diferenciālzīmes.

Apskatāmajā uzdevumā to ir ērtāk izmantot nekavējoties formula integrācijai pa daļām noteiktā integrālī :

Pāris tehniskas piezīmes. Pirmkārt, pēc formulas piemērošanas visa izteiksme ir jāiekļauj lielās iekavās, jo pirms sākotnējā integrāļa ir konstante. Nepazaudēsim viņu! Iekavas var paplašināt jebkurā turpmākajā darbībā. Es to izdarīju kā pēdējo līdzekli. Pirmajā "gabalā" Mēs izrādām īpašu piesardzību aizstāšanā, kā redzat, konstante netiek izmantota, un integrācijas robežas tiek aizstātas ar produktu. Šī darbība ir iezīmēta kvadrātiekavās. Nu, jūs esat iepazinies ar formulas otrā “gabala” integrāli no apmācības uzdevuma;-)

Un pats galvenais – ekstrēma koncentrēšanās!

3) Mēs meklējam trešo Furjē koeficientu:

Tiek iegūts iepriekšējā integrāļa radinieks, kas arī ir integrējas pa daļām:

Šis gadījums ir nedaudz sarežģītāks, soli pa solim komentēšu turpmākās darbības:

(1) Izteiciens ir pilnībā ievietots lielās iekavās. Es negribēju šķist garlaicīgi, viņi pārāk bieži zaudē konstanti.

(2) Šajā gadījumā es nekavējoties atvēru šīs lielās iekavas. Īpaša uzmanība Mēs nododamies pirmajam “gabalam”: nemitīgais smēķē malā un nepiedalās integrācijas (un) robežu aizstāšanā produktā. Ieraksta juceklis dēļ šo darbību vēlreiz vēlams izcelt ar kvadrātiekavām. Ar otro "gabalu" viss ir vienkāršāk: šeit daļa parādījās pēc lielo iekavu atvēršanas, bet konstante - pazīstamā integrāļa integrācijas rezultātā;-)

(3) Transformācijas veicam kvadrātiekavās, un labajā integrālī aizvietojam integrācijas robežas.

(4) Mēs noņemam “mirgojošo gaismu” no kvadrātiekavām: , un pēc tam atveram iekšējās iekavas: .

(5) Mēs atceļam 1 un –1 iekavās un veicam pēdējos vienkāršojumus.

Visbeidzot, tiek atrasti visi trīs Furjē koeficienti:

Aizstāsim tos formulā :

Tajā pašā laikā neaizmirstiet sadalīt uz pusēm. Pēdējā solī konstante (“mīnus divi”), kas nav atkarīga no “en”, tiek ņemta ārpus summas.

Tādējādi mēs esam ieguvuši funkcijas paplašināšanu Furjē sērijā intervālā:

Izpētīsim Furjē rindas konverģences jautājumu. Es īpaši izskaidrošu teoriju Dirihleta teorēma, burtiski "uz pirkstiem", tādēļ, ja jums nepieciešami stingri formulējumi, lūdzu, skatiet matemātiskās analīzes mācību grāmatu (piemēram, Bohana 2. sējums; vai Fihtenholca 3. sējums, bet tas ir grūtāk).

Otrajā uzdevuma daļā ir jāuzzīmē grafiks, sērijas summas grafiks un daļējas summas grafiks.

Funkcijas grafiks ir parastais taisna līnija plaknē, kas ir novilkta ar melnu punktētu līniju:

Noskaidrosim sērijas summu. Kā jūs zināt, funkciju sērijas saplūst ar funkcijām. Mūsu gadījumā konstruētā Furjē sērija jebkurai "x" vērtībai saplūst ar funkciju, kas ir parādīta sarkanā krāsā. Šī funkcija pieļauj 1. veida plīsumi punktos, bet ir arī definēts tajos (sarkani punkti zīmējumā)

Tādējādi: . Ir viegli redzēt, ka tā ievērojami atšķiras no sākotnējās funkcijas, tāpēc ierakstā Tiek izmantota tilde, nevis vienādības zīme.

Izpētīsim algoritmu, kas ir ērts sērijas summas konstruēšanai.

Centrālajā intervālā Furjē rinda saplūst ar pašu funkciju (centrālais sarkanais segments sakrīt ar lineārās funkcijas melno punktēto līniju).

Tagad parunāsim nedaudz par aplūkojamās trigonometriskās izplešanās būtību. Furjē sērija iekļautas tikai periodiskas funkcijas (konstante, sinusus un kosinusus), tātad rindas summa ir arī periodiska funkcija.

Ko tas nozīmē mūsu konkrētajā piemērā? Un tas nozīmē, ka sērijas summa –noteikti periodiski un intervāla sarkanais segments bezgalīgi jāatkārto pa kreisi un pa labi.

Es domāju, ka frāzes “sadalīšanās periods” nozīme tagad beidzot ir kļuvusi skaidra. Vienkārši sakot, katru reizi, kad situācija atkārtojas atkal un atkal.

Praksē parasti ir pietiekami attēlot trīs sadalīšanās periodus, kā tas ir izdarīts zīmējumā. Nu, un arī kaimiņu periodu “celmi” - lai ir skaidrs, ka grafiks turpinās.

Īpaši interesanti ir 1. veida pārtraukuma punkti. Šādos punktos Furjē rinda saplūst uz izolētām vērtībām, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū (zīmējumā sarkani punktiņi). Kā uzzināt šo punktu ordinātas? Vispirms atrodam “augšējā stāva” ordinātas: lai to izdarītu, mēs aprēķinām funkcijas vērtību paplašināšanas centrālā perioda galējā labajā punktā: . Lai aprēķinātu “apakšējā stāva” ordinātas, vienkāršākais veids ir ņemt tā paša perioda kreiso vērtību: . Vidējās vērtības ordināta ir “augšējās un apakšējās” summas vidējais aritmētiskais: . Patīkams fakts ir tas, ka, konstruējot zīmējumu, jūs uzreiz redzēsiet, vai vidus ir aprēķināts pareizi vai nepareizi.

Izveidosim daļēju rindas summu un tajā pašā laikā atkārtosim jēdziena “konverģence” nozīmi. Motīvs ir zināms arī no nodarbības par skaitļu sērijas summa. Sīkāk aprakstīsim mūsu bagātību:

Lai sastādītu daļēju summu, jums jāuzraksta nulle + vēl divi sērijas vārdi. tas ir,

Zīmējumā funkcijas grafiks ir attēlots zaļā krāsā, un, kā redzams, tā diezgan cieši “aptin” pilno summu. Ja ņemam vērā daļēju sērijas piecu vārdu summu, tad šīs funkcijas grafiks vēl precīzāk tuvinās sarkanās līnijas, ja ir simts termini, tad “zaļā čūska” faktiski pilnībā saplūdīs ar sarkanajiem segmentiem, utt. Tādējādi Furjē rinda tuvojas tās summai.

Interesanti atzīmēt, ka jebkura daļēja summa ir nepārtraukta funkcija tomēr sērijas kopējā summa joprojām ir pārtraukta.

Praksē nav tik reti konstruēt daļējas summas grafiku. Kā to izdarīt? Mūsu gadījumā ir jāņem vērā segmenta funkcija, jāaprēķina tās vērtības segmenta galos un starppunktos (jo vairāk punktu ņemsiet vērā, jo precīzāks būs grafiks). Tad jums vajadzētu atzīmēt šos punktus zīmējumā un rūpīgi uzzīmēt perioda grafiku un pēc tam “atkārtot” to blakus intervālos. Kā gan citādi? Galu galā aproksimācija ir arī periodiska funkcija... ...tā grafiks man savā ziņā atgādina vienmērīgu sirds ritmu medicīnas ierīces displejā.

Būvniecības veikšana, protams, nav īpaši ērta, jo jums jābūt īpaši uzmanīgam, saglabājot ne mazāku par pusmilimetru precizitāti. Tomēr es iepriecināšu lasītājus, kuriem nav ērti zīmēt - "īstā" problēmā ne vienmēr ir nepieciešams veikt zīmējumu apmēram 50% gadījumu ir nepieciešams paplašināt funkciju Furjē sērijā, un viss .

Pēc zīmējuma pabeigšanas mēs izpildām uzdevumu:

Atbilde:

Daudzos uzdevumos funkcija cieš 1. veida plīsums tieši sadalīšanās periodā:

3. piemērs

Izvērsiet intervālā norādīto funkciju Furjē sērijā. Uzzīmējiet funkcijas grafiku un sēriju kopējo summu.

Piedāvātā funkcija ir norādīta pa daļām (un, ņemiet vērā, tikai segmentā) un iztur 1. veida plīsums punktā. Vai ir iespējams aprēķināt Furjē koeficientus? Nav problēmu. Funkcijas kreisā un labā puse ir integrējama savos intervālos, tāpēc integrāļi katrā no trim formulām ir jāattēlo kā divu integrāļu summa. Apskatīsim, piemēram, kā tas tiek darīts nulles koeficientam:

Otrais integrālis izrādījās vienāds ar nulli, kas samazināja darbu, taču tas ne vienmēr tā ir.

Pārējie divi Furjē koeficienti ir aprakstīti līdzīgi.

Kā parādīt sērijas summu? Kreisajā intervālā mēs zīmējam taisnas līnijas segmentu, bet intervālā - taisnas līnijas segmentu (ass posmu izceļam treknrakstā un treknrakstā). Tas ir, paplašināšanas intervālā sērijas summa sakrīt ar funkciju visur, izņemot trīs “sliktos” punktus. Funkcijas pārtraukuma punktā Furjē rinda saplūdīs uz izolētu vērtību, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū. Nav grūti to redzēt mutiski: kreisās puses ierobežojums: , labās puses ierobežojums: un, protams, viduspunkta ordināta ir 0,5.

Summas periodiskuma dēļ attēls ir “jāreizina” blakus periodos, jo īpaši, tas pats ir jāattēlo intervālos un . Tajā pašā laikā Furjē rindas punktos tuvosies vidējām vērtībām.

Patiesībā šeit nav nekā jauna.

Mēģiniet pats tikt galā ar šo uzdevumu. Aptuvenais gala dizaina paraugs un zīmējums nodarbības beigās.

Funkcijas paplašināšana Furjē rindā patvaļīgā periodā

>

Patvaļīgam paplašināšanas periodam, kur “el” ir jebkurš pozitīvs skaitlis, Furjē rindas un Furjē koeficientu formulas atšķiras ar nedaudz sarežģītāku sinusa un kosinusa argumentu:

Ja , tad iegūstam intervālu formulas, ar kurām sākām.

Problēmas risināšanas algoritms un principi ir pilnībā saglabāti, taču palielinās aprēķinu tehniskā sarežģītība:

4. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā un uzzīmējiet summu.

Risinājums: faktiski analogs piemēram Nr. 3 ar 1. veida plīsums punktā. Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Funkcija tiek definēta tikai pusintervālā, bet tas nemaina lietu - ir svarīgi, lai abas funkcijas daļas būtu integrējamas.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā:

Tā kā funkcija sākumā ir pārtraukta, katrs Furjē koeficients acīmredzami jāraksta kā divu integrāļu summa:

1) Es uzrakstīšu pirmo integrāli pēc iespējas detalizētāk:

2) Mēs uzmanīgi skatāmies uz Mēness virsmu:

Otrais integrālis ņem to pa gabalu:

Kam jāpievērš īpaša uzmanība pēc tam, kad ar zvaigznīti atveram risinājuma turpinājumu?

Pirmkārt, mēs nezaudējam pirmo integrāli , kur mēs nekavējoties izpildām parakstoties uz diferenciālzīmi. Otrkārt, neaizmirstiet neveiksmīgo konstanti pirms lielajām iekavām un nemulsiniet no zīmēm izmantojot formulu . Lielus kronšteinus joprojām ir ērtāk atvērt uzreiz nākamajā darbībā.

Pārējais ir tehnikas jautājums, grūtības var radīt tikai nepietiekama integrāļu risināšanas pieredze.

Jā, ne velti izcilie franču matemātiķa Furjē kolēģi bija sašutuši – kā viņš uzdrošinājās funkcijas sakārtot trigonometriskās rindās?! =) Starp citu, droši vien visus interesē attiecīgā uzdevuma praktiskā nozīme. Pats Furjē strādāja pie siltuma vadītspējas matemātiskā modeļa, un pēc tam viņa vārdā nosauktās sērijas sāka izmantot, lai pētītu daudzus periodiskus procesus, kas ir redzami un neredzami apkārtējā pasaulē. Tagad, starp citu, pieķēru sevi pie domas, ka ne nejauši salīdzināju otrā piemēra grafiku ar periodisko sirds ritmu. Interesenti var iepazīties ar praktisko pielietojumu Furjē transformācija trešo pušu avotos. ...Lai gan labāk to nedarīt - tā paliks atmiņā kā Pirmā mīlestība =)

3) Ņemot vērā vairākkārt pieminētās vājās saites, aplūkosim trešo koeficientu:

Integrēsim pa daļām:

Aizvietosim formulā atrastos Furjē koeficientus , neaizmirstot dalīt nulles koeficientu uz pusēm:

Uzzīmēsim sērijas summu. Īsi atkārtosim procedūru: uz intervāla izveidojam taisni, bet uz intervāla - taisni. Ja “x” vērtība ir nulle, mēs ievietojam punktu atstarpes “lēciena” vidū un “atkārtojam” grafiku blakus periodiem:


Periodu “krustojumos” summa būs vienāda arī ar atstarpes “lēciena” viduspunktiem.

Gatavs. Atgādināšu, ka pati funkcija ir ar nosacījumu definēta tikai pusintervālā un acīmredzot sakrīt ar intervālu rindu summu

Atbilde:

Dažreiz pa daļām dota funkcija ir nepārtraukta paplašināšanas periodā. Vienkāršākais piemērs: . Risinājums (skat. Bohana 2. sējumu) tas pats, kas divos iepriekšējos piemēros: neskatoties funkciju nepārtrauktība punktā katrs Furjē koeficients tiek izteikts kā divu integrāļu summa.

Par sadalīšanās intervālu 1. veida pārtraukuma punkti un/vai diagrammā var būt vairāk “savienojuma” punktu (divi, trīs un parasti jebkurš galīgais daudzums). Ja funkcija ir integrējama katrā daļā, tā ir paplašināma arī Furjē sērijā. Bet no praktiskās pieredzes es neatceros tik nežēlīgu lietu. Tomēr ir sarežģītāki uzdevumi, nekā tikko apskatītie, un raksta beigās ir saites uz Furjē sēriju, kas ir īpaši sarežģīta ikvienam.

Tikmēr atpūtīsimies, atlaidīsimies krēslos un pārdomāsim bezgalīgos zvaigžņu plašumus:

5. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla un uzzīmējiet sērijas summu.

Šajā problēmā funkcija nepārtraukts uz paplašināšanas pusintervālu, kas vienkāršo risinājumu. Viss ir ļoti līdzīgs Piemēram Nr.2. No kosmosa kuģa nekur nevar aizbēgt - jāizlemj =) Aptuvenais dizaina paraugs nodarbības beigās, pievienota diagramma.

Furjē sērijas pāra un nepāra funkciju paplašināšana

>

Izmantojot pāra un nepāra funkcijas, problēmas risināšanas process ir ievērojami vienkāršots. Un lūk, kāpēc. Atgriezīsimies pie funkcijas paplašināšanas Furjē rindā ar periodu “divi pi” un patvaļīgs periods "divi el" .

Pieņemsim, ka mūsu funkcija ir pāra. Sērijas vispārīgais termins, kā redzat, satur pāra kosinusus un nepāra sinusus. Un, ja mēs izvēršam PĀRĀT funkciju, tad kāpēc mums ir vajadzīgi nepāra sinusi?! Atiestatīsim nevajadzīgo koeficientu: .

Tādējādi vienmērīgu funkciju Furjē sērijā var paplašināt tikai kosinusos:

Jo pāra funkciju integrāļi pa integrācijas segmentu, kas ir simetrisks attiecībā pret nulli, var dubultot, tad atlikušie Furjē koeficienti tiek vienkāršoti.

Par atstarpi:

Patvaļīgam intervālam:

Mācību grāmatu piemēri, ko var atrast gandrīz jebkurā matemātiskās analīzes mācību grāmatā, ietver pāra funkciju izvērsumus . Turklāt manā personīgajā praksē viņi ir sastapušies vairākas reizes:

6. piemērs

Funkcija ir dota. Nepieciešams:

1) izvērsiet funkciju Furjē sērijā ar punktu , kur ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis;

2) pierakstiet intervāla izvērsumu, konstruējiet funkciju un grafikā izveidojiet rindas kopējo summu.

Risinājums: pirmajā rindkopā ir ierosināts problēmu atrisināt vispārīgā formā, un tas ir ļoti ērti! Ja rodas vajadzība, vienkārši nomainiet savu vērtību.

1) Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Turpmāko darbību laikā, īpaši integrācijas laikā, “el” tiek uzskatīts par konstanti

Funkcija ir vienmērīga, kas nozīmē, ka to var izvērst Furjē sērijā tikai kosinusos: .

Mēs meklējam Furjē koeficientus, izmantojot formulas . Pievērsiet uzmanību to beznosacījuma priekšrocībām. Pirmkārt, integrācija tiek veikta paplašināšanas pozitīvajā segmentā, kas nozīmē, ka mēs droši atbrīvojamies no moduļa , ņemot vērā tikai “X” no diviem gabaliem. Un, otrkārt, integrācija ir ievērojami vienkāršota.

Divi:

Integrēsim pa daļām:

Tādējādi:
, savukārt konstante , kas nav atkarīga no “en”, tiek ņemta ārpus summas.

Atbilde:

2) Pierakstīsim intervāla paplašinājumu, lai to izdarītu, aizvietojam nepieciešamo pusperioda vērtību vispārējā formulā:

Furjē sērijas pāra un nepāra funkciju izvēršana uz intervālu dotas funkcijas paplašināšana virknē sinusos vai kosinusos Furjē rinda funkcijai ar patvaļīgu periodu Furjē sērijas komplekss attēlojums vispārējās ortogonālās funkciju sistēmās Furjē rindas ortogonālā sistēma Furjē koeficientu minimālā īpašība Besela nevienādība Vienādība Parseval Slēgtas sistēmas Sistēmu pilnība un noslēgtība

Pāra un nepāra funkciju Furjē sērijas izvēršana F(x), kas definēta intervālā \-1, kur I > 0, tiek izsaukta pat tad, ja pāra funkcijas grafiks ir simetrisks ap ordinātu asi. Funkciju f(x), kas definēta segmentā J), kur I > 0, sauc par nepāra, ja nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Piemērs. a) Funkcija ir pāra intervālā |-jt, jt), jo visiem x e b) Funkcija ir nepāra, jo pāra un nepāra funkciju Furjē sērijas izvēršana ir intervālā dotas funkcijas paplašināšana virknē sinusu vai sinusu kosinusi Furjē rinda funkcijai ar patvaļīgu periodu Furjē rindas komplekss attēlojums vispārējām ortogonālām funkciju sistēmām Furjē rinda ortogonālai sistēmai Furjē koeficientu minimālā īpašība Besela nevienādība Parsevala vienādība Slēgtās sistēmas Sistēmu pilnība un noslēgtība c) Funkcija f (x)=x2-x, kur nepieder ne pāra, ne nepāra funkcijām, jo Lai funkcija f(x), kas atbilst 1. teorēmas nosacījumiem, ir pāra intervālā x|. Tad visiem t.i. /(x) cos nx ir pāra funkcija, un f(x) sinnx ir nepāra funkcija. Līdz ar to pāra funkcijas /(x) Furjē koeficienti būs vienādi. Tāpēc pāra funkcijas Furjē rindai ir forma f(x) sin х - pāra funkcija. Tāpēc mums būs Tādējādi nepāra funkcijas Furjē rindai ir forma 1. piemērs. Izvērsiet funkciju 4 Furjē sērijā intervālā -x ^ x ^ n Tā kā šī funkcija ir pāra un atbilst 1. teorēmas nosacījumiem, tad tās Furjē rindai ir forma Atrodi Furjē koeficientus. Divreiz tiek izmantota integrācija pa daļām, mēs iegūstam, ka Tātad šīs funkcijas Furjē rinda izskatās šādi: vai, izvērstā veidā, Šī vienādība ir derīga jebkuram x €, jo punktos x = ±ir ir summa sērija sakrīt ar funkcijas f(x) = x2 vērtībām, jo funkcijas f(x) = x grafiki un iegūto sēriju summa ir parādīti attēlā. komentēt. Šī Furjē rinda ļauj mums atrast vienas konverģentas skaitliskās rindas summu, proti, ja x = 0, mēs iegūstam, ka 2. piemērs. Izvērsiet funkciju /(x) = x uz Furjē sēriju šajā intervālā. 6. § 6. Intervālā dotas funkcijas paplašināšana sinusu vai kosinusu virknē Ļaujiet intervālam norādīt ierobežotu gabalos monotonu funkciju /. Šīs funkcijas vērtības intervālā 0| var sīkāk definēt dažādos veidos. Piemēram, segmentā tc] varat definēt funkciju /, lai /. Šajā gadījumā viņi saka, ka) “vienmērīgi tiek paplašināts līdz segmentam 0]”; tā Furjē sērija saturēs tikai kosinusus. Ja funkcija /(x) ir definēta segmentā [-l-, mc] tā, ka /(, tad mēs iegūstam nepāra funkciju, un tad viņi saka, ka / ir “paplašināta līdz segmentam [-*, 0] nepāra veids” šajā gadījumā Furjē sērija saturēs tikai sinusus. Tādējādi katra ierobežota, fragmentāri definēta funkcija f(x) var tikt izvērsta Furjē rindā gan sinusu izteiksmē. kosinusu piemērs 1. Izvērsiet funkciju Furjē rindā: a) kosinusos; b) pēc sinusa. Tas dod, un tāpēc ģeometriski šī īpašība nozīmē, ka apgabalā, kas ir iekrāsots attēlā. 10 apgabali ir vienādi viens ar otru. Jo īpaši funkcijai f(x) ar periodu mēs iegūstam, izvēršot pāra un nepāra funkciju Furjē sēriju, intervālā dotās funkcijas izvēršanu virknē sinusu vai kosinusu Furjē sērijā funkcijai ar patvaļīgu funkciju periods Furjē sērijas kompleksais apzīmējums Furjē sērijas vispārīgās ortogonālās sistēmas funkcijās Furjē rindas ortogonālā sistēmā Furjē koeficientu minimālā īpašība Besela nevienādība Vienādība Parseval Slēgtas sistēmas Sistēmu pilnība un noslēgtība 2. piemērs. Funkcija x ir periodiska ar periodu Šīs funkcijas nepāra dēļ, nerēķinot integrāļus, varam apgalvot, ka jebkurai Pierādītā īpašība jo īpaši parāda, ka Furjē koeficienti periodisko funkciju f(x) ar periodu 21 var aprēķināt, izmantojot formulas, kur a ir patvaļīgs reāls skaitlis (ņemiet vērā, ka funkcijām cos - un sin ir periods 2/). 3. piemērs. Izvērsiet Furjē sērijā funkciju, kas dota intervālā ar periodu 2x (11. att.). 4 Atradīsim šīs funkcijas Furjē koeficientus. Ievietojot formulas, mēs atklājam, ka tādēļ Furjē rinda izskatīsies šādi: Punktā x = jt (pirmā veida pārtraukuma punkts) mums ir §8. Furjē sērijas kompleksais ieraksts Šajā sadaļā ir izmantoti daži kompleksās analīzes elementi (skat. XXX nodaļu, kur visas darbības, kas šeit tiek veiktas ar sarežģītām izteiksmēm, ir stingri pamatotas). Ļaujiet funkcijai f(x) izpildīt pietiekamus nosacījumus izvēršanai Furjē sērijā. Tad segmentā x] to var attēlot ar formas sēriju Izmantojot Eilera formulas Šīs izteiksmes aizstājot sērijā (1), nevis cos πx un sin φx, mēs iegūsim Ieviesīsim šādu apzīmējumu Tad tiks ņemta sērija (2) forma Tādējādi Furjē rinda (1) tiek attēlota kompleksā formā (3). Atradīsim izteiksmes koeficientiem caur integrāļiem. Mums ir Līdzīgi mēs atrodam Galīgās formulas с„, с_п un с var uzrakstīt šādi: . . Koeficientus с sauc par funkcijas kompleksajiem Furjē koeficientiem. Periodiskai funkcijai Furjē rindas kompleksā forma būs tāda, kurā koeficienti Cn tiek aprēķināti, izmantojot formulas (3 ) un (4) tiek saprasts šādi: sērijas (3) un (4) tiek sauktas par konverģentām noteiktām vērtībām, ja ir ierobežojumi. Piemērs. Izvērst perioda funkciju sarežģītā Furjē sērijā Šī funkcija apmierina pietiekamus nosacījumus paplašināšanai Furjē sērijā. Atradīsim šīs funkcijas kompleksos Furjē koeficientus. Mums ir nepāra pāra n vai, īsi sakot. Aizvietojot vērtības), beidzot iegūstam Ņemiet vērā, ka šo rindu var uzrakstīt arī šādi: Furjē rindas vispārīgām ortogonālām funkciju sistēmām 9.1. Ortogonālās funkciju sistēmas Apzīmēsim ar visu intervālā [a, 6] definēto un integrējamo (reālo) funkciju kopu ar kvadrātu, t.i., tās, kurām pastāv integrālis Konkrēti, visas funkcijas f(x) ir nepārtrauktas intervālā [a , 6] pieder pie 6], un to Lēbesga integrāļu vērtības sakrīt ar Rīmaņa integrāļu vērtībām. Definīcija. Funkciju sistēmu, kur sauc par ortogonālu intervālā [a, b\, ja nosacījums (1) īpaši pieņem, ka neviena no funkcijām nav identiski nulle. Integrālis tiek saprasts Lēbesga nozīmē. Tomēr dažos gadījumos, piemēram, kad rinda (4) saplūst vienmērīgi, visas funkcijas ir nepārtrauktas un intervāls (a, 6) ir ierobežots, šī darbība ir likumīga. Bet mums šobrīd svarīga ir formālā interpretācija. Tātad, dosim funkciju. Veidosim skaitļus c*, izmantojot formulu (5) un ierakstīsim labajā pusē esošās funkcijas f(x) sēriju attiecībā pret sistēmu (^n(i)). sauc par Furjē koeficientiem funkcijai f(x) attiecībā uz šo sistēmu. Zīme ~ formulā (6) nozīmē tikai to, ka skaitļi Cn ir saistīti ar funkciju f(x) pēc formulas (5) (nav pieņemts, ka rinda labajā pusē vispār saplūst, vēl jo mazāk konverģē uz funkciju f (x)). Tāpēc dabiski rodas jautājums: kādas ir šīs sērijas īpašības? Kādā nozīmē tas “attēlo” funkciju f(x)? 9.3. Vidējā konverģence Definīcija. Secība vidēji konverģē elementam ], ja norma atrodas telpā 6. teorēma. Ja secība ) saplūst vienmērīgi, tad tā saplūst vidēji. kad Tn(x) ir funkcijas /(x) Furjē rindas 71. daļējā summa pār sistēmu (. Iestatījums ak = sk, no (7) iegūstam Vienādību (9) sauc par Besela identitāti. Kopš tās kreisās puses puse ir nenegatīva, tad no tās izriet Besela nevienādība, tā kā esmu šeit patvaļīgi, tad Besela nevienādību var attēlot pastiprinātā formā, t.i., jebkurai funkcijai / šīs funkcijas Furjē koeficientu rinda ortonormālā sistēmā ) saplūst. . Tā kā sistēma ir ortonormāla intervālā [-x, m], tad nevienādība (10), kas pārtulkota parastajā trigonometriskās Furjē sērijas apzīmējumā, dod relāciju do, kas ir derīga jebkurai funkcijai /(x) ar integrējamu kvadrātu. Ja f2(x) ir integrējams, tad, ņemot vērā nepieciešamo nosacījumu rindas konverģencei nevienādības (11) kreisajā pusē, mēs to iegūstam. Parsevāla vienādība Dažām sistēmām (^„(x)) nevienādības zīmi formulā (10) var aizstāt (visām funkcijām f(x) 6 ×) ar vienādības zīmi. Iegūto vienādību sauc par Parseval-Steklov vienādību (pilnības nosacījums). Besela identitāte (9) ļauj uzrakstīt nosacījumu (12) līdzvērtīgā formā Tādējādi pilnības nosacījuma izpilde nozīmē, ka funkcijas /(x) Furjē rindas daļējās summas Sn(x) saplūst ar funkciju. /(x) vidēji, t.i. atbilstoši 6. telpas normai]. Definīcija. Ortonormālu sistēmu ( sauc par pilnīgu b2[аy b], ja katru funkciju var vidēji ar jebkādu precizitāti tuvināt ar formas lineāru kombināciju ar pietiekami lielu terminu skaitu, t.i., ja jebkurai funkcijai /(x) ∈ b2 [a, b\ un jebkuram e > 0 ir naturāls skaitlis nq un skaitļi a\, a2y..., lai Nē No iepriekš minētā sprieduma izriet 7. teorēma. Ja ar ortonormalizāciju sistēma ) ir pilnīga telpā, Jebkuras funkcijas / Furjē rinda šajā sistēmā saplūst ar f(x), t.i., saskaņā ar normu. Var parādīt, ka trigonometriskā sistēma ir pilnīga. 8. teorēma. Ja funkcija /o tās trigonometriskā Furjē rinda konverģē tai vidēji. 9.5. Slēgtas sistēmas. Sistēmu pilnība un noslēgtība Definīcija. Ortonormālu funkciju sistēmu \ sauc par slēgtu, ja telpā Li\a, b) nav visām funkcijām ortogonālas funkcijas, kas atšķiras no nulles Telpā L2\a, b\ ortonormālo sistēmu pilnības un noslēgtības jēdzieni sakrīt. Uzdevumi 1. Izvērsiet funkciju Furjē sērijā intervālā (-i-, x) 2. Izvērsiet funkciju 3 Furjē sērijā intervālā (-tr, tr) 3. Paplašiniet funkciju 4 Furjē sērijā intervāls (-tr, tr) Furjē rindā intervāla (-jt, tr) funkcijā 5. Izvērsiet funkciju f(x) = x + x Furjē sērijā intervālā (-tr, tr). 6. Izvērst funkciju n Furjē sērijā intervālā (-jt, tr) 7. Izvērst funkciju f(x) = sin2 x Furjē sērijā intervālā (-tr, x). 8. Izvērsiet funkciju f(x) = y Furjē sērijā intervālā (-tr, jt) 9. Izvērsiet funkciju f(x) = | grēks x|. 10. Izvērsiet funkciju f(x) = § Furjē sērijā intervālā (-π-, π). 11. Izvērsiet funkciju f(x) = sin § Furjē sērijā intervālā (-tr, tr). 12. Izvērst intervālā (0, x) doto funkciju f(x) = n -2x Furjē sērijā, paplašinot to intervālā (-x, 0): a) vienmērīgi; b) dīvainā veidā. 13. Izvērsiet funkciju /(x) = x2, kas dota intervālā (0, x), Furjē rindā sinusos. 14. Izvērsiet funkciju /(x) = 3, kas norādīta intervālā (-2,2), Furjē sērijā. 15. Izvērsiet Furjē sērijā funkciju f(x) = |x|, kas dota intervālā (-1,1). 16. Izvērsiet intervālā (0,1) norādīto funkciju f(x) = 2x Furjē rindā sinusos.

Furjē sērija– veids, kā attēlot sarežģītu funkciju kā vienkāršāku, labi zināmu funkciju summu.
Sinuss un kosinuss ir periodiskas funkcijas. Tie veido arī ortogonālu pamatu. Šo īpašību var izskaidrot ar analoģiju ar asīm X X X Un YY Y koordinātu plaknē. Tāpat kā mēs varam aprakstīt punkta koordinātas attiecībā pret asīm, mēs varam aprakstīt jebkuru funkciju attiecībā uz sinusiem un kosinusiem. Trigonometriskās funkcijas ir labi saprotamas un viegli lietojamas matemātikā.

Sinusus un kosinusus var attēlot šādu viļņu formā:

Zilās ir kosinusus, sarkanās ir sinusus. Šādus viļņus sauc arī par harmoniskām. Kosinusi ir pāra, sinusi ir nepāra. Termins harmonika nāk no senatnes un ir saistīts ar novērojumiem par toņu attiecībām mūzikā.

Kas ir Furjē sērija

>

Šādu sēriju, kurā tiek izmantotas vienkāršākās sinusa un kosinusa funkcijas, sauc par trigonometrisko. Tā tika nosaukta par godu tās izgudrotājam Žanam Batistam Džozefam Furjē 18. gadsimta beigās un 19. gadsimta sākumā. kurš pierādīja, ka jebkuru funkciju var attēlot kā šādu harmoniku kombināciju. Un jo vairāk no tiem jūs uzņemsit, jo precīzāks būs šis attēlojums. Piemēram, zemāk redzamais attēls: jūs varat pamanīt, ka ar lielu harmoniku skaitu, t.i., Furjē sērijas locekļiem, sarkanais grafiks kļūst tuvāks zilajam - sākotnējai funkcijai.

Praktisks pielietojums mūsdienu pasaulē

>

Vai šīs rindas vispār tagad ir vajadzīgas? Kur tos var izmantot praktiski un vai kāds cits, izņemot teorētiskos matemātiķus, tos izmanto? Izrādās, Furjē ir slavens visā pasaulē, jo viņa seriāla praktiskie ieguvumi ir burtiski neaprēķināmi. Tie ir ērti lietojami tur, kur ir jebkādas vibrācijas vai viļņi: akustika, astronomija, radiotehnika utt. Vienkāršākais izmantošanas piemērs: kameras vai videokameras darbības mehānisms. Īsumā paskaidrojot, šīs ierīces ieraksta ne tikai attēlus, bet arī Furjē sērijas koeficientus. Un tas darbojas visur – skatoties bildes internetā, filmu vai klausoties mūziku. Pateicoties Furjē sērijai, tagad varat lasīt šo rakstu no sava mobilā tālruņa. Bez Furjē transformācijas mums nebūtu pietiekami daudz interneta savienojuma joslas platuma, lai vienkārši skatītos YouTube videoklipu pat standarta kvalitātē.

Šī diagramma parāda divdimensiju Furjē transformāciju, ko izmanto, lai attēlu sadalītu harmonikās, t.i., pamatkomponentos. Šajā diagrammā vērtība -1 ir kodēta melnā krāsā, 1 - ar baltu krāsu Pa labi un uz leju diagrammā frekvence palielinās.

Furjē sērijas paplašināšana

>

Droši vien jums jau ir apnicis lasīt, tāpēc pāriesim pie formulām.
Lai izmantotu tādu matemātisku paņēmienu kā funkciju paplašināšana Furjē sērijā, jums būs jāņem integrāļi. Daudz integrāļu. Kopumā Furjē sērija ir uzrakstīta kā bezgalīga summa:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n grēks (n x ) )
Kur
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f (x) grēks (n x) d x

Ja mēs kaut kā varam saskaitīt bezgalīgu skaitu a n a_n a n Un b n b_n b n (tos sauc par Furjē izplešanās koeficientiem, A A A- šī ir vienkārši šīs paplašināšanas konstante), tad iegūtā sērija 100% sakritīs ar sākotnējo funkciju f(x) f(x) f(x) segmentā no − π -\pi − π uz π\pi π . Šis segments ir saistīts ar sinusa un kosinusa integrācijas īpašībām. Jo vairāk n n n, kuram aprēķināsim funkcijas sērijas izplešanās koeficientus, jo precīzāka būs šī izvēršana.

Piemērs

Ņemsim vienkāršu funkciju y = 5 x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displeja stils\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displeja stils\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displeja stils\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) grēks(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xgrēks(2 x) dx= − 5

Un tā tālāk. Šādas funkcijas gadījumā uzreiz varam teikt, ka viss a n = 0 a_n = 0an = 0 , koeficienti b n b_nbn būs jārēķina. Ja funkcijai ņemam Furjē sērijas paplašināšanas pirmos četrus vārdus y = 5 x y = 5xy= 5 x, mēs iegūstam:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{grēks}(x)-5\cdot \mathrm{grēks}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{grēks}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{grēks}(4\cdot x)$

Iegūtās funkcijas grafiks izskatīsies šādi:

Iegūtais Furjē sērijas paplašinājums tuvojas mūsu sākotnējai funkcijai. Ja ņemam lielāku skaitu sērijas terminu, piemēram, 15, mēs redzēsim sekojošo:

Jo vairāk paplašināšanas nosacījumu sērijā, jo augstāka ir precizitāte.
Ja nedaudz mainām grafika mērogu, varam pamanīt vēl vienu transformācijas iezīmi: Furjē rinda ir periodiska funkcija ar periodu. 2 π 2\pi2 π .

Tādējādi mēs varam attēlot jebkuru funkciju, kas ir nepārtraukta šajā intervālā [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Tas viss ir nepieciešams, lai atvieglotu dažu parādību analīzi, kuras raksturo sarežģītas funkcijas. Ne vienmēr ir iespējams analītiski (t.i., izmantojot formulu) aprēķināt atvasinājumu, bet sinusu un kosinusu kopas gadījumā šāda problēma neradīsies. Pats Furjē sērijas paplašinājums parāda, ka problēmas bieži var atrisināt analītiski, izmantojot vienkāršotus modeļus, kuru viens piemērs ir Furjē sērija.