سلسلة فورييه. أمثلة على الحلول. سلسلة فورييه في الأمثلة والمسائل أمثلة على توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه

2. تحديد معاملات السلسلة باستخدام صيغ فورييه.

دع الدالة الدورية ƒ(x) ذات الفترة 2π تكون ممثلة بسلسلة مثلثية تتقارب مع دالة معينة في الفترة (-π، π)، أي أنها مجموع هذه السلسلة:

لنفترض أن تكامل الدالة على الجانب الأيسر من هذه المساواة يساوي مجموع تكاملات حدود هذه المتسلسلة. سيكون هذا صحيحًا إذا افترضنا أن سلسلة الأعداد المكونة من معاملات سلسلة مثلثية معينة متقاربة تمامًا، أي أن سلسلة الأعداد الموجبة تتقارب

السلسلة (1) قابلة للتكبير ويمكن دمجها مصطلحًا تلو الآخر في الفترة (-π، π). لندمج طرفي المساواة (2):

دعونا نقيم بشكل منفصل كل تكامل يظهر على الجانب الأيمن:

,

,

هكذا، ، أين

. (4)

تقدير معاملات فورييه. (بوغروف)

النظرية 1. دع الدالة ƒ(x) للفترة 2π لها مشتق مستمر ƒ (s) (x) من الرتبة s، مما يرضي عدم المساواة على المحور الحقيقي بأكمله:

│ ƒ (ق) (س)│≥ م ث ; (5)

فإن معاملات فورييه للدالة ƒ تلبي عدم المساواة

دليل. التكامل بالأجزاء ومراعاة ذلك

ƒ(-π) = ƒ(π)، لدينا

تكامل الجانب الأيمن من (7) بالتتابع، مع الأخذ في الاعتبار أن المشتقات ƒ ΄، …، ƒ (s-1) متصلة وتأخذ نفس القيم عند النقاط t = -π و t = π، كما وكذلك التقدير (5) نحصل على التقدير الأول (6).

ويتم الحصول على التقدير الثاني (6) بطريقة مماثلة.

النظرية 2. بالنسبة لمعاملات فورييه ƒ(x) فإن عدم المساواة التالية يحمل:

(8)

دليل. لدينا

(9)

بإدخال تغيير المتغير في هذه الحالة ومع الأخذ في الاعتبار أن ƒ(x) هي دالة دورية، نحصل على

وبجمع (9) و(10) نحصل على

نقوم بتنفيذ برهان b k بطريقة مماثلة.

عاقبة. إذا كانت الدالة ƒ(x) متصلة، فإن معاملات فورييه الخاصة بها تميل إلى الصفر: a k → 0، b k → 0، k → ∞.

مساحة الوظائف مع المنتج العددي.

يقال إن الدالة ƒ(x) متصلة على فترة ما إذا كانت متصلة على هذه الفترة، مع استثناء محتمل لعدد محدود من النقاط حيث يكون لها انقطاعات من النوع الأول. يمكن إضافة هذه النقاط وضربها بأرقام حقيقية، ونتيجة لذلك، يتم الحصول مرة أخرى على دوال متصلة متعددة التعريف على القطعة.

المنتج العددي لقطعتين متصلتين على (أ< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

من الواضح أنه بالنسبة لأي دوال متصلة متعددة التعريف ƒ، φ، ψ، يتم استيفاء الخصائص التالية:

1) (ƒ، φ) =(φ، ƒ)؛

2) (ƒ , ƒ) ومن المساواة (ƒ , ƒ) = 0 يترتب على ذلك ƒ(x) =0 على ، ربما باستثناء عدد محدود من النقاط x؛

3) (α ƒ + β φ، ψ) = α (ƒ، ψ) + β (φ، ψ)،

حيث α، β أرقام حقيقية عشوائية.

سوف نشير إلى مجموعة جميع الدوال المستمرة متعددة التعريف المحددة في الفترة التي يتم فيها تقديم المنتج القياسي وفقًا للصيغة (11)، ونسميها الفضاء

ملاحظة 1.

في الرياضيات، الفضاء = (أ، ب) عبارة عن مجموعة من الوظائف ƒ(x) القابلة للتكامل بمعنى ليبيسج مع مربعاتها، والتي يتم تقديم المنتج القياسي لها وفقًا للصيغة (11). المساحة المعنية هي جزء. للفضاء خصائص كثيرة للفضاء، ولكن ليس كلها.

من الخصائص 1)، 2)، 3) تتبع متباينة بونياكوفسكي المهمة | (ƒ، φ) | ≥ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½، والتي تبدو في لغة التكاملات كما يلي:

ضخامة

يسمى معيار الدالة f .

القاعدة لها الخصائص التالية:

1) || و || ≥ 0، في هذه الحالة يمكن أن تكون المساواة فقط للدالة الصفرية f = 0، أي دالة تساوي الصفر، باستثناء عدد محدود من النقاط؛

2) || ƒ + φ || ≥ || ƒ(خ) || || φ ||;

3) || αƒ || = | α | · || ƒ ||،

حيث α هو عدد حقيقي.

الخاصية الثانية في لغة التكاملات تبدو كالتالي:

ويسمى متباينة مينكوفسكي.

يقولون أن سلسلة من الوظائف (f n ) تنتمي إلى، تتقارب إلى دالة تنتمي بمعنى المربع المتوسط ​​(أو أيضًا في القاعدة) إذا

لاحظ أنه إذا كان تسلسل الوظائف ƒ n (x) يتقارب بشكل موحد مع الدالة ƒ (x) على المقطع، فبالنسبة لـ n كبير بدرجة كافية، يجب أن يكون الفرق ƒ (x) - ƒ n (x) في القيمة المطلقة صغيرًا للجميع × من المقطع .

إذا كانت ƒ n (x) تميل إلى ƒ (x) بمعنى المربع المتوسط ​​في الفاصل الزمني، فقد لا يكون الفرق المشار إليه صغيرًا بالنسبة إلى n الكبيرة في كل مكان. في بعض أماكن القطعة قد يكون هذا الاختلاف كبيرًا، لكن الشيء الوحيد المهم هو أن تكامل مربعها على القطعة يكون صغيرًا بالنسبة لـ n الكبيرة.

مثال. لنفترض أن الدالة الخطية المستمرة المتعددة التعريف ƒ n (x) (n = 1, 2,...) المبينة في الشكل، و

(بوغروف، ص 281، الشكل 120)

لأي عدد طبيعي ن

وبالتالي، فإن تسلسل الوظائف هذا، على الرغم من أنه يتقارب إلى الصفر مثل n → ∞، لا يتقارب بشكل منتظم. في أثناء

أي أن تسلسل الدوال (f n (x)) يميل إلى الصفر بمعنى متوسط ​​المربع على .

من عناصر تسلسل معين من الوظائف ƒ 1، ƒ 2، ƒ 3،... (التابعة لـ ) نقوم ببناء سلسلة

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

مجموع حدوده n الأولى

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

هناك وظيفة تنتمي إلى . إذا حدث أن هناك وظيفة ƒ هكذا

|| ƒ- σ ن || → 0 (ن → ∞)،

ثم يقولون أن المتسلسلة (12) تتقارب مع الدالة ƒ بالمعنى المربع المتوسط ​​وتكتب

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

الملاحظة 2.

يمكننا اعتبار الفضاء = (a, b) للدوال ذات القيمة المركبة ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x)، حيث ƒ 1 (x) وƒ 2 (x) دوال متصلة متعددة التعريف . في هذا الفضاء، يتم ضرب الدوال بالأرقام المركبة والمنتج العددي للدوال ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) و φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) ) يتم تعريفها على النحو التالي:

ويتم تعريف القاعدة ƒ على أنها القيمة

متسلسلة فورييه هي تمثيل لدالة عشوائية ذات فترة محددة على شكل سلسلة. بشكل عام، يسمى هذا الحل تحلل العنصر على أساس متعامد. يعد توسيع الدوال إلى متسلسلة فورييه أداة قوية إلى حد ما لحل المشكلات المختلفة نظرًا لخصائص هذا التحويل أثناء التكامل والتمايز، فضلاً عن تحويل التعبيرات عن طريق الوسيطة والالتواء.

الشخص الذي ليس على دراية بالرياضيات العليا، وكذلك أعمال العالم الفرنسي فورييه، على الأرجح لن يفهم ما هي هذه "السلسلة" وما هي الحاجة إليها. وفي الوقت نفسه، أصبح هذا التحول مدمجًا تمامًا في حياتنا. يتم استخدامه ليس فقط من قبل علماء الرياضيات، ولكن أيضًا من قبل الفيزيائيين والكيميائيين والأطباء وعلماء الفلك وعلماء الزلازل وعلماء المحيطات وغيرهم الكثير. دعونا أيضًا نلقي نظرة فاحصة على أعمال العالم الفرنسي العظيم الذي توصل إلى اكتشاف سابق لعصره.

الإنسان وتحويل فورييه

تعتبر سلسلة فورييه إحدى الطرق (مع التحليل وغيره) وتحدث هذه العملية في كل مرة يسمع فيها الإنسان صوتًا. تقوم أذننا تلقائيًا بتحويل الجسيمات الأولية في وسط مرن إلى صفوف (على طول الطيف) من مستويات الصوت المتعاقبة لنغمات ذات ارتفاعات مختلفة. بعد ذلك، يقوم الدماغ بتحويل هذه البيانات إلى أصوات مألوفة بالنسبة لنا. كل هذا يحدث خارج رغبتنا أو وعينا، من تلقاء نفسه، ولكن من أجل فهم هذه العمليات، سوف يستغرق الأمر عدة سنوات لدراسة الرياضيات العليا.

المزيد عن تحويل فورييه

يمكن إجراء تحويل فورييه باستخدام الطرق التحليلية والعددية وغيرها. تشير سلسلة فورييه إلى الطريقة العددية لتحليل أي عمليات تذبذبية - من المد والجزر في المحيطات والأمواج الضوئية إلى دورات النشاط الشمسي (والأجسام الفلكية الأخرى). باستخدام هذه التقنيات الرياضية، يمكنك تحليل الوظائف، وتمثيل أي عمليات تذبذبية كسلسلة من المكونات الجيبية التي تتحرك من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعودة. تحويل فورييه هو دالة تصف طور وسعة الجيوب الأنفية المقابلة لتردد معين. يمكن استخدام هذه العملية لحل معادلات معقدة للغاية تصف العمليات الديناميكية التي تنشأ تحت تأثير الطاقة الحرارية أو الضوئية أو الكهربائية. كما تتيح سلسلة فورييه أيضًا عزل المكونات الثابتة في الإشارات التذبذبية المعقدة، مما يجعل من الممكن تفسير الملاحظات التجريبية التي تم الحصول عليها في الطب والكيمياء وعلم الفلك بشكل صحيح.

الخلفية التاريخية

الأب المؤسس لهذه النظرية هو عالم الرياضيات الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورييه. وقد سمي هذا التحول فيما بعد باسمه. في البداية، استخدم العالم طريقته لدراسة وشرح آليات التوصيل الحراري - انتشار الحرارة في المواد الصلبة. اقترح فورييه أن التوزيع الأولي غير المنتظم يمكن أن يتحلل إلى جيوب بسيطة، كل منها سيكون له الحد الأدنى والحد الأقصى لدرجة الحرارة الخاصة به، بالإضافة إلى الطور الخاص به. في هذه الحالة، سيتم قياس كل مكون من هذا القبيل من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعودة. تسمى الوظيفة الرياضية التي تصف القمم العلوية والسفلية للمنحنى، بالإضافة إلى مرحلة كل من التوافقيات، بتحويل فورييه للتعبير عن توزيع درجة الحرارة. قام مؤلف النظرية باختزال دالة التوزيع العامة، والتي يصعب وصفها رياضيًا، إلى سلسلة مريحة للغاية من جيب التمام والجيب، والتي تعطي معًا التوزيع الأصلي.

مبدأ التحول وآراء المعاصرين

ولم يقبل معاصرو العالم - علماء الرياضيات البارزون في أوائل القرن التاسع عشر - هذه النظرية. كان الاعتراض الرئيسي هو تأكيد فورييه على أن الدالة المتقطعة، التي تصف خطًا مستقيمًا أو منحنى متقطعًا، يمكن تمثيلها كمجموع من التعبيرات الجيبية المستمرة. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار خطوة هيفيسايد: قيمتها صفر إلى يسار الانقطاع وواحد إلى اليمين. تصف هذه الوظيفة اعتماد التيار الكهربائي على متغير مؤقت عند إغلاق الدائرة. لم يواجه معاصرو النظرية في ذلك الوقت أبدًا موقفًا مشابهًا حيث يمكن وصف التعبير المتقطع من خلال مجموعة من الدوال العادية المستمرة مثل الأسي أو الجيب أو الخطي أو التربيعي.

ما الذي حير علماء الرياضيات الفرنسيين حول نظرية فورييه؟

بعد كل شيء، إذا كان عالم الرياضيات على حق في تصريحاته، فمن خلال جمع متسلسلة فورييه المثلثية اللانهائية، يمكن للمرء الحصول على تمثيل دقيق للتعبير الخطوة، حتى لو كان لديه العديد من الخطوات المماثلة. في بداية القرن التاسع عشر، بدا مثل هذا البيان سخيفا. لكن رغم كل الشكوك، قام العديد من علماء الرياضيات بتوسيع نطاق دراسة هذه الظاهرة، حيث أخذوها إلى ما هو أبعد من دراسة التوصيل الحراري. ومع ذلك، ظل معظم العلماء يتعذبون بالسؤال: "هل يمكن لمجموع المتسلسلة الجيبية أن يتقارب مع القيمة الدقيقة للدالة غير المتصلة؟"

تقارب متسلسلة فورييه: مثال

تنشأ مسألة التقارب عندما يكون من الضروري جمع سلسلة لا حصر لها من الأرقام. لفهم هذه الظاهرة، فكر في مثال كلاسيكي. هل ستتمكن يومًا ما من الوصول إلى الحائط إذا كان حجم كل خطوة لاحقة نصف حجم الخطوة السابقة؟ لنفترض أنك على بعد مترين من الهدف، والخطوة الأولى تأخذك إلى علامة منتصف الطريق، والخطوة التالية تأخذك إلى علامة الثلاثة أرباع، وبعد الخطوة الخامسة ستكون قد قطعت ما يقرب من 97 بالمائة من الطريق. ومع ذلك، بغض النظر عن عدد الخطوات التي تتخذها، فلن تحقق هدفك المقصود بالمعنى الرياضي الصارم. باستخدام الحسابات العددية، يمكن إثبات أنه من الممكن في النهاية الاقتراب من مسافة معينة. وهذا البرهان يعادل إثبات أن مجموع النصف والربع وما إلى ذلك يميل إلى الوحدة.

مسألة التقارب: المجيء الثاني، أو جهاز اللورد كلفن

وقد أثيرت هذه المسألة مرة أخرى في نهاية القرن التاسع عشر، عندما حاولوا استخدام متسلسلة فورييه للتنبؤ بقوة المد والجزر. في هذا الوقت، اخترع اللورد كلفن أداة، وهي عبارة عن جهاز حاسوبي تناظري يسمح للبحارة البحريين العسكريين والتجار بمراقبة هذه الظاهرة الطبيعية. تحدد هذه الآلية مجموعات من المراحل والسعات من جدول ارتفاعات المد والجزر والنقاط الزمنية المقابلة، ويتم قياسها بعناية في ميناء معين على مدار العام. كانت كل معلمة مكونًا جيبيًا لتعبير ارتفاع المد وكانت أحد المكونات العادية. تم إدخال القياسات في أداة حساب اللورد كلفن، والتي قامت بتجميع منحنى يتنبأ بارتفاع الماء كدالة للوقت في العام التالي. وسرعان ما تم رسم منحنيات مماثلة لجميع موانئ العالم.

ماذا لو تعطلت العملية بسبب وظيفة متقطعة؟

في ذلك الوقت، بدا من الواضح أن جهاز التنبؤ بموجة المد والجزر الذي يحتوي على عدد كبير من عناصر العد يمكنه حساب عدد كبير من المراحل والسعات، وبالتالي تقديم تنبؤات أكثر دقة. ومع ذلك، فقد تبين أن هذا النمط لا يلاحظ في الحالات التي يحتوي فيها التعبير المدي الذي ينبغي تصنيعه على قفزة حادة، أي أنه كان متقطعا. إذا تم إدخال بيانات من جدول اللحظات الزمنية إلى الجهاز، فإنه يقوم بحساب عدة معاملات فورييه. تتم استعادة الوظيفة الأصلية بفضل المكونات الجيبية (وفقًا للمعاملات الموجودة). يمكن قياس التناقض بين التعبير الأصلي والمعاد بناؤه في أي وقت. عند إجراء الحسابات والمقارنات المتكررة، فمن الواضح أن قيمة الخطأ الأكبر لا تنخفض. ومع ذلك، فهي موضعية في المنطقة المقابلة لنقطة الانقطاع، وعند أي نقطة أخرى تميل إلى الصفر. وفي عام 1899، تم تأكيد هذه النتيجة نظريًا من قبل جوشوا ويلارد جيبس ​​من جامعة ييل.

تقارب متسلسلة فورييه وتطور الرياضيات بشكل عام

لا ينطبق تحليل فورييه على التعبيرات التي تحتوي على عدد لا حصر له من المسامير خلال فترة زمنية معينة. بشكل عام، متسلسلة فورييه، إذا تم تمثيل الدالة الأصلية بنتيجة قياس فيزيائي حقيقي، تتقارب دائمًا. أدت التساؤلات حول تقارب هذه العملية لفئات محددة من الوظائف إلى ظهور فروع جديدة في الرياضيات، على سبيل المثال، نظرية الوظائف المعممة. إنها مرتبطة بأسماء مثل L. Schwartz و J. Mikusinski و J. Temple. وفي إطار هذه النظرية، تم إنشاء أساس نظري واضح ودقيق لمثل هذه التعبيرات مثل دالة دلتا ديراك (وهي تصف منطقة من منطقة واحدة مركزة في مجاورة متناهية الصغر من نقطة ما) و"خطوة هيفيسايد". بفضل هذا العمل، أصبحت متسلسلة فورييه قابلة للتطبيق في حل المعادلات والمسائل التي تتضمن مفاهيم بديهية: الشحنة النقطية، والكتلة النقطية، وثنائيات القطب المغناطيسي، والحمل المركز على الحزمة.

طريقة فورييه

تبدأ متسلسلة فورييه، وفقًا لمبادئ التداخل، بتحلل الأشكال المعقدة إلى أشكال أبسط. على سبيل المثال، يتم تفسير التغير في تدفق الحرارة من خلال مرورها عبر عوائق مختلفة مصنوعة من مادة عازلة للحرارة ذات شكل غير منتظم أو تغير في سطح الأرض - زلزال، تغير في مدار جرم سماوي - التأثير من الكواكب. كقاعدة عامة، يمكن حل المعادلات التي تصف الأنظمة الكلاسيكية البسيطة بسهولة لكل موجة على حدة. أظهر فورييه أنه يمكن أيضًا تلخيص الحلول البسيطة لإنتاج حلول لمشاكل أكثر تعقيدًا. من الناحية الرياضية، تعد متسلسلة فورييه تقنية لتمثيل تعبير كمجموع التوافقيات - جيب التمام والجيب. لذلك، يُعرف هذا التحليل أيضًا باسم "التحليل التوافقي".

سلسلة فورييه - تقنية مثالية قبل "عصر الكمبيوتر"

قبل إنشاء تكنولوجيا الكمبيوتر، كانت طريقة فورييه هي أفضل سلاح في ترسانة العلماء عند العمل مع الطبيعة الموجية لعالمنا. إن متسلسلة فورييه في شكلها المعقد تجعل من الممكن حل ليس فقط المسائل البسيطة التي يمكن تطبيقها مباشرة على قوانين نيوتن في الميكانيكا، ولكن أيضًا المعادلات الأساسية. إن معظم اكتشافات العلوم النيوتونية في القرن التاسع عشر لم تكن ممكنة إلا بفضل تقنية فورييه.

سلسلة فورييه اليوم

مع تطور أجهزة الكمبيوتر، ارتفعت تحويلات فورييه إلى مستوى جديد نوعيا. هذه التقنية راسخة في جميع مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا. ومن الأمثلة على ذلك الصوت والفيديو الرقمي. ولم يصبح تنفيذه ممكنا إلا بفضل النظرية التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي في بداية القرن التاسع عشر. وهكذا، فإن سلسلة فورييه في شكل معقد جعلت من الممكن تحقيق اختراق في دراسة الفضاء الخارجي. بالإضافة إلى ذلك، فقد أثر على دراسة فيزياء المواد شبه الموصلة والبلازما، وصوتيات الموجات الدقيقة، وعلم المحيطات، والرادار، وعلم الزلازل.

سلسلة فورييه المثلثية

في الرياضيات، متسلسلة فورييه هي طريقة لتمثيل الدوال المعقدة بشكل عشوائي كمجموع من الدوال الأبسط. وفي الحالات العامة، يمكن أن يكون عدد هذه التعبيرات لا نهائيًا. علاوة على ذلك، كلما زاد عددهم في الحساب، كلما كانت النتيجة النهائية أكثر دقة. في أغلب الأحيان، يتم استخدام الدوال المثلثية لجيب التمام أو الجيب كأبسط الوظائف. في هذه الحالة، تسمى متسلسلة فورييه المثلثية، ويسمى حل هذه التعبيرات بالتوسع التوافقي. تلعب هذه الطريقة دورًا مهمًا في الرياضيات. بداية، توفر المتسلسلة المثلثية وسيلة لتصوير ودراسة الدوال، فهي الجهاز الرئيسي للنظرية. وبالإضافة إلى ذلك، فإنه يسمح لك بحل عدد من المسائل في الفيزياء الرياضية. وأخيرًا، ساهمت هذه النظرية في تطوير وإحياء عدد من الفروع المهمة جدًا في العلوم الرياضية (نظرية التكاملات، ونظرية الدوال الدورية). بالإضافة إلى ذلك، كان بمثابة نقطة البداية لتطوير الوظائف التالية للمتغير الحقيقي، كما وضع الأساس للتحليل التوافقي.

وهي بالفعل مملة جدًا. وأشعر أن اللحظة قد حانت عندما حان الوقت لاستخراج سلع معلبة جديدة من الاحتياطيات الاستراتيجية للنظرية. هل من الممكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة بطريقة أخرى؟ على سبيل المثال، التعبير عن قطعة مستقيمة من حيث الجيب وجيب التمام؟ يبدو الأمر لا يصدق، ولكن مثل هذه الوظائف التي تبدو بعيدة يمكن أن تكون كذلك
"إعادة التوحيد". بالإضافة إلى الدرجات المألوفة من الناحية النظرية والتطبيقية، هناك طرق أخرى لتوسيع دالة إلى سلسلة.

في هذا الدرس سوف نتعرف على متسلسلة فورييه المثلثية، ونتطرق إلى مسألة تقاربها ومجموعها، وبالطبع سنقوم بتحليل العديد من الأمثلة على مفكوك الدوال في متسلسلة فورييه. أردت بصدق أن أسمي المقالة "متسلسلة فورييه للدمى"، ولكن هذا سيكون مخادعًا، لأن حل المشكلات يتطلب معرفة بفروع أخرى من التحليل الرياضي وبعض الخبرة العملية. ولذلك فإن الديباجة سوف تشبه تدريب رواد الفضاء =)

أولا، يجب عليك التعامل مع دراسة مواد الصفحة في شكل ممتاز. نعسان ومرتاح ورصين. بدون مشاعر قوية بشأن كسر ساق الهامستر والأفكار المهووسة حول مصاعب الحياة بالنسبة لأسماك الزينة. ليس من الصعب فهم سلسلة فورييه، لكن المهام العملية تتطلب ببساطة تركيزًا متزايدًا من الاهتمام - ومن الناحية المثالية، يجب عليك فصل نفسك تمامًا عن المحفزات الخارجية. ويتفاقم الوضع بسبب عدم وجود طريقة سهلة للتحقق من الحل والإجابة. وبالتالي، إذا كانت صحتك أقل من المتوسط، فمن الأفضل أن تفعل شيئا أسهل. هل هذا صحيح؟

ثانيا، قبل الطيران إلى الفضاء، من الضروري دراسة لوحة العدادات الخاصة بالمركبة الفضائية. لنبدأ بقيم الوظائف التي يجب النقر عليها على الجهاز:

لأي قيمة طبيعية:

1) . في الواقع، يقوم الشكل الجيبي "بغرز" المحور السيني من خلال كل "باي":
. في حالة القيم السالبة للوسيطة فإن النتيجة بالطبع ستكون نفسها: .

2) . ولكن لم يكن الجميع يعرف هذا. جيب التمام "pi" هو ما يعادل "الوامض":

الحجة السلبية لا تغير الأمر: .

ربما هذا يكفي.

وثالثًا، أعزائي طاقم رواد الفضاء، يجب أن تكونوا قادرين على... دمج.
على وجه الخصوص، بثقة تدرج الدالة تحت العلامة التفاضلية, دمج تدريجيويكون في سلام مع صيغة نيوتن-لايبنتز. لنبدأ بتمارين ما قبل الرحلة المهمة. لا أنصح بشكل قاطع بتخطيه، حتى لا تتعرض لانعدام الوزن لاحقًا:

مثال 1

حساب التكاملات المحددة

حيث يأخذ القيم الطبيعية.

حل: يتم التكامل على المتغير "x" وفي هذه المرحلة يعتبر المتغير المنفصل "en" ثابتا. في جميع التكاملات ضع الدالة تحت العلامة التفاضلية:

تبدو النسخة القصيرة من الحل، والتي سيكون من الجيد استهدافها، كما يلي:

فلنعتاد على ذلك:

النقاط الأربع المتبقية هي لوحدك. حاول التعامل مع المهمة بضمير حي واكتب التكاملات بطريقة قصيرة. نماذج من الحلول في نهاية الدرس.

بعد أداء تمارين الجودة، نرتدي بدلات الفضاء
والاستعداد للبدء!

توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني

النظر في بعض الوظائف التي عازمعلى الأقل لفترة من الوقت (وربما لفترة أطول). إذا كانت هذه الدالة قابلة للتكامل على الفترة، فيمكن توسيعها إلى دالة مثلثية سلسلة فورييه:
، أين ما يسمى معاملات فورييه.

في هذه الحالة يتم استدعاء الرقم فترة التحلل، والرقم هو نصف عمر التحلل.

من الواضح أنه في الحالة العامة، تتكون سلسلة فورييه من جيب التمام وجيب التمام:

في الواقع، دعونا نكتب ذلك بالتفصيل:

عادةً ما يُكتب الحد الصفري للمتسلسلة على الصورة .

يتم حساب معاملات فورييه باستخدام الصيغ التالية:

أفهم جيدًا أن أولئك الذين بدأوا دراسة الموضوع ما زالوا غير واضحين بشأن المصطلحات الجديدة: فترة التحلل, نصف دورة, معاملات فورييهإلخ. لا داعي للذعر، فهذا لا يمكن مقارنته بالإثارة قبل الذهاب إلى الفضاء الخارجي. دعونا نفهم كل شيء في المثال التالي، قبل تنفيذه الذي من المنطقي طرح أسئلة عملية ملحة:

ما الذي يجب عليك فعله في المهام التالية؟

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يكون من الضروري تصوير رسم بياني لدالة، ورسم بياني لمجموع سلسلة، ومجموع جزئي، وفي حالة التخيلات الأستاذية المتطورة، افعل شيئًا آخر.

كيفية توسيع وظيفة إلى سلسلة فورييه؟

في الأساس، تحتاج إلى العثور عليها معاملات فورييهأي يؤلف ويحسب ثلاثة تكامل محدد.

يرجى نسخ النموذج العام لسلسلة فورييه وصيغ العمل الثلاثة في دفتر ملاحظاتك. أنا سعيد جدًا لأن بعض زوار الموقع يحققون حلم طفولتهم في أن يصبحوا رواد فضاء أمام عيني مباشرة =)

مثال 2

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني. أنشئ رسمًا بيانيًا، رسمًا بيانيًا لمجموع المتسلسلة والمجموع الجزئي.

حل: الجزء الأول من المهمة هو توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه.

البداية قياسية، تأكد من كتابة ما يلي:

في هذه المشكلة، تكون فترة التوسيع نصف فترة.

دعونا نوسع الدالة إلى متسلسلة فورييه على الفترة:

وباستخدام الصيغ المناسبة نجد معاملات فورييه. الآن نحن بحاجة إلى تكوين وحساب ثلاثة تكامل محدد. وللتيسير سأقوم بترقيم النقاط:

1) التكامل الأول هو الأبسط، ولكنه يتطلب أيضًا مقل العيون:

2) استخدم الصيغة الثانية:

وهذا التكامل معروف جيداً يأخذها قطعة قطعة:

تستخدم عند العثور عليها طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية.

في المهمة قيد النظر، يكون الأمر أكثر ملاءمة للاستخدام على الفور صيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد :

بضع ملاحظات فنية. أولا، بعد تطبيق الصيغة يجب أن يكون التعبير بأكمله محاطًا بأقواس كبيرةلأنه يوجد ثابت قبل التكامل الأصلي. دعونا لا نفقدها! يمكن توسيع الأقواس في أي خطوة أخرى؛ لقد فعلت ذلك كحل أخير. في "القطعة" الأولى لقد أظهرنا اهتمامًا شديدًا بالاستبدال، كما ترون، ولم يتم استخدام الثابت، وتم استبدال حدود التكامل في المنتج. تم تمييز هذا الإجراء بين قوسين معقوفين. حسنًا، أنت على دراية بتكامل "الجزء" الثاني من الصيغة من مهمة التدريب؛-)

والأهم من ذلك - التركيز الشديد!

3) نبحث عن معامل فورييه الثالث:

يتم الحصول على قريب من التكامل السابق، وهو أيضا يدمج بشكل مجزأ:

هذا المثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وسأعلق على الخطوات الإضافية خطوة بخطوة:

(1) التعبير محاط بالكامل بين قوسين كبيرين. لم أكن أريد أن أبدو مملا، فهم يفقدون الثابت في كثير من الأحيان.

(٢) في هذه الحالة، قمت على الفور بفتح هذه الأقواس الكبيرة. اهتمام خاصنحن نكرس أنفسنا لـ "القطعة" الأولى: يدخن المستمر على الهامش ولا يشارك في استبدال حدود التكامل (و) في المنتج. نظرًا لفوضى التسجيل، يُنصح مرة أخرى بتسليط الضوء على هذا الإجراء بين قوسين معقوفين. مع "القطعة" الثانية كل شيء أبسط: هنا ظهر الكسر بعد فتح الأقواس الكبيرة، والثابت - نتيجة لتكامل التكامل المألوف؛-)

(3) نجري التحويلات بين قوسين مربعين، وفي التكامل الصحيح نعوض بحدود التكامل.

(4) نزيل "الضوء الوامض" من الأقواس المربعة : ، ثم نفتح الأقواس الداخلية : .

(5) نحذف 1 و -1 بين قوسين ونجري التبسيط النهائي.

وأخيرًا، تم العثور على معاملات فورييه الثلاثة:

دعونا نستبدلهم في الصيغة :

وفي الوقت نفسه، لا تنسى أن تقسم إلى النصف. في الخطوة الأخيرة، يتم أخذ الثابت ("ناقص اثنين")، الذي لا يعتمد على "en"، خارج المجموع.

وهكذا، حصلنا على توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفترة:

دعونا ندرس مسألة تقارب متسلسلة فورييه. وسأشرح النظرية على وجه الخصوص نظرية ديريشليت، حرفيا "على الأصابع"، لذلك إذا كنت بحاجة إلى صيغ صارمة، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي حول التحليل الرياضي (على سبيل المثال، المجلد الثاني من بوهان؛ أو المجلد الثالث من فيشتنهولتز، لكنه أكثر صعوبة).

يتطلب الجزء الثاني من المشكلة رسم رسم بياني، رسم بياني لمجموع سلسلة، ورسم بياني لمجموع جزئي.

الرسم البياني للوظيفة هو المعتاد خط مستقيم على متن الطائرة، والتي يتم رسمها بخط منقط أسود:

دعونا معرفة مجموع السلسلة. كما تعلمون، سلسلة الوظائف تتلاقى مع الوظائف. في حالتنا، سلسلة فورييه التي تم إنشاؤها لأي قيمة "x"سوف تتقارب مع الوظيفة، والتي تظهر باللون الأحمر. هذه الوظيفة تتسامح تمزقات من النوع الأولفي نقاط، ولكن يتم تعريفها أيضًا (النقاط الحمراء في الرسم)

هكذا: . من السهل أن نرى أنها مختلفة بشكل ملحوظ عن الوظيفة الأصلية، وهذا هو السبب في الإدخال يتم استخدام التلدة بدلا من علامة يساوي.

دعونا ندرس خوارزمية مناسبة لبناء مجموع السلسلة.

على الفاصل الزمني المركزي، تتقارب سلسلة فورييه مع الدالة نفسها (يتزامن الجزء الأحمر المركزي مع الخط الأسود المنقط للدالة الخطية).

الآن دعونا نتحدث قليلاً عن طبيعة التوسع المثلثي قيد النظر. سلسلة فورييه يتم تضمين الوظائف الدورية فقط (الثابت، وجيب التمام، وجيب التمام)، وبالتالي فإن مجموع السلسلة هي أيضا وظيفة دورية.

ماذا يعني هذا في مثالنا المحدد؟ وهذا يعني أن مجموع السلسلة –بالتأكيد دوريةويجب تكرار الجزء الأحمر من الفاصل الزمني إلى ما لا نهاية على اليسار واليمين.

أعتقد أن معنى عبارة "فترة التحلل" أصبح الآن واضحا. بكل بساطة، في كل مرة يتكرر الوضع مرارا وتكرارا.

ومن الناحية العملية، عادة ما يكفي تصوير ثلاث فترات من التحلل، كما هو الحال في الرسم. حسنًا، وأيضًا "جذوع الأشجار" للفترات المجاورة - بحيث يكون من الواضح أن الرسم البياني مستمر.

ذات أهمية خاصة هي نقاط الانقطاع من النوع الأول. في مثل هذه النقاط، تتقارب سلسلة فورييه إلى قيم معزولة، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" الانقطاع (النقاط الحمراء في الرسم). كيفية معرفة إحداثيات هذه النقاط؟ أولاً، دعونا نوجد إحداثيات "الطابق العلوي": للقيام بذلك، نحسب قيمة الدالة عند أقصى يمين الفترة المركزية للتوسع: . لحساب إحداثيات "الطابق السفلي"، أسهل طريقة هي أخذ القيمة الموجودة في أقصى اليسار للفترة نفسها: . إحداثيات القيمة المتوسطة هي الوسط الحسابي لمجموع "الأعلى والأسفل": . الحقيقة اللطيفة هي أنه عند إنشاء رسم، سترى على الفور ما إذا كان الوسط قد تم حسابه بشكل صحيح أم غير صحيح.

لنقم ببناء مجموع جزئي للمتسلسلة وفي نفس الوقت نكرر معنى مصطلح "التقارب". الدافع معروف أيضًا من الدرس مجموع سلسلة أرقام. دعونا نصف ثروتنا بالتفصيل:

لتكوين مجموع جزئي، عليك كتابة صفر + حدين آخرين من السلسلة. إنه،

في الرسم، يظهر الرسم البياني للدالة باللون الأخضر، وكما ترون، فإنه "يغلف" المبلغ بالكامل بإحكام شديد. إذا أخذنا في الاعتبار مجموعًا جزئيًا لخمسة حدود من السلسلة، فإن الرسم البياني لهذه الدالة سوف يقترب من الخطوط الحمراء بشكل أكثر دقة؛ إذا كان هناك مائة حد، فإن "الثعبان الأخضر" سيندمج تمامًا مع الأجزاء الحمراء، إلخ. وهكذا فإن متسلسلة فورييه تتقارب إلى مجموعها.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن أي مبلغ جزئي هو وظيفة مستمرةومع ذلك، فإن المجموع الإجمالي للسلسلة لا يزال متقطعا.

من الناحية العملية، ليس من النادر إنشاء رسم بياني للمجموع الجزئي. كيف تفعل هذا؟ في حالتنا، من الضروري النظر في الدالة على المقطع، وحساب قيمها في نهايات المقطع وفي النقاط المتوسطة (كلما زاد عدد النقاط التي تضعها في الاعتبار، كلما كان الرسم البياني أكثر دقة). ثم يجب عليك وضع علامة على هذه النقاط على الرسم ورسم رسم بياني للفترة بعناية، ثم "تكراره" في فترات متجاورة. وإلا كيف؟ بعد كل شيء، التقريب هو أيضًا وظيفة دورية... ...يذكرني الرسم البياني الخاص به في بعض النواحي بإيقاع قلب منتظم على شاشة الجهاز الطبي.

إن تنفيذ البناء، بطبيعة الحال، ليس مريحًا للغاية، حيث يتعين عليك توخي الحذر الشديد، والحفاظ على دقة لا تقل عن نصف ملليمتر. ومع ذلك، سأسعد القراء الذين لا يشعرون بالراحة مع الرسم - في مشكلة "حقيقية"، ليس من الضروري دائمًا إجراء رسم؛ في حوالي 50٪ من الحالات، من الضروري توسيع الوظيفة إلى سلسلة فورييه وهذا كل شيء .

بعد الانتهاء من الرسم نكمل المهمة:

إجابة:

في العديد من المهام تعاني الوظيفة تمزق من النوع الأولالحق خلال فترة التحلل:

مثال 3

قم بتوسيع الدالة المعطاة في الفترة إلى سلسلة فورييه. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة والمجموع الإجمالي للسلسلة.

يتم تحديد الوظيفة المقترحة بطريقة تدريجية (ولاحظ فقط على المقطع)ويتحمل تمزق من النوع الأولعند نقطة . هل من الممكن حساب معاملات فورييه؟ لا مشكلة. كلا الجانبين الأيسر والأيمن من الدالة قابلان للتكامل في فتراتهما، لذلك يجب تمثيل التكاملات في كل من الصيغ الثلاث كمجموع تكاملين. دعونا نرى، على سبيل المثال، كيف يتم ذلك لمعامل صفر:

وتبين أن التكامل الثاني يساوي الصفر، مما أدى إلى تقليل العمل، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

تم وصف معاملي فورييه الآخرين بالمثل.

كيفية إظهار مجموع السلسلة؟ على الفاصل الزمني الأيسر، نرسم قطعة خط مستقيم، وعلى الفاصل الزمني - قطعة مستقيمة (نسلط الضوء على قسم المحور بالخط العريض والغامق). أي أنه في فترة التوسيع، يتطابق مجموع المتسلسلة مع الدالة في كل مكان باستثناء ثلاث نقاط "سيئة". عند نقطة انقطاع الدالة، ستتقارب متسلسلة فورييه إلى قيمة معزولة، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" الانقطاع. ليس من الصعب رؤيته شفهيًا: الحد الأيسر: الحد الأيمن: ومن الواضح أن إحداثيات نقطة المنتصف هي 0.5.

نظرًا لدورية المجموع، يجب "مضاعفة" الصورة في الفترات المجاورة، على وجه الخصوص، يجب تصوير نفس الشيء على الفواصل الزمنية و . وفي الوقت نفسه، عند النقاط، ستتقارب متسلسلة فورييه مع القيم المتوسطة.

في الواقع، لا يوجد شيء جديد هنا.

حاول التعامل مع هذه المهمة بنفسك. نموذج تقريبي للتصميم النهائي ورسم في نهاية الدرس.

توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه خلال فترة تعسفية

بالنسبة لفترة التوسع التعسفية، حيث "el" هو أي رقم موجب، تتميز صيغ متسلسلة فورييه ومعاملات فورييه بحجة أكثر تعقيدًا قليلاً للجيب وجيب التمام:

إذا، فسنحصل على صيغ الفترة التي بدأنا بها.

تم الحفاظ على الخوارزمية ومبادئ حل المشكلة بالكامل، ولكن التعقيد الفني للحسابات يزداد:

مثال 4

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه ورسم المجموع.

حل: في الواقع تناظرية للمثال رقم 3 مع تمزق من النوع الأولعند نقطة . في هذه المشكلة، تكون فترة التوسيع نصف فترة. يتم تعريف الدالة فقط على نصف الفترة، ولكن هذا لا يغير الأمر - من المهم أن يكون كلا جزأين الدالة قابلين للتكامل.

دعونا نوسع الدالة إلى متسلسلة فورييه:

بما أن الدالة غير متصلة عند الأصل، فمن الواضح أنه يجب كتابة كل معامل فورييه كمجموع تكاملين:

1) سأكتب التكامل الأول بأكبر قدر ممكن من التفاصيل:

2) ننظر بعناية إلى سطح القمر:

التكامل الثاني خذها قطعة قطعة:

ما الذي يجب أن ننتبه إليه جيدًا بعد أن نفتح استمرار الحل بعلامة النجمة؟

أولا، نحن لا نفقد التكامل الأول ، حيث نقوم بالتنفيذ على الفور الاشتراك في العلامة التفاضلية. ثانيا، لا تنسى الثابت المشؤوم قبل القوسين الكبيرين و لا تخلط بينك وبين العلاماتعند استخدام الصيغة . لا تزال الأقواس الكبيرة أكثر ملاءمة لفتحها فورًا في الخطوة التالية.

أما الباقي فهو مسألة تقنية؛ ولا يمكن أن يكون سبب الصعوبات إلا عدم كفاية الخبرة في حل التكاملات.

نعم، لم يكن عبثا أن الزملاء البارزين لعالم الرياضيات الفرنسي فورييه كانوا ساخطين - كيف تجرأ على ترتيب الدوال في سلسلة مثلثية؟! =) بالمناسبة، ربما يكون الجميع مهتمين بالمعنى العملي للمهمة المعنية. عمل فورييه بنفسه على نموذج رياضي للتوصيل الحراري، وبعد ذلك بدأ استخدام السلسلة التي تحمل اسمه لدراسة العديد من العمليات الدورية المرئية وغير المرئية في العالم المحيط. الآن، بالمناسبة، وجدت نفسي أفكر أنه ليس من قبيل الصدفة أنني قارنت الرسم البياني للمثال الثاني مع الإيقاع الدوري للقلب. ويمكن للمهتمين التعرف على التطبيق العملي تحويل فورييهفي مصادر الطرف الثالث. ...على الرغم من أنه من الأفضل عدم القيام بذلك - سيتم تذكره على أنه الحب الأول =)

3) مع الأخذ في الاعتبار الروابط الضعيفة المذكورة مرارا وتكرارا، دعونا ننظر إلى المعامل الثالث:

دعونا نتكامل بالأجزاء:

دعونا نستبدل معاملات فورييه الموجودة في الصيغة ولا ننسى تقسيم معامل الصفر إلى النصف:

دعونا نرسم مجموع السلسلة. دعونا نكرر الإجراء بإيجاز: نرسم خطًا مستقيمًا على فترة، وخطًا مستقيمًا على فترة. إذا كانت قيمة "x" صفرًا، فإننا نضع نقطة في منتصف "قفزة" الفجوة و"نكرر" الرسم البياني للفترات المجاورة:


عند "تقاطعات" الفترات، سيكون المجموع أيضًا مساويًا لنقاط منتصف "قفزة" الفجوة.

مستعد. اسمحوا لي أن أذكرك أن الدالة نفسها يتم تعريفها حسب الشرط فقط على نصف فترة زمنية، ومن الواضح أنها تتطابق مع مجموع السلسلة على الفواصل الزمنية

إجابة:

في بعض الأحيان تكون الدالة المعطاة متعددة التعريف مستمرة خلال فترة التوسيع. أبسط مثال: . حل (انظر المجلد بوهان 2)كما في المثالين السابقين: بالرغم من ذلك استمرارية الوظيفةعند النقطة ، يتم التعبير عن كل معامل فورييه كمجموع تكاملين.

على فترة التحلل نقاط الانقطاع من النوع الأولو/أو قد يكون هناك المزيد من نقاط "التقاطع" في الرسم البياني (اثنتان، وثلاثة، وبشكل عام أي نقطة تقاطع). أخيركمية). إذا كانت الدالة قابلة للتكامل في كل جزء، فهي أيضًا قابلة للتوسيع في سلسلة فورييه. لكن من التجربة العملية لا أتذكر مثل هذا الشيء القاسي. ومع ذلك، هناك مهام أكثر صعوبة من تلك التي تم تناولها للتو، وفي نهاية المقال توجد روابط لسلسلة فورييه ذات التعقيد المتزايد للجميع.

في هذه الأثناء، دعونا نسترخي ونتكئ على كراسينا ونتأمل المساحات اللامتناهية من النجوم:

مثال 5

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني ورسم مجموع السلسلة.

في هذه المشكلة الوظيفة مستمرعلى نصف فترة التوسع، مما يبسط الحل. كل شيء مشابه جدًا للمثال رقم 2. ليس هناك مفر من سفينة الفضاء - عليك أن تقرر =) تم إرفاق نموذج تصميم تقريبي في نهاية الدرس، وهو رسم تخطيطي.

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية

مع الوظائف الزوجية والفردية، يتم تبسيط عملية حل المشكلة بشكل ملحوظ. وهذا هو السبب. لنعد إلى توسيع دالة في متسلسلة فورييه بفترة "اثنين باي" والفترة التعسفية “اثنين إل” .

لنفترض أن وظيفتنا زوجية. الحد العام للسلسلة، كما ترون، يحتوي على جيب التمام وجيب التمام الفردية. وإذا كنا نقوم بفك دالة زوجية، فلماذا نحتاج إلى جيوب غريبة؟! دعونا نعيد ضبط المعامل غير الضروري: .

هكذا، يمكن توسيع الدالة الزوجية في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام:

لأن تكاملات الدوال الزوجيةعلى طول قطعة التكامل المتناظرة بالنسبة إلى الصفر، يمكن مضاعفتها، ثم يتم تبسيط معاملات فورييه المتبقية.

بالنسبة للفجوة:

لفترة تعسفية:

تتضمن أمثلة الكتب المدرسية التي يمكن العثور عليها في أي كتاب مدرسي تقريبًا عن التحليل الرياضي توسعات في الدوال الزوجية . بالإضافة إلى ذلك، فقد واجهتهم عدة مرات في ممارستي الشخصية:

مثال 6

يتم إعطاء الوظيفة. مطلوب:

1) قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه مع النقطة، حيث يوجد رقم موجب تعسفي؛

2) اكتب التوسع في الفترة، وأنشئ دالة، ثم ارسم المجموع الإجمالي للمتسلسلة رسمًا بيانيًا.

حل: في الفقرة الأولى يقترح حل المشكلة بشكل عام، وهذا مريح للغاية! إذا دعت الحاجة، فقط استبدل القيمة الخاصة بك.

1) في هذه المشكلة تكون فترة التمدد نصف فترة. أثناء الإجراءات الإضافية، خاصة أثناء التكامل، يعتبر "el" ثابتًا

الدالة زوجية، مما يعني أنه يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه فقط في جيب التمام: .

نحن نبحث عن معاملات فورييه باستخدام الصيغ . انتبه إلى مزاياها غير المشروطة. أولاً، يتم التكامل على الجزء الإيجابي من التوسيع، مما يعني أننا نتخلص بأمان من الوحدة مع الأخذ في الاعتبار علامة "X" فقط للقطعتين. وثانيا، تم تبسيط التكامل بشكل ملحوظ.

اثنين:

دعونا نتكامل بالأجزاء:

هكذا:
بينما الثابت الذي لا يعتمد على "en" يؤخذ خارج المجموع.

إجابة:

2) لنكتب التوسع في الفترة، وللقيام بذلك، نعوض بقيمة نصف الفترة المطلوبة في الصيغة العامة:

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية توسيع دالة معينة على فترة زمنية إلى سلسلة في جيب التمام أو جيب التمام سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة عشوائية تمثيل معقد لسلسلة فورييه سلسلة فورييه في الأنظمة المتعامدة العامة للوظائف سلسلة فورييه في النظام المتعامد الحد الأدنى من خاصية معاملات فورييه عدم المساواة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة الاكتمال و أنظمة مغلقة

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية يتم استدعاء الدالة f(x)، المحددة على الفاصل الزمني \-1، حيث I > 0، حتى لو كان الرسم البياني للدالة الزوجية متماثلًا حول المحور الإحداثي. الدالة f(x)، المحددة في المقطع J)، حيث I > 0، تسمى غريبة إذا كان الرسم البياني للدالة الفردية متماثلًا بالنسبة إلى الأصل. مثال. أ) تكون الدالة زوجية في الفترة |-jt, jt)، نظرًا لأن جميع x e b) تكون الدالة فردية، نظرًا لأن توسيع متسلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية هو توسيع دالة معطاة في فترة إلى سلسلة في الجيب أو سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة تعسفية تمثيل معقد لسلسلة فورييه سلسلة فورييه للأنظمة المتعامدة العامة للوظائف سلسلة فورييه لنظام متعامد خاصية الحد الأدنى لمعاملات فورييه عدم مساواة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال وإغلاق الأنظمة ج) الوظيفة f (x)=x2-x، حيث لا تنتمي إلى الدوال الزوجية أو الفردية، حيث دع الدالة f(x)، التي تحقق شروط النظرية 1، تكون زوجية على الفاصل الزمني x|. ثم للجميع أي. /(x) cos nx هي دالة زوجية، وf(x) sinnx هي دالة فردية. لذلك، فإن معاملات فورييه للدالة الزوجية /(x) ستكون متساوية، وبالتالي، فإن سلسلة فورييه للدالة الزوجية لها الشكل f(x) sin х - دالة زوجية. وبالتالي، سيكون لدينا وهكذا، فإن متسلسلة فورييه للدالة الفردية لها الشكل مثال 1. قم بتوسيع الدالة 4 إلى متسلسلة فورييه على الفاصل الزمني -x ^ x ^ n بما أن هذه الدالة زوجية وتفي بشروط النظرية 1، ثم تكون متسلسلة فورييه الخاصة بها على شكل أوجد معاملات فورييه. لدينا تطبيق التكامل بالأجزاء مرتين، نحصل على ذلك، تبدو سلسلة فورييه لهذه الوظيفة كما يلي: أو، في شكل موسع، هذه المساواة صالحة لأي x €، لأنه عند النقاط x = ±ir مجموع تتزامن السلسلة مع قيم الدالة f(x) = x2، حيث أن الرسوم البيانية للدالة f(x) = x ومجموع السلسلة الناتجة موضحة في الشكل. تعليق. تتيح لنا متسلسلة فورييه هذه إيجاد مجموع إحدى السلاسل العددية المتقاربة، أي أنه بالنسبة لـ x = 0 نحصل على المثال 2. قم بتوسيع الدالة /(x) = x إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني. 6. § 6. توسيع الدالة المعطاة على الفاصل الزمني إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام دع وظيفة رتيبة محدودة / تُعطى على الفاصل الزمني. قيم هذه الدالة على الفاصل الزمني 0| يمكن تعريفها بشكل أكبر بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك تحديد دالة / في المقطع tc] بحيث يكون /. في هذه الحالة يقولون أن) "يمتد إلى الجزء 0] بطريقة متساوية"؛ سوف تحتوي سلسلة فورييه الخاصة بها على جيب التمام فقط. إذا تم تعريف الدالة /(x) على المقطع [-l-, mc] بحيث /()، فسنحصل على دالة فردية، ثم يقولون أن / "ممتد إلى المقطع [-*, 0] في "بطريقة غريبة" في هذه الحالة، ستحتوي سلسلة فورييه على الجيوب فقط، وبالتالي، يمكن توسيع كل دالة رتيبة محدودة التعريف f(x) محددة على الفاصل الزمني إلى سلسلة فورييه سواء في الجيوب أو في حدود الجيوب. جيب التمام مثال 1. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه: أ) في جيب التمام؛ ب) بالجيوب. وهذا يعطي وبالتالي، هندسيًا، هذه الخاصية تعني أنه في حالة المنطقة المظللة في الشكل. 10 مناطق متساوية مع بعضها البعض. على وجه الخصوص، بالنسبة للدالة f(x) ذات الفترة التي نحصل عليها عند التوسيع إلى سلسلة فورييه من الدوال الزوجية والفردية، وتوسيع دالة معينة على فترة زمنية إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام الفترة التدوين المركب لسلسلة فورييه سلسلة فورييه في الأنظمة المتعامدة العامة وظائف سلسلة فورييه في نظام متعامد خاصية الحد الأدنى لمعاملات فورييه عدم المساواة بيسل المساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال وإغلاق الأنظمة مثال 2. الدالة x دورية مع فترة نظرًا لغرابة هذه الدالة، دون حساب التكاملات، يمكننا أن نذكر أنه لأي خاصية مثبتة، على وجه الخصوص، توضح أن معاملات فورييه لـ يمكن حساب الدالة الدورية f(x) ذات الفترة 21 باستخدام الصيغ التي يكون فيها a رقمًا حقيقيًا عشوائيًا (لاحظ أن الدوال cos - وsin لها فترة 2/). مثال 3. قم بتوسيع دالة معينة إلى سلسلة فورييه على فترة زمنية قدرها 2x (الشكل 11). 4 لنجد معاملات فورييه لهذه الدالة. وبوضع الصيغ نجد أن لذلك، فإن متسلسلة فورييه ستبدو كما يلي: عند النقطة x = jt (نقطة عدم الاستمرارية من النوع الأول) لدينا §8. التسجيل المعقد لسلسلة فورييه يستخدم هذا القسم بعض عناصر التحليل المعقد (انظر الفصل الثلاثين، حيث يتم تبرير جميع الإجراءات التي يتم تنفيذها هنا باستخدام التعبيرات المعقدة بشكل صارم). دع الدالة f(x) تستوفي الشروط الكافية للتوسع في سلسلة فورييه. ثم في المقطع x] يمكن تمثيله بسلسلة من النموذج باستخدام صيغ أويلر استبدال هذه التعبيرات في السلسلة (1) بدلاً من cos πx وsin φx سيكون لدينا دعنا نقدم الترميز التالي ثم ستأخذ السلسلة (2) الشكل وهكذا يتم تمثيل متسلسلة فورييه (1) بشكل معقد (3). دعونا نجد تعبيرات للمعاملات من خلال التكاملات. لدينا بالمثل نجد أن الصيغ النهائية لـ с و с_п و с يمكن كتابتها على النحو التالي: . . تسمى المعاملات № معاملات فورييه المعقدة للدالة، بالنسبة للدالة الدورية ذات الدورة، فإن الشكل المركب لمتسلسلة فورييه سيأخذ الشكل حيث يتم حساب المعاملات Cn باستخدام صيغ تقارب السلسلة (3 ) و (4) يفهم على النحو التالي: تسمى المتسلسلة (3) و (4) متقاربة لقيم معينة إذا كانت هناك حدود مثال. قم بتوسيع دالة الفترة إلى سلسلة فورييه معقدة، وتلبي هذه الدالة الشروط الكافية للتوسيع إلى سلسلة فورييه. دعونا نجد معاملات فورييه المعقدة لهذه الدالة. لدينا عدد فردي لـ n، أو باختصار. باستبدال القيم)، نحصل أخيرًا على ملاحظة أنه يمكن أيضًا كتابة هذه المتسلسلة على النحو التالي: متسلسلة فورييه للأنظمة المتعامدة العامة للوظائف 9.1. أنظمة الوظائف المتعامدة دعنا نشير إلى مجموعة جميع الوظائف (الحقيقية) المحددة والقابلة للتكامل على الفاصل الزمني [a، 6] مع مربع، أي تلك التي يوجد لها تكامل، على وجه الخصوص، جميع الوظائف f(x) مستمرة على الفاصل الزمني [أ، 6]، تنتمي إلى 6]، وتتوافق قيم تكاملات ليبيغ الخاصة بهم مع قيم تكاملات ريمان. تعريف. يسمى نظام الوظائف، حيث، متعامدًا على الفترة [a، b\، إذا كان الشرط (1) يفترض، على وجه الخصوص، أن أياً من الوظائف لا يساوي الصفر المتماثل. يتم فهم التكامل بمعنى Lebesgue. ومع ذلك، في بعض الحالات، على سبيل المثال، عندما تتقارب المتسلسلة (4) بشكل منتظم، وتكون جميع الدوال متصلة والفاصل الزمني (a، 6) محدود، تكون هذه العملية قانونية. ولكن بالنسبة لنا الآن فإن التفسير الرسمي هو المهم. لذا، دع الوظيفة تعطى. دعونا نشكل الأرقام c* باستخدام الصيغة (5) ونكتب السلسلة الموجودة على الجانب الأيمن تسمى سلسلة فورييه للدالة f(x) فيما يتعلق بالنظام (^n(i)). تسمى معاملات فورييه للدالة f(x) فيما يتعلق بهذا النظام. الإشارة ~ في الصيغة (6) تعني فقط أن الأرقام Cn مرتبطة بالدالة f(x) بالصيغة (5) (لا يُفترض أن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب على الإطلاق، ناهيك عن أنها تتقارب مع الدالة f (خ)). ولذلك فإن السؤال الذي يطرح نفسه بطبيعة الحال: ما هي خصائص هذه السلسلة؟ بأي معنى "تمثل" الدالة f(x)؟ 9.3. التقارب في المتوسط ​​التعريف. يتقارب التسلسل مع العنصر ] في المتوسط ​​إذا كان المعيار موجودًا في نظرية الفضاء 6. إذا كان التسلسل ) يتقارب بشكل منتظم، فإنه يتقارب في المتوسط. عندما يكون Tn(x) هو المجموع الجزئي رقم 71 لسلسلة فورييه للدالة /(x) على النظام (. تحديد ak = sk، من (7) نحصل على المساواة (9) يسمى هوية بيسل. منذ يسارها الجانب غير سالب، ومن ثم يتبع عدم مساواة بيسل بما أنني هنا بشكل تعسفي، يمكن تمثيل عدم مساواة بيسل في شكل معزز، أي لأي دالة / سلسلة معاملات فورييه المربعة لهذه الوظيفة في نظام متعامد. . بما أن النظام متعامد على الفترة [-x, m]، فإن عدم المساواة (10) المترجمة إلى التدوين المعتاد لسلسلة فورييه المثلثية تعطي العلاقة الصالحة لأي دالة /(x) مع مربع قابل للتكامل. إذا كانت f2(x) قابلة للتكامل، فبسبب الشرط الضروري لتقارب المتسلسلة على الجانب الأيسر من المتراجحة (11)، نحصل على ذلك. مساواة بارسيفال بالنسبة لبعض الأنظمة (^"(x))، يمكن استبدال علامة عدم المساواة في الصيغة (10) (لجميع الوظائف f(x) 6 ×) بعلامة المساواة. وتسمى المساواة الناتجة بمساواة بارسيفال-ستيكلوف (شرط الاكتمال). تسمح لنا هوية بسل (9) بكتابة الشرط (12) بصيغة مكافئة، وبالتالي فإن استيفاء شرط الاكتمال يعني أن المجاميع الجزئية Sn(x) لسلسلة فورييه للدالة /(x) تتقارب مع الدالة. /(x) في المتوسط، أي حسب قاعدة المساحة 6]. تعريف. يُطلق على النظام المتعامد (مكتمل) في b2[аy b] إذا كان من الممكن تقريب كل دالة بأي دقة في المتوسط ​​من خلال مجموعة خطية من النموذج مع عدد كبير بما فيه الكفاية من المصطلحات، أي إذا كان لأي دالة /(x) ∈ b2 [a, b\ ولأي e > 0 يوجد عدد طبيعي nq والأرقام a\, a2y...، بحيث لا من المنطق أعلاه يتبع النظرية 7. إذا كان النظام ) كاملاً في الفضاء عن طريق التعامد، فإن تتقارب سلسلة فورييه لأي دالة / في هذا النظام إلى f(x) في المتوسط، أي وفقًا للقاعدة، يمكن إثبات أن النظام المثلثي مكتمل في الفضاء. النظرية 8. إذا كانت الدالة /o فإن سلسلة فورييه المثلثية الخاصة بها تتقارب معها في المتوسط. 9.5. الأنظمة المغلقة. تعريف اكتمال وإغلاق الأنظمة. يُطلق على نظام الوظائف المتعامد \ اسم مغلق إذا كان في الفضاء Li\a, b) لا توجد دالة غير صفرية متعامدة لجميع الوظائف في الفضاء L2\a, b\، مفاهيم الاكتمال والانغلاق للأنظمة المتعامدة يتزامن. تمارين 1. قم بتوسيع الدالة في سلسلة فورييه في الفترة (-i-، x) 2. قم بتوسيع الدالة 3 في سلسلة فورييه في الفترة (-tr، tr) 3. قم بتوسيع الدالة 4 في سلسلة فورييه في الفاصل الزمني (-tr, tr) في سلسلة فورييه في دالة الفاصل الزمني (-jt, tr) 5. قم بتوسيع الدالة f(x) = x + x إلى متسلسلة فورييه في الفترة (-tr, tr). 6. قم بتوسيع الدالة n إلى سلسلة فورييه في الفترة (-jt, tr) 7. قم بتوسيع الدالة f(x) = sin2 x إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, x). 8. قم بتوسيع الدالة f(x) = y إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, jt) 9. قم بتوسيع الدالة f(x) = | الخطيئة س|. 10. قم بتوسيع الدالة f(x) = § إلى سلسلة فورييه في الفترة (-π-، π). 11. قم بتوسيع الدالة f(x) = sin § إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, tr). 12. قم بتوسيع الدالة f(x) = n -2x، المعطاة في الفترة (0، x)، إلى سلسلة فورييه، وتوسيعها إلى الفترة (-x، 0): أ) بطريقة متساوية؛ ب) بطريقة غريبة. 13. قم بتوسيع الدالة /(x) = x2، المعطاة في الفترة (0، x)، إلى سلسلة فورييه في جيب الزاوية. 14. قم بتوسيع الدالة /(x) = 3، المعطاة في الفترة (-2,2)، إلى متسلسلة فورييه. 15. قم بتوسيع الدالة f(x) = |x| إلى متسلسلة فورييه، المعطاة في الفترة (-1,1). 16. قم بتوسيع الدالة f(x) = 2x، المحددة في الفاصل الزمني (0،1)، إلى سلسلة فورييه في الجيوب.

سلسلة فورييه- طريقة لتمثيل وظيفة معقدة كمجموع من الوظائف الأكثر بساطة والمعروفة.
الجيب وجيب التمام وظائف دورية. كما أنها تشكل أساسًا متعامدًا. يمكن تفسير هذه الخاصية عن طريق القياس مع المحاور × × Xو ص يعلى المستوى الإحداثي. مثلما يمكننا وصف إحداثيات نقطة بالنسبة إلى المحاور، يمكننا وصف أي دالة بالنسبة إلى الجيب وجيب التمام. الدوال المثلثية مفهومة جيدًا وسهلة الاستخدام في الرياضيات.

يمكن تمثيل الجيوب وجيب التمام على شكل الموجات التالية:

تلك الزرقاء هي جيب التمام، وتلك الحمراء هي الجيوب. تسمى هذه الموجات أيضًا بالتوافقيات. جيب التمام متساوي، وجيب التمام فردي. المصطلح التوافقي يأتي من العصور القديمة ويرتبط بالملاحظات حول العلاقة بين النغمات في الموسيقى.

ما هي سلسلة فورييه

مثل هذه السلسلة، حيث يتم استخدام أبسط وظائف الجيب وجيب التمام، تسمى المثلثية. تم تسميتها على اسم مخترعها جان بابتيست جوزيف فورييه في نهاية القرن الثامن عشر وبداية القرن التاسع عشر. الذي أثبت أنه يمكن تمثيل أي وظيفة على أنها مزيج من هذه التوافقيات. وكلما تناولت المزيد منها، أصبح هذا التمثيل أكثر دقة. على سبيل المثال الصورة أدناه: يمكنك ملاحظة أنه مع وجود عدد كبير من التوافقيات، أي أعضاء سلسلة فورييه، يصبح الرسم البياني الأحمر أقرب إلى الرسم البياني الأزرق - الوظيفة الأصلية.

التطبيق العملي في العالم الحديث

هل هذه الصفوف مطلوبة الآن؟ أين يمكن استخدامها عمليا وهل يستخدمها أي شخص آخر غير علماء الرياضيات النظرية؟ اتضح أن فورييه مشهور في جميع أنحاء العالم لأن الفوائد العملية لسلسلته لا يمكن حصرها بالمعنى الحرفي للكلمة. إنها ملائمة للاستخدام حيث توجد أي اهتزازات أو موجات: الصوتيات، وعلم الفلك، وهندسة الراديو، وما إلى ذلك. أبسط مثال على استخدامه: آلية تشغيل الكاميرا أو كاميرا الفيديو. للتوضيح باختصار، لا تسجل هذه الأجهزة الصور فحسب، بل تسجل معاملات متسلسلة فورييه. وهو يعمل في كل مكان - عند عرض الصور على الإنترنت أو الأفلام أو الاستماع إلى الموسيقى. بفضل سلسلة فورييه يمكنك الآن قراءة هذه المقالة من هاتفك المحمول. بدون تحويل فورييه، لن يكون لدينا ما يكفي من النطاق الترددي للاتصال بالإنترنت لمشاهدة مقطع فيديو على YouTube، حتى بالجودة القياسية.

يوضح هذا الرسم البياني تحويل فورييه ثنائي الأبعاد، والذي يستخدم لتحليل الصورة إلى توافقيات، أي المكونات الأساسية. في هذا الرسم البياني، يتم ترميز القيمة -1 باللون الأسود، و1 باللون الأبيض. إلى يمين الرسم البياني وأسفله، يزداد التردد.

توسيع سلسلة فورييه

ربما تكون قد سئمت بالفعل من القراءة، لذا دعنا ننتقل إلى الصيغ.
بالنسبة لتقنية رياضية مثل توسيع الدوال إلى متسلسلة فورييه، سيتعين عليك أن تأخذ التكاملات. الكثير من التكاملات. بشكل عام، تتم كتابة متسلسلة فورييه كمجموع لا نهائي:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))و(خ) =أ +ن = 1∑ ∞ ​ (أ ن​ كوس (ن س ) +ب ن​ الخطيئة (ن س ))
أين
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxأ=2π1 ​ − π ∫ π ​ و (خ) دكس
أ n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ كوس(نإكس)دكسأ ن​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (خ) كوس (ن س) د س
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ الخطيئة(نx)دxب ن​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (خ) الخطيئة (ن س) د س

إذا تمكنا بطريقة أو بأخرى من حساب عدد لا نهائي ن أ_ن أ ن​ و ب ن ب_ن ب ن​ (تسمى معاملات تمدد فورييه، أ أ أ- هذا ببساطة ثابت لهذا التوسع)، فإن السلسلة الناتجة سوف تتطابق بنسبة 100٪ مع الوظيفة الأصلية و(خ) و(خ) و (خ)على الجزء من - π -\pi − π ل π\بي π . يرجع هذا الجزء إلى خصائص التكامل بين الجيب وجيب التمام. المزيد ن ن ن، والتي نحسب من أجلها معاملات توسيع السلسلة للدالة، كلما كان هذا التوسع أكثر دقة.

مثال

لنأخذ وظيفة بسيطة ص = 5 × ص=5س ص=5 ×
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0أ=2π1 ​ − π ∫ π ​ و(س)دكس=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 × د × =0
أ 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0أ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (س) كوس (س) د س =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 × كوس (س) د × =0
ب 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10ب 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (خ) الخطيئة (س) د س =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 × الخطيئة (س) د × =1 0
أ 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ ديسبلاي ستايل\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0أ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و (س) كوس (2 س) د س =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 × كوس (2 × ) د × =0
ب 2 = 1 π ∫ − π π f (x) خطيئة ⁡ (2 x) د x = 1 π ∫ − π π 5 x خطيئة ⁡ (2 x) د x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ باي) 5x\sin(2x)dx = -5ب 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ و(س) خطيئة(2 س) دس= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 سخطيئة(2 س) دس= − 5

وهكذا. في حالة مثل هذه الوظيفة، يمكننا أن نقول على الفور أن كل شيء أ ن = 0 أ_ن=0أن​ = 0 ، معاملات ب ن ب_نبن​ سوف تضطر إلى حساب. إذا أخذنا الحدود الأربعة الأولى من مفكوك متسلسلة فورييه للدالة ص = 5 × ص=5سذ= 5 س، نحصل على:

$5س\approx 10\cdot \mathrm{خطيئة}(س)-5\cdot \mathrm{خطيئة}(2\cdot س)+310\cdot \mathrm{خطيئة}(3\cdot س)-25\cdot \mathrm{خطيئة}(4\cdot س)$

سيبدو الرسم البياني للوظيفة الناتجة كما يلي:

يقترب توسع سلسلة فورييه الناتج من وظيفتنا الأصلية. ولو أخذنا عددا أكبر من حدود المتسلسلة مثلا 15 سنرى ما يلي:

كلما زاد عدد شروط التوسيع في السلسلة، زادت الدقة.
إذا قمنا بتغيير حجم الرسم البياني قليلاً، فيمكننا ملاحظة ميزة أخرى للتحويل: متسلسلة فورييه هي دالة دورية ذات فترة 2 π 2\بي2 π .

ومن ثم، يمكننا تمثيل أي دالة متصلة على الفترة [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . كل هذا ضروري لتسهيل تحليل بعض الظواهر التي توصف بوظائف معقدة. ليس من الممكن دائمًا حساب المشتق تحليليًا (أي باستخدام صيغة)، ولكن في حالة وجود مجموعة من الجيب وجيب التمام، لن تنشأ مثل هذه المشكلة. يوضح توسيع متسلسلة فورييه في حد ذاته أنه يمكن حل المشكلات في كثير من الأحيان تحليليًا باستخدام نماذج مبسطة، وأحد الأمثلة عليها هو متسلسلة فورييه.