Fourierov red. Primjeri rješenja. Fourierov red u primjerima i zadacima. Primjeri proširenja funkcije u Fourierov red

2. Određivanje koeficijenata serije pomoću Fourierovih formula.

Neka je periodična funkcija ƒ(x) s periodom 2π takva da je predstavljena trigonometrijskim nizom koji konvergira zadanoj funkciji u intervalu (-π, π), tj. zbroj tog niza:

Pretpostavimo da je integral funkcije s lijeve strane ove jednakosti jednak zbroju integrala članova ovog niza. To će biti točno ako pretpostavimo da je brojčani niz sastavljen od koeficijenata danog trigonometrijskog niza apsolutno konvergentan, tj. pozitivni brojevni niz konvergira

Niz (1) je majorizirajući i može se integrirati član po član u intervalu (-π, π). Integrirajmo obje strane jednakosti (2):

Procijenimo zasebno svaki integral koji se pojavljuje na desnoj strani:

,

,

dakle, , gdje

. (4)

Procjena Fourierovih koeficijenata. (Bugrov)

Teorem 1. Neka funkcija ƒ(x) perioda 2π ima kontinuiranu derivaciju ƒ (s) (x) reda s, koja zadovoljava nejednakost na cijeloj realnoj osi:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s ; (5)

tada Fourierovi koeficijenti funkcije ƒ zadovoljavaju nejednakost

Dokaz. Integriranje po dijelovima i vodeći računa o tome

ƒ(-π) = ƒ(π), imamo

Integrirajući desnu stranu (7) sekvencijalno, uzimajući u obzir da su derivacije ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinuirane i poprimaju iste vrijednosti u točkama t = -π i t = π, kao kao i procjenu (5), dobivamo prvu procjenu (6).

Druga procjena (6) dobiva se na sličan način.

Teorem 2. Za Fourierove koeficijente ƒ(x) vrijedi nejednakost:

(8)

Dokaz. imamo

(9)

Uvođenjem promjene varijable u ovom slučaju i uzimajući u obzir da je ƒ(x) periodična funkcija, dobivamo

Zbrajanjem (9) i (10) dobivamo

Na sličan način izvodimo dokaz za b k.

Posljedica. Ako je funkcija ƒ(x) kontinuirana, onda njezini Fourierovi koeficijenti teže nuli: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Prostor funkcija sa skalarnim produktom.

Kaže se da je funkcija ƒ(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu ako je kontinuirana na tom intervalu, uz moguću iznimku konačnog broja točaka u kojima ima diskontinuitete prve vrste. Takve se točke mogu zbrajati i množiti s realnim brojevima i, kao rezultat, opet dobiti komadno kontinuirane funkcije na segmentu.

Skalarni umnožak dva po komadu kontinuirana na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Očito, za bilo koje komadno kontinuirane funkcije ƒ, φ, ψ zadovoljena su sljedeća svojstva:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) i iz jednakosti (ƒ , ƒ) = 0 slijedi da je ƒ(x) =0 na , isključujući, možda, konačan broj točaka x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

gdje su α, β proizvoljni realni brojevi.

Označit ćemo skup svih komadno kontinuiranih funkcija definiranih na intervalu za koji je uveden skalarni umnožak prema formuli (11), i nazvati ga prostorom

Napomena 1.

U matematici, prostor = (a, b) je skup funkcija ƒ(x) koje su integrabilne u Lebesgueovom smislu na zajedno sa svojim kvadratima, za koje se uvodi skalarni produkt prema formuli (11). Predmetni prostor dio je. Prostor ima mnoga svojstva prostora, ali ne sva.

Iz svojstava 1), 2), 3) slijedi važna Bunyakovskyjeva nejednakost | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, što na jeziku integrala izgleda ovako:

Veličina

naziva se norma funkcije f.

Norma ima sljedeća svojstva:

1) || f || ≥ 0, u ovom slučaju jednakost može biti samo za nul funkciju f = 0, tj. funkciju jednaku nuli, osim, možda, za konačni broj točaka;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

gdje je α realan broj.

Drugo svojstvo na jeziku integrala izgleda ovako:

i naziva se nejednakost Minkowskog.

Kažu da niz funkcija ( f n ) pripada, konvergira funkciji pripada u smislu srednjeg kvadrata na (ili također u normi) ako

Imajte na umu da ako niz funkcija ƒ n (x) jednoliko konvergira funkciji ƒ (x) na segmentu , tada bi za dovoljno veliko n razlika ƒ (x) - ƒ n (x) u apsolutnoj vrijednosti trebala biti mala za sve x iz segmenta .

Ako ƒ n (x) teži ƒ (x) u smislu srednjeg kvadrata na intervalu , tada navedena razlika ne mora biti mala za veliko n posvuda na . Na nekim mjestima odsječka ta razlika može biti velika, ali jedino je važno da je integral njegovog kvadrata nad odsječkom mali za veliko n.

Primjer. Neka je dana kontinuirana komadno-linearna funkcija ƒ n (x) (n = 1, 2,...) prikazana na slici, i

(Bugrov, str. 281, sl. 120)

Za svaki prirodni broj n

i, prema tome, ovaj niz funkcija, iako konvergira prema nuli pri n → ∞, ne konvergira uniformno. U međuvremenu

odnosno niz funkcija (f n (x)) teži nuli u smislu srednjeg kvadrata na .

Od elemenata određenog niza funkcija ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (koji pripadaju ) konstruiramo niz

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Zbroj njegovih prvih n članova

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

postoji funkcija koja pripada . Ako se dogodi da postoji funkcija ƒ takva da

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

onda kažu da red (12) konvergira funkciji ƒ u smislu srednjeg kvadrata i pišu

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Napomena 2.

Možemo razmotriti prostor = (a, b) funkcija s kompleksnim vrijednostima ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), gdje su ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) realne komadno kontinuirane funkcije . U tom prostoru funkcije se množe kompleksnim brojevima i skalarnim umnoškom funkcija ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) i φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) definira se na sljedeći način:

a norma ƒ je definirana kao vrijednost

Fourierovi redovi su prikaz proizvoljne funkcije s određenim periodom u obliku niza. Općenito se ovo rješenje naziva dekompozicija elementa duž ortogonalne baze. Proširenje funkcija u Fourierove redove prilično je moćan alat za rješavanje raznih problema zbog svojstava ove transformacije tijekom integracije, diferencijacije, kao i pomicanja izraza pomoću argumenta i konvolucije.

Osoba koja nije upoznata s višom matematikom, kao i s radovima francuskog znanstvenika Fouriera, najvjerojatnije neće razumjeti što su te "serije" i za što su potrebne. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično integrirana u naše živote. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, kemičari, liječnici, astronomi, seizmolozi, oceanografi i mnogi drugi. Pogledajmo pobliže i radove velikog francuskog znanstvenika koji je došao do otkrića koje je bilo ispred svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Fourierov niz je jedna od metoda (uz analizu i druge). Ovaj proces se događa svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski transformira elementarne čestice u elastičnom mediju u nizove (duž spektra) uzastopnih razina glasnoće za tonove različite visine. Zatim, mozak te podatke pretvara u zvukove koji su nam poznati. Sve se to događa izvan naše želje ili svijesti, samo od sebe, ali da bismo razumjeli te procese trebat će nekoliko godina proučavanja više matematike.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija može se provesti pomoću analitičkih, numeričkih i drugih metoda. Fourierovi nizovi odnose se na numeričku metodu rastavljanja bilo kojih oscilatornih procesa - od oceanskih plime i svjetlosnih valova do ciklusa aktivnosti Sunca (i drugih astronomskih objekata). Pomoću ovih matematičkih tehnika možete analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusoidnih komponenti koje se kreću od minimuma do maksimuma i natrag. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Također, Fourierovi redovi omogućuju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što omogućuje ispravnu interpretaciju eksperimentalnih opažanja dobivenih u medicini, kemiji i astronomiji.

Povijesna pozadina

Utemeljitelj ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je znanstvenik koristio svoju metodu za proučavanje i objašnjenje mehanizama toplinske vodljivosti - širenja topline u čvrstim tijelima. Fourier je predložio da se početna nepravilna distribucija može rastaviti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i natrag. Matematička funkcija koja opisuje gornje i donje vrhove krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza distribucije temperature. Autor teorije sveo je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, na vrlo zgodan niz kosinusa i sinusa, koji zajedno daju izvornu distribuciju.

Načelo preobrazbe i pogledi suvremenika

Znanstvenikovi suvremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog stoljeća - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor bila je Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija, koja opisuje ravnu liniju ili diskontinuiranu krivulju, može prikazati kao zbroj sinusoidalnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Heavisideov korak: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o privremenoj varijabli kada je krug zatvoren. Suvremenici teorije u to vrijeme nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija kao što su eksponencijalna, sinusna, linearna ili kvadratna.

Što je zbunilo francuske matematičare u Fourierovoj teoriji?

Uostalom, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, tada se zbrajanjem beskonačnog trigonometrijskog Fourierovog niza može dobiti točan prikaz koraka izraza, čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog stoljeća takva se izjava činila apsurdnom. No unatoč svim sumnjama, mnogi su matematičari proširili opseg proučavanja ovog fenomena, prešavši ga izvan proučavanja toplinske vodljivosti. Međutim, većinu znanstvenika nastavilo je mučiti pitanje: "Može li zbroj sinusoidnog niza konvergirati na točnu vrijednost diskontinuirane funkcije?"

Konvergencija Fourierovih redova: primjer

Pitanje konvergencije postavlja se kad god je potrebno zbrojiti beskonačne nizove brojeva. Da bismo razumjeli ovaj fenomen, razmotrimo klasičan primjer. Hoćeš li ikada moći doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Recimo da ste dva metra od mete, prvi korak vas vodi do pola puta, sljedeći do tri četvrtine, a nakon petog ćete prevaliti gotovo 97 posto puta. Međutim, koliko god koraka napravili, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da je na kraju moguće približiti se onoliko koliko je zadana udaljenost. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstraciji da će zbroj jedne polovice, jedne četvrtine, itd. težiti jedinici.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak ili Naprava Lorda Kelvina

Ovo se pitanje ponovno pokrenulo krajem devetnaestog stoljeća, kada su pokušali koristiti Fourierove redove za predviđanje intenziteta plime i oseke. U to je vrijeme Lord Kelvin izumio instrument, koji je bio analogni računalni uređaj koji je vojnim i trgovačkim mornarima omogućio praćenje ovog prirodnog fenomena. Ovaj mehanizam odredio je skupove faza i amplituda iz tablice visina plime i odgovarajućih vremenskih točaka, pažljivo mjerenih u određenoj luci tijekom godine. Svaki parametar bio je sinusoidalna komponenta izraza visine plime i jedna je od regularnih komponenti. Mjerenja su unesena u računski instrument Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za sljedeću godinu. Vrlo brzo su slične krivulje iscrtane za sve luke svijeta.

Što ako je proces poremećen diskontinuiranom funkcijom?

U to se vrijeme činilo očitim da prediktor plimnih valova s ​​velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati velik broj faza i amplituda i tako dati točnija predviđanja. Međutim, pokazalo se da se ovaj obrazac ne opaža u slučajevima kada je plimni izraz koji je trebalo sintetizirati sadržavao nagli skok, odnosno bio je diskontinuiran. Ako se u uređaj unesu podaci iz tablice vremenskih trenutaka, on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Izvorna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (u skladu s pronađenim koeficijentima). Razlika između izvornog i rekonstruiranog izraza može se izmjeriti u bilo kojem trenutku. Pri ponovnim izračunima i usporedbama jasno je da se vrijednost najveće pogreške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara točki diskontinuiteta, au bilo kojoj drugoj točki teže nuli. Godine 1899. ovaj je rezultat teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Sveučilišta Yale.

Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj šiljaka u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je izvorna funkcija predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja o konvergenciji ovog procesa za određene klase funkcija dovela su do pojave novih grana u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Uz nju se vežu imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinski i J. Temple. U okviru ove teorije stvorena je jasna i precizna teorijska osnova za takve izraze kao što su Diracova delta funkcija (ona opisuje područje jednog područja koncentriranog u infinitezimalnom susjedstvu točke) i Heavisideov "korak". Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi redovi postali su primjenjivi za rješavanje jednadžbi i problema koji uključuju intuitivne koncepte: točkasti naboj, točkastu masu, magnetske dipole i koncentrirano opterećenje na gredi.

Fourierova metoda

Fourierov red, u skladu s principima interferencije, počinje rastavljanjem složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena protoka topline objašnjava se njegovim prolaskom kroz različite prepreke od toplinsko-izolacijskog materijala nepravilnog oblika ili promjena površine zemlje - potres, promjena putanje nebeskog tijela - utjecaj planeta. U pravilu se takve jednadžbe koje opisuju jednostavne klasične sustave mogu lako riješiti za svaki pojedini val. Fourier je pokazao da se jednostavna rješenja također mogu zbrajati kako bi se dobila rješenja za složenije probleme. U matematičkom smislu, Fourierovi redovi su tehnika za predstavljanje izraza kao zbroja harmonika - kosinusa i sinusa. Stoga je ova analiza također poznata kao "harmonijska analiza".

Fourierov red - idealna tehnika prije “kompjuterskog doba”

Prije stvaranja računalne tehnologije, Fourierova metoda bila je najbolje oružje u arsenalu znanstvenika u radu s valnom prirodom našeg svijeta. Fourierov red u složenom obliku omogućuje rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu izravno primijeniti na Newtonove zakone mehanike, već i temeljnih jednadžbi. Većinu otkrića Newtonove znanosti u devetnaestom stoljeću omogućila je samo Fourierova tehnika.

Fourierov red danas

S razvojem računala, Fourierove transformacije su se podigle na kvalitativno novu razinu. Ova tehnika je čvrsto utemeljena u gotovo svim područjima znanosti i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video. Njegova implementacija postala je moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog stoljeća. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara i seizmologije.

Trigonometrijski Fourierov red

U matematici, Fourierov red je način predstavljanja proizvoljnih složenih funkcija kao zbroja jednostavnijih. U općim slučajevima, broj takvih izraza može biti beskonačan. Štoviše, što se njihov broj više uzima u obzir u izračunu, to je točniji konačni rezultat. Najčešće se kao najjednostavnije koriste trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa. U tom se slučaju Fourierovi redovi nazivaju trigonometrijskim, a rješenje takvih izraza naziva se harmonijsko širenje. Ova metoda ima važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz osigurava sredstvo za prikazivanje i također proučavanje funkcija; Osim toga, omogućuje vam rješavanje niza problema u matematičkoj fizici. Konačno, ova je teorija pridonijela razvoju i oživotvorenju niza vrlo važnih grana matematičke znanosti (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužio je kao polazište za razvoj sljedećih funkcija realne varijable, a također je postavio temelje za harmonijsku analizu.

Koji su već prilično dosadni. I osjećam da je došao trenutak kada je vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nove konzerve. Je li moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment ravne linije pomoću sinusa i kosinusa? Čini se nevjerojatnim, ali tako naizgled daleke funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Uz poznate stupnjeve u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

U ovoj lekciji upoznat ćemo se s trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i zbroja, te ćemo, naravno, analizirati brojne primjere širenja funkcija u Fourierove redove. Iskreno sam želio nazvati članak "Fourierovi redovi za glupane", ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i nešto praktičnog iskustva. Stoga će preambula nalikovati treningu astronauta =)

Prvo, trebali biste pristupiti proučavanju materijala stranice u izvrsnoj formi. Naspavan, odmoran i trijezan. Bez jakih emocija o slomljenoj hrčkovoj nozi i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih ribica. Fourierov niz nije teško razumjeti, ali praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pozornosti - idealno bi bilo da se potpuno odvojite od vanjskih podražaja. Situaciju otežava činjenica da ne postoji jednostavan način provjere rješenja i odgovora. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Je li istina.

Drugo, prije leta u svemir potrebno je proučiti instrument ploču letjelice. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na stroju:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . Doista, sinusoida "prošiva" x-os kroz svaki "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "žmigavcu":

Negativni argument ne mijenja stvar: .

Možda je to dovoljno.

I treće, dragi kozmonauti, morate biti u mogućnosti... integrirati.
Posebno samouvjereno podvedite funkciju pod diferencijalni predznak, integrirati po komadu i budi u miru s Newton-Leibnizova formula. Počnimo s važnim vježbama prije leta. Kategorički ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne bi zgnječili u bestežinskom stanju:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje zauzima prirodne vrijednosti.

Otopina: integracija se provodi preko varijable "x" iu ovoj fazi diskretna varijabla "en" smatra se konstantom. U svim integralima staviti funkciju pod predznak diferencijala:

Kratka verzija rješenja, koju bi bilo dobro ciljati, izgleda ovako:

Naviknimo se na to:

Četiri preostale točke su vaše. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i kratko napisati integrale. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO oblačimo skafandere
i spremam se za početak!

Proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu

Razmotrimo neku funkciju koja odlučan barem na određeno vrijeme (a moguće i na dulje razdoblje). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometriju Fourierov red:
, gdje su tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju poziva se broj razdoblje razgradnje, a broj je poluvrijeme razgradnje.

Očito je da se u općem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa:

Doista, zapišimo to detaljno:

Nulti član niza obično se piše u obliku .

Fourierovi koeficijenti izračunavaju se pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da onima koji počinju proučavati temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: razdoblje razgradnje, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Ne paničarite, ovo se ne može usporediti s uzbuđenjem prije odlaska u svemir. Razumimo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti hitna praktična pitanja:

Što trebate učiniti u sljedećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov red. Uz to, često je potrebno nacrtati graf funkcije, graf zbroja niza, djelomični zbroj, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U biti, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastaviti i izračunati tri određeni integral.

Prepišite opći oblik Fourierovog niza i tri radne formule u svoju bilježnicu. Jako mi je drago što neki posjetitelji stranice ostvaruju svoj san iz djetinjstva da postanu astronaut upravo pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširi funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbroja niza i parcijalnog zbroja.

Otopina: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite da:

U ovom problemu, period širenja je poluperioda.

Proširimo funkciju u Fourierov red na intervalu:

Pomoću odgovarajućih formula nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada trebamo sastaviti i izračunati tri određeni integral. Radi lakšeg snalaženja, označit ću točke brojevima:

1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, također zahtijeva oči:

2) Upotrijebite drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima dio po dio:

Koristi se kada se pronađe metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, prikladnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti u velikim zagradama, jer postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem koraku; ovo sam učinio u krajnjem slučaju. U prvom "djelu" Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni; kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvodu. Ova je radnja označena uglatim zagradama. Pa dobro, upoznati ste s integralom drugog “komada” formule iz zadatka za trening;-)

I što je najvažnije – izuzetna koncentracija!

3) Tražimo treći Fourierov koeficijent:

Dobije se relativ prethodnog integrala koji je također integrira po komadu:

Ovaj primjer je malo kompliciraniji, komentirat ću daljnje korake korak po korak:

(1) Izraz je u potpunosti zatvoren u velikim zagradama. Nisam htjela ispasti dosadna, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju sam odmah otvorio ove velike zagrade. Posebna pozornost Posvećujemo se prvom “komadu”: stalno dimi sa strane i ne sudjeluje u zamjeni granica integracije (i) u proizvod. Zbog pretrpanosti snimke ponovno je preporučljivo istaknuti ovu radnju uglatim zagradama. S drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integriranja poznatog integrala;-)

(3) Provodimo transformacije u uglatim zagradama, au desni integral upisujemo limes integracije.

(4) Iz uglatih zagrada uklanjamo “bljeskajuće svjetlo”: , a zatim otvaramo unutarnje zagrade: .

(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i provodimo konačna pojednostavljenja.

Konačno, sva tri Fourierova koeficijenta su pronađena:

Zamijenimo ih u formulu :

U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U posljednjem koraku, konstanta ("minus dva"), koja ne ovisi o "en", uzima se izvan zbroja.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletov teorem, doslovno "na prste", pa ako trebate stroge formulacije, pogledajte udžbenik matematičke analize (na primjer, 2. svezak Bohana; ili 3. svezak Fichtenholtza, ali to je teže).

Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbroja niza i grafa parcijalnog zbroja.

Graf funkcije je uobičajen pravac na ravnini, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Izračunajmo zbroj niza. Kao što znate, funkcijski nizovi konvergiraju u funkcije. U našem slučaju, konstruirani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija tolerira rupture 1. vrste na točkama, ali je na njima i definiran (crvene točke na crtežu)

Stoga: . Lako je vidjeti da se primjetno razlikuje od izvorne funkcije, zbog čega u natuknici Koristi se tilda umjesto znaka jednakosti.

Proučimo algoritam koji je pogodan za konstruiranje zbroja niza.

Na središnjem intervalu Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se s crnom točkastom linijom linearne funkcije).

Razgovarajmo sada malo o prirodi trigonometrijskog proširenja koje razmatramo. Fourierov red uključene su samo periodične funkcije (konstanta, sinusi i kosinusi), dakle zbroj niza također je periodična funkcija.

Što to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbroj niza –svakako periodično a crveni segment intervala mora se beskrajno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je značenje izraza "razdoblje razgradnje" sada konačno postalo jasno. Jednostavnije rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda razgradnje, kao što je učinjeno na crtežu. Pa, i "panjeve" susjednih razdoblja - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.

Posebno su zanimljivi točke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim točkama Fourierov red konvergira na izolirane vrijednosti, koje se nalaze točno u sredini “skoka” diskontinuiteta (crvene točke na crtežu). Kako saznati ordinatu tih točaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost funkcije na krajnjoj desnoj točki središnjeg perioda širenja: . Za izračunavanje ordinate "donjeg kata", najlakši način je uzeti krajnju lijevu vrijednost istog razdoblja: . Ordinata prosječne vrijednosti je aritmetička sredina zbroja “gore i dna”: . Ugodna činjenica je da ćete prilikom izrade crteža odmah vidjeti je li sredina izračunata ispravno ili netočno.

Konstruirajmo djelomični zbroj niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz pouke o zbroj niza brojeva. Opišimo naše bogatstvo u detalje:

Za sastavljanje djelomičnog zbroja potrebno je napisati nula + još dva člana niza. tj.

Na crtežu je graf funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto “omata” punu sumu. Ako uzmemo u obzir djelomični zbroj pet članova niza, tada će graf ove funkcije još točnije aproksimirati crvene linije; ako postoji sto članova, tada će se "zelena zmija" zapravo potpuno stopiti s crvenim segmentima, itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbroju.

Zanimljivo je primijetiti da je svaki djelomični iznos kontinuirana funkcija, međutim, ukupni zbroj niza je još uvijek diskontinuiran.

U praksi nije tako rijetko konstruirati graf djelomičnog zbroja. Kako to učiniti? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na srednjim točkama (što više točaka uzmete u obzir, točniji će biti grafikon). Zatim treba označiti te točke na crtežu i pažljivo nacrtati grafikon na periodi, a zatim ga "replicirati" u susjedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način njen me grafikon podsjeća na ujednačen srčani ritam na zaslonu medicinskog uređaja.

Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući točnost ne manju od pola milimetra. Međutim, zadovoljit ću čitatelje kojima crtanje nije ugodno - u "stvarnom" problemu nije uvijek potrebno izvršiti crtanje; u otprilike 50% slučajeva potrebno je proširiti funkciju u Fourierov red i to je to .

Nakon završetka crteža, rješavamo zadatak:

Odgovor:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste točno tijekom razdoblja razgradnje:

Primjer 3

Proširi funkciju danu na intervalu u Fourierov red. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija specificirana je po dijelovima (i, napomena, samo na segmentu) i podnosi ruptura 1. vrste u točki . Je li moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, stoga bi integrale u svakoj od tri formule trebalo prikazati kao zbroj dvaju integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Druga dva Fourierova koeficijenta opisana su na sličan način.

Kako prikazati zbroj niza? Na lijevom intervalu nacrtamo segment ravne linije, a na intervalu - segment ravne linije (odsjek osi označavamo podebljano i podebljano). To jest, na intervalu proširenja zbroj niza se svugdje poklapa s funkcijom osim u tri "loše" točke. U točki diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati u izoliranu vrijednost, koja se nalazi točno u sredini "skoka" diskontinuiteta. Nije ga teško vidjeti usmeno: Lijeva granica: , Desna granica: i, očito, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti zbroja, slika se mora "množiti" u susjedne periode, posebno se ista stvar mora prikazati na intervalima i . U isto vrijeme, u točkama će Fourierov red konvergirati prema srednjim vrijednostima.

Zapravo, nema tu ništa novo.

Pokušajte se sami nositi s ovim zadatkom. Približan uzorak konačnog dizajna i crtež na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov red kroz proizvoljan period

Za proizvoljan period širenja, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierove redove i Fourierove koeficijente razlikuju se malo kompliciranijim argumentom za sinus i kosinus:

Ako , tada dobivamo intervalne formule s kojima smo započeli.

Algoritam i načela za rješavanje problema u potpunosti su sačuvani, ali tehnička složenost izračuna se povećava:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbroj.

Otopina: zapravo analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u točki . U ovom problemu, period širenja je poluperioda. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - bitno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov red:

Budući da je funkcija diskontinuirana u ishodištu, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbroj dvaju integrala:

1) Napisat ću prvi integral što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo promatramo površinu Mjeseca:

Drugi integral uzimaj dio po dio:

Na što trebamo obratiti pozornost nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo pripisujući diferencijalni predznak. Drugo, ne zaboravite zlosretnu konstantu ispred velikih zagrada i ne dajte se zbuniti znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade još uvijek je prikladnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike, poteškoće mogu nastati samo zbog nedovoljnog iskustva u rješavanju integrala.

Da, nisu uzalud ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera bili ogorčeni - kako se usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Usput, vjerojatno su svi zainteresirani za praktično značenje predmetnog zadatka. Fourier je i sam radio na matematičkom modelu toplinske vodljivosti, a kasnije se serija nazvana po njemu počela koristiti za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sad sam se usput uhvatio kako nisam slučajno usporedio grafikon drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresirani se mogu upoznati s praktičnom primjenom Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako bolje da nije - ostat će zapamćena kao prva ljubav =)

3) Uzimajući u obzir opetovano spominjane slabe veze, pogledajmo treći koeficijent:

Integrirajmo po dijelovima:

Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbroj niza. Ukratko ponovimo postupak: na intervalu konstruiramo pravac, a na intervalu pravac. Ako je vrijednost "x" nula, stavljamo točku u sredinu "skoka" praznine i "repliciramo" grafikon za susjedna razdoblja:


Na "spojima" perioda, zbroj će također biti jednak srednjim točkama "skoka" jaza.

Spreman. Podsjetit ću vas da je sama funkcija po uvjetu definirana samo na poluintervalu i, očito, koincidira sa zbrojem niza na intervalima

Odgovor:

Ponekad je djelomično dana funkcija kontinuirana tijekom razdoblja širenja. Najjednostavniji primjer: . Otopina (vidi Bohan svezak 2) isto kao i u prethodna dva primjera: unatoč kontinuitet funkcije u točki , svaki Fourierov koeficijent izražen je kao zbroj dvaju integrala.

Na intervalu razgradnje točke diskontinuiteta 1. vrste i/ili može biti više "spojnih" točaka grafa (dvije, tri i općenito bilo koja konačni količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je također proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne sjećam se tako okrutne stvari. No, ima i težih zadataka od ovih upravo razmatranih, a na kraju članka nalaze se poveznice na Fourierove redove povećane složenosti za svakoga.

U međuvremenu, opustimo se, zavalimo u svoje stolice i promatramo beskrajna prostranstva zvijezda:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbroj niza.

U ovom problemu funkcija stalan na poluintervalu širenja, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Nema bijega iz svemirskog broda - morate odlučiti =) Približan uzorak dizajna na kraju lekcije, dijagram je priložen.

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

S parnim i neparnim funkcijama proces rješavanja problema je osjetno pojednostavljen. A evo i zašto. Vratimo se na širenje funkcije u Fourierov niz s periodom od “dva pi” i proizvoljna točka "dva el" .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opći član niza, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo funkciju EVEN, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetirajmo nepotrebni koeficijent: .

dakle, parna funkcija može se proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:

Od integrali parnih funkcija duž segmenta integracije koji je simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se preostali Fourierovi koeficijenti pojednostavljuju.

Za prazninu:

Za proizvoljni interval:

Udžbenički primjeri koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, u mojoj osobnoj praksi su se susreli nekoliko puta:

Primjer 6

Funkcija je dana. Potreban:

1) proširiti funkciju u Fourierov niz s periodom , gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati proširenje na interval, konstruirati funkciju i prikazati graf ukupnog zbroja niza.

Otopina: u prvom odlomku predlaže se rješavanje problema u općem obliku, a to je vrlo zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period širenja je poluperioda. Tijekom daljnjih radnji, posebno tijekom integracije, "el" se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima: .

Fourierove koeficijente tražimo pomoću formula . Obratite pažnju na njihove bezuvjetne prednosti. Prvo, integracija se provodi preko pozitivnog segmenta ekspanzije, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo "X" od dva komada. I, drugo, integracija je osjetno pojednostavljena.

Dva:

Integrirajmo po dijelovima:

Stoga:
, dok se konstanta , koja ne ovisi o “en”, uzima izvan zbroja.

Odgovor:

2) Zapišimo proširenje na intervalu, zamijenimo potrebnu vrijednost poluperiode u opću formulu:

Ekspanzija u Fourierov red parnih i neparnih funkcija Ekspanzija funkcije zadane na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju s proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sustavima funkcija Fourierov red u ortogonalni sustav Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sustavi Potpunost i zatvorenost sustava

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red Funkcija f(x), definirana na intervalu \-1, gdje je I > 0, naziva se parnom ako je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os. Funkcija f(x), definirana na segmentu J), gdje je I > 0, naziva se neparnom ako je graf neparne funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Primjer. a) Funkcija je parna na intervalu |-jt, jt), jer je za sve x e b) Funkcija je neparna, jer je proširenje u Fourierov red parnih i neparnih funkcija proširenje funkcije zadane na intervalu u niz u sinusima ili kosinus Fourierov red za funkciju s proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog reda Fourierov red za opće ortogonalne sustave funkcija Fourierov red za ortogonalni sustav Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sustavi Potpunost i zatvorenost sustava c) Funkcija f (x)=x2-x, gdje ne pripada ni parnim ni neparnim funkcijama, jer Neka je funkcija f(x), koja zadovoljava uvjete teorema 1, parna na intervalu x|. Zatim za sve tj. /(x) cos nx je parna funkcija, a f(x) sinnx je neparna. Stoga će Fourierovi koeficijenti parne funkcije /(x) biti jednaki. Dakle, Fourierov red parne funkcije ima oblik f(x) sin h - parna funkcija. Stoga ćemo imati Dakle, Fourierov red neparne funkcije ima oblik. Primjer 1. Proširite funkciju 4 u Fourierov niz na intervalu -x ^ x ^ n Budući da je ova funkcija parna i zadovoljava uvjete iz teorema 1, tada njegov Fourierov red ima oblik Nađite Fourierove koeficijente. Imamo Primjenom integracije po dijelovima dva puta, dobivamo da Dakle, Fourierov red ove funkcije izgleda ovako: ili, u proširenom obliku, Ova jednakost vrijedi za bilo koji x €, budući da je u točkama x = ±ir zbroj serija podudara se s vrijednostima funkcije f(x) = x2, budući da su grafikoni funkcije f(x) = x i zbroj rezultirajuće serije dani na sl. Komentar. Ovaj Fourierov red nam omogućuje da pronađemo zbroj jednog od konvergentnih numeričkih nizova, naime, za x = 0 dobivamo da Primjer 2. Proširite funkciju /(x) = x u Fourierov red na intervalu. 6. § 6. Proširenje funkcije zadane na intervalu u niz po sinusima ili kosinusima Neka je na intervalu dana ograničena komadno monotona funkcija /. Vrijednosti ove funkcije na intervalu 0| mogu se dalje definirati na razne načine. Na primjer, možete definirati funkciju / na segmentu tc] tako da /. U ovom slučaju kažu da se) "proširuje na segment 0] na ravnomjeran način"; njegov će Fourierov red sadržavati samo kosinuse. Ako je funkcija /(x) definirana na segmentu [-l-, mc] tako da je /(, tada dobivamo neparnu funkciju, a onda kažu da je / “prošireno na segment [-*, 0] u neparan način”; u ovom slučaju, Fourierov red će sadržavati samo sinuse. Funkcija se može proširiti u Fourierov red: a) kosinusima; b) sinusima. To daje i stoga, geometrijski, ovo svojstvo znači da u slučaju područja osjenčanog na sl. 10 područja su međusobno jednaka. Konkretno, za funkciju f(x) s periodom dobivamo kod Proširivanje u Fourierov niz parnih i neparnih funkcija, proširenje funkcije zadane na intervalu u niz sinusa ili kosinusa Fourierov red za funkciju s proizvoljnim period Složeni zapis Fourierovog reda Fourierov red u općim funkcijama ortogonalnih sustava Fourierov red u ortogonalnom sustavu Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sustavi Cjelovitost i zatvorenost sustava Primjer 2. Funkcija x je periodična s periodom. Zbog neparnosti ove funkcije, bez izračunavanja integrala, možemo ustvrditi da za bilo koje Dokazano svojstvo, posebno, pokazuje da Fourierovi koeficijenti periodična funkcija f(x) s periodom 21 može se izračunati pomoću formula gdje je a proizvoljan realni broj (uočite da funkcije cos - i sin imaju period 2/). Primjer 3. Proširiti u Fourierov red funkciju zadanu na intervalu s periodom 2x (slika 11). 4 Nađimo Fourierove koeficijente ove funkcije. Stavljanjem u formule nalazimo da će za Stoga će Fourierov red izgledati ovako: U točki x = jt (točka diskontinuiteta prve vrste) imamo §8. Složeno snimanje Fourierovog niza Ovaj odjeljak koristi neke elemente složene analize (vidi Poglavlje XXX, gdje su sve radnje koje se ovdje izvode sa složenim izrazima strogo opravdane). Neka funkcija f(x) zadovoljava dovoljne uvjete za proširenje u Fourierov red. Tada se na segmentu x] može prikazati nizom oblika Koristeći Eulerove formule Zamjenom ovih izraza u niz (1) umjesto cos πx i sin φx imat ćemo Uvedimo sljedeću oznaku Tada će niz (2) imati oblik Dakle, Fourierov red (1) predstavljen je u složenom obliku (3). Nađimo izraze za koeficijente preko integrala. Slično tome, nalazimo. Konačne formule za s„, s_p i s mogu se napisati na sljedeći način: . . Koeficijenti s„ se nazivaju kompleksni Fourierovi koeficijenti funkcije. Za periodičku funkciju, složeni oblik Fourierovog niza poprima oblik gdje se koeficijenti Cn izračunavaju pomoću formula konvergencije nizova (3 ) i (4) razumijeva se na sljedeći način: nizovi (3) i (4) nazivaju se konvergentnim za dane vrijednosti ako postoje granice Primjer. Proširite funkciju perioda u složeni Fourierov red Ova funkcija zadovoljava dovoljne uvjete za proširenje u Fourierov red. Nađimo kompleksne Fourierove koeficijente ove funkcije. Imamo za neparno za parno n, ili, ukratko. Zamjenom vrijednosti) konačno dobivamo. Primijetite da se ovaj niz može napisati i na sljedeći način: Fourierov red za opće ortogonalne sustave funkcija 9.1. Ortogonalni sustavi funkcija Označimo skup svih (realnih) funkcija definiranih i integrabilnih na intervalu [a, 6] s kvadratom, tj. onih za koje postoji integral. Konkretno, sve funkcije f(x) su kontinuirane na intervalu [a , 6], pripadaju 6], a vrijednosti njihovih Lebesgueovih integrala podudaraju se s vrijednostima Riemannovih integrala. Definicija. Sustav funkcija, gdje, naziva se ortogonalnim na intervalu [a, b\, ako uvjet (1) pretpostavlja, posebno, da nijedna od funkcija nije identična nula. Integral se shvaća u Lebesgueovom smislu. Međutim, u nekim slučajevima, na primjer, kada niz (4) konvergira uniformno, sve funkcije su kontinuirane i interval (a, 6) je konačan, ova operacija je zakonita. Ali za nas je sada važno formalno tumačenje. Dakle, neka je dana funkcija. Oblikujmo brojeve c* pomoću formule (5) i napišimo niz s desne strane koji se zove Fourierov red funkcije f(x) u odnosu na sustav (^n(i)). nazivamo Fourierovim koeficijentima funkcije f(x) u odnosu na ovaj sustav. Znak ~ u formuli (6) samo znači da su brojevi Cn povezani s funkcijom f(x) formulom (5) (ne pretpostavlja se da red s desne strane uopće konvergira, a još manje konvergira funkciji f (x)). Stoga se prirodno postavlja pitanje: koja su svojstva ove serije? U kojem smislu to "predstavlja" funkciju f(x)? 9.3. Konvergencija u prosjeku Definicija. Niz konvergira elementu ] u prosjeku ako je norma u prostoru. Teorem 6. Ako niz ) konvergira uniformno, tada konvergira u prosjeku. kada je Tn(x) 71. parcijalni zbroj Fourierovog reda funkcije /(x) nad sustavom (. Postavljanjem ak = sk, iz (7) dobivamo Jednakost (9) naziva se Besselov identitet. Budući da je njegova lijeva strana nenegativna, onda iz nje slijedi Besselova nejednadžba. Budući da sam ovdje proizvoljno, Besselova nejednadžba može se prikazati u pojačanom obliku, tj. za bilo koju funkciju / niz kvadratnih Fourierovih koeficijenata ove funkcije prema ortonormirani sustav) konvergira. Kako je sustav ortonorman na intervalu [-x, m], tada nejednadžba (10) prevedena u uobičajeni zapis trigonometrijskog Fourierovog reda daje relaciju do koja vrijedi za bilo koju funkciju /(x) s integrabilnim kvadratom. Ako je f2(x) integrabilan, tada, zbog nužnog uvjeta konvergencije niza na lijevoj strani nejednadžbe (11), dobivamo to. Parsevalova jednakost Za neke sustave (^„(x)) znak nejednakosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije f(x) 6 ×) znakom jednakosti. Dobivena jednakost naziva se Parseval-Steklova jednakost (uvjet potpunosti). Besselov identitet (9) omogućuje nam da uvjet (12) napišemo u ekvivalentnom obliku. Dakle, ispunjenje uvjeta potpunosti znači da parcijalni zbrojevi Sn(x) Fourierovog reda funkcije /(x) konvergiraju funkciji. /(x) u prosjeku, tj. prema normi prostora 6]. Definicija. Ortonormirani sustav ( naziva se potpunim u b2[ay b] ako se svaka funkcija može aproksimirati s bilo kojom točnošću u prosjeku linearnom kombinacijom oblika s dovoljno velikim brojem članova, tj. ako za bilo koju funkciju /(x) ∈ b2 [a, b\ i za svaki e > 0 postoji prirodan broj nq i brojevi a\, a2y..., takvi da Ne Iz gornjeg razmišljanja slijedi teorem 7 Ortonormiranjem sustava ) je potpun u prostoru, Fourierov red bilo koje funkcije / za ovaj sustav konvergira u prosjeku na f(x), tj. prema normi se može pokazati da je trigonometrijski sustav potpun u prostoru podrazumijeva izjavu. Teorem 8. Ako funkcija /o njezin trigonometrijski Fourierov red konvergira njoj u prosjeku. 9.5. Zatvoreni sustavi. Cjelovitost i zatvorenost sustava Definicija. Ortonormirani sustav funkcija \ naziva se zatvorenim ako u prostoru Li\a, b) ne postoji nenul funkcija ortogonalna svim funkcijama U prostoru L2\a, b\, pojmovi potpunosti i zatvorenosti ortonormiranih sustava podudaraju se. Vježbe 1. Raširi funkciju u Fourierov red u interval (-i-, x) 2. Raširi funkciju 3 u Fourierov red u interval (-tr, tr) 3. Raširi funkciju 4 u Fourierov red u interval (-tr, tr) u Fourierov red u intervalnoj (-jt, tr) funkciji 5. Proširi funkciju f(x) = x + x u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 6. Proširiti funkciju n u Fourierov red u intervalu (-jt, tr) 7. Proširiti funkciju f(x) = sin2 x u Fourierov red u intervalu (-tr, x). 8. Proširi funkciju f(x) = y u Fourierov red u intervalu (-tr, jt) 9. Proširi funkciju f(x) = | grijeh x|. 10. Proširi funkciju f(x) = § u Fourierov red u intervalu (-π-, π). 11. Proširi funkciju f(x) = sin § u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 12. Funkciju f(x) = n -2x, zadanu u intervalu (0, x), raširite u Fourierov red produžujući je u interval (-x, 0): a) na paran način; b) na neobičan način. 13. Proširite funkciju /(x) = x2, zadanu u intervalu (0, x), u Fourierov red po sinusima. 14. Proširite funkciju /(x) = 3, zadanu u intervalu (-2,2), u Fourierov red. 15. Proširite u Fourierov red funkciju f(x) = |x|, zadanu u intervalu (-1,1). 16. Proširite funkciju f(x) = 2x, specificiranu u intervalu (0,1), u Fourierov red u sinusima.

Fourierov red– način prikazivanja složene funkcije kao zbroja jednostavnijih, dobro poznatih.
Sinus i kosinus su periodične funkcije. Oni također čine ortogonalnu osnovu. Ovo se svojstvo može objasniti analogijom sa sjekirama X X X I YY Y na koordinatnoj ravnini. Baš kao što možemo opisati koordinate točke s obzirom na osi, možemo opisati bilo koju funkciju s obzirom na sinuse i kosinuse. Trigonometrijske funkcije su dobro razumljive i jednostavne za korištenje u matematici.

Sinusi i kosinusi mogu se prikazati u obliku sljedećih valova:

Plavi su kosinusi, crveni su sinusi. Takvi se valovi nazivaju i harmonici. Kosinusi su parni, a sinusi neparni. Pojam harmonik dolazi iz antike i povezan je sa zapažanjima o odnosu visina u glazbi.

Što je Fourierov red

Takav niz, gdje se koriste najjednostavnije funkcije sinusa i kosinusa, naziva se trigonometrijskim. Ime je dobio u čast svog izumitelja, Jean Baptiste Josepha Fouriera, krajem 18. i početkom 19. stoljeća. koji je dokazao da se svaka funkcija može prikazati kao kombinacija takvih harmonika. I što ih više uzmete, to će prikaz biti točniji. Na primjer, slika ispod: možete primijetiti da se s velikim brojem harmonika, odnosno članova Fourierovog niza, crveni graf približava plavom - izvornoj funkciji.

Praktična primjena u suvremenom svijetu

Jesu li ovi redovi sada uopće potrebni? Gdje se mogu praktično koristiti i koristi li ih još netko osim teoretskih matematičara? Ispada da je Fourier poznat u cijelom svijetu jer je praktična korist od njegovih serija doslovno nesaglediva. Prikladni su za korištenje tamo gdje postoje bilo kakve vibracije ili valovi: akustika, astronomija, radiotehnika itd. Najjednostavniji primjer njegove upotrebe: mehanizam rada fotoaparata ili video kamere. Da ukratko objasnimo, ovi uređaji ne snimaju samo slike, već i koeficijente Fourierovih redova. I radi svugdje - kada gledate slike na internetu, film ili slušate glazbu. Zahvaljujući Fourierovim serijama sada možete čitati ovaj članak sa svog mobilnog telefona. Bez Fourierove transformacije ne bismo imali dovoljnu propusnost internetske veze da jednostavno gledamo YouTube video, čak ni u standardnoj kvaliteti.

Ovaj dijagram prikazuje dvodimenzionalnu Fourierovu transformaciju, koja se koristi za rastavljanje slike na harmonike, tj. osnovne komponente. U ovom dijagramu vrijednost -1 je kodirana crnom bojom, 1 bijelom bojom, a dolje na grafikonu frekvencija raste.

Proširenje u Fourierov red

Vjerojatno ste već umorni od čitanja, pa prijeđimo na formule.
Za takvu matematičku tehniku ​​kao što je proširenje funkcija u Fourierov niz, morat ćete uzeti integrale. Puno integrala. Općenito, Fourierov red se piše kao beskonačna suma:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ grijeh (n x ) )
Gdje
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ grijeh(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Ako nekako možemo prebrojati beskonačan broj a n a_n a n​ I b n b_n b n​ (oni se nazivaju Fourierovi koeficijenti proširenja, A A A- ovo je jednostavno konstanta ove ekspanzije), tada će se rezultirajući niz podudarati 100% s izvornom funkcijom f(x) f(x) f(x) na segmentu iz − π -\pi − π do π\pi π . Ovaj segment je zbog svojstava integracije sinusa i kosinusa. Što više n n n, za koje izračunavamo koeficijente proširenja funkcije u niz, to će širenje biti točnije.

Primjer

Uzmimo jednostavnu funkciju y = 5 x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\cos(x)dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) grijeh(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xgrijeh(2 x) dx= − 5

I tako dalje. U slučaju takve funkcije, možemo odmah reći da sve a n = 0 a_n=0an​ = 0 , koeficijenti b n b_nbn​ morat će izračunati. Ako za funkciju uzmemo prva četiri člana proširenja u Fourierov red y = 5 x y = 5xg= 5 x, dobivamo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{grijeh}(x)-5\cdot \mathrm{grijeh}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{grijeh}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{grijeh}(4\cdot x)$

Graf dobivene funkcije izgledat će ovako:

Rezultirajuće proširenje u Fourierov red približava se našoj izvornoj funkciji. Ako uzmemo veći broj članova niza, npr. 15, vidjet ćemo sljedeće:

Što je više članova proširenja u nizu, veća je točnost.
Ako malo promijenimo mjerilo grafa, možemo primijetiti još jednu značajku transformacije: Fourierov red je periodična funkcija s periodom 2 π 2\pi2 π .

Dakle, možemo prikazati bilo koju funkciju koja je kontinuirana na intervalu [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Sve je to potrebno kako bi se olakšala analiza nekih pojava koje se opisuju složenim funkcijama. Nije uvijek moguće analitički izračunati derivaciju (tj. pomoću formule), ali u slučaju skupa sinusa i kosinusa, takav problem neće nastati. Samo proširenje Fourierovog niza pokazuje da se problemi često mogu analitički riješiti pomoću pojednostavljenih modela, od kojih je jedan primjer Fourierov niz.