Редица на Фурие. Примери за решения. Ред на Фурие в примери и задачи. Примери за разгръщане на функция в ред на Фурие

2. Определяне на коефициентите на серията с помощта на формули на Фурие.

Нека периодична функция ƒ(x) с период 2π е такава, че е представена от тригонометрична серия, сходна към дадена функция в интервала (-π, π), т.е. е сумата от тази серия:

Нека приемем, че интегралът на функцията от лявата страна на това равенство е равен на сумата от интегралите на членовете на този ред. Това ще бъде вярно, ако приемем, че редицата от числа, съставена от коефициентите на дадена тригонометрична редица, е абсолютно конвергентна, т.е. положителната редица от числа се сближава

Серия (1) е мажорируема и може да бъде интегрирана член по член в интервала (-π, π). Нека интегрираме двете страни на равенството (2):

Нека отделно оценим всеки интеграл, който се появява от дясната страна:

,

,

по този начин , където

. (4)

Оценка на коефициентите на Фурие. (Бугров)

Теорема 1. Нека функцията ƒ(x) от период 2π има непрекъсната производна ƒ (s) (x) от ред s, удовлетворяваща неравенството по цялата реална ос:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогава коефициентите на Фурие на функцията ƒ удовлетворяват неравенството

Доказателство. Интегриране по части и отчитане на това

ƒ(-π) = ƒ(π), имаме

Интегриране на дясната страна на (7) последователно, като се вземе предвид, че производните ƒ ΄, …, ƒ (s-1) са непрекъснати и приемат същите стойности в точки t = -π и t = π, като както и оценка (5), получаваме първата оценка (6).

Втората оценка (6) се получава по подобен начин.

Теорема 2. За коефициентите на Фурие ƒ(x) е в сила следното неравенство:

(8)

Доказателство. Имаме

(9)

Въвеждайки промяна на променлива в този случай и като вземем предвид, че ƒ(x) е периодична функция, получаваме

Събирайки (9) и (10), получаваме

Извършваме доказателството за b k по подобен начин.

Последица. Ако функцията ƒ(x) е непрекъсната, тогава нейните коефициенти на Фурие клонят към нула: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Пространство от функции със скаларно произведение.

Функция ƒ(x) се нарича частично непрекъсната на интервал, ако е непрекъсната на този интервал, с възможното изключение на краен брой точки, където има прекъсвания от първи вид. Такива точки могат да се добавят и умножават по реални числа и в резултат на това отново се получават непрекъснати функции на сегмента.

Скаларното произведение на две непрекъснати на части върху (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Очевидно е, че за всякакви непрекъснати функции ƒ, φ, ψ са изпълнени следните свойства:

1) (ƒ, φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) и от равенството (ƒ , ƒ) = 0 следва, че ƒ(x) =0 на , изключвайки, може би, краен брой точки x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

където α, β са произволни реални числа.

Ще обозначим множеството от всички непрекъснати функции, дефинирани на интервала, за който скаларното произведение е въведено съгласно формула (11), и го наречете пространство

Бележка 1.

В математиката пространството = (a, b) е колекция от функции ƒ(x), които са интегрируеми по смисъла на Лебег на заедно с техните квадрати, за които скаларното произведение се въвежда съгласно формула (11). Въпросното пространство е част. Пространството има много свойства на пространството, но не всички.

От свойства 1), 2), 3) следва важното неравенство на Буняковски | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, което на езика на интегралите изглежда така:

величина

се нарича норма на функцията f.

Нормата има следните свойства:

1) || е || ≥ 0, в този случай равенството може да бъде само за нулевата функция f = 0, т.е. функция, равна на нула, с изключение, може би, за краен брой точки;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

където α е реално число.

Второто свойство на езика на интегралите изглежда така:

и се нарича неравенство на Минковски.

Те казват, че последователност от функции ( f n ) принадлежи към, се сближава с функция принадлежи в смисъла на средния квадрат на (или също в нормата), ако

Обърнете внимание, че ако последователността от функции ƒ n (x) се сближава равномерно към функцията ƒ (x) на сегмента , тогава за достатъчно голямо n разликата ƒ (x) - ƒ n (x) в абсолютна стойност трябва да бъде малка за всички x от сегмента.

Ако ƒ n (x) клони към ƒ (x) в смисъла на средния квадрат на интервала , тогава посочената разлика може да не е малка за голямо n навсякъде на . На някои места от отсечката тази разлика може да е голяма, но единственото важно нещо е, че интегралът от нейния квадрат върху отсечката е малък при големи n.

Пример. Нека е дадена непрекъснатата частично линейна функция ƒ n (x) (n = 1, 2,...), показана на фигурата, и

(Бугров, стр. 281, фиг. 120)

За всяко естествено число n

и, следователно, тази последователност от функции, въпреки че се сближава до нула при n → ∞, не се сближава равномерно. Междувременно

т.е. последователността от функции (f n (x)) клони към нула в смисъла на средния квадрат върху .

От елементите на определена последователност от функции ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (принадлежащи на ) изграждаме редица

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Сумата от първите n члена

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

има функция, принадлежаща на . Ако се случи, че съществува функция ƒ такава, че

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

тогава те казват, че ред (12) се сближава към функцията ƒ в смисъл на среден квадрат и пишат

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Бележка 2.

Можем да разгледаме пространството = (a, b) на комплексно стойностни функции ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), където ƒ 1 (x) и ƒ 2 (x) са реални непрекъснати на части функции . В това пространство функциите се умножават по комплексни числа и скаларното произведение на функциите ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) и φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) се определя, както следва:

а нормата ƒ се определя като стойност

Редът на Фурие е представяне на произволна функция с определен период под формата на серия. Най-общо това решение се нарича разлагане на елемент по ортогонална основа. Разширяването на функциите в редове на Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми поради свойствата на тази трансформация по време на интегриране, диференциране, както и преместване на изрази чрез аргумент и конволюция.

Човек, който не е запознат с висшата математика, както и с трудовете на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какво представляват тези „серии“ и за какво са необходими. Междувременно тази трансформация стана доста интегрирана в живота ни. Използва се не само от математици, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други. Нека разгледаме по-отблизо и трудовете на великия френски учен, който направи откритие, което изпревари времето си.

Човекът и трансформацията на Фурие

>

Сериите на Фурие са един от методите (заедно с анализа и други). Този процес се случва всеки път, когато човек чуе звук. Ухото ни автоматично трансформира елементарни частици в еластична среда в редове (по спектъра) от последователни нива на звука за тонове с различна височина. След това мозъкът превръща тези данни в звуци, които са ни познати. Всичко това се случва извън нашето желание или съзнание, от само себе си, но за да разберем тези процеси, ще са необходими няколко години изучаване на висша математика.

Повече за трансформацията на Фурие

>

Преобразуването на Фурие може да се извърши с помощта на аналитични, числени и други методи. Сериите на Фурие се отнасят до числения метод за разлагане на всякакви колебателни процеси - от океански приливи и светлинни вълни до цикли на слънчева (и други астрономически обекти) активност. С помощта на тези математически техники можете да анализирате функции, представящи всякакви осцилационни процеси като поредица от синусоидални компоненти, които се движат от минимум към максимум и обратно. Преобразуването на Фурие е функция, която описва фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на определена честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, възникващи под въздействието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Също така, сериите на Фурие позволяват да се изолират постоянни компоненти в сложни осцилационни сигнали, което прави възможно правилното тълкуване на експерименталните наблюдения, получени в медицината, химията и астрономията.

Исторически фон

>

Основателят на тази теория е френският математик Жан Батист Жозеф Фурие. Тази трансформация впоследствие е кръстена на него. Първоначално ученият използва своя метод, за да изследва и обясни механизмите на топлопроводимостта - разпространението на топлина в твърди тела. Фурие предполага, че първоначалното неправилно разпределение може да се разложи на прости синусоиди, всяка от които ще има свой собствен температурен минимум и максимум, както и своя собствена фаза. В този случай всеки такъв компонент ще бъде измерен от минимум до максимум и обратно. Математическата функция, която описва горните и долните пикове на кривата, както и фазата на всеки от хармониците, се нарича преобразуване на Фурие на израза на разпределението на температурата. Авторът на теорията редуцира общата функция на разпределение, която трудно може да се опише математически, до много удобна поредица от косинус и синус, които заедно дават първоначалното разпределение.

Принципът на трансформация и възгледите на съвременниците

>

Съвременниците на учения - водещи математици от началото на деветнадесети век - не приемат тази теория. Основното възражение беше твърдението на Фурие, че прекъсната функция, описваща права линия или прекъсната крива, може да бъде представена като сума от синусоидални изрази, които са непрекъснати. Като пример, разгледайте стъпката на Хевисайд: нейната стойност е нула вляво от прекъсването и единица вдясно. Тази функция описва зависимостта на електрическия ток от временна променлива, когато веригата е затворена. Съвременниците на теорията по това време никога не са се сблъсквали с подобна ситуация, при която прекъснат израз би бил описан чрез комбинация от непрекъснати, обикновени функции като експоненциална, синусова, линейна или квадратична.

Какво обърка френските математици относно теорията на Фурие?

>

В края на краищата, ако математикът е бил прав в твърденията си, тогава чрез сумиране на безкрайната тригонометрична серия на Фурие, може да се получи точно представяне на стъпковия израз, дори ако има много подобни стъпки. В началото на деветнадесети век подобно твърдение изглеждаше абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици разшириха обхвата на изследване на това явление, като го изведоха отвъд изучаването на топлопроводимостта. Повечето учени обаче продължават да се измъчват от въпроса: „Може ли сумата от синусоидална серия да се сближи с точната стойност на прекъснатата функция?“

Сходимост на редове на Фурие: пример

>

Въпросът за конвергенцията възниква винаги, когато е необходимо да се сумират безкрайни серии от числа. За да разберете това явление, разгледайте класически пример. Ще успеете ли някога да стигнете до стената, ако всяка следваща стъпка е наполовина по-малка от предишната? Да приемем, че сте на два метра от целта си, първата стъпка ви отвежда до средата на пътя, следващата ви отвежда до три четвърти, а след петата ще сте изминали почти 97 процента от пътя. Въпреки това, колкото и стъпки да предприемете, няма да постигнете планираната цел в строго математически смисъл. С помощта на числени изчисления може да се докаже, че в крайна сметка е възможно да се приближите до дадено разстояние. Това доказателство е еквивалентно на демонстрирането, че сумата от една половина, една четвърт и т.н. ще клони към единица.

Въпросът за конвергенцията: Второто пришествие или инструментът на лорд Келвин

>

Този въпрос беше повдигнат отново в края на деветнадесети век, когато се опитаха да използват редове на Фурие, за да предскажат интензивността на приливите и отливите. По това време лорд Келвин изобретява инструмент, който представлява аналогово изчислително устройство, което позволява на моряците от военния и търговския флот да наблюдават този природен феномен. Този механизъм определя набори от фази и амплитуди от таблица с височини на приливите и съответните времеви точки, внимателно измерени в дадено пристанище през цялата година. Всеки параметър беше синусоидален компонент на израза на височината на прилива и беше един от редовните компоненти. Измерванията бяха въведени в изчислителния инструмент на лорд Келвин, който синтезира крива, която прогнозира височината на водата като функция на времето за следващата година. Много скоро подобни криви бяха съставени за всички пристанища на света.

Ами ако процесът е нарушен от прекъсната функция?

>

По това време изглеждаше очевидно, че предиктор на приливна вълна с голям брой броещи елементи може да изчисли голям брой фази и амплитуди и по този начин да осигури по-точни прогнози. Оказа се обаче, че този модел не се наблюдава в случаите, когато приливната експресия, която трябва да се синтезира, съдържа рязък скок, тоест е прекъсната. Ако в устройството се въведат данни от таблица с времеви моменти, то изчислява няколко коефициента на Фурие. Първоначалната функция се възстановява благодарение на синусоидалните компоненти (в съответствие с намерените коефициенти). Несъответствието между оригиналния и реконструирания израз може да бъде измерено във всяка точка. При извършване на многократни изчисления и сравнения е ясно, че стойността на най-голямата грешка не намалява. Те обаче са локализирани в областта, съответстваща на точката на прекъсване, и във всяка друга точка клонят към нула. През 1899 г. този резултат е теоретично потвърден от Джошуа Уилард Гибс от Йейлския университет.

Сходимост на редовете на Фурие и развитието на математиката като цяло

>

Анализът на Фурие не е приложим за изрази, съдържащи безкраен брой пикове за определен интервал. По принцип редовете на Фурие, ако първоначалната функция е представена от резултата от реално физическо измерване, винаги се събират. Въпросите за конвергенцията на този процес за специфични класове функции доведоха до появата на нови клонове в математиката, например теорията на обобщените функции. Свързват я с имена като Л. Шварц, Й. Микусински и Дж. Темпъл. В рамките на тази теория е създадена ясна и точна теоретична основа за такива изрази като делта функцията на Дирак (тя описва област от една област, концентрирана в безкрайно малка околност на точка) и „стъпката“ на Хевисайд. Благодарение на тази работа редовете на Фурие станаха приложими за решаване на уравнения и проблеми, включващи интуитивни концепции: точков заряд, точкова маса, магнитни диполи и концентрирано натоварване върху греда.

Метод на Фурие

>

Сериите на Фурие, в съответствие с принципите на интерференцията, започват с разлагането на сложни форми на по-прости. Например промяната в топлинния поток се обяснява с преминаването му през различни препятствия, изработени от топлоизолационен материал с неправилна форма или промяна в повърхността на земята - земетресение, промяна в орбитата на небесно тяло - влияние на планети. По правило такива уравнения, които описват прости класически системи, могат лесно да бъдат решени за всяка отделна вълна. Фурие показа, че прости решения могат също да бъдат сумирани, за да се получат решения на по-сложни проблеми. От математическа гледна точка редовете на Фурие са техника за представяне на израз като сума от хармоници - косинус и синус. Следователно този анализ е известен също като „хармоничен анализ“.

Серия на Фурие - идеална техника преди „компютърната ера“

>

Преди създаването на компютърната технология техниката на Фурие беше най-доброто оръжие в арсенала на учените при работа с вълновата природа на нашия свят. Сериите на Фурие в сложна форма позволяват да се решават не само прости задачи, които могат да бъдат приложени директно към законите на механиката на Нютон, но също и фундаментални уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука през деветнадесети век са станали възможни само благодарение на техниката на Фурие.

Редица на Фурие днес

>

С развитието на компютрите трансформациите на Фурие се издигнаха на качествено ново ниво. Тази техника е твърдо установена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифровото аудио и видео. Прилагането му стана възможно само благодарение на теория, разработена от френски математик в началото на деветнадесети век. Така серията на Фурие в сложна форма позволи да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, той повлия върху изучаването на физиката на полупроводниковите материали и плазмата, микровълновата акустика, океанографията, радара и сеизмологията.

Тригонометрични редове на Фурие

>

В математиката редът на Фурие е начин за представяне на произволни сложни функции като сума от по-прости. В общи случаи броят на такива изрази може да бъде безкраен. Освен това, колкото повече техният брой се взема предвид при изчислението, толкова по-точен е крайният резултат. Най-често се използват тригонометрични функции на косинус или синус като най-прости. В този случай редовете на Фурие се наричат тригонометрични, а решението на такива изрази се нарича хармонично разширение. Този метод играе важна роля в математиката. На първо място, тригонометричните редове осигуряват средство за изобразяване и изучаване на функциите; Освен това ви позволява да решавате редица задачи в математическата физика. И накрая, тази теория допринесе за развитието на редица много важни клонове на математическата наука (теорията на интегралите, теорията на периодичните функции). В допълнение, той послужи като отправна точка за разработването на следните функции на реална променлива и също така постави основата за хармоничен анализ.

Които вече са доста скучни. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите резерви на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, изразете сегмент от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции могат да бъдат
"обединение". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

В този урок ще се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще се докоснем до въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в ред на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Редове на Фурие за манекени“, но това би било неискрено, тъй като решаването на проблемите ще изисква познания в други клонове на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучение на астронавти =)

Първо, трябва да подходите към изучаването на материалите на страницата в отлична форма. Сънен, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупена лапа на хамстер и натрапчиви мисли за несгодите на живота на аквариумните рибки. Серията на Фурие не е трудна за разбиране, но практическите задачи просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай трябва напълно да се отделите от външни стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговор. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Вярно ли е.

Второ, преди да полетите в космоса, е необходимо да изучите инструменталния панел на космическия кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

1) . Наистина, синусоидата "зашива" оста x през всяко "pi":
. В случай на отрицателни стойности на аргумента, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2) . Но не всички знаеха това. Косинусът "пи" е еквивалентът на "мигач":

Отрицателният аргумент не променя нещата: .

Може би това е достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да... интегрирам.
По-специално, уверено подведете функцията под диференциалния знак, интегрирайте на парчеи бъди в мир с Формула на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните упражнения преди полета. Категорично не препоръчвам да го пропуснете, за да не се смачкате в безтегловност по-късно:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата “x” и на този етап дискретната променлива “en” се счита за константа. Във всички интеграли поставете функцията под диференциалния знак:

Кратка версия на решението, към която би било добре да се насочите, изглежда така:

Нека свикнем:

Четирите оставащи точки са за вас. Опитайте се да подходите съвестно към задачата и да напишете интегралите по кратък начин. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО изпълнение на упражненията обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Развиване на функция в ред на Фурие на интервала

>

Помислете за някаква функция, която определенпоне за определен период от време (и евентуално за по-дълъг период). Ако тази функция е интегрируема на интервала, тогава тя може да бъде разширена в тригонометрична Редица на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай номерът се обажда период на разлагане, а числото е полуживот на разлагане.

Очевидно е, че в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва във формата .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Отлично разбирам, че тези, които започват да изучават темата, все още не са наясно с новите термини: период на разлагане, полу-цикъл, Коефициенти на Фуриеи т.н. Не се паникьосвайте, това не е сравнимо с вълнението преди излизане в открития космос. Нека разберем всичко в следния пример, преди да изпълним, което е логично да зададем належащи практически въпроси:

Какво трябва да направите в следващите задачи?

>

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се налага да се изобрази графика на функция, графика на сбор от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

Как да разширим функция в ред на Фурие?

>

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определен интеграл.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работни формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои посетители на сайта сбъдват детската си мечта да станат астронавти точно пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала. Построете графика, графика на сумата от редицата и частичната сума.

Решение: Първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В тази задача периодът на разширение е половин период.

Нека разширим функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставим и изчислим три определен интеграл. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но той също изисква очи:

2) Използвайте втората формула:

Този интеграл е добре известен и той го взема парче по парче:

Използва се при намиране метод за поставяне на функция под диференциалния знак.

В разглежданата задача е по-удобно да се използва незабавно формула за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа преди първоначалния интеграл. Нека не я губим! Скобите могат да бъдат разширени на всяка следваща стъпка; направих това в краен случай. В първото "парче" Проявяваме изключителна грижа при заместването; както виждате, константата не се използва, а границите на интеграция се заместват в продукта. Това действие е подчертано в квадратни скоби. Е, запознат си с интеграла на второто „парче“ от формулата от тренировъчната задача;-)

И най-важното – изключителна концентрация!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предходния интеграл, който също е интегрира на парче:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Изразът е изцяло ограден в големи скоби. Не исках да изглеждам скучен, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага отворих тези големи скоби. Специално вниманиеНие се посвещаваме на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция (и) в продукта. Поради претрупаността на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие с квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл;-)

(3) В квадратни скоби извършваме трансформации, а в десния интеграл - заместване на граници на интегриране.

(4) Премахваме „мигащата светлина“ от квадратните скоби: , и след това отваряме вътрешните скоби: .

(5) Анулираме 1 и –1 в скоби и извършваме окончателните опростявания.

Накрая се намират и трите коефициента на Фурие:

Нека ги заместим във формулата :

В същото време не забравяйте да разделите наполовина. На последната стъпка константата ("минус две"), която не зависи от "en", се изважда извън сумата.

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на реда на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но е по-трудно).

Втората част на задачата изисква да се начертае графика, графика на сумата от редица и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обичайната права линия в равнина, който е начертан с черна пунктирана линия:

Нека намерим сбора на серията. Както знаете, функционалните серии се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"ще се сближи с функцията, която е показана в червено. Тази функция толерира разкъсвания от 1-ви видв точки, но също така е дефиниран в тях (червени точки на чертежа)

Така: . Лесно се вижда, че тя е забележимо различна от оригиналната функция, поради което в записа Използва се тилда вместо знак за равенство.

Нека да изучим алгоритъм, който е удобен за конструиране на сумата от редица.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поговорим малко за природата на разглежданото тригонометрично разширение. Редица на Фурие само периодични функции (константа, синуси и косинуси) са включени, така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията –определено периодичнои червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че значението на фразата „период на разлагане“ сега най-накрая стана ясно. Казано по-просто, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и също „пънове“ на съседни периоди - така че да е ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точки на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на „скока“ на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на „горния етаж“: за да направим това, изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширението: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната стойност е средноаритметичната стойност на сумата от „горе и отдолу“: . Приятен факт е, че когато конструирате чертеж, веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да изградим частична сума на реда и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е известен и от урока за сбор от числова серия. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да съставите частична сума, трябва да напишете нула + още два члена от редицата. т.е.

На чертежа графиката на функцията е показана в зелено и, както можете да видите, тя „обвива“ пълната сума доста плътно. Ако разгледаме частична сума от пет члена на серията, тогава графиката на тази функция ще апроксимира червените линии още по-точно, ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност ще се слее напълно с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, обаче, общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е толкова рядко да се построи графика на частична сума. Как да стане това? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция... ...по някакъв начин нейната графика ми напомня за плавен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Извършването на конструкцията, разбира се, не е много удобно, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Въпреки това ще зарадвам читателите, които не се чувстват комфортно с чертането - в "истински" проблем не винаги е необходимо да се извърши чертеж, в около 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е всичко .

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

отговор:

При много задачи функцията страда разкъсване от 1-ви видточно по време на периода на разлагане:

Пример 3

Разгънете функцията, дадена на интервала, в ред на Фурие. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е посочена на части (и, забележете, само на сегмента)и издържа разкъсване от 1-ви видв точка . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? няма проблеми Както лявата, така и дясната страна на функцията са интегрируеми на своите интервали, следователно интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Другите два коефициента на Фурие са описани по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал начертаваме прав сегмент, а на интервала - прав сегмент (маркираме участъка на оста с удебелен и удебелен шрифт). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три „лоши“ точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие ще се сближи до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница: , дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, едно и също нещо трябва да бъде изобразено на интервалите и . В същото време в точки редовете на Фурие ще се сближат със средните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се сами да се справите с тази задача. Приблизителна проба на окончателния дизайн и чертеж в края на урока.

Развиване на функция в ред на Фурие за произволен период

>

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се отличават с малко по-сложен аргумент за синус и косинус:

Ако , тогава получаваме интервалните формули, с които започнахме.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на Пример № 3 с разкъсване от 1-ви видв точка . В тази задача периодът на разширение е половин период. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно разглеждаме повърхността на Луната:

Втори интеграл вземете го парче по парче:

На какво трябва да обърнем специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където незабавно изпълняваме подписване на диференциалния знак. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се обърквайте от знацитепри използване на формула . Големите скоби все още са по-удобни за отваряне веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, трудностите могат да бъдат причинени само от недостатъчен опит в решаването на интеграли.

Да, не напразно видните колеги на френския математик Фурие се възмущаваха - как се е осмелил да подрежда функции в тригонометрични редове?! =) Между другото, вероятно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически модел на топлопроводимостта и впоследствие серията, наречена на негово име, започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които са видими и невидими в околния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че не случайно сравних графиката на втория пример с периодичния ритъм на сърцето. Желаещите могат да се запознаят с практическото приложение Преобразуване на Фуриев източници на трети страни. ...Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Като вземем предвид многократно споменаваните слаби връзки, нека разгледаме третия коефициент:

Нека интегрираме по части:

Нека заместим намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: построяваме права линия върху интервал и права линия върху интервал. Ако стойността на „x“ е нула, поставяме точка в средата на „скока“ на празнината и „репликираме“ графиката за съседни периоди:


В „кръстовищата“ на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на „скока“ на празнината.

Готови. Нека ви напомня, че самата функция е по условие дефинирана само на полуинтервал и, очевидно, съвпада със сумата на реда на интервалите

отговор:

Понякога дадена на части функция е непрекъсната през периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (вижте том 2 на Бохан)същото като в предишните два примера: въпреки непрекъснатост на функциятав точка , всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

На интервала на разлагане точки на прекъсване от 1-ви роди/или може да има повече „свързващи“ точки на графиката (две, три и обикновено всякакви окончателенколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такова жестоко нещо. Има обаче по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията има връзки към редове на Фурие с повишена сложност за всеки.

Междувременно нека се отпуснем, облегнем се на столовете си и съзерцаваме безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В този проблем функцията непрекъснатовърху полуинтервала на разширение, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример № 2. Няма бягство от космическия кораб - трябва да решите =) Приблизителна проба за дизайн в края на урока, приложена е диаграма.

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции

>

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функция в ред на Фурие с период от "две пи" и произволна точка „две ел“ .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разширяваме функция EVEN, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

по този начин четна функция може да се разложи в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интеграли на четни функциипо протежение на интеграционен сегмент, който е симетричен по отношение на нулата, може да се удвои, тогава останалите коефициенти на Фурие се опростяват.

За празнината:

За произволен интервал:

Примери от учебници, които могат да бъдат намерени в почти всеки учебник по математически анализ, включват разширения на четни функции . В допълнение, те са били срещани няколко пъти в моята лична практика:

Пример 6

Функцията е дадена. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, конструирайте функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблемът в обща форма и това е много удобно! Ако възникне необходимост, просто заменете вашата стойност.

1) В тази задача периодът на разширение е половин период. По време на по-нататъшни действия, по-специално по време на интегриране, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че може да бъде разширена в ред на Фурие само по косинуси: .

Търсим коефициенти на Фурие с помощта на формулите . Обърнете внимание на техните безусловни предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само „X“ на двете части. И второ, интеграцията е значително опростена.

две:

Нека интегрираме по части:

Така:
, докато константата , която не зависи от „en“, се взема извън сумата.

отговор:

2) Нека запишем разширението на интервала, заместваме необходимата стойност на полупериода в общата формула:

Разширение в ред на Фурие на четни и нечетни функции Разгъване на функция, дадена на интервал, в ред по синуси или косинуси Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие в общи системи от функции Ортогонални системи от функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство Парсевал Затворени системи Пълнота и затворени системи

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции Функция f(x), дефинирана в интервала \-1, където I > 0, се извиква четна, ако графиката на четната функция е симетрична спрямо ординатната ос. Функция f(x), дефинирана върху сегмента J), където I > 0, се нарича нечетна, ако графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото. Пример. a) Функцията е четна в интервала |-jt, jt), тъй като за всички x e b) Функцията е нечетна, тъй като разширението в ред на Фурие на четни и нечетни функции е разширяване на функция, дадена на интервал, в редица по синуси или косинуси Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие за общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие за ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите c) Функция f(x)=x2-x, където не принадлежи нито към четни, нито към нечетни функции, тъй като Нека функцията f(x), удовлетворяваща условията на Теорема 1, е четна на интервала x|. Тогава за всички т.е. /(x) cos nx е четна функция, а f(x) sinnx е нечетна. Следователно коефициентите на Фурие на четна функция /(x) ще бъдат равни. Следователно редът на Фурие на четна функция има формата f(x) sin х - четна функция. Следователно ще имаме. По този начин редът на Фурие на нечетна функция има формата Пример 1. Разгънете функцията 4 в ред на Фурие на интервала -x ^ x ^ n Тъй като тази функция е четна и удовлетворява условията на теорема 1, тогава неговият ред на Фурие има формата Намерете коефициентите на Фурие. Имаме Прилагайки интегриране по части два пъти, получаваме, че И така, редът на Фурие на тази функция изглежда така: или, в разширена форма, Това равенство е валидно за всяко x €, тъй като в точките x = ±ir сумата от серия съвпада със стойностите на функцията f(x) = x2, тъй като графиките на функцията f(x) = x и сумата от получената серия са дадени на фиг. Коментирайте. Този ред на Фурие ни позволява да намерим сумата на една от конвергентните числови редове, а именно за x = 0 получаваме, че Пример 2. Разгънете функцията /(x) = x в ред на Фурие на интервала. 6. § 6. Развиване на функция, дадена на интервал, в ред по синуси или косинуси Нека върху интервала е дадена ограничена монотонна функция /. Стойностите на тази функция на интервала 0| могат да бъдат допълнително дефинирани по различни начини. Например, можете да дефинирате функция / в сегмента tc], така че /. В този случай те казват, че) „се разширява до сегмента 0] по равномерен начин“; неговият ред на Фурие ще съдържа само косинуси. Ако функцията /(x) е дефинирана на интервала [-l-, mc], така че /(, тогава резултатът е нечетна функция и тогава те казват, че / е „разширен до интервала [-*, 0] по нечетен начин”; в този случай редът на Фурие ще съдържа само синуси, така че всяка ограничена монотонна функция /(x), дефинирана на интервала, може да бъде разширена в ред на Фурие както по синуси, така и по косинуси Функцията може да се разложи в ред на Фурие: а) по косинуси; б) по синуси. Това дава и следователно, геометрично, това свойство означава, че в случая на областта, защрихована на фиг. 10 области са равни една на друга. По-специално, за функция f(x) с период получаваме при Разлагане в редица на Фурие от четни и нечетни функции, разширяване на функция, дадена на интервал, в серия по синуси или косинуси в редица на Фурие за функция с произволна период Комплексно записване на реда на Фурие Ред на Фурие в общи ортогонални системи функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системи Пример 2. Функцията x е периодична с период Поради странност на тази функция, без да изчисляваме интеграли, можем да заявим, че за всяка. Доказаното свойство по-специално показва, че коефициентите на Фурие на периодична функция f(x) с период 21 могат да бъдат изчислени с помощта на формулите, където a е произволно реално число (обърнете внимание, че функциите cos - и sin имат период 2/). Пример 3. Развийте в ред на Фурие функция, дадена на интервал с период 2x (фиг. 11). 4 Нека намерим коефициентите на Фурие на тази функция. Във формулите намираме, че за Следователно, редът на Фурие ще изглежда така: В точката x = jt (точка на прекъсване от първи род) имаме §8. Комплексно записване на редовете на Фурие Този раздел използва някои елементи на комплексен анализ (вижте глава XXX, където всички действия, извършени тук със сложни изрази, са строго обосновани). Нека функцията f(x) удовлетворява достатъчни условия за разлагане в ред на Фурие. Тогава върху сегмента x] може да бъде представен чрез серия от формата Използване на формулите на Ойлер Замествайки тези изрази в серия (1) вместо cos πx и sin φx ще имаме Нека въведем следната нотация Тогава серия (2) ще приеме формата Така редът на Фурие (1) е представен в сложна форма (3). Нека намерим изрази за коефициентите чрез интеграли. Имаме По същия начин намираме Крайните формули за с„, с_п и с могат да бъдат записани по следния начин: . . Коефициентите с се наричат комплексни коефициенти на Фурие за периодична функция с период) комплексната форма на реда на Фурие ще приеме формата, където коефициентите Cn се изчисляват с помощта на формулите за сходимост на реда (3 ) и (4) се разбира, както следва: серии (3) и (4) се наричат конвергентни за дадени стойности, ако има граници Пример. Разгънете функцията на периода в сложен ред на Фурие. Тази функция отговаря на достатъчни условия за разлагане в ред на Фурие. Нека намерим комплексните коефициенти на Фурие на тази функция. Имаме за нечетно за четно n, или накратко. Замествайки стойностите), накрая получаваме Забележете, че тази серия може да бъде записана и по следния начин: Редица на Фурие за общи ортогонални системи от функции 9.1. Ортогонални системи от функции Нека обозначим с множеството от всички (реални) функции, дефинирани и интегрируеми на интервала [a, 6] с квадрат, т.е. тези, за които съществува интеграл. По-специално всички функции f(x) са непрекъснати на интервала [a, 6], принадлежат на 6], а стойностите на техните интеграли на Лебег съвпадат със стойностите на интегралите на Риман. Определение. Система от функции, където, се нарича ортогонална на интервала [a, b\, ако условие (1) предполага, по-специално, че нито една от функциите не е идентично нула. Интегралът се разбира в смисъла на Лебег. Въпреки това, в някои случаи, например, когато редът (4) се сближава равномерно, всички функции са непрекъснати и интервалът (a, 6) е краен, тази операция е законна. Но за нас сега е важна формалната интерпретация. И така, нека е дадена функция. Нека образуваме числата c* по формула (5) и запишем реда от дясната страна на функцията f(x) по отношение на системата (^n(i)). се наричат коефициенти на Фурие на функцията f(x) по отношение на тази система. Знакът ~ във формула (6) означава само, че числата Cn са свързани с функцията f(x) по формула (5) (не се предполага, че редът отдясно изобщо се сближава, а още по-малко се сближава с функцията f (x)). Следователно естествено възниква въпросът: какви са свойствата на тази серия? В какъв смисъл „представлява“ функцията f(x)? 9.3. Средна конвергенция Определение. Една последователност се сближава към елемента ] средно, ако нормата е в пространството. Теорема 6. Ако последователност ) се сближава равномерно, тогава тя се сближава средно. когато Tn(x) е 71-вата частична сума от редицата на Фурие на функцията /(x) върху системата (. Поставяйки ak = sk, от (7) получаваме Равенството (9) се нарича идентичност на Бесел. Тъй като лявото му страна е неотрицателна, тогава от нея следва неравенството на Бесел. Тъй като аз съм тук произволно, неравенството на Бесел може да бъде представено в засилена форма, т.е. за всяка функция / серията от квадратни коефициенти на Фурие в ортонормална система) . Тъй като системата е ортонормална на интервала [-x, m], тогава неравенство (10), преведено в обичайната нотация на тригонометричния ред на Фурие, дава връзката do, която е валидна за всяка функция /(x) с интегрируем квадрат. Ако f2(x) е интегрируема, то поради необходимото условие за сходимост на редицата от лявата страна на неравенството (11) получаваме това. Равенството на Парсевал За някои системи (^„(x)) знакът за неравенство във формула (10) може да бъде заменен (за всички функции f(x) 6 ×) със знак за равенство. Полученото равенство се нарича равенство на Парсевал-Стеклов (условие за пълнота). Тъждеството на Бесел (9) ни позволява да запишем условие (12) в еквивалентна форма. По този начин изпълнението на условието за пълнота означава, че частичните суми Sn(x) на реда на Фурие на функцията /(x) се събират към функцията. /(x) средно, т.е. според нормата на пространството 6]. Определение. Ортонормална система ( се нарича пълна в b2[аy b], ако всяка функция може да бъде апроксимирана средно с някаква точност чрез линейна комбинация от формата с достатъчно голям брой членове, т.е. ако за всяка функция /(x) ∈ b2 [a, b\ и за всяко e > 0 има естествено число nq и числа a\, a2y..., така че Не От горното разсъждение следва теорема 7. Ако чрез ортонормализация системата ) е пълна в пространството, Редът на Фурие на всяка функция / в тази система се свежда до f( x) средно, т.е. според нормата. Може да се покаже, че тригонометричната система е пълна в пространството. Теорема 8. Ако една функция /o, нейният тригонометричен ред на Фурие се сближава средно към нея. 9.5. Затворени системи. Пълнота и затвореност на системите Определение. Ортонормална система от функции \ се нарича затворена, ако в пространството Li\a, b) няма ненулева функция, ортогонална на всички функции. В пространството L2\a, b\ понятията за пълнота и затвореност на ортонормалните системи съвпадат. Упражнения 1. Развийте функцията в ред на Фурие в интервала (-i-, x) 2. Развийте функция 3 в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) 3. Развийте функция 4 в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) в реда на Фурие в интервала (-jt, tr) функция 5. Разгънете функцията f(x) = x + x в ред на Фурие в интервала (-t, t). 6. Разгънете функцията n в ред на Фурие в интервала (-jt, tr) 7. Разгънете функцията /(x) = sin2 x в ред на Фурие в интервала (-tr, x). 8. Разгънете функцията f(x) = y в ред на Фурие в интервала (-tr, jt) 9. Разгънете функцията f(x) = | грях х|. 10. Разгънете функцията f(x) = § в ред на Фурие в интервала (-π-, π). 11. Разгънете функцията f(x) = sin § в ред на Фурие в интервала (-tr, tr). 12. Разгънете функцията f(x) = n -2x, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие, като я разширите в интервала (-x, 0): а) по четен начин; б) по странен начин. 13. Разгънете функцията /(x) = x2, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие по синуси. 14. Разгънете функцията /(x) = 3, дадена в интервала (-2,2), в ред на Фурие. 15. Разгънете в ред на Фурие функцията f(x) = |x|, дадена в интервала (-1,1). 16. Разгънете функцията f(x) = 2x, зададена в интервала (0,1), в ред на Фурие по синуси.

Редица на Фурие– начин за представяне на сложна функция като сбор от по-прости, добре познати.
Синус и косинус са периодични функции. Те също образуват ортогонална основа. Това свойство може да се обясни по аналогия с осите X X XИ Y Y Yна координатната равнина. Точно както можем да опишем координатите на точка по отношение на осите, можем да опишем всяка функция по отношение на синусите и косинусите. Тригонометричните функции са добре разбрани и лесни за използване в математиката.

Синусите и косинусите могат да бъдат представени под формата на следните вълни:

Сините са косинуси, червените са синуси. Такива вълни се наричат още хармоници. Косинусите са четни, синусите са нечетни. Терминът хармоника идва от древността и е свързан с наблюдения върху връзката на височини в музиката.

Какво е ред на Фурие

>

Такава серия, където се използват най-простите функции на синус и косинус, се нарича тригонометрична. Наречен е в чест на изобретателя си Жан Батист Жозеф Фурие в края на 18-ти и началото на 19-ти век. който доказа, че всяка функция може да бъде представена като комбинация от такива хармоници. И колкото повече от тях вземете, толкова по-точно ще бъде това представяне. Например, снимката по-долу: можете да забележите, че с голям брой хармоници, т.е. членове на реда на Фурие, червената графика се доближава до синята - оригиналната функция.

Практическо приложение в съвременния свят

>

Необходими ли са тези редове сега? Къде могат да се използват практически и използва ли ги някой друг освен математици-теоретици? Оказва се, че Фурие е известен в целия свят, защото практическите ползи от неговите серии са буквално неизброими. Те са удобни за използване там, където има някакви вибрации или вълни: акустика, астрономия, радиотехника и др. Най-простият пример за използването му: механизмът на работа на фотоапарат или видеокамера. За да обясня накратко, тези устройства записват не само изображения, но и коефициентите на редовете на Фурие. И работи навсякъде - когато гледате снимки в интернет, филм или слушате музика. Благодарение на сериите на Фурие сега можете да прочетете тази статия от мобилния си телефон. Без преобразуването на Фурие нямаше да имаме достатъчно честотна лента на интернет връзката, за да гледаме просто видеоклип в YouTube, дори със стандартно качество.

Тази диаграма показва двумерно преобразуване на Фурие, което се използва за разлагане на изображението на хармоници, т.е. основни компоненти. В тази диаграма стойността -1 е кодирана в черно, 1 в бяло и надолу по графиката.

Разширение в ред на Фурие

>

Сигурно вече сте се уморили да четете, така че нека да преминем към формулите.
За такава математическа техника като разширяване на функции в ред на Фурие ще трябва да вземете интеграли. Много интеграли. Като цяло редът на Фурие се записва като безкрайна сума:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (а п cos (n x ) +b п грях (n x ))
Къде
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxА=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxа п = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb п = π 1 − π ∫ π f (x) sin (n x) d x

Ако можем по някакъв начин да преброим безкраен брой a n a_n а п И b n b_n b п (те се наричат коефициенти на разширение на Фурие, А А А- това е просто константа на това разширение), тогава получената серия ще бъде 100% идентична с оригиналната функция f(x) f(x) f(x)на отсечката от − π -\pi − π към π\pi π . Този сегмент се дължи на интеграционните свойства на синуса и косинуса. Колкото повече n n п, за които изчисляваме коефициентите на последователно разлагане на функцията, толкова по-точно ще бъде това разгъване.

Пример

Нека вземем една проста функция y = 5 x y = 5x y=5 х
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0А=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0а 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0а 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(х) грях(2 х) dх= π 1 − π ∫ π 5 хгрях(2 х) dх= − 5

И т.н. В случай на такава функция, можем веднага да кажем, че всичко a n = 0 a_n=0ап = 0 , коефициенти b n b_nbп ще трябва да изчисли. Ако вземем първите четири члена от разширението в редица на Фурие за функцията y = 5 x y = 5xг= 5 х, получаваме:

$5х\approx 10\cdot \mathrm{грях}(х)-5\cdot \mathrm{грях}(2\cdot х)+310\cdot \mathrm{грях}(3\cdot х)-25\cdot \mathrm{грях}(4\cdot х)$

Графиката на получената функция ще изглежда така:

Полученото разширение в ред на Фурие се доближава до нашата първоначална функция. Ако вземем по-голям брой термини от серията, например 15, ще видим следното:

Колкото повече членове на разширението в серия, толкова по-висока е точността.
Ако леко променим мащаба на графиката, можем да забележим друга особеност на трансформацията: серията на Фурие е периодична функция с период 2 π 2\pi2 π .

Така можем да представим всяка функция, която е непрекъсната на интервала [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Всичко това е необходимо, за да се улесни анализът на някои явления, които се описват със сложни функции. Не винаги е възможно производната да се изчисли аналитично (т.е. с помощта на формула), но в случай на набор от синуси и косинуси такъв проблем няма да възникне. Самото разширение на реда на Фурие показва, че проблемите често могат да бъдат решени аналитично с помощта на опростени модели, един пример за които е редът на Фурие.