Fourier serye. Mga halimbawa ng solusyon. Fourier series sa mga halimbawa at problema Mga halimbawa ng pagpapalawak ng function sa Fourier series

2. Pagpapasiya ng mga coefficient ng serye gamit ang mga formula ng Fourier.

Hayaang ang periodic function na ƒ(x) na may period 2π ay kinakatawan ng isang trigonometric series na nagko-convert sa isang ibinigay na function sa interval (-π, π), ibig sabihin, ay ang kabuuan ng seryeng ito:

Ipagpalagay natin na ang integral ng function sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga integral ng mga tuntunin ng seryeng ito. Magiging totoo ito kung ipagpalagay natin na ang serye ng numero na binubuo ng mga coefficient ng isang naibigay na seryeng trigonometric ay ganap na nagtatagpo, ibig sabihin, ang positibong serye ng numero ay nagtatagpo

Ang serye (1) ay mayorizable at maaaring isama ang termino ayon sa termino sa pagitan (-π, π). Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (2):

Magkahiwalay nating suriin ang bawat integral na lumilitaw sa kanang bahagi:

,

,

kaya, , saan

. (4)

Pagtataya ng Fourier coefficients. (Bugrov)

Theorem 1. Hayaang ang function na ƒ(x) ng period 2π ay may tuluy-tuloy na derivative ƒ (s) (x) ng order s, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay sa buong real axis:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

pagkatapos ay ang Fourier coefficients ng function ƒ satisfy ang hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Pagsasama ng mga bahagi at isinasaalang-alang iyon

ƒ(-π) = ƒ(π), mayroon tayo

Pinagsasama-sama ang kanang bahagi ng (7) nang sunud-sunod, na isinasaalang-alang na ang mga derivatives ƒ ΄, …, ƒ (s-1) ay tuloy-tuloy at kumukuha ng parehong mga halaga sa mga puntos na t = -π at t = π, bilang pati na rin ang pagtatantya (5), nakuha namin ang unang pagtatantya (6).

Ang pangalawang pagtatantya (6) ay nakuha sa katulad na paraan.

Theorem 2. Para sa Fourier coefficients ƒ(x) ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

(8)

Patunay. meron tayo

(9)

Ang pagpapakilala ng pagbabago ng variable sa kasong ito at isinasaalang-alang na ang ƒ(x) ay isang periodic function, nakukuha namin

Pagdaragdag ng (9) at (10), nakukuha natin

Isinasagawa namin ang patunay para sa b k sa katulad na paraan.

Bunga. Kung ang function na ƒ(x) ay tuloy-tuloy, ang mga Fourier coefficient nito ay may posibilidad na zero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Space ng mga function na may scalar product.

Ang isang function na ƒ(x) ay sinasabing piecewise continuous sa isang interval kung ito ay tuloy-tuloy sa interval na ito, na may posibleng pagbubukod ng isang may hangganan na bilang ng mga puntos kung saan ito ay may mga discontinuities ng unang uri. Ang mga nasabing puntos ay maaaring idagdag at i-multiply sa mga tunay na numero at, bilang isang resulta, muling makakuha ng pira-pirasong tuluy-tuloy na function sa segment.

Ang scalar product ng dalawang piecewise continuous on (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Malinaw, para sa anumang piecewise na tuloy-tuloy na pag-andar ƒ, φ, ψ ang mga sumusunod na katangian ay nasiyahan:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) at mula sa pagkakapantay-pantay (ƒ , ƒ) = 0 sumusunod na ƒ(x) =0 sa , hindi kasama, marahil, ang isang may hangganang bilang ng mga puntos x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

kung saan ang α, β ay mga arbitrary na tunay na numero.

Ipapahiwatig namin ang hanay ng lahat ng pira-pirasong tuluy-tuloy na function na tinukoy sa pagitan kung saan ipinakilala ang scalar product ayon sa formula (11), at tawagin itong espasyo

Tandaan 1.

Sa matematika, ang espasyo = (a, b) ay isang koleksyon ng mga function ƒ(x) na pinagsama-sama sa kahulugan ng Lebesgue kasama ng kanilang mga parisukat, kung saan ang produktong scalar ay ipinakilala ayon sa formula (11). Ang espasyong pinag-uusapan ay isang bahagi. Ang espasyo ay may maraming katangian ng espasyo, ngunit hindi lahat.

Mula sa mga katangian 1), 2), 3) ay sumusunod sa mahalagang hindi pagkakapantay-pantay ng Bunyakovsky | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, na sa wika ng mga integral ay ganito ang hitsura:

Magnitude

ay tinatawag na pamantayan ng pagpapaandar f.

Ang pamantayan ay may mga sumusunod na katangian:

1) || f || ≥ 0, sa kasong ito ang pagkakapantay-pantay ay maaari lamang para sa zero function na f = 0, ibig sabihin, isang function na katumbas ng zero, maliban, marahil, para sa isang may hangganang bilang ng mga puntos;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

kung saan ang α ay isang tunay na numero.

Ang pangalawang pag-aari sa wika ng mga integral ay ganito ang hitsura:

at tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay ng Minkowski.

Sinasabi nila na ang isang pagkakasunod-sunod ng mga function ( f n ) ay kabilang sa, converges sa isang function ay kabilang sa kahulugan ng ibig sabihin ng parisukat sa (o din sa pamantayan) kung

Tandaan na kung ang pagkakasunud-sunod ng mga function ƒ n (x) ay pantay na nagtatagpo sa function na ƒ (x) sa segment , kung gayon para sa sapat na malaki n ang pagkakaiba ƒ (x) - ƒ n (x) sa absolute value ay dapat maliit para sa lahat. x mula sa segment .

Kung ang ƒ n (x) ay may posibilidad na ƒ (x) sa kahulugan ng mean square sa pagitan , kung gayon ang ipinahiwatig na pagkakaiba ay maaaring hindi maliit para sa malaki n sa lahat ng dako sa . Sa ilang mga lugar ng segment ang pagkakaiba na ito ay maaaring malaki, ngunit ang tanging mahalagang bagay ay ang integral ng parisukat nito sa ibabaw ng segment ay maliit para sa malaking n.

Halimbawa. Hayaang ibigay ang tuluy-tuloy na piecewise linear function ƒ n (x) (n = 1, 2,...) na ipinapakita sa figure, at

(Bugrov, p. 281, fig. 120)

Para sa anumang natural na numero n

at, dahil dito, ang pagkakasunod-sunod ng mga pag-andar na ito, bagama't ito ay nagtatagpo sa sero bilang n → ∞, ay hindi nagkakasundo nang pantay. Samantala

ibig sabihin, ang pagkakasunud-sunod ng mga function (f n (x)) ay may posibilidad na zero sa kahulugan ng mean square sa .

Mula sa mga elemento ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga pag-andar ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (pag-aari ng ) bumuo kami ng isang serye

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Ang kabuuan ng unang n termino nito

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

mayroong isang function na kabilang sa . Kung mangyari na mayroong isang function ƒ tulad na

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

pagkatapos ay sinasabi nila na ang serye (12) ay nagtatagpo sa function na ƒ sa mean square sense at sumulat

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Tandaan 2.

Maaari nating isaalang-alang ang espasyo = (a, b) ng mga function na may kumplikadong halaga ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), kung saan ang ƒ 1 (x) at ƒ 2 (x) ay tunay na piecewise continuous function . Sa puwang na ito, ang mga function ay pinarami ng mga kumplikadong numero at ang scalar product ng mga function na ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) at φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) ) ay tinukoy bilang mga sumusunod:

at ang pamantayan ƒ ay tinukoy bilang ang halaga

Ang Fourier series ay isang representasyon ng isang arbitrary na function na may partikular na panahon sa anyo ng isang serye. Sa pangkalahatan, ang solusyon na ito ay tinatawag na agnas ng isang elemento kasama ang isang orthogonal na batayan. Ang pagpapalawak ng mga function sa seryeng Fourier ay isang medyo makapangyarihang tool para sa paglutas ng iba't ibang mga problema dahil sa mga katangian ng pagbabagong ito sa panahon ng integration, differentiation, pati na rin ang paglilipat ng mga expression sa pamamagitan ng argumento at convolution.

Ang isang tao na hindi pamilyar sa mas mataas na matematika, pati na rin sa mga gawa ng Pranses na siyentipiko na si Fourier, malamang na hindi mauunawaan kung ano ang mga "serye" na ito at kung ano ang kailangan nila. Samantala, ang pagbabagong ito ay naging lubos na isinama sa ating buhay. Ginagamit ito hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga physicist, chemist, doktor, astronomer, seismologist, oceanographer at marami pang iba. Tingnan din natin ang mga gawa ng mahusay na Pranses na siyentipiko na nakagawa ng isang pagtuklas na nauna sa panahon nito.

Tao at ang Fourier Transform

>

Ang serye ng Fourier ay isa sa mga pamamaraan (kasama ang pagsusuri at iba pa). Awtomatikong binabago ng aming tainga ang mga elementarya na particle sa isang elastic na medium sa mga hilera (kasama ang spectrum) ng magkakasunod na antas ng volume para sa mga tono ng iba't ibang taas. Susunod, ginagawa ng utak ang data na ito sa mga tunog na pamilyar sa atin. Ang lahat ng ito ay nangyayari sa labas ng ating pagnanais o kamalayan, sa sarili nitong, ngunit upang maunawaan ang mga prosesong ito, aabutin ng ilang taon upang pag-aralan ang mas mataas na matematika.

Higit pa tungkol sa Fourier transform

>

Ang pagbabagong Fourier ay maaaring isagawa gamit ang analytical, numerical at iba pang mga pamamaraan. Ang Fourier series ay tumutukoy sa numerical na paraan ng pag-decomposing ng anumang oscillatory na proseso - mula sa karagatan at light waves hanggang sa mga siklo ng solar (at iba pang astronomical na bagay) na aktibidad. Gamit ang mga mathematical technique na ito, maaari mong pag-aralan ang mga function, na kumakatawan sa anumang oscillatory na proseso bilang isang serye ng mga sinusoidal na bahagi na lumilipat mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids na tumutugma sa isang tiyak na frequency. Ang prosesong ito ay maaaring gamitin upang malutas ang napakakumplikadong mga equation na naglalarawan ng mga dynamic na proseso na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng thermal, liwanag o elektrikal na enerhiya. Gayundin, ginagawang posible ng serye ng Fourier na ihiwalay ang mga pare-parehong bahagi sa mga kumplikadong oscillatory signal, na ginagawang posible na wastong bigyang-kahulugan ang mga eksperimentong obserbasyon na nakuha sa medisina, kimika at astronomiya.

Makasaysayang background

>

Ang founding father ng teoryang ito ay ang French mathematician na si Jean Baptiste Joseph Fourier. Ang pagbabagong ito ay ipinangalan sa kanya pagkatapos. Sa una, ginamit ng siyentipiko ang kanyang pamamaraan upang pag-aralan at ipaliwanag ang mga mekanismo ng thermal conductivity - ang pagkalat ng init sa mga solido. Iminungkahi ni Fourier na ang paunang hindi regular na pamamahagi ay maaaring mabulok sa mga simpleng sinusoid, na ang bawat isa ay magkakaroon ng sarili nitong minimum at maximum na temperatura, pati na rin ang sarili nitong yugto. Sa kasong ito, ang bawat naturang bahagi ay susukatin mula sa minimum hanggang sa maximum at pabalik. Ang mathematical function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, pati na rin ang phase ng bawat harmonic, ay tinatawag na Fourier transform ng temperature distribution expression. Binawasan ng may-akda ng teorya ang pangkalahatang pagpapaandar ng pamamahagi, na mahirap ilarawan sa matematika, sa isang napaka-maginhawang serye ng cosine at sine, na magkakasamang nagbibigay ng orihinal na pamamahagi.

Ang prinsipyo ng pagbabago at mga pananaw ng mga kontemporaryo

>

Ang mga kontemporaryo ng siyentipiko - mga nangungunang mathematician noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo - ay hindi tinanggap ang teoryang ito. Ang pangunahing pagtutol ay ang paninindigan ni Fourier na ang isang discontinuous function, na naglalarawan ng isang tuwid na linya o isang discontinuous curve, ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng sinusoidal expression na tuluy-tuloy. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang Heaviside step: ang value nito ay zero sa kaliwa ng discontinuity at isa sa kanan. Inilalarawan ng function na ito ang pag-asa ng electric current sa isang pansamantalang variable kapag ang circuit ay sarado. Ang mga kontemporaryo ng teorya noong panahong iyon ay hindi pa nakatagpo ng katulad na sitwasyon kung saan ang isang di-tuloy na pagpapahayag ay ilalarawan sa pamamagitan ng kumbinasyon ng tuluy-tuloy, ordinaryong mga function tulad ng exponential, sine, linear o quadratic.

Ano ang nakalilito sa mga French mathematician tungkol sa teorya ni Fourier?

>

Pagkatapos ng lahat, kung tama ang matematiko sa kanyang mga pahayag, kung gayon sa pamamagitan ng pagbubuod ng walang katapusang trigonometric Fourier series, makakakuha ang isa ng tumpak na representasyon ng step expression, kahit na marami itong katulad na mga hakbang. Sa simula ng ikalabinsiyam na siglo, ang gayong pahayag ay tila walang katotohanan. Ngunit sa kabila ng lahat ng mga pagdududa, maraming mga mathematician ang pinalawak ang saklaw ng pag-aaral ng hindi pangkaraniwang bagay na ito, na dinadala ito sa kabila ng pag-aaral ng thermal conductivity. Gayunpaman, ang karamihan sa mga siyentipiko ay patuloy na pinahihirapan ng tanong na: "Maaari bang ang kabuuan ng isang serye ng sinusoidal ay magtatagpo sa eksaktong halaga ng hindi tuloy-tuloy na pag-andar?"

Convergence ng Fourier series: isang halimbawa

>

Ang tanong ng convergence ay bumangon sa tuwing kinakailangan na magsama ng walang katapusang serye ng mga numero. Upang maunawaan ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, isaalang-alang ang isang klasikong halimbawa. Maaabot mo ba ang pader kung ang bawat susunod na hakbang ay kalahati ng laki ng nauna? Sabihin nating dalawang metro ka mula sa target, ang unang hakbang ay magdadala sa iyo sa kalahating marka, ang susunod ay magdadala sa iyo sa tatlong-kapat na marka, at pagkatapos ng ikalima ay nasasaklaw mo na ang halos 97 porsiyento ng daan. Gayunpaman, gaano man karaming mga hakbang ang iyong gawin, hindi mo makakamit ang iyong nilalayon na layunin sa isang mahigpit na kahulugan ng matematika. Gamit ang mga numerical na kalkulasyon, mapapatunayan na sa kalaunan ay posible na makakuha ng mas malapit sa ibinigay na distansya. Ang patunay na ito ay katumbas ng pagpapakita na ang kabuuan ng kalahati, ikaapat, atbp. ay may posibilidad sa pagkakaisa.

The Question of Convergence: The Second Coming, or Lord Kelvin's Device

>

Muling ibinangon ang isyung ito sa pagtatapos ng ikalabinsiyam na siglo, nang sinubukan nilang gamitin ang serye ng Fourier upang mahulaan ang tide ng tides. Sa oras na ito, nag-imbento si Lord Kelvin ng isang instrumento, na isang analog computing device na nagpapahintulot sa mga mandaragat ng militar at mangangalakal na masubaybayan ang natural na hindi pangkaraniwang bagay na ito. Tinukoy ng mekanismong ito ang mga hanay ng mga phase at amplitude mula sa isang talaan ng mga taas ng tubig at kaukulang mga punto ng oras, na maingat na sinusukat sa isang partikular na daungan sa buong taon. Ang bawat parameter ay isang sinusoidal na bahagi ng pagpapahayag ng taas ng tubig at isa sa mga regular na bahagi. Ang mga sukat ay ipinasok sa instrumento sa pagkalkula ni Lord Kelvin, na nag-synthesize ng isang curve na hinulaang ang taas ng tubig bilang isang function ng oras para sa susunod na taon. Sa lalong madaling panahon ang mga katulad na kurba ay iginuhit para sa lahat ng mga daungan ng mundo.

Paano kung ang proseso ay naabala ng isang hindi tuloy na paggana?

>

Sa oras na iyon, tila halata na ang isang tidal wave predictor na may malaking bilang ng mga elemento ng pagbibilang ay maaaring kalkulahin ang isang malaking bilang ng mga phase at amplitudes at sa gayon ay nagbibigay ng mas tumpak na mga hula. Gayunpaman, lumabas na ang pattern na ito ay hindi sinusunod sa mga kaso kung saan ang tidal expression na dapat i-synthesize ay naglalaman ng isang matalim na pagtalon, iyon ay, ito ay hindi natuloy. Kung ang data mula sa isang talaan ng mga sandali ng oras ay ipinasok sa aparato, kinakalkula nito ang ilang mga Fourier coefficient. Ang orihinal na pag-andar ay naibalik salamat sa mga bahagi ng sinusoidal (alinsunod sa mga natagpuang coefficient). Ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal at muling itinayong expression ay maaaring masukat sa anumang punto. Kapag nagsasagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon at paghahambing, malinaw na ang halaga ng pinakamalaking error ay hindi bumababa. Gayunpaman, ang mga ito ay naisalokal sa rehiyon na tumutugma sa discontinuity point, at sa anumang iba pang punto ay may posibilidad silang maging zero. Noong 1899, ang resultang ito ay theoretically nakumpirma ni Joshua Willard Gibbs ng Yale University.

Convergence ng Fourier series at ang pag-unlad ng matematika sa pangkalahatan

>

Ang pagsusuri ng Fourier ay hindi naaangkop sa mga expression na naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga spike sa isang partikular na agwat. Sa pangkalahatan, ang serye ng Fourier, kung ang orihinal na function ay kinakatawan ng resulta ng isang tunay na pisikal na pagsukat, palaging nagtatagpo. Ang mga tanong tungkol sa convergence ng prosesong ito para sa mga tiyak na klase ng mga function ay humantong sa paglitaw ng mga bagong sangay sa matematika, halimbawa, ang teorya ng generalised function. Siya ay nauugnay sa mga pangalan tulad ng L. Schwartz, J. Mikusinski at J. Temple. Sa loob ng balangkas ng teoryang ito, isang malinaw at tumpak na teoretikal na batayan ang nilikha para sa mga ekspresyong gaya ng Dirac delta function (ito ay naglalarawan ng isang rehiyon ng isang lugar na puro sa isang napakaliit na kapitbahayan ng isang punto) at ang Heaviside na "hakbang". Salamat sa gawaing ito, naging naaangkop ang serye ng Fourier sa paglutas ng mga equation at mga problemang kinasasangkutan ng mga intuitive na konsepto: point charge, point mass, magnetic dipoles, at concentrated load sa isang beam.

Fourier na pamamaraan

>

Ang serye ng Fourier, alinsunod sa mga prinsipyo ng panghihimasok, ay nagsisimula sa agnas ng mga kumplikadong anyo sa mas simple. Halimbawa, ang pagbabago sa daloy ng init ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng pagdaan nito sa iba't ibang mga hadlang na gawa sa heat-insulating material na hindi regular na hugis o pagbabago sa ibabaw ng lupa - isang lindol, isang pagbabago sa orbit ng isang celestial body - ang impluwensya ng mga planeta. Bilang isang patakaran, ang mga equation na naglalarawan ng mga simpleng klasikal na sistema ay madaling malutas para sa bawat indibidwal na alon. Ipinakita ni Fourier na ang mga simpleng solusyon ay maaari ding isama upang makagawa ng mga solusyon sa mas kumplikadong mga problema. Sa mga terminong pangmatematika, ang seryeng Fourier ay isang pamamaraan para sa kumakatawan sa isang ekspresyon bilang kabuuan ng mga harmonika - cosine at sine. Samakatuwid, ang pagsusuri na ito ay kilala rin bilang "harmonic analysis".

Fourier series - isang perpektong pamamaraan bago ang "panahon ng computer"

>

Bago ang paglikha ng teknolohiya ng computer, ang paraan ng Fourier ay ang pinakamahusay na sandata sa arsenal ng mga siyentipiko kapag nagtatrabaho sa likas na alon ng ating mundo. Ang seryeng Fourier sa kumplikadong anyo ay ginagawang posible upang malutas hindi lamang ang mga simpleng problema na maaaring direktang ilapat sa mga batas ng mekanika ni Newton, kundi pati na rin ang mga pangunahing equation. Karamihan sa mga natuklasan ng Newtonian science noong ikalabinsiyam na siglo ay naging posible lamang sa pamamagitan ng pamamaraan ni Fourier.

Fourier series ngayon

>

Sa pag-unlad ng mga computer, ang Fourier transforms ay tumaas sa isang qualitatively bagong antas. Ang pamamaraan na ito ay matatag na itinatag sa halos lahat ng mga lugar ng agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ay digital audio at video. Ang pagpapatupad nito ay naging posible lamang salamat sa isang teorya na binuo ng isang Pranses na matematiko sa simula ng ikalabinsiyam na siglo. Kaya, ang seryeng Fourier sa isang kumplikadong anyo ay naging posible upang makagawa ng isang pambihirang tagumpay sa pag-aaral ng kalawakan. Bilang karagdagan, naimpluwensyahan nito ang pag-aaral ng pisika ng mga semiconductor na materyales at plasma, microwave acoustics, oceanography, radar, at seismology.

Trigonometric Fourier series

>

Sa matematika, ang seryeng Fourier ay isang paraan ng pagre-represent ng mga di-makatwirang kumplikadong function bilang kabuuan ng mas simple. Sa mga pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga naturang expression ay maaaring walang katapusan. Bukod dito, kung higit na isinasaalang-alang ang kanilang numero sa pagkalkula, mas tumpak ang huling resulta. Kadalasan, ang mga trigonometriko na pag-andar ng cosine o sine ay ginagamit bilang pinakasimpleng mga. Sa kasong ito, ang serye ng Fourier ay tinatawag na trigonometric, at ang solusyon ng naturang mga expression ay tinatawag na harmonic expansion. Ang pamamaraang ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika. Una sa lahat, ang serye ng trigonometriko ay nagbibigay ng isang paraan para sa paglalarawan at pag-aaral din ng mga pag-andar; ito ang pangunahing kagamitan ng teorya. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong malutas ang isang bilang ng mga problema sa matematikal na pisika. Sa wakas, ang teoryang ito ay nag-ambag sa pag-unlad at nagbigay-buhay sa isang bilang ng mga napakahalagang sangay ng agham matematika (ang teorya ng mga integral, ang teorya ng mga pana-panahong pag-andar). Bilang karagdagan, ito ay nagsilbing panimulang punto para sa pagbuo ng mga sumusunod na pag-andar ng isang tunay na variable, at inilatag din ang pundasyon para sa harmonic analysis.

Na medyo boring na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang kalakal mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Mukhang hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay maaaring
"muling pagsasama". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa araling ito ay makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa ng pagpapalawak ng mga function sa Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies," ngunit ito ay hindi tapat, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang sangay ng pagsusuri sa matematika at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay sa astronaut =)

Una, dapat mong lapitan ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina sa mahusay na anyo. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang malakas na emosyon tungkol sa sirang binti ng hamster at labis na pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay para sa aquarium fish. Ang serye ng Fourier ay hindi mahirap maunawaan, ngunit ang mga praktikal na gawain ay nangangailangan lamang ng pagtaas ng konsentrasyon ng atensyon - sa isip, dapat mong ganap na ihiwalay ang iyong sarili mula sa panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. totoo ba.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kinakailangan na pag-aralan ang panel ng instrumento ng spacecraft. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

1) . Sa katunayan, ang sinusoid ay "tinatahi" ang x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2) . Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi" ay katumbas ng isang "blinker":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa bagay: .

Marahil sapat na iyon.

At pangatlo, mahal na kosmonaut corps, dapat ay kaya mo... pagsamahin.
Sa partikular, may kumpiyansa isubsume ang function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin nang unti-unti at maging mapayapa kasama Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Hindi ko inirerekumenda na laktawan ito, upang hindi mawalan ng timbang sa ibang pagkakataon:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.

Solusyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na “x” at sa yugtong ito ang discrete variable na “en” ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral ilagay ang function sa ilalim ng differential sign:

Ang isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang i-target, ay ganito ang hitsura:

Masanay na tayo:

Ang apat na natitirang puntos ay nasa iyong sarili. Subukang lapitan ang gawain nang may konsensya at isulat ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos isagawa ang mga pagsasanay na KALIDAD, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan

>

Isaalang-alang ang ilang function na iyon determinado kahit man lang sa isang yugto ng panahon (at posibleng sa mas mahabang panahon). Kung ang function na ito ay integrable sa pagitan, maaari itong palawakin sa trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, tinawag ang numero panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay ng agnas.

Malinaw na sa pangkalahatang kaso ang serye ng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero na termino ng serye ay karaniwang nakasulat sa anyo.

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga nagsisimulang mag-aral ng paksa ay hindi pa rin malinaw tungkol sa mga bagong termino: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients atbp. Huwag mag-panic, hindi ito maihahambing sa excitement bago pumunta sa outer space. Unawain natin ang lahat sa sumusunod na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

>

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan upang ilarawan ang isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

>

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, ibig sabihin, bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Ako ay natutuwa na ang ilang mga bisita sa site ay napagtanto ang kanilang pagkabata pangarap na maging isang astronaut sa harap mismo ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng serye at ang bahagyang kabuuan.

Solusyon: Ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan din ito ng eyeballs:

2) Gamitin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at kinukuha niya ito nang paisa-isa:

Ginamit kapag natagpuan paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, ito ay mas maginhawa upang agad na gamitin formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil may pare-pareho bago ang orihinal na integral. Huwag natin siyang mawala! Ang mga panaklong ay maaaring palawakin sa anumang karagdagang hakbang; Ginawa ko ito bilang isang huling paraan. Sa unang "piraso" Nagpapakita kami ng labis na pangangalaga sa pagpapalit tulad ng nakikita mo, hindi ginagamit ang pare-pareho, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay naka-highlight sa mga square bracket. Well, pamilyar ka sa integral ng pangalawang "piraso" ng formula mula sa gawain sa pagsasanay;-)

At pinaka-mahalaga - matinding konsentrasyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din unti-unting nagsasama:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang expression ay ganap na nakapaloob sa malalaking bracket. Ayokong magmukhang boring, madalas silang nawawalan ng pare-pareho.

(2) Sa kasong ito, agad kong binuksan ang malalaking panaklong ito. Espesyal na atensyon Inilalaan namin ang aming sarili sa unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng pag-record, ipinapayong muli na i-highlight ang aksyon na ito gamit ang mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos buksan ang malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang isang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral;-)

(3) Nagsasagawa kami ng mga pagbabago sa mga square bracket, at sa tamang integral ay pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flashing light" mula sa mga square bracket: , at pagkatapos ay buksan ang mga panloob na bracket: .

(5) Kinakansela namin ang 1 at –1 sa mga panaklong at isinasagawa ang panghuling pagpapasimple.

Sa wakas, lahat ng tatlong Fourier coefficient ay matatagpuan:

I-substitute natin sila sa formula :

Kasabay nito, huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en," ay kinuha sa labas ng kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang isyu ng convergence ng Fourier series. Ipapaliwanag ko ang teorya, sa partikular Ang teorama ni Dirichlet, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na formulations, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin sa mathematical analysis (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit ito ay mas mahirap).

Ang ikalawang bahagi ng problema ay nangangailangan ng pagguhit ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye, at isang graph ng isang bahagyang kabuuan.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa isang eroplano, na iginuhit gamit ang isang itim na tuldok na linya:

Alamin natin ang kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang serye ng function ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" ay magsasama sa function, na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay nagpaparaya ruptures ng 1st kind sa mga punto, ngunit tinukoy din sa kanila (mga pulang tuldok sa pagguhit)

kaya: . Madaling makita na ito ay kapansin-pansing naiiba sa orihinal na pag-andar, kaya naman sa entry Ang isang tilde ay ginagamit sa halip na isang katumbas na tanda.

Pag-aralan natin ang isang algorithm na maginhawa para sa pagbuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng trigonometriko na pagpapalawak na isinasaalang-alang. Fourier serye mga periodic function lang (constant, sines at cosine) ang kasama, kaya ang kabuuan ng serye ay isa ring panaka-nakang pag-andar.

Ano ang ibig sabihin nito sa aming partikular na halimbawa? At nangangahulugan ito na ang kabuuan ng serye –tiyak na pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na paulit-ulit na walang katapusang sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas" ay naging malinaw na ngayon. Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Well, at pati na rin ang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang malinaw na ang graph ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "tumalon" ng discontinuity (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano malalaman ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": upang gawin ito, kinakalkula namin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng gitnang panahon ng pagpapalawak: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "ibabang palapag," ang pinakamadaling paraan ay kunin ang pinakakaliwang halaga ng parehong panahon: . Ang ordinate ng average na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Ang isang kaaya-ayang katotohanan ay kapag gumagawa ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay kinakalkula nang tama o hindi tama.

Bumuo tayo ng isang bahagyang kabuuan ng serye at sabay na ulitin ang kahulugan ng terminong "tagpo." Ang motibo ay kilala rin mula sa aralin tungkol sa kabuuan ng isang serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang bumuo ng isang bahagyang kabuuan, kailangan mong magsulat ng zero + dalawa pang termino ng serye. Ibig sabihin,

Sa pagguhit, ang graph ng function ay ipinapakita sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay "binalot" ang buong kabuuan nang mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya nang mas tumpak ang mga pulang linya kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment; atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang halaga ay tuluy-tuloy na pag-andar, gayunpaman, ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi napakabihirang bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa panahon, at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isa ring periodic function... ...sa ilang mga paraan, ang graph nito ay nagpapaalala sa akin ng pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Ang pagsasagawa ng konstruksiyon, siyempre, ay hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na hindi komportable sa pagguhit - sa isang "tunay" na problema ay hindi palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit sa halos 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang pag-andar sa isang serye ng Fourier at iyon lang .

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind sa panahon mismo ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin ang function na ibinigay sa pagitan sa isang seryeng Fourier. Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay tinukoy sa isang hiwa-hiwalay na paraan (at, tandaan, sa segment lang) at nagtitiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay mapagsasama sa kanilang mga pagitan, samakatuwid ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas sa trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Ang iba pang dalawang Fourier coefficient ay inilarawan nang katulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan ay gumuhit kami ng isang tuwid na segment ng linya, at sa pagitan - isang tuwid na segment ng linya (i-highlight namin ang seksyon ng axis sa bold at bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay magko-converge sa isang nakahiwalay na value, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: kaliwang panig na limitasyon: , kanang panig na limitasyon: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng kabuuan, ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ang parehong bagay ay dapat na ilarawan sa mga pagitan at . Kasabay nito, sa mga punto ang seryeng Fourier ay magsasama-sama sa mga halagang panggitna.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang makayanan ang gawaing ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng huling disenyo at isang guhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier sa isang arbitrary na panahon

>

Para sa isang di-makatwirang panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa serye ng Fourier at mga koepisyent ng Fourier ay nakikilala sa pamamagitan ng bahagyang mas kumplikadong argumento para sa sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula ng pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Solusyon: talagang isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Ang pag-andar ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan, ngunit hindi nito binabago ang bagay - mahalaga na ang parehong mga piraso ng pag-andar ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral sa mas maraming detalye hangga't maaari:

2) Maingat nating tinitingnan ang ibabaw ng Buwan:

Pangalawang integral kunin ito ng pira-piraso:

Ano ang dapat nating bigyang pansin pagkatapos nating buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pag-subscribe sa differential sign. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa mga palatandaan kapag gumagamit ng formula . Ang mga malalaking bracket ay mas maginhawa pa ring buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan;

Oo, hindi para sa wala na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - paano siya nangahas na ayusin ang mga pag-andar sa mga seryeng trigonometriko?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ay nagtrabaho sa isang matematikal na modelo ng thermal conductivity, at pagkatapos ang seryeng pinangalanan sa kanya ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na nakikita at hindi nakikita sa nakapaligid na mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa pana-panahong ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Fourier na pagbabago sa mga mapagkukunan ng third party. ...Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Isinasaalang-alang ang paulit-ulit na binanggit na mahina na mga link, tingnan natin ang ikatlong koepisyent:

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

Ipalit natin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: gumagawa tayo ng isang tuwid na linya sa isang pagitan, at isang tuwid na linya sa isang pagitan. Kung ang "x" na halaga ay zero, naglalagay kami ng isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang graph para sa mga kalapit na panahon:


Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipaalala ko sa iyo na ang mismong function ay ayon sa kundisyon na tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, tumutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Solusyon (tingnan ang Bohan volume 2) katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa punto , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng agnas mga discontinuity point ng 1st kind at/o maaaring may higit pang "junction" na mga punto ng graph (dalawa, tatlo at sa pangkalahatan ay anuman pangwakas dami). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan ay hindi ko naaalala ang isang malupit na bagay. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa mga napag-isipan pa lang, at sa dulo ng artikulo ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado para sa lahat.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pagnilayan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa problemang ito ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng pagpapalawak, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa Blg. 2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangalangaang - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa dulo ng aralin, may nakalakip na diagram.

Fourier serye pagpapalawak ng kahit at kakaiba function

>

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At narito kung bakit. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier na may panahon na “two pi” at arbitrary na panahon "dalawang el" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng kahit na mga cosine at kakaibang sine. At kung kami ay nagpapalawak ng isang EVEN function, kung gayon bakit kailangan namin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

kaya, ang isang even function ay maaaring palawakin sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:

kasi integral ng even functions kasama ang isang integration segment na simetriko na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang natitirang Fourier coefficients ay pinasimple.

Para sa puwang:

Para sa isang arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng aklat-aralin na makikita sa halos anumang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng kahit na mga function . Bilang karagdagan, ilang beses na silang nakatagpo sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Ang function ay ibinigay. Kinakailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Solusyon: sa unang talata ito ay iminungkahi upang malutas ang problema sa pangkalahatang anyo, at ito ay napaka-maginhawa! Kung kinakailangan, palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak ay kalahating panahon. Sa mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang pag-andar ay pantay, na nangangahulugang maaari itong mapalawak sa isang serye ng Fourier sa mga cosine lamang: .

Hinahanap namin ang mga Fourier coefficient gamit ang mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang walang kondisyon na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugang ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "X" ng dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.

dalawa:

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi:

kaya:
, habang ang pare-pareho , na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha sa labas ng kabuuan.

Sagot:

2) Isulat natin ang pagpapalawak sa pagitan;

Fourier series expansion ng even at odd function expansion ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang series sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex representation ng Fourier series Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series sa isang orthogonal system Minimal na pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Pagkakapantay-pantay Parseval Mga saradong sistema Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system

Fourier series expansion ng even at odd functions Ang isang function na f(x), na tinukoy sa interval \-1, kung saan ang I > 0, ay tinatawag kahit na ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa ordinate axis. Ang isang function na f(x), na tinukoy sa segment na J), kung saan ang I > 0, ay tinatawag na kakaiba kung ang graph ng kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan. Halimbawa. a) Ang function ay kahit sa pagitan |-jt, jt), dahil para sa lahat x e b) Ang function ay kakaiba, dahil ang Fourier series expansion ng even at odd function ay pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang serye sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary period Complex notation ng Fourier series Fourier series para sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function Fourier series para sa orthogonal system Minimal na pag-aari ng Fourier coefficients Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bessel Parseval's equality Mga saradong sistema Pagkumpleto at pagsasara ng mga system c) Function f(x)=x2-x, kung saan hindi kabilang sa even or odd functions, since Hayaan ang function f(x) satisfying kundisyon ng Theorem 1, ay kahit sa pagitan ng x|. Pagkatapos para sa lahat i.e. Ang /(x) cos nx ay isang even function, at ang f(x) sinnx ay isang kakaiba. Samakatuwid, ang Fourier coefficients ng isang even function /(x) ay magiging pantay-pantay Samakatuwid, ang Fourier series ng isang even function ay may anyo na f(x) sin х - isang even function. Samakatuwid, magkakaroon tayo ng Kaya, ang Fourier series ng isang kakaibang function ay may anyo na Halimbawa 1. Palawakin ang function 4 sa isang Fourier series sa interval -x ^ x ^ n Dahil ang function na ito ay even at nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1, pagkatapos ang seryeng Fourier nito ay may anyo na Find the Fourier coefficients. Mayroon kaming Paglalapat ng integration sa pamamagitan ng mga bahagi nang dalawang beses, nakuha namin na Kaya, ang Fourier series ng function na ito ay ganito ang hitsura: o, sa pinalawak na anyo, Ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto para sa anumang x €, dahil sa mga puntong x = ±ir ang kabuuan ng ang serye ay tumutugma sa mga halaga ng function na f(x ) = x2, dahil ang mga graph ng function na f(x) = x at ang kabuuan ng resultang serye ay ibinibigay sa Fig. Magkomento. Ang Fourier series na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang kabuuan ng isa sa convergent numerical series, ibig sabihin, para sa x = 0 makuha namin ang Halimbawa 2. Palawakin ang function /(x) = x sa isang Fourier series sa pagitan. 6. § 6. Pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang pagitan sa isang serye sa mga sine o cosine Hayaan ang isang bounded piecewise monotonic function / ay ibigay sa pagitan. Ang mga halaga ng function na ito sa pagitan 0| maaaring higit pang tukuyin sa iba't ibang paraan. Halimbawa, maaari mong tukuyin ang isang function / sa segment tc] upang /. Sa kasong ito, sinasabi nila na) "ay pinalawak sa segment 0] sa pantay na paraan"; ang Fourier series nito ay maglalaman lamang ng mga cosine. Kung ang function /(x) ay tinukoy sa segment [-l-, mc] upang /(, pagkatapos ay makakakuha tayo ng kakaibang function, at pagkatapos ay sasabihin nila na / ay "pinalawak sa segment [-*, 0] sa isang kakaibang paraan”; sa kasong ito, ang mga serye ng Fourier ay maglalaman lamang ng mga sinus Kaya, ang bawat bounded piecewise monotonikong function /(x) na tinukoy sa pagitan ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier sa parehong mga sinus at cosine. Ang function ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier: a) sa pamamagitan ng mga cosine; b) sa pamamagitan ng mga sine. Ito ay nagbibigay at samakatuwid, Geometrically, ang ari-arian na ito ay nangangahulugan na sa kaso ng lugar na may kulay sa Fig. 10 mga lugar ay katumbas ng bawat isa. Sa partikular, para sa isang function na f(x) na may panahon na nakukuha namin sa Expansion sa isang Fourier series ng even at odd na function, pagpapalawak ng isang function na ibinigay sa isang interval sa isang series sa sines o cosine Fourier series para sa isang function na may arbitrary panahon Complex notation ng Fourier series Ang Fourier series sa pangkalahatang orthogonal system ay gumagana. Parseval Closed systems Pagkumpleto at pagsasara ng mga system Halimbawa 2. Ang function x ay panaka-nakang may period Dahil sa kakaiba ng function na ito, nang walang pagkalkula ng mga integral, maaari nating sabihin na para sa anumang Ang napatunayang pag-aari, sa partikular, ay nagpapakita na ang Fourier coefficients ng isang Ang periodic function na f(x) na may period 21 ay maaaring kalkulahin gamit ang mga formula kung saan ang a ay isang arbitrary real number (tandaan na ang mga function cos - at sin ay may period na 2/). Halimbawa 3. Palawakin sa isang seryeng Fourier ang isang function na ibinigay sa isang pagitan na may tuldok na 2x (Larawan 11). 4 Hanapin natin ang Fourier coefficients ng function na ito. Ang paglalagay sa mga formula ay makikita natin na para sa Samakatuwid, ang seryeng Fourier ay magiging ganito: Sa puntong x = jt (discontinuity point ng unang uri) mayroon tayong §8. Kumplikadong pag-record ng seryeng Fourier Gumagamit ang seksyong ito ng ilang elemento ng kumplikadong pagsusuri (tingnan ang Kabanata XXX, kung saan ang lahat ng pagkilos na isinagawa dito na may mga kumplikadong ekspresyon ay mahigpit na nabibigyang katwiran). Hayaang matugunan ng function na f(x) ang mga sapat na kundisyon para sa pagpapalawak sa isang seryeng Fourier. Pagkatapos sa segment x] maaari itong katawanin ng isang serye ng anyo Gamit ang mga formula ni Euler Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa serye (1) sa halip na cos πx at sin φx ay magkakaroon tayo. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon Pagkatapos ang serye (2) ang anyo Kaya, ang seryeng Fourier (1) ay kinakatawan sa kumplikadong anyo (3). Maghanap tayo ng mga expression para sa mga coefficient sa pamamagitan ng mga integral. Mayroon kaming Katulad, nakita namin Ang mga huling formula para sa с„, с_п at с ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: . . Ang mga coefficient с„ ay tinatawag na complex Fourier coefficients ng function Para sa isang periodic function na may period), ang kumplikadong anyo ng Fourier series ay kukuha ng anyo kung saan ang mga coefficient na Cn ay kinakalkula gamit ang mga formula na The convergence of series (3 ) at (4) ay nauunawaan bilang mga sumusunod: serye (3) at (4) ay tinatawag na convergent para sa isang naibigay na halaga kung may mga limitasyon Halimbawa. Palawakin ang function ng panahon sa isang kumplikadong serye ng Fourier. Hanapin natin ang kumplikadong Fourier coefficient ng function na ito. Mayroon kaming para sa kakaiba para sa kahit n, o, sa madaling salita. Ang pagpapalit sa mga halaga), sa wakas ay nakuha namin Tandaan na ang seryeng ito ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod: Fourier series para sa pangkalahatang orthogonal system ng mga function 9.1. Orthogonal na mga sistema ng mga pag-andar Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng (totoong) function na tinukoy at maisasama sa pagitan [a, 6] na may isang parisukat, ibig sabihin, ang mga kung saan mayroong isang integral Sa partikular, ang lahat ng mga function na f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a , 6], nabibilang sa 6], at ang mga halaga ng kanilang mga integral sa Lebesgue ay tumutugma sa mga halaga ng mga integral ng Riemann. Kahulugan. Ang isang sistema ng mga pag-andar, kung saan, ay tinatawag na orthogonal sa pagitan [a, b\, kung ipinapalagay ng Kondisyon (1), sa partikular, na wala sa mga pag-andar ang kaparehong zero. Ang integral ay nauunawaan sa kahulugan ng Lebesgue. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, halimbawa, kapag ang serye (4) ay nagkakaisa nang pantay, ang lahat ng mga pag-andar ay tuluy-tuloy at ang pagitan (a, 6) ay may hangganan, ang operasyong ito ay legal. Ngunit para sa amin ngayon ito ay ang pormal na interpretasyon na ang mahalaga. Kaya, hayaang maibigay ang isang function. Buuin natin ang mga numerong c* gamit ang formula (5) at isulat ang serye sa kanang bahagi ay tinatawag na Fourier series ng function na f(x) na may kinalaman sa system (^n(i)). tinatawag na Fourier coefficients ng function na f(x) na may kinalaman sa sistemang ito. Ang sign na ~ sa formula (6) ay nangangahulugan lamang na ang mga numerong Cn ay nauugnay sa function na f(x) sa pamamagitan ng formula (5) (hindi ipinapalagay na ang serye sa kanan ay nagtatagpo sa lahat, higit na mas mababa ang converge sa function na f (x)). Samakatuwid, ang tanong ay natural na lumitaw: ano ang mga katangian ng seryeng ito? Sa anong kahulugan ito "kumakatawan" sa function na f(x)? 9.3. Convergence sa average na Kahulugan. Ang isang sequence ay nagtatagpo sa elemento ] sa average kung ang norm ay nasa space Theorem 6. Kung ang isang sequence ) ay nagkakatagpo ng pantay, pagkatapos ito ay nagtatagpo sa average. kapag ang Tn(x) ay ang 71st partial sum ng Fourier series ng function /(x) sa ibabaw ng system (. Setting ak = sk, mula sa (7) makuha natin ang Equality (9) ay tinatawag na Bessel identity. Dahil sa kaliwa nito side ay di-negatibo, pagkatapos ay mula dito ang Bessel inequality ay sumusunod Dahil ako ay narito nang arbitraryo, ang Bessel inequality ay maaaring katawanin sa isang pinalakas na anyo, ibig sabihin, para sa anumang function / isang serye ng mga squared Fourier coefficients ng function na ito ayon sa. orthonormal system) nagtatagpo. Dahil orthonormal ang sistema sa pagitan [-x, m], kung gayon ang inequality (10) na isinalin sa karaniwang notasyon ng trigonometric Fourier series ay nagbibigay ng ugnayang do na wasto para sa anumang function /(x) na may integrable square. Kung ang f2(x) ay mapagsasama, kung gayon, dahil sa kinakailangang kundisyon para sa convergence ng serye sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (11), nakuha natin iyon. Parseval's equality Para sa ilang system (^„(x)), ang inequality sign sa formula (10) ay maaaring palitan (para sa lahat ng function f(x) 6 ×) ng isang equal sign. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay tinatawag na Parseval-Steklov equality (kondisyon ng pagkakumpleto). Ang pagkakakilanlan ni Bessel (9) ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang kundisyon (12) sa isang katumbas na anyo Kaya, ang katuparan ng kundisyon ng pagkakumpleto ay nangangahulugan na ang mga bahagyang kabuuan ng Sn(x) ng serye ng Fourier ng function /(x) ay nagtatagpo sa function. /(x) sa karaniwan, i.e. ayon sa pamantayan ng espasyo 6]. Kahulugan. Ang isang orthonormal system ( ay tinatawag na kumpleto sa b2[аy b] kung ang bawat function ay maaaring tantiyahin sa anumang katumpakan sa karaniwan sa pamamagitan ng isang linear na kumbinasyon ng form na may sapat na malaking bilang ng mga termino, ibig sabihin, kung para sa anumang function /(x) ∈ b2 [a, b\ at para sa alinmang e > 0 mayroong natural na bilang nq at mga numerong a\, a2y..., na hindi Mula sa pangangatwiran sa itaas, ang Theorem 7 ay sumusunod Sa pamamagitan ng orthonormalizing ang system ) ay kumpleto sa espasyo, ang Fourier na serye ng anumang function / para sa sistemang ito ay nagtatagpo sa f(x) sa karaniwan, ibig sabihin, ayon sa pamantayan ay kumpleto na ito sa espasyo nagpapahiwatig ng pahayag. Theorem 8. Kung ang isang function /o nito trigonometric Fourier series ay nagtatagpo dito sa average. 9.5. Mga saradong sistema. Pagkakumpleto at pagsasara ng mga system Definition. Ang isang orthonormal na sistema ng mga function \ ay tinatawag na sarado kung sa espasyo Li\a, b) walang non-zero function na orthogonal sa lahat ng mga function Sa espasyo L2\a, b\, ang mga konsepto ng pagkakumpleto at pagsasara ng mga orthonormal system magkasabay. Mga Pagsasanay 1. Palawakin ang function sa isang Fourier series sa interval (-i-, x) 2. Palawakin ang function 3 sa isang Fourier series sa interval (-tr, tr) 3. Palawakin ang function 4 sa isang Fourier series sa ang interval (-tr, tr) sa Fourier series sa interval (-jt, tr) function 5. Palawakin ang function na f(x) = x + x sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-tr, tr). 6. Palawakin ang function n sa isang Fourier series sa interval (-jt, tr) 7. Palawakin ang function f(x) = sin2 x sa isang Fourier series sa interval (-tr, x). 8. Palawakin ang function f(x) = y sa isang Fourier series sa pagitan (-tr, jt) 9. Palawakin ang function f(x) = | kasalanan x|. 10. Palawakin ang function na f(x) = § sa isang Fourier series sa pagitan (-π-, π). 11. Palawakin ang function na f(x) = sin § sa isang seryeng Fourier sa pagitan (-tr, tr). 12. Palawakin ang function na f(x) = n -2x, na ibinigay sa pagitan (0, x), sa isang seryeng Fourier, pinalawak ito sa pagitan (-x, 0): a) sa pantay na paraan; b) sa kakaibang paraan. 13. Palawakin ang function /(x) = x2, na ibinigay sa pagitan (0, x), sa isang seryeng Fourier sa mga sine. 14. Palawakin ang function /(x) = 3, na ibinigay sa pagitan (-2,2), sa isang seryeng Fourier. 15. Palawakin sa seryeng Fourier ang function na f(x) = |x|, na ibinigay sa pagitan (-1,1). 16. Palawakin ang function na f(x) = 2x, na tinukoy sa pagitan (0,1), sa isang seryeng Fourier sa mga sine.

Fourier serye– isang paraan ng pagre-represent sa isang kumplikadong function bilang isang kabuuan ng mas simple, kilalang mga function.
Ang sine at cosine ay pana-panahong pag-andar. Bumubuo din sila ng orthogonal na batayan. Ang pag-aari na ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga palakol X X X At YY Y sa coordinate plane. Tulad ng maaari nating ilarawan ang mga coordinate ng isang punto na may kinalaman sa mga axes, maaari nating ilarawan ang anumang function na may kinalaman sa mga sine at cosine. Ang mga function ng trigonometriko ay lubos na nauunawaan at madaling gamitin sa matematika.

Ang mga sine at cosine ay maaaring kinakatawan sa anyo ng mga sumusunod na alon:

Ang mga asul ay mga cosine, ang mga pula ay mga sine. Ang ganitong mga alon ay tinatawag ding mga harmonika. Ang mga cosine ay pantay, ang mga sine ay kakaiba. Ang terminong harmonic ay nagmula sa sinaunang panahon at nauugnay sa mga obserbasyon tungkol sa kaugnayan ng mga pitch sa musika.

Ano ang seryeng Fourier

>

Ang ganitong serye, kung saan ginagamit ang pinakasimpleng function ng sine at cosine, ay tinatawag na trigonometric. Pinangalanan ito bilang parangal sa imbentor nito, si Jean Baptiste Joseph Fourier, sa pagtatapos ng ika-18 at simula ng ika-19 na siglo. na nagpatunay na ang anumang pag-andar ay maaaring katawanin bilang kumbinasyon ng naturang mga harmonika. At kung mas marami sa mga ito ang kukunin mo, mas magiging tumpak ang representasyong ito. Halimbawa, ang larawan sa ibaba: maaari mong mapansin na sa isang malaking bilang ng mga harmonika, i.e. mga miyembro ng serye ng Fourier, ang pulang graph ay nagiging mas malapit sa asul - ang orihinal na function.

Praktikal na aplikasyon sa modernong mundo

>

Kailangan pa ba ang mga row na ito ngayon? Saan maaari silang magamit nang praktikal at mayroon bang iba maliban sa mga teoretikal na mathematician na gumagamit ng mga ito? Si Fourier pala ay sikat sa buong mundo dahil literal na hindi makalkula ang mga praktikal na benepisyo ng kanyang serye. Ang mga ito ay maginhawang gamitin kung saan mayroong anumang mga vibrations o waves: acoustics, astronomy, radio engineering, atbp. Ang pinakasimpleng halimbawa ng paggamit nito: ang mekanismo ng pagpapatakbo ng isang camera o video camera. Upang maipaliwanag nang maikli, ang mga aparatong ito ay nagtatala hindi lamang ng mga larawan, ngunit ang mga coefficient ng serye ng Fourier. At ito ay gumagana sa lahat ng dako - kapag tumitingin ng mga larawan sa Internet, isang pelikula o nakikinig sa musika. Salamat sa seryeng Fourier na maaari mo na ngayong basahin ang artikulong ito mula sa iyong mobile phone. Kung wala ang Fourier transform, hindi kami magkakaroon ng sapat na bandwidth ng koneksyon sa Internet upang manood lamang ng isang video sa YouTube, kahit na sa karaniwang kalidad.

Ang diagram na ito ay nagpapakita ng isang two-dimensional na Fourier transform, na ginagamit upang mabulok ang imahe sa mga harmonika, ibig sabihin, mga pangunahing bahagi. Sa diagram na ito ang halaga -1 ay naka-code sa itim, 1 sa puti Sa kanan at pababa sa graph ay tumataas ang dalas.

Pagpapalawak ng serye ng Fourier

>

Marahil ay pagod ka na sa pagbabasa, kaya't magpatuloy tayo sa mga formula.
Para sa isang pamamaraang matematikal bilang pagpapalawak ng mga function sa isang seryeng Fourier, kakailanganin mong kumuha ng mga integral. Maraming integral. Sa pangkalahatan, ang seryeng Fourier ay isinulat bilang isang walang katapusang kabuuan:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n kasalanan (n x ) )
saan
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f (x) kasalanan (n x) d x

Kung kahit papaano ay mabibilang natin ang isang walang katapusang bilang a n a_n a n At b n b_n b n (tinatawag silang Fourier expansion coefficients, A A- ito ay isang pare-pareho lamang ng pagpapalawak na ito), kung gayon ang resultang serye ay magkakasabay ng 100% sa orihinal na pag-andar f(x) f(x) f(x) sa segment mula sa − π -\pi − π sa π\pi π . Ang segment na ito ay dahil sa mga katangian ng pagsasama ng sine at cosine. Ang higit pa n n, kung saan kinakalkula namin ang mga coefficient ng pagpapalawak ng serye ng function, magiging mas tumpak ang pagpapalawak na ito.

Halimbawa

Kumuha tayo ng isang simpleng function y = 5 x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) kasalanan (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) kasalanan(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xkasalanan(2 x) dx= − 5

At iba pa. Sa kaso ng tulad ng isang function, maaari naming agad na sabihin na ang lahat a n = 0 a_n=0an = 0 , mga coefficient b n b_nbn ay kailangang kalkulahin. Kung kukunin natin ang unang apat na termino ng pagpapalawak ng serye ng Fourier para sa function y = 5 x y=5xy= 5 x, nakukuha namin ang:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{kasalanan}(x)-5\cdot \mathrm{kasalanan}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{kasalanan}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{kasalanan}(4\cdot x)$

Ang graph ng resultang function ay magiging ganito:

Ang resultang Fourier series expansion ay lumalapit sa aming orihinal na function. Kung kukuha tayo ng mas malaking bilang ng mga termino ng serye, halimbawa, 15, makikita natin ang sumusunod:

Ang mas maraming mga tuntunin ng pagpapalawak sa isang serye, mas mataas ang katumpakan.
Kung babaguhin natin nang bahagya ang sukat ng graph, mapapansin natin ang isa pang tampok ng pagbabagong-anyo: ang seryeng Fourier ay isang periodic function na may period 2 π 2\pi2 π .

Kaya, maaari naming kumatawan sa anumang function na tuluy-tuloy sa pagitan [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Ang lahat ng ito ay kinakailangan upang mapadali ang pagsusuri ng ilang mga phenomena na inilarawan ng mga kumplikadong function. Hindi laging posible na kalkulahin ang derivative analytically (ibig sabihin, gamit ang isang formula), ngunit sa kaso ng isang hanay ng mga sine at cosine, ang gayong problema ay hindi lilitaw. Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier mismo ay nagpapakita na ang mga problema ay kadalasang malulutas sa analytical gamit ang mga pinasimpleng modelo, isang halimbawa nito ay ang seryeng Fourier.