Fourierov rad. Príklady riešení. Fourierove rady v príkladoch a úlohách Príklady rozšírenia funkcie do Fourierovho radu

2. Stanovenie sériových koeficientov pomocou Fourierových vzorcov.

Nech je periodická funkcia ƒ(x) s periódou 2π taká, že je reprezentovaná goniometrickým radom konvergujúcim k danej funkcii v intervale (-π, π), t.j. je súčtom tohto radu:

Predpokladajme, že integrál funkcie na ľavej strane tejto rovnosti sa rovná súčtu integrálov členov tohto radu. To bude platiť, ak predpokladáme, že číselný rad zložený z koeficientov daného goniometrického radu je absolútne konvergentný, teda kladný číselný rad konverguje

Séria (1) je väčšinová a môže byť integrovaná po členoch v intervale (-π, π). Poďme integrovať obe strany rovnosti (2):

Vyhodnoťme samostatne každý integrál zobrazený na pravej strane:

,

,

teda , kde

. (4)

Odhad Fourierových koeficientov. (Bugrov)

Veta 1. Nech funkcia ƒ(x) periódy 2π má spojitú deriváciu ƒ (s) (x) rádu s, ktorá spĺňa nerovnosť na celej reálnej osi:

│ ƒ (s) (x)│≤ Ms; (5)

potom Fourierove koeficienty funkcie ƒ vyhovujú nerovnosti

Dôkaz. Integrácia po častiach a zohľadnenie toho

ƒ(-π) = ƒ(π), máme

Postupná integrácia pravej strany (7), berúc do úvahy, že derivácie ƒ ΄, …, ƒ (s-1) sú spojité a nadobúdajú rovnaké hodnoty v bodoch t = -π a t = π, ako rovnako ako odhad (5), získame prvý odhad ( 6).

Druhý odhad (6) sa získa podobným spôsobom.

Veta 2. Pre Fourierove koeficienty ƒ(x) platí nasledujúca nerovnosť:

(8)

Dôkaz. máme

(9)

Ak v tomto prípade zavedieme zmenu premennej a vezmeme do úvahy, že ƒ(x) je periodická funkcia, dostaneme

Pridaním (9) a (10) dostaneme

Podobným spôsobom vykonáme dôkaz pre b k.

Dôsledok. Ak je funkcia ƒ(x) spojitá, potom jej Fourierove koeficienty majú tendenciu k nule: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Priestor funkcií so skalárnym súčinom.

Funkcia ƒ(x) sa nazýva po častiach spojitá na intervale, ak je na tomto intervale spojitá, možno s výnimkou konečného počtu bodov, kde má nespojitosti prvého druhu. Takéto body je možné sčítať a násobiť reálnymi číslami a výsledkom sú opäť po častiach spojité funkcie na segmente.

Skalárny súčin dvoch súvislých po častiach (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Je zrejmé, že pre všetky po častiach spojité funkcie ƒ, φ, ψ sú splnené tieto vlastnosti:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) a z rovnosti (ƒ , ƒ) = 0 vyplýva, že ƒ(x) =0 na , možno s vylúčením konečného počtu bodov x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

kde α, β sú ľubovoľné reálne čísla.

Označíme množinu všetkých po častiach spojitých funkcií definovaných na intervale, pre ktorý je zavedený skalárny súčin podľa vzorca (11), a nazývame to priestor

Poznámka 1.

V matematike je priestor = (a, b) súborom funkcií ƒ(x), ktoré sú integrovateľné v Lebesgueovom zmysle spolu s ich druhými mocninami, pre ktoré je zavedený skalárny súčin podľa vzorca (11). Predmetný priestor je súčasťou. Priestor má veľa vlastností priestoru, ale nie všetky.

Z vlastností 1), 2), 3) vyplýva dôležitá Bunyakovského nerovnosť | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, čo v jazyku integrálov vyzerá takto:

Veľkosť

sa nazýva norma funkcie f.

Norma má nasledujúce vlastnosti:

1) || f || ≥ 0, v tomto prípade môže byť rovnosť iba pre nulovú funkciu f = 0, t. j. funkciu rovnajúcu sa nule, možno s výnimkou konečného počtu bodov;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

kde α je reálne číslo.

Druhá vlastnosť v jazyku integrálov vyzerá takto:

a nazýva sa Minkowského nerovnosť.

Hovoria, že postupnosť funkcií ( f n ) patrí, konverguje k funkcii patrí v zmysle stredného štvorca na (alebo aj v norme), ak

Všimnite si, že ak postupnosť funkcií ƒ n (x) konverguje rovnomerne k funkcii ƒ (x) na segmente , potom pre dostatočne veľké n by rozdiel ƒ (x) - ƒ n (x) v absolútnej hodnote mal byť malý pre všetky x zo segmentu.

Ak ƒ n (x) smeruje k ƒ (x) v zmysle stredného štvorca na intervale , potom indikovaný rozdiel nemusí byť malý pre veľké n všade na . Na niektorých miestach segmentu môže byť tento rozdiel veľký, ale dôležité je len to, že integrál jeho druhej mocniny nad segmentom je malý pre veľké n.

Príklad. Nech je uvedená spojitá po častiach lineárna funkcia ƒ n (x) (n = 1, 2,...) znázornená na obrázku a

(Bugrov, s. 281, obr. 120)

Pre ľubovoľné prirodzené číslo n

a následne táto postupnosť funkcií, hoci konverguje k nule ako n → ∞, nekonverguje rovnomerne. Medzitým

to znamená, že postupnosť funkcií (f n (x)) má tendenciu k nule v zmysle stredného štvorca na .

Z prvkov určitej postupnosti funkcií ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (patriacich do ) zostrojíme rad

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Súčet jeho prvých n členov

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

existuje funkcia patriaca do . Ak sa stane, že existuje funkcia ƒ taká, že

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

potom povedia, že rad (12) konverguje k funkcii ƒ v strednom štvorcovom zmysle a píšu

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Poznámka 2.

Môžeme uvažovať o priestore = (a, b) komplexných funkcií ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), kde ƒ 1 (x) a ƒ 2 (x) sú reálne po častiach spojité funkcie . V tomto priestore sa funkcie násobia komplexnými číslami a skalárny súčin funkcií ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) a φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) je definovaný takto:

a norma ƒ je definovaná ako hodnota

Fourierove rady sú reprezentáciou ľubovoľnej funkcie s konkrétnou periódou vo forme radu. Vo všeobecnosti sa toto riešenie nazýva rozklad prvku pozdĺž ortogonálnej bázy. Rozšírenie funkcií do Fourierových radov je pomerne silným nástrojom na riešenie rôznych problémov vďaka vlastnostiam tejto transformácie pri integrácii, diferenciácii, ako aj pri posúvaní výrazov argumentom a konvolúciou.

Osoba, ktorá nie je oboznámená s vyššou matematikou, ako aj s prácami francúzskeho vedca Fouriera, s najväčšou pravdepodobnosťou nepochopí, čo sú tieto „série“ a na čo sú potrebné. Medzitým sa táto transformácia celkom integrovala do našich životov. Používajú ho nielen matematici, ale aj fyzici, chemici, lekári, astronómovia, seizmológovia, oceánografi a mnohí ďalší. Pozrime sa tiež bližšie na diela veľkého francúzskeho vedca, ktorý urobil objav, ktorý predbehol dobu.

Človek a Fourierova transformácia

>

Fourierove rady sú jednou z metód (spolu s analýzou a ďalšími). Tento proces sa vyskytuje vždy, keď človek počuje zvuk. Naše ucho automaticky transformuje elementárne častice v elastickom médiu do radov (pozdĺž spektra) po sebe nasledujúcich úrovní hlasitosti pre tóny rôznych výšok. Potom mozog premení tieto údaje na zvuky, ktoré sú nám známe. Toto všetko sa deje mimo našej túžby alebo vedomia, samo o sebe, ale aby sme pochopili tieto procesy, bude trvať niekoľko rokov, kým budeme študovať vyššiu matematiku.

Viac o Fourierovej transformácii

>

Fourierova transformácia môže byť uskutočnená pomocou analytických, numerických a iných metód. Fourierove rady označujú numerickú metódu rozkladu akýchkoľvek oscilačných procesov - od morských prílivov a svetelných vĺn až po cykly slnečnej (a iných astronomických objektov) aktivity. Pomocou týchto matematických techník môžete analyzovať funkcie reprezentujúce akékoľvek oscilačné procesy ako sériu sínusových komponentov, ktoré sa pohybujú od minima k maximu a späť. Fourierova transformácia je funkcia, ktorá popisuje fázu a amplitúdu sínusoidov zodpovedajúcich konkrétnej frekvencii. Tento proces je možné použiť na riešenie veľmi zložitých rovníc, ktoré popisujú dynamické procesy vznikajúce pod vplyvom tepelnej, svetelnej alebo elektrickej energie. Fourierove rady tiež umožňujú izolovať konštantné zložky v komplexných oscilačných signáloch, čo umožňuje správne interpretovať experimentálne pozorovania získané v medicíne, chémii a astronómii.

Historické pozadie

>

Zakladateľom tejto teórie je francúzsky matematik Jean Baptiste Joseph Fourier. Táto premena bola následne pomenovaná po ňom. Spočiatku vedec použil svoju metódu na štúdium a vysvetlenie mechanizmov tepelnej vodivosti - šírenia tepla v pevných látkach. Fourier navrhol, že počiatočné nepravidelné rozdelenie možno rozložiť na jednoduché sínusoidy, z ktorých každá bude mať svoje vlastné teplotné minimum a maximum, ako aj svoju vlastnú fázu. V tomto prípade bude každý takýto komponent meraný od minima po maximum a späť. Matematická funkcia, ktorá opisuje horný a dolný vrchol krivky, ako aj fázu každej z harmonických, sa nazýva Fourierova transformácia výrazu rozloženia teploty. Autor teórie zredukoval všeobecnú distribučnú funkciu, ktorú je ťažké matematicky opísať, na veľmi pohodlný rad kosínusov a sínusov, ktoré spolu dávajú pôvodné rozdelenie.

Princíp premeny a názory súčasníkov

>

Vedcovi súčasníci – poprední matematici začiatku devätnásteho storočia – túto teóriu neprijali. Hlavnou námietkou bolo Fourierovo tvrdenie, že nespojitú funkciu, opisujúcu priamku alebo nespojitú krivku, možno znázorniť ako súčet sínusových výrazov, ktoré sú spojité. Ako príklad uvažujme krok Heaviside: jeho hodnota je nula vľavo od diskontinuity a jedna vpravo. Táto funkcia popisuje závislosť elektrického prúdu od dočasnej premennej pri uzavretom okruhu. Súčasníci vtedajšej teórie sa nikdy nestretli s podobnou situáciou, kedy by nespojitý výraz bol opísaný kombináciou spojitých, obyčajných funkcií ako exponenciálna, sínusová, lineárna alebo kvadratická.

Čo zmiatlo francúzskych matematikov Fourierovu teóriu?

>

Koniec koncov, ak mal matematik vo svojich tvrdeniach pravdu, potom sčítaním nekonečného trigonometrického Fourierovho radu možno získať presné zobrazenie stupňovitého vyjadrenia, aj keď má veľa podobných krokov. Na začiatku devätnásteho storočia sa takéto vyhlásenie zdalo absurdné. Ale napriek všetkým pochybnostiam mnohí matematici rozšírili rozsah štúdia tohto javu a posunuli ho nad rámec štúdia tepelnej vodivosti. Väčšinu vedcov však naďalej trápila otázka: „Môže súčet sínusového radu konvergovať k presnej hodnote nespojitej funkcie?

Konvergencia Fourierových radov: príklad

>

Otázka konvergencie vzniká vždy, keď je potrebné sčítať nekonečné rady čísel. Aby ste pochopili tento jav, zvážte klasický príklad. Dokážete niekedy dosiahnuť na stenu, ak bude každý nasledujúci krok polovičný ako ten predchádzajúci? Povedzme, že ste dva metre od cieľa, prvý krok vás zavedie do polovice, ďalší do trištvrte a po piatom prejdete takmer 97 percent trasy. Avšak bez ohľadu na to, koľko krokov urobíte, nedosiahnete zamýšľaný cieľ v striktnom matematickom zmysle. Pomocou numerických výpočtov je možné dokázať, že je nakoniec možné dostať sa tak blízko, ako je daná vzdialenosť. Tento dôkaz je ekvivalentný preukázaniu, že súčet jednej polovice, jednej štvrtiny atď. bude mať tendenciu k jednote.

Otázka konvergencie: Druhý príchod alebo Nástroj lorda Kelvina

>

Táto otázka bola znovu nastolená na konci devätnásteho storočia, keď sa pokúsili použiť Fourierove série na predpovedanie intenzity prílivu a odlivu. V tom čase lord Kelvin vynašiel nástroj, ktorý bol analógovým výpočtovým zariadením, ktoré umožňovalo vojenským a obchodným námorníkom sledovať tento prírodný jav. Tento mechanizmus určoval súbory fáz a amplitúd z tabuľky výšok prílivu a zodpovedajúcich časových bodov, starostlivo meraných v danom prístave počas celého roka. Každý parameter bol sínusovou zložkou vyjadrenia výšky prílivu a bol jednou z pravidelných zložiek. Merania boli privedené do výpočtového prístroja lorda Kelvina, ktorý syntetizoval krivku, ktorá predpovedala výšku vody ako funkciu času na nasledujúci rok. Veľmi skoro boli podobné krivky vypracované pre všetky prístavy sveta.

Čo ak je proces narušený prerušovanou funkciou?

>

V tom čase sa zdalo zrejmé, že prediktor prílivových vĺn s veľkým počtom počítacích prvkov dokáže vypočítať veľké množstvo fáz a amplitúd, a tak poskytnúť presnejšie predpovede. Ukázalo sa však, že tento vzor nie je pozorovaný v prípadoch, keď prílivový výraz, ktorý by sa mal syntetizovať, obsahoval ostrý skok, to znamená, že bol nespojitý. Ak sú do prístroja zadané údaje z tabuľky časových momentov, vypočíta niekoľko Fourierových koeficientov. Pôvodná funkcia je obnovená vďaka sínusovým komponentom (v súlade so zistenými koeficientmi). Nesúlad medzi pôvodným a rekonštruovaným výrazom možno merať v ktoromkoľvek bode. Pri opakovaných výpočtoch a porovnávaniach je zrejmé, že hodnota najväčšej chyby neklesá. Sú však lokalizované v oblasti zodpovedajúcej bodu diskontinuity a v akomkoľvek inom bode majú tendenciu k nule. V roku 1899 tento výsledok teoreticky potvrdil Joshua Willard Gibbs z Yale University.

Konvergencia Fourierových radov a vývoj matematiky všeobecne

>

Fourierova analýza nie je použiteľná pre výrazy obsahujúce nekonečný počet špičiek v určitom intervale. Vo všeobecnosti platí, že Fourierove rady, ak je pôvodná funkcia reprezentovaná výsledkom reálneho fyzikálneho merania, vždy konvergujú. Otázky o konvergencii tohto procesu pre špecifické triedy funkcií viedli k vzniku nových odvetví v matematike, napríklad teórie zovšeobecnených funkcií. Je spájaná s menami ako L. Schwartz, J. Mikušinski a J. Temple. V rámci tejto teórie bol vytvorený jasný a presný teoretický základ pre také výrazy ako Diracova delta funkcia (opisuje oblasť jednej oblasti sústredenú v infinitezimálnom okolí bodu) a Heavisideov „krok“. Vďaka tejto práci sa Fourierove rady stali použiteľnými pri riešení rovníc a problémov zahŕňajúcich intuitívne koncepty: bodový náboj, hmotnosť bodu, magnetické dipóly a sústredené zaťaženie lúča.

Fourierova metóda

>

Fourierove rady v súlade s princípmi interferencie začínajú rozkladom zložitých foriem na jednoduchšie. Napríklad zmena tepelného toku sa vysvetľuje jeho prechodom cez rôzne prekážky z tepelne izolačného materiálu nepravidelného tvaru alebo zmena povrchu zeme - zemetrasenie, zmena obežnej dráhy nebeského telesa - vplyv planét. Spravidla sa také rovnice, ktoré opisujú jednoduché klasické systémy, dajú ľahko vyriešiť pre každú jednotlivú vlnu. Fourier ukázal, že jednoduché riešenia možno zhrnúť aj do riešenia zložitejších problémov. Z matematického hľadiska sú Fourierove rady technikou na reprezentáciu výrazu ako súčtu harmonických – kosínus a sínus. Preto je táto analýza známa aj ako „harmonická analýza“.

Fourierova séria - ideálna technika pred „vekom počítačov“

>

Pred vytvorením počítačovej technológie bola Fourierova technika najlepšou zbraňou v arzenáli vedcov pri práci s vlnovou povahou nášho sveta. Fourierov rad v komplexnej forme umožňuje riešiť nielen jednoduché problémy, ktoré možno priamo aplikovať na Newtonove zákony mechaniky, ale aj základné rovnice. Väčšinu objavov newtonovskej vedy v devätnástom storočí umožnila iba Fourierova technika.

Fourierova séria dnes

>

S rozvojom počítačov sa Fourierove transformácie dostali na kvalitatívne novú úroveň. Táto technika je pevne zavedená takmer vo všetkých oblastiach vedy a techniky. Príkladom je digitálny zvuk a video. Jeho implementácia bola možná len vďaka teórii, ktorú vyvinul francúzsky matematik na začiatku devätnásteho storočia. Fourierova séria v komplexnej forme teda umožnila urobiť prelom v štúdiu vesmíru. Okrem toho ovplyvnila štúdium fyziky polovodičových materiálov a plazmy, mikrovlnnej akustiky, oceánografie, radaru a seizmológie.

Trigonometrické Fourierove rady

>

V matematike je Fourierov rad spôsob, ako reprezentovať ľubovoľné komplexné funkcie ako súčet jednoduchších. Vo všeobecnosti môže byť počet takýchto výrazov nekonečný. Navyše, čím viac sa pri výpočte zohľadňuje ich počet, tým presnejší je konečný výsledok. Najčastejšie sa ako najjednoduchšie používajú trigonometrické funkcie kosínus alebo sínus. V tomto prípade sa Fourierove rady nazývajú trigonometrické a riešenie takýchto výrazov sa nazýva harmonická expanzia. Táto metóda hrá dôležitú úlohu v matematike. Po prvé, trigonometrický rad poskytuje prostriedok na zobrazenie a tiež štúdium funkcií, je hlavným aparátom teórie. Okrem toho umožňuje riešiť množstvo problémov z matematickej fyziky. Napokon táto teória prispela k rozvoju viacerých veľmi dôležitých odvetví matematickej vedy (teória integrálov, teória periodických funkcií). Okrem toho slúžil ako východiskový bod pre vývoj nasledujúcich funkcií reálnej premennej a tiež položil základ pre harmonickú analýzu.

Ktoré sú už dosť nudné. A mám pocit, že nastala chvíľa, keď je čas vyťažiť zo strategických zásob teórie nové konzervy. Je možné rozšíriť funkciu do série nejakým iným spôsobom? Vyjadrite napríklad priamku pomocou sínusov a kosínusov? Zdá sa to neuveriteľné, ale také zdanlivo vzdialené funkcie môžu byť
„znovu zjednotenie“. Okrem známych titulov v teórii a praxi existujú aj iné prístupy k rozšíreniu funkcie do série.

V tejto lekcii sa zoznámime s trigonometrickým Fourierovým radom, dotkneme sa problematiky jeho konvergencie a súčtu a, samozrejme, rozoberieme množstvo príkladov expanzie funkcií vo Fourierových radoch. Úprimne som chcel tento článok nazvať „Fourierova séria pre figuríny“, ale bolo by to neúprimné, pretože riešenie problémov by si vyžadovalo znalosť iných odvetví matematickej analýzy a určité praktické skúsenosti. Preto bude preambula pripomínať výcvik astronautov =)

Po prvé, mali by ste pristupovať k štúdiu materiálov stránky vo vynikajúcej forme. Ospalý, oddýchnutý a triezvy. Bez silných emócií o zlomenej škrečkovej labke a vtieravých myšlienok o útrapách života akváriových rybičiek. Fourierova séria nie je náročná na pochopenie, ale praktické úlohy si jednoducho vyžadujú zvýšenú koncentráciu pozornosti – v ideálnom prípade by ste sa mali úplne odpútať od vonkajších podnetov. Situáciu zhoršuje skutočnosť, že neexistuje jednoduchý spôsob, ako skontrolovať riešenie a odpoveď. Ak je teda vaše zdravie podpriemerné, je lepšie urobiť niečo jednoduchšie. Je to pravda?

Po druhé, pred letom do vesmíru je potrebné študovať prístrojovú dosku kozmickej lode. Začnime s hodnotami funkcií, na ktoré treba kliknúť na stroji:

Pre akúkoľvek prírodnú hodnotu:

1). V skutočnosti sínusoida „prešíva“ os x cez každé „pí“:
. V prípade záporných hodnôt argumentu bude výsledok samozrejme rovnaký: .

2). Ale nie každý to vedel. Kosínus „pí“ je ekvivalentom „blikača“:

Negatívny argument na veci nič nemení: .

Snáď to stačí.

A do tretice, milý kozmonautský zbor, musíte byť schopný... integrovať.
Najmä sebavedomo priraďte funkciu pod diferenciálne znamienko, integrovať po kúskoch a byť v pokoji s Newtonov-Leibnizov vzorec. Začnime s dôležitými predletovými cvičeniami. Kategoricky neodporúčam preskočiť, aby som sa neskôr nezmlátil v beztiažovom stave:

Príklad 1

Vypočítajte určité integrály

kde berie prírodné hodnoty.

Riešenie: integrácia sa vykonáva nad premennou „x“ av tomto štádiu sa diskrétna premenná „en“ považuje za konštantu. Vo všetkých integráloch dajte funkciu pod diferenciálne znamienko:

Krátka verzia riešenia, na ktorú by bolo dobré zacieliť, vyzerá takto:

Zvykajme si:

Zostávajúce štyri body sú na vás. Skúste pristupovať k úlohe svedomito a integrály píšte v skratke. Vzorové riešenia na konci lekcie.

Po vykonaní cvikov KVALITA si oblečieme skafandre
a pripravte sa na štart!

Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale

>

Zvážte nejakú funkciu, ktorá určený aspoň na určitý čas (a možno aj na dlhšie obdobie). Ak je táto funkcia integrovateľná na intervale, môže sa rozšíriť na trigonometrické Fourierov rad:
, kde sú tzv Fourierove koeficienty.

V tomto prípade sa volá číslo obdobie rozkladu, a číslo je polčas rozpadu.

Je zrejmé, že vo všeobecnom prípade Fourierov rad pozostáva zo sínusov a kosínusov:

Skutočne, napíšme si to podrobne:

Nultý člen radu sa zvyčajne píše v tvare .

Fourierove koeficienty sa vypočítajú pomocou nasledujúcich vzorcov:

Veľmi dobre chápem, že tým, ktorí začínajú študovať túto tému, stále nie sú jasné nové pojmy: obdobie rozkladu, polovičný cyklus, Fourierove koeficienty atď. Neprepadajte panike, toto sa nedá porovnať so vzrušením pred odchodom do vesmíru. Poďme pochopiť všetko v nasledujúcom príklade, pred vykonaním ktorého je logické položiť naliehavé praktické otázky:

Čo musíte urobiť v nasledujúcich úlohách?

>

Rozšírte funkciu do Fourierovho radu. Okrem toho je často potrebné zobraziť graf funkcie, graf súčtu radu, čiastočného súčtu a v prípade sofistikovaných profesorských fantázií urobiť niečo iné.

Ako rozšíriť funkciu do Fourierovho radu?

>

V podstate musíte nájsť Fourierove koeficienty, teda zložiť a vypočítať tri určitý integrál.

Skopírujte si prosím všeobecnú formu Fourierovho radu a tri pracovné vzorce do svojho notebooku. Som veľmi rád, že niektorí návštevníci stránky realizujú svoj detský sen stať sa astronautom priamo pred mojimi očami =)

Príklad 2

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale. Zostrojte graf, graf súčtu radu a čiastkového súčtu.

Riešenie: Prvou časťou úlohy je rozšírenie funkcie do Fourierovho radu.

Začiatok je štandardný, nezabudnite si zapísať, že:

V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné.

Rozšírme funkciu na Fourierov rad na intervale:

Pomocou vhodných vzorcov nájdeme Fourierove koeficienty. Teraz musíme zložiť a vypočítať tri určitý integrál. Pre pohodlie očíslujem body:

1) Prvý integrál je najjednoduchší, vyžaduje si však aj oči:

2) Použite druhý vzorec:

Tento integrál je dobre známy a berie to kus po kuse:

Používa sa pri nájdení metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko.

V posudzovanej úlohe je vhodnejšie okamžite použiť vzorec na integráciu po častiach do určitého integrálu :

Pár technických poznámok. Po prvé, po aplikácii vzorca celý výraz musí byť uzavretý vo veľkých zátvorkách, keďže pred pôvodným integrálom je konštanta. Nestrácajme ju! Zátvorky je možné rozšíriť pri akomkoľvek ďalšom kroku. Urobil som to ako poslednú možnosť. V prvom "kúsku" Pri substitúcii prejavujeme mimoriadnu starostlivosť, ako môžete vidieť, konštanta sa nepoužíva a do produktu sú nahradené hranice integrácie. Táto akcia je zvýraznená v hranatých zátvorkách. Integrál druhého „kúsku“ vzorca poznáte z tréningovej úlohy ;-)

A hlavne – extrémna koncentrácia!

3) Hľadáme tretí Fourierov koeficient:

Získa sa relatívna hodnota predchádzajúceho integrálu, čo je tiež integruje po kúskoch:

Tento prípad je trochu komplikovanejší, ďalšie kroky budem komentovať krok za krokom:

(1) Výraz je úplne uzavretý vo veľkých zátvorkách. Nechcel som pôsobiť nudne, príliš často strácajú konštantu.

(2) V tomto prípade som okamžite otvoril tieto veľké zátvorky. Osobitná pozornosť Venujeme sa prvému „kúsku“: neustále fajčí bokom a nepodieľa sa na nahradzovaní hraníc integrácie (a) do produktu. Kvôli neprehľadnosti záznamu je opäť vhodné tento úkon zvýrazniť hranatými zátvorkami. S druhým "kúskom" všetko je jednoduchšie: tu sa zlomok objavil po otvorení veľkých zátvoriek a konštanta - ako výsledok integrácie známeho integrálu;-)

(3) V hranatých zátvorkách vykonávame transformácie av pravom integráli - substitúcia integračných limitov.

(4) Odstránime „blikajúce svetlo“ z hranatých zátvoriek: a potom otvoríme vnútorné zátvorky: .

(5) Zrušíme 1 a –1 v zátvorkách a vykonáme konečné zjednodušenia.

Nakoniec sa našli všetky tri Fourierove koeficienty:

Dosadíme ich do vzorca :

Zároveň nezabudnite rozdeliť na polovicu. V poslednom kroku sa konštanta („mínus dva“), ktorá nezávisí od „en“, dostane mimo súčtu.

Takto sme získali rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale:

Pozrime sa na problematiku konvergencie Fourierovho radu. Vysvetlím najmä teóriu Dirichletova veta, doslova „na prstoch“, takže ak potrebujete presné formulácie, pozrite si učebnicu matematickej analýzy (napríklad 2. diel Bohana; alebo 3. diel Fichtenholtza, ale je to ťažšie).

Druhá časť úlohy vyžaduje nakresliť graf, graf súčtu radu a graf čiastočného súčtu.

Graf funkcie je obvyklý priamka na rovine, ktorý je nakreslený čiernou bodkovanou čiarou:

Poďme zistiť súčet série. Ako viete, funkčné rady konvergujú k funkciám. V našom prípade skonštruovaný Fourierov rad pre akúkoľvek hodnotu "x" bude konvergovať k funkcii, ktorá je znázornená červenou farbou. Táto funkcia toleruje prietrže 1. druhu v bodoch, ale je v nich aj definovaný (červené bodky na výkrese)

Takto: . Je ľahké vidieť, že sa výrazne líši od pôvodnej funkcie, preto v položke Namiesto znamienka rovnosti sa používa vlnovka.

Poďme študovať algoritmus, ktorý je vhodný na zostavenie súčtu radu.

Na centrálnom intervale Fourierov rad konverguje k samotnej funkcii (stredný červený segment sa zhoduje s čiernou bodkovanou čiarou lineárnej funkcie).

Teraz si povedzme trochu o povahe uvažovanej trigonometrickej expanzie. Fourierov rad sú zahrnuté iba periodické funkcie (konštanta, sínus a kosínus), teda súčet radu je tiež periodická funkcia.

Čo to znamená v našom konkrétnom príklade? A to znamená, že súčet série –určite periodické a červený segment intervalu sa musí donekonečna opakovať vľavo a vpravo.

Myslím, že význam slovného spojenia „obdobie rozkladu“ je teraz konečne jasný. Zjednodušene povedané, zakaždým sa situácia znova a znova opakuje.

V praxi zvyčajne stačí znázorniť tri obdobia rozkladu, ako je to na výkrese. No a tiež „pahýly“ susedných období - aby bolo jasné, že graf pokračuje.

Zvlášť zaujímavé sú body diskontinuity 1. druhu. V takýchto bodoch Fourierov rad konverguje k izolovaným hodnotám, ktoré sa nachádzajú presne v strede „skoku“ diskontinuity (červené bodky na výkrese). Ako zistiť súradnicu týchto bodov? Najprv nájdime ordinátu „horného poschodia“: na tento účel vypočítame hodnotu funkcie v najpravejšom bode centrálnej periódy expanzie: . Ak chcete vypočítať ordinátu „dolného poschodia“, najjednoduchším spôsobom je vziať hodnotu úplne vľavo za rovnaké obdobie: . Ordináta priemernej hodnoty je aritmetický priemer súčtu „hore a dole“: . Príjemným faktom je, že pri konštrukcii výkresu hneď uvidíte, či je stred vypočítaný správne alebo nesprávne.

Zostrojme čiastočný súčet radu a zároveň zopakujme význam pojmu „konvergencia“. Motív je známy aj z lekcie o súčet číselného radu. Opíšme naše bohatstvo podrobne:

Ak chcete zostaviť čiastkový súčet, musíte napísať nulu + ďalšie dva členy radu. teda

Na nákrese je graf funkcie znázornený zelenou farbou a ako vidíte, celkom pevne „zabalí“ celý súčet. Ak vezmeme do úvahy čiastočný súčet piatich členov radu, potom graf tejto funkcie aproximuje červené čiary ešte presnejšie, ak existuje sto členov, potom sa „zelený had“ v skutočnosti úplne spojí s červenými segmentmi; atď. Fourierov rad teda konverguje k svojmu súčtu.

Je zaujímavé poznamenať, že akákoľvek čiastková suma je nepretržitá funkcia, avšak celkový súčet série je stále nesúvislý.

V praxi nie je také zriedkavé zostrojiť graf čiastočného súčtu. Ako na to? V našom prípade je potrebné zvážiť funkciu na segmente, vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v medziľahlých bodoch (čím viac bodov zohľadníte, tým presnejší bude graf). Potom by ste mali označiť tieto body na výkrese a starostlivo nakresliť graf obdobia a potom ho „replikovať“ do susedných intervalov. ako inak? Koniec koncov, aproximácia je tiež periodická funkcia... ...niektorým spôsobom mi jej graf pripomína plynulý srdcový rytmus na displeji lekárskeho zariadenia.

Uskutočnenie konštrukcie, samozrejme, nie je príliš pohodlné, pretože musíte byť veľmi opatrní a udržiavať presnosť nie menšiu ako pol milimetra. Poteším však čitateľov, ktorým kreslenie nevyhovuje - v „reálnom“ probléme nie je vždy potrebné vykonávať kreslenie asi v 50% prípadov je potrebné funkciu rozšíriť do Fourierovho radu a je to .

Po dokončení výkresu dokončíme úlohu:

Odpoveď:

Pri mnohých úlohách funkcia trpí prietrž 1. druhu práve počas obdobia rozkladu:

Príklad 3

Rozšírte funkciu uvedenú na intervale do Fourierovho radu. Nakreslite graf funkcie a celkového súčtu radu.

Navrhovaná funkcia je špecifikovaná po častiach (a pozor, iba v segmente) a vydrží prietrž 1. druhu v bode . Je možné vypočítať Fourierove koeficienty? Žiadny problém. Ľavá aj pravá strana funkcie sú integrovateľné na svojich intervaloch, preto by integrály v každom z troch vzorcov mali byť reprezentované ako súčet dvoch integrálov. Pozrime sa napríklad, ako sa to robí pre nulový koeficient:

Druhý integrál sa ukázal byť rovný nule, čo znížilo prácu, ale nie vždy to tak je.

Ďalšie dva Fourierove koeficienty sú opísané podobne.

Ako zobraziť súčet série? Na ľavom intervale nakreslíme priamku a na intervale priamku (časť osi zvýrazníme tučným písmom). To znamená, že na intervale rozšírenia sa súčet radu zhoduje s funkciou všade okrem troch „zlých“ bodov. V bode diskontinuity funkcie bude Fourierov rad konvergovať k izolovanej hodnote, ktorá sa nachádza presne v strede „skoku“ diskontinuity. Nie je ťažké to vidieť orálne: ľavostranný limit: , pravostranný limit: a samozrejme, ordináta stredu je 0,5.

Z dôvodu periodicity súčtu je potrebné obrázok „rozmnožiť“ do susedných období, najmä to isté musí byť znázornené na intervaloch a . Súčasne sa v bodoch Fourierov rad bude približovať k stredným hodnotám.

V skutočnosti tu nie je nič nové.

Skúste sa s touto úlohou vyrovnať sami. Približná ukážka konečného návrhu a nákres na konci hodiny.

Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu počas ľubovoľného obdobia

>

Pre ľubovoľné obdobie expanzie, kde „el“ je akékoľvek kladné číslo, sa vzorce pre Fourierovu sériu a Fourierove koeficienty líšia o niečo komplikovanejším argumentom pre sínus a kosínus:

Ak , potom dostaneme intervalové vzorce, s ktorými sme začali.

Algoritmus a princípy riešenia problému sú úplne zachované, ale zvyšuje sa technická zložitosť výpočtov:

Príklad 4

Rozšírte funkciu na Fourierov rad a vykreslite súčet.

Riešenie: vlastne analóg príkladu č. 3 s prietrž 1. druhu v bode . V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Funkcia je definovaná len na polovičnom intervale, ale to nič nemení na veci - dôležité je, že obe časti funkcie sú integrovateľné.

Rozšírme funkciu na Fourierov rad:

Keďže funkcia je na začiatku nespojitá, každý Fourierov koeficient by sa mal samozrejme zapísať ako súčet dvoch integrálov:

1) Prvý integrál napíšem čo najpodrobnejšie:

2) Pozorne sa pozrieme na povrch Mesiaca:

Druhý integrál ber to kus po kuse:

Na čo by sme si mali dať dobrý pozor, keď pokračovanie riešenia otvoríme hviezdičkou?

Po prvé, nestrácame prvý integrál , kde okamžite vykonáme prihlásenie k rozdielovému znamienku. Po druhé, nezabudnite na nešťastnú konštantu pred veľkými zátvorkami a nenechajte sa zmiasť znakmi pri použití vzorca . Veľké konzoly je stále pohodlnejšie otvárať hneď v ďalšom kroku.

Ostatné je vecou techniky, ťažkosti môžu spôsobiť len nedostatočné skúsenosti s riešením integrálov.

Áno, nie nadarmo sa rozhorčili významní kolegovia francúzskeho matematika Fouriera – ako sa opovážil usporiadať funkcie do goniometrických radov?! =) Mimochodom, asi každého zaujíma praktický význam predmetnej úlohy. Sám Fourier pracoval na matematickom modeli tepelnej vodivosti a následne sa po ňom pomenovaná séria začala využívať na štúdium mnohých periodických procesov, ktoré sú v okolitom svete viditeľné i neviditeľné. Teraz, mimochodom, som sa pristihla pri myšlienke, že nie náhodou som porovnala graf druhého príkladu s periodickým rytmom srdca. Záujemcovia sa môžu oboznámiť s praktickou aplikáciou Fourierova transformácia v zdrojoch tretích strán. ...Aj keď je lepšie nie - bude si to pamätať ako Prvá láska =)

3) Berúc do úvahy opakovane spomínané slabé články, pozrime sa na tretí koeficient:

Poďme integrovať po častiach:

Dosadíme do vzorca nájdené Fourierove koeficienty , nezabudnite rozdeliť nulový koeficient na polovicu:

Nakreslíme súčet série. Stručne zopakujeme postup: na intervale zostrojíme priamku a na intervale priamku. Ak je hodnota „x“ nulová, umiestnime bod do stredu „skoku“ medzery a „replikujeme“ graf pre susedné obdobia:


Na „spojení“ období sa súčet bude rovnať aj stredom „skoku“ medzery.

Pripravený. Dovoľte mi pripomenúť, že samotná funkcia je podmienkou definovaná len na polovičnom intervale a samozrejme sa zhoduje so súčtom radov na intervaloch

Odpoveď:

Niekedy je po častiach daná funkcia nepretržitá počas obdobia expanzie. Najjednoduchší príklad: . Riešenie (pozri Bohan zväzok 2) rovnako ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch: napriek kontinuita funkcie v bode je každý Fourierov koeficient vyjadrený ako súčet dvoch integrálov.

Na intervale rozkladu body diskontinuity 1. druhu a/alebo v grafe môže byť viac „priečnych“ bodov (dva, tri a vo všeobecnosti akékoľvek konečná množstvo). Ak je funkcia integrovateľná na každej časti, potom je tiež rozšíriteľná vo Fourierovom rade. Ale z praktických skúseností si nepamätám takú krutú vec. Existujú však aj náročnejšie úlohy, ako sú práve zvažované, a na konci článku sú odkazy na Fourierove série so zvýšenou komplexnosťou pre každého.

Medzitým si oddýchni, opri sa na stoličkách a rozjímaj nad nekonečnými plochami hviezd:

Príklad 5

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale a vykreslite súčet radu.

V tomto probléme funkcia nepretržitý na expanznom polintervale, čo zjednodušuje riešenie. Všetko je veľmi podobné príkladu č.2. Z vesmírnej lode niet úniku - musíte sa rozhodnúť =) Približná vzorka návrhu na konci hodiny, priložená je schéma.

Rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií

>

Pri párnych a nepárnych funkciách je proces riešenia problému výrazne zjednodušený. A tu je dôvod. Vráťme sa k expanzii funkcie vo Fourierovom rade s periódou „dva pi“ a ľubovoľné obdobie „dva el“ .

Predpokladajme, že naša funkcia je párna. Všeobecný pojem série, ako vidíte, obsahuje párne kosínusy a nepárne sínusy. A ak rozširujeme párnu funkciu, tak prečo potrebujeme nepárne sínusy?! Vynulujme zbytočný koeficient: .

teda párna funkcia môže byť rozšírená vo Fourierovom rade iba v kosínoch:

Od r integrály párnych funkcií pozdĺž integračného segmentu, ktorý je symetrický vzhľadom na nulu, možno zdvojnásobiť, potom sa zostávajúce Fourierove koeficienty zjednodušia.

Pre medzeru:

Pre ľubovoľný interval:

Príklady učebnice, ktoré možno nájsť v takmer každej učebnici matematickej analýzy, zahŕňajú rozšírenia párnych funkcií . Okrem toho som sa s nimi niekoľkokrát stretol v mojej osobnej praxi:

Príklad 6

Funkcia je daná. Vyžaduje sa:

1) rozšírte funkciu na Fourierov rad s bodkou , kde je ľubovoľné kladné číslo;

2) zapíšte expanziu na intervale, zostrojte funkciu a nakreslite graf celkového súčtu radu.

Riešenie: v prvom odseku sa navrhuje vyriešiť problém vo všeobecnej forme, a to je veľmi výhodné! Ak to bude potrebné, jednoducho nahraďte svoju hodnotu.

1) V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Počas ďalších akcií, najmä počas integrácie, sa „el“ považuje za konštantu

Funkcia je párna, čo znamená, že ju možno rozšíriť do Fourierovho radu iba v kosínoch: .

Fourierove koeficienty hľadáme pomocou vzorcov . Venujte pozornosť ich bezpodmienečným výhodám. Po prvé, integrácia sa vykonáva cez pozitívny segment rozšírenia, čo znamená, že sa modulu bezpečne zbavíme berúc do úvahy iba „X“ z dvoch kusov. A po druhé, integrácia je výrazne zjednodušená.

dva:

Poďme integrovať po častiach:

Takto:
, zatiaľ čo konštanta , ktorá nezávisí od „en“, je mimo súčtu.

Odpoveď:

2) Zapíšme si expanziu na interval, aby sme to urobili, do všeobecného vzorca dosadíme požadovanú hodnotu polperiódy:

Fourierov rad rozšírenie párnej a nepárnej funkcie rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínoch Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych systémoch funkcií Fourierov rad v ortogonálny systém Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Rovnosť Parseval Uzavreté systémy Úplnosť a uzavreté systémy

Fourierovo rozšírenie párnych a nepárnych funkcií Funkcia f(x), definovaná na intervale \-1, kde I > 0, sa volá aj vtedy, ak je graf párnej funkcie symetrický podľa ordinátnej osi. Funkcia f(x), definovaná na segmente J), kde I > 0, sa nazýva nepárna, ak je graf nepárnej funkcie symetrický vzhľadom na počiatok. Príklad. a) Funkcia je párna na intervale |-jt, jt), keďže pre všetky x e b) Funkcia je nepárna, keďže Fourierovo radové rozšírenie párnej a nepárnej funkcie je rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch resp. cosines Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad pre všeobecné ortogonálne systémy funkcií Fourierov rad pre ortogonálny systém Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov c) Funkcia. f(x)=x2-x, kde nepatrí ani k párnym, ani k nepárnym funkciám, pretože Nech funkcia f(x), spĺňajúca podmienky vety 1, je párna na intervale x|. Potom pre všetkých t.j. /(x) cos nx je párna funkcia a f(x) sinnx je nepárna funkcia. Preto Fourierove koeficienty párnej funkcie /(x) budú rovnaké Preto Fourierov rad párnej funkcie má tvar f(x) sin х - párna funkcia. Preto budeme mať Fourierov rad nepárnej funkcie má teda tvar Príklad 1. Rozviňte funkciu 4 na Fourierov rad na intervale -x ^ x ^ n Keďže táto funkcia je párna a spĺňa podmienky vety 1, potom jeho Fourierov rad má tvar Nájdite Fourierove koeficienty. Máme dvakrát Aplikovanie integrácie po častiach, dostaneme, že Fourierov rad tejto funkcie teda vyzerá takto: alebo v rozšírenej forme Táto rovnosť platí pre ľubovoľné x €, keďže v bodoch x = ±ir je súčet rad sa zhoduje s hodnotami funkcie f(x) = x2, keďže grafy funkcie f(x) = x a súčet výsledného radu sú uvedené na obr. Komentujte. Tento Fourierov rad nám umožňuje nájsť súčet jedného z konvergentných číselných radov, konkrétne pre x = 0 dostaneme ten Príklad 2. Rozviňte funkciu /(x) = x na Fourierov rad na intervale. 6. § 6. Rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínusoch Nech je na intervale daná ohraničená po častiach monotónna funkcia /. Hodnoty tejto funkcie na intervale 0| môžu byť ďalej definované rôznymi spôsobmi. Môžete napríklad definovať funkciu / na segmente tc] tak, že /. V tomto prípade hovoria, že) „je rozšírený na segment 0] rovnomerným spôsobom“; jeho Fourierov rad bude obsahovať iba kosínusy. Ak je funkcia /(x) definovaná na intervale [-l-, mc] tak, že /(, potom je výsledkom nepárna funkcia a potom hovoria, že / je „rozšírená na interval [-*, 0] nepárnym spôsobom“ V tomto prípade bude Fourierov rad obsahovať iba sínusy. Každá ohraničená monotónna funkcia /(x) definovaná na intervale sa teda môže rozšíriť na sínusový aj kosínusový rad Funkciu je možné rozšíriť do Fourierovho radu: a) pomocou kosínusov; b) podľa sínusov. To dáva a teda Geometricky táto vlastnosť znamená, že v prípade plochy zatienenej na obr. 10 oblastí je rovnakých. Najmä pre funkciu f(x) s periódou dostaneme pri Rozšírení párnych a nepárnych funkcií do Fourierovho radu, rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínoch Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľným obdobie Komplexný zápis Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných funkciách ortogonálnych systémov Fourierov rad v ortogonálnom systéme Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Rovnosť Parseval Uzavreté sústavy Úplnosť a uzavretosť sústav Príklad 2. Funkcia x je periodická s periódou Vzhľadom na zvláštnosť tejto funkcie, bez výpočtu integrálov, môžeme konštatovať, že pre ľubovoľnú Dokázaná vlastnosť predovšetkým ukazuje, že Fourierove koeficienty a periodickú funkciu f(x) s periódou 21 možno vypočítať pomocou vzorcov, kde a je ľubovoľné reálne číslo (všimnite si, že funkcie cos - a sin majú periódu 2/). Príklad 3. Rozviňte do Fourierovho radu funkciu danú na intervale s periódou 2x (obr. 11). 4 Nájdite Fourierove koeficienty tejto funkcie. Vložením vzorcov zistíme, že pre Preto bude Fourierov rad vyzerať takto: V bode x = jt (bod nespojitosti prvého druhu) máme §8. Komplexné zaznamenávanie Fourierovho radu Táto časť využíva niektoré prvky komplexnej analýzy (pozri kapitolu XXX, kde sú všetky tu vykonávané akcie s komplexnými výrazmi prísne odôvodnené). Nech funkcia f(x) spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Potom na segmente x] môže byť reprezentovaný radom tvaru Pomocou Eulerových vzorcov Dosadením týchto výrazov do radu (1) namiesto cos πx a sin φx budeme mať Zaveďme nasledujúci zápis Potom rad (2) bude mať tvar Fourierov rad (1) je teda reprezentovaný v komplexnej forme (3). Hľadajme výrazy pre koeficienty prostredníctvom integrálov. Máme Podobne nájdeme Konečné vzorce pre с„, с_п a с môžeme zapísať takto: . . Koeficienty с„ sa nazývajú komplexné Fourierove koeficienty funkcie Pre periodickú funkciu s periódou bude mať komplexný tvar Fourierovho radu tvar, kde koeficienty Cn sa vypočítajú pomocou vzorcov Konvergencia radu (3 ) a (4) sa chápe takto: rady (3) a (4) sa nazývajú konvergentné pre dané hodnoty, ak existujú limity Príklad. Rozviňte funkciu periódy na komplexný Fourierov rad Táto funkcia spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Nájdite komplexné Fourierove koeficienty tejto funkcie. Máme pre nepárne pre párne n, alebo skrátka. Dosadením hodnôt) nakoniec dostaneme Všimnite si, že tento rad možno zapísať aj takto: Fourierov rad pre všeobecné ortogonálne systémy funkcií 9.1. Ortogonálne sústavy funkcií Označme množinou všetkých (reálnych) funkcií definovaných a integrovateľných na intervale [a, 6] so štvorcom, teda takých, pre ktoré existuje integrál, predovšetkým všetky funkcie f(x) spojité na intervale [a , 6] patria do 6] a hodnoty ich Lebesgueových integrálov sa zhodujú s hodnotami Riemannových integrálov. Definícia. Systém funkcií, kde, sa nazýva ortogonálny na intervale [a, b\, ak podmienka (1) predpokladá najmä to, že žiadna z funkcií nie je zhodne nulová. Integrál sa chápe v Lebesgueovom zmysle. Avšak v niektorých prípadoch, napríklad keď rad (4) konverguje rovnomerne, všetky funkcie sú spojité a interval (a, 6) je konečný, je táto operácia legálna. Ale pre nás je teraz dôležitý formálny výklad. Nech je teda daná funkcia. Zostavme čísla c* podľa vzorca (5) a napíšme rad na pravej strane nazývame Fourierovým radom funkcie f(x) vzhľadom na sústavu (^n(i)). sa nazývajú Fourierove koeficienty funkcie f(x) vzhľadom na tento systém. Znamienko ~ vo vzorci (6) znamená len to, že čísla Cn súvisia s funkciou f(x) vzorcom (5) (nepredpokladá sa, že rad vpravo vôbec konverguje, tým menej konverguje k funkcii f (x)). Preto prirodzene vyvstáva otázka: aké sú vlastnosti tejto série? V akom zmysle „predstavuje“ funkciu f(x)? 9.3. Priemerná konvergencia Definícia. Postupnosť konverguje k prvku ] v priemere, ak je norma v priestore Veta 6. Ak postupnosť ) konverguje rovnomerne, potom konverguje v priemere. keď Tn(x) je 71. čiastkový súčet Fourierovho radu funkcie /(x) nad systémom (. Nastavením ak = sk, z (7) dostaneme Rovnosť (9) sa nazýva Besselova identita. Od jej ľavého strana je nezáporná, potom z nej vyplýva Besselova nerovnosť Keďže som tu ľubovoľne, Besselovu nerovnosť je možné znázorniť v zosilnenej forme, t.j. pre akúkoľvek funkciu / séria štvorcových Fourierových koeficientov tejto funkcie v ortonormálnom systéme ) konverguje. . Keďže systém je ortonormálny na intervale [-x, m], potom nerovnosť (10) prevedená do obvyklého zápisu trigonometrického Fourierovho radu dáva vzťah do, ktorý je platný pre akúkoľvek funkciu /(x) s integrovateľným štvorcom. Ak je f2(x) integrovateľné, potom vďaka nevyhnutnej podmienke pre konvergenciu radu na ľavej strane nerovnosti (11) dostaneme to. Parsevalova rovnosť Pre niektoré systémy (^„(x)) možno znak nerovnosti vo vzorci (10) nahradiť (pre všetky funkcie f(x) 6 ×) znakom rovnosti. Výsledná rovnosť sa nazýva Parseval-Steklovova rovnosť (podmienka úplnosti). Besselova identita (9) nám umožňuje zapísať podmienku (12) v ekvivalentnom tvare Splnenie podmienky úplnosti teda znamená, že parciálne súčty Sn(x) Fourierovho radu funkcie /(x) konvergujú k funkcii. /(x) v priemere, t.j. podľa normy priestoru 6]. Definícia. Ortonormálny systém ( sa nazýva úplný v b2[аy b], ak každú funkciu možno aproximovať s akoukoľvek presnosťou v priemere lineárnou kombináciou tvaru s dostatočne veľkým počtom členov, t. j. ak pre akúkoľvek funkciu /(x) ∈ b2 [a, b\ a pre ľubovoľné e > 0 existuje prirodzené číslo nq a čísla a\, a2y..., také, že Nie Z vyššie uvedenej úvahy vyplýva Veta 7. Ak je systém ortonormalizáciou v priestore úplný, Fourierov rad ľubovoľnej funkcie / v tomto systéme priemerne konverguje k f(x), t.j. podľa normy Dá sa ukázať, že trigonometrický systém je v priestore úplný. Veta 8. Ak funkcia /o jej trigonometrický Fourierov rad k nej konverguje v priemere. 9.5. Uzavreté systémy. Úplnosť a uzavretosť systémov Definícia. Ortonormálny systém funkcií \ sa nazýva uzavretý, ak v priestore Li\a, b) neexistuje žiadna nenulová funkcia ortogonálna ku všetkým funkciám V priestore L2\a, b\ sa zhodujú pojmy úplnosti a uzavretosti ortonormálnych systémov. Cvičenia 1. Rozšírte funkciu vo Fourierovom rade v intervale (-i-, x) 2. Rozšírte funkciu 3 vo Fourierovom rade v intervale (-tr, tr) 3. Rozšírte funkciu 4 vo Fourierovom rade v interval (-tr, tr) do Fourierovho radu vo funkcii intervalu (-jt, tr) 5. Rozviňte funkciu f(x) = x + x na Fourierov rad v intervale (-t, t). 6. Rozviňte funkciu n na Fourierov rad v intervale (-jt, tr) 7. Rozviňte funkciu /(x) = sin2 x na Fourierov rad v intervale (-tr, x). 8. Rozviňte funkciu f(x) = y do Fourierovho radu v intervale (-tr, jt) 9. Rozviňte funkciu f(x) = | hriech x|. 10. Rozviňte funkciu f(x) = § na Fourierov rad v intervale (-π-, π). 11. Rozviňte funkciu f(x) = sin § na Fourierov rad v intervale (-tr, tr). 12. Rozviňte funkciu f(x) = n -2x, zadanú v intervale (0, x), do Fourierovho radu a rozšírte ju do intervalu (-x, 0): a) rovnomerne; b) zvláštnym spôsobom. 13. Rozviňte funkciu /(x) = x2, danú v intervale (0, x), na Fourierov rad v sínusoch. 14. Rozviňte funkciu /(x) = 3, zadanú v intervale (-2,2), do Fourierovho radu. 15. Rozviňte do Fourierovho radu funkciu f(x) = |x|, danú v intervale (-1,1). 16. Rozviňte funkciu f(x) = 2x, zadanú v intervale (0,1), na Fourierov rad v sínusoch.

Fourierov rad– spôsob zobrazenia komplexnej funkcie ako súčtu jednoduchších, známych.
Sínus a kosínus sú periodické funkcie. Tvoria tiež ortogonálny základ. Túto vlastnosť možno vysvetliť analogicky s osami X X X A Y Y Y na súradnicovej rovine. Rovnako ako môžeme opísať súradnice bodu vzhľadom na osi, môžeme popísať akúkoľvek funkciu vzhľadom na sínusy a kosínusy. Goniometrické funkcie sú v matematike dobre zrozumiteľné a ľahko použiteľné.

Sínusy a kosínusy môžu byť reprezentované vo forme nasledujúcich vĺn:

Modré sú kosínusy, červené sú sínusy. Takéto vlny sa tiež nazývajú harmonické. Kosíny sú párne, sínusy sú nepárne. Termín harmonický pochádza zo staroveku a spája sa s pozorovaniami o vzťahu výšok v hudbe.

Čo je Fourierova séria

>

Takýto rad, kde sa používajú najjednoduchšie funkcie sínus a kosínus, sa nazýva trigonometrický. Bol pomenovaný na počesť svojho vynálezcu Jeana Baptistu Josepha Fouriera koncom 18. a začiatkom 19. storočia. ktorý dokázal, že akákoľvek funkcia môže byť reprezentovaná ako kombinácia takýchto harmonických. A čím viac ich vezmete, tým presnejšie bude toto zobrazenie. Napríklad obrázok nižšie: môžete si všimnúť, že pri veľkom počte harmonických, teda členov Fourierovho radu, sa červený graf približuje k modrému - pôvodnej funkcii.

Praktická aplikácia v modernom svete

>

Sú tieto riadky teraz vôbec potrebné? Kde sa dajú prakticky využiť a používa ich aj niekto iný ako teoretickí matematici? Ukazuje sa, že Fourier je známy po celom svete, pretože praktické výhody jeho série sú doslova nevyčísliteľné. Sú vhodné na použitie tam, kde sú akékoľvek vibrácie alebo vlny: akustika, astronómia, rádiotechnika atď. Najjednoduchší príklad jeho použitia: mechanizmus činnosti fotoaparátu alebo videokamery. Stručne povedané, tieto zariadenia zaznamenávajú nielen obrázky, ale aj koeficienty Fourierových radov. A funguje všade – pri prezeraní obrázkov na internete, filme alebo počúvaní hudby. Práve vďaka Fourierovej sérii si teraz môžete tento článok prečítať aj z mobilu. Bez Fourierovej transformácie by sme nemali dostatočnú šírku pásma internetového pripojenia na to, aby sme si jednoducho pozreli YouTube video, dokonca ani v štandardnej kvalite.

Tento diagram ukazuje dvojrozmernú Fourierovu transformáciu, ktorá sa používa na rozklad obrazu na harmonické, t.j. základné zložky. V tomto diagrame je hodnota -1 označená čiernou farbou, 1 bielou farbou vpravo a dole v grafe sa frekvencia zvyšuje.

Rozšírenie Fourierovho radu

>

Pravdepodobne ste už unavení z čítania, tak prejdime k vzorcom.
Pre takú matematickú techniku, akou je rozšírenie funkcií do Fourierovho radu, budete musieť použiť integrály. Veľa integrálov. Vo všeobecnosti je Fourierova séria napísaná ako nekonečný súčet:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x) +b n hriech (n x))
Kde
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f (x) hriech (n x) d x

Ak nejako vieme napočítať nekonečné číslo a n a_n a n A b n b_n b n (nazývajú sa Fourierove expanzné koeficienty, A A- toto je jednoducho konštanta tohto rozšírenia), potom bude výsledný rad 100% zhodný s pôvodnou funkciou f(x) f(x) f(x) na segmente od − π -\pi − π do π\pi π . Tento segment je spôsobený integračnými vlastnosťami sínusu a kosínusu. Čím viac n n n, pre ktoré vypočítame koeficienty radového rozšírenia funkcie, tým presnejší bude tento rozvoj.

Príklad

Zoberme si jednoduchú funkciu y = 5 x y = 5 x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x hriech (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) hriech(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xhriech(2 x) dx= − 5

A tak ďalej. V prípade takejto funkcie môžeme rovno povedať, že všetko a n = 0 a_n = 0an = 0 , koeficienty b n b_nbn bude musieť vypočítať. Ak pre funkciu vezmeme prvé štyri členy rozšírenia Fourierovho radu y = 5 x y = 5 xr= 5 x, dostaneme:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{hriech}(x)-5\cdot \mathrm{hriech}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{hriech}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{hriech}(4\cdot x)$

Graf výslednej funkcie bude vyzerať takto:

Výsledné rozšírenie Fourierovho radu sa blíži našej pôvodnej funkcii. Ak vezmeme väčší počet členov radu, napríklad 15, uvidíme nasledovné:

Čím viac členov expanzie v sérii, tým vyššia je presnosť.
Ak mierne zmeníme mierku grafu, môžeme si všimnúť ďalšiu vlastnosť transformácie: Fourierov rad je periodická funkcia s periódou 2 π 2\pi2 π .

Môžeme teda reprezentovať akúkoľvek funkciu, ktorá je spojitá na intervale [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Toto všetko je potrebné na uľahčenie analýzy niektorých javov, ktoré sú opísané komplexnými funkciami. Nie vždy je možné deriváciu vypočítať analyticky (t.j. pomocou vzorca), ale v prípade množiny sínusov a kosínusov takýto problém nenastane. Samotné rozšírenie Fourierovho radu ukazuje, že problémy možno často riešiť analyticky pomocou zjednodušených modelov, ktorých príkladom je Fourierov rad.