Fourier sorozat. Példák megoldásokra. Fourier-sorok példákban és feladatokban Példák függvény Fourier-sorrá bővítésére

17.03.2022

2. Soros együtthatók meghatározása Fourier-képletek segítségével.

Legyen egy ƒ(x) 2π periódusú periodikus függvény olyan, hogy a (-π, π) intervallumban egy adott függvényhez konvergáló trigonometrikus sorozat reprezentálja, azaz ennek a sorozatnak az összege:

Tegyük fel, hogy a függvény integrálja ennek az egyenlőségnek a bal oldalán egyenlő a sorozat tagjainak integráljainak összegével. Ez akkor lesz igaz, ha feltételezzük, hogy egy adott trigonometrikus sorozat együtthatóiból álló számsor abszolút konvergens, azaz a pozitív számsorok konvergálnak.

Az (1) sorozat nagyra bontható, és tagonként integrálható a (-π, π) intervallumba. Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát (2):

Értékeljük külön-külön a jobb oldalon megjelenő integrálokat:

Így, , hol

. (4)

Fourier-együtthatók becslése. (Bugrov)

1. Tétel. Legyen a 2π periódusú ƒ(x) függvény s rendű folytonos ƒ(s) (x) deriváltja, amely kielégíti az egyenlőtlenséget a teljes valós tengelyen:

│ ƒ (s) (x) ≤ M s; (5)

akkor az ƒ függvény Fourier-együtthatói kielégítik az egyenlőtlenséget

Bizonyíték. Alkatrészenkénti integrálás és ennek figyelembe vétele

ƒ(-π) = ƒ(π), van

A (7) jobb oldalát szekvenciálisan integrálva, figyelembe véve, hogy az ƒ ΄, …, ƒ (s-1) deriváltak folytonosak és ugyanazokat az értékeket veszik fel a t = -π és t = π pontokban, mint valamint becslés (5), megkapjuk az első becslést (6).

A második becslést (6) hasonló módon kapjuk.

2. Tétel. A ƒ(x) Fourier-együtthatókra a következő egyenlőtlenség áll fenn:

(8)

Bizonyíték. megvan

(9)

Ebben az esetben változó változást bevezetve és figyelembe véve, hogy ƒ(x) periodikus függvény, megkapjuk

Összeadva (9) és (10) azt kapjuk

Hasonló módon hajtjuk végre a b k bizonyítását.

Következmény. Ha az ƒ(x) függvény folytonos, akkor Fourier-együtthatói nullára hajlanak: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

A függvények tere skalárszorzattal.

Egy ƒ(x) függvényt szakaszonként folytonosnak nevezünk egy intervallumon, ha ezen az intervallumon folytonos, kivéve egy véges számú pontot, ahol első típusú szakadásai vannak. Az ilyen pontokat összeadhatjuk és szorozhatjuk valós számokkal, és ennek eredményeként ismét darabonként folytonos függvényeket kapunk a szakaszon.

Két darabonként folytonos pont skaláris szorzata (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Nyilvánvalóan minden darabonkénti folytonos ƒ, φ, ψ függvényre a következő tulajdonságok teljesülnek:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) és az (ƒ , ƒ) = 0 egyenlőségből az következik, hogy ƒ(x) =0 -on, esetleg véges számú x pont nélkül;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

ahol α, β tetszőleges valós számok.

Jelöljük az összes darabonkénti folytonos függvény halmazát azon az intervallumon, amelyre a skaláris szorzatot a (11) képlet szerint bevezetjük, és nevezzük térnek

1. megjegyzés.

A matematikában az = (a, b) tér olyan ƒ(x) függvények gyűjteménye, amelyek Lebesgue-i értelemben integrálhatók a négyzeteikkel együtt, amelyekre a skaláris szorzatot a (11) képlet szerint vezetjük be. A szóban forgó tér egy rész. A térnek számos tulajdonsága van a térnek, de nem mindegyik.

Az 1), 2), 3) tulajdonságokból következik a fontos Bunyakovszkij-egyenlőtlenség | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, ami az integrálok nyelvén így néz ki:

Nagyságrend

az f függvény normájának nevezzük.

A norma a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) || f || ≥ 0, ebben az esetben az egyenlőség csak az f = 0 nullafüggvényre lehet, azaz nullával egyenlő függvényre, kivéve talán véges számú pontot;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

ahol α valós szám.

A második tulajdonság az integrálok nyelvében így néz ki:

és Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik.

Azt mondják, hogy egy függvénysorozat ( f n ) tartozik, konvergál egy függvényhez tartozik a középnégyzet értelmében (vagy a normában is), ha

Vegye figyelembe, hogy ha az ƒ n (x) függvények sorozata egyenletesen konvergál az ƒ (x) függvényhez a szakaszon, akkor kellően nagy n esetén az ƒ (x) - ƒ n (x) abszolút értékbeli különbségnek kicsinek kell lennie minden esetben. x a szegmensből.

Ha ƒ n (x) az intervallum középnégyzetének értelmében ƒ (x)-re hajlik, akkor a jelzett különbség nem kicsi nagy n esetén mindenhol a -n. A szakasz egyes helyein ez a különbség nagy lehet, de csak az a fontos, hogy a szegmens feletti négyzetének integrálja kicsi nagy n esetén.

Példa. Legyen adott az ábrán látható ƒ n (x) (n = 1, 2,...) folytonos darabonkénti lineáris függvény, és

(Bugrov, 281. o., 120. ábra)

Bármely n természetes számra

következésképpen ez a függvénysorozat, bár n → ∞-ként nullához konvergál, nem konvergál egyenletesen. Közben

azaz a függvénysorozat (f n (x)) a középnégyzet értelmében nullára hajlik.

Egy bizonyos ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (hoz tartozó) függvénysorozat elemeiből egy sorozatot készítünk

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Első n tagjának összege

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

-hoz tartozik egy függvény. Ha megtörténik, hogy létezik olyan ƒ függvény, hogy

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

akkor azt mondják, hogy a (12) sorozat a középnégyzetes értelemben vett ƒ függvényhez konvergál és ír

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

2. megjegyzés.

Tekinthetjük az ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) komplex értékű függvények = (a, b) terét, ahol ƒ 1 (x) és ƒ 2 (x) valós darabonkénti folytonos függvények. . Ebben a térben a függvényeket megszorozzuk a komplex számokkal és az ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) és φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) függvények skaláris szorzatával. ) meghatározása a következő:

és a normát ƒ értékként határozzuk meg

A Fourier-sorok egy tetszőleges függvényt ábrázolnak meghatározott periódussal sorozat formájában. Általában ezt a megoldást egy elem ortogonális bázis mentén történő dekompozíciójának nevezzük. A függvények Fourier-sorokba való kiterjesztése meglehetősen hatékony eszköz különféle problémák megoldására az integráció, a differenciálás, valamint a kifejezések argumentum és konvolúció során történő eltolása során az átalakulás tulajdonságai miatt.

Az a személy, aki nem ismeri a magasabb matematikát, valamint a francia Fourier tudós munkáit, valószínűleg nem fogja megérteni, mik ezek a „sorozatok”, és mire van szükségük. Eközben ez az átalakulás teljesen beépült az életünkbe. Nemcsak matematikusok használják, hanem fizikusok, vegyészek, orvosok, csillagászok, szeizmológusok, oceanográfusok és még sokan mások. Nézzük meg közelebbről annak a nagy francia tudósnak a munkáit is, aki korát megelőző felfedezést tett.

Az ember és a Fourier átalakul

A Fourier-sorok az egyik módszer (az elemzéssel és másokkal együtt) Ez a folyamat minden alkalommal megtörténik, amikor egy személy hangot hall. Fülünk automatikusan átalakítja az elemi részecskéket egy rugalmas közegben (a spektrum mentén) egymást követő hangerőszintek soraiba, különböző magasságú hangokhoz. Ezután az agy ezeket az adatokat számunkra ismerős hangokká alakítja. Mindez vágyunkon vagy tudatunkon kívül, magától történik, de ahhoz, hogy megértsük ezeket a folyamatokat, több évbe telik a felsőbb matematika tanulmányozása.

További információ a Fourier-transzformációról

A Fourier-transzformáció végrehajtható analitikai, numerikus és egyéb módszerekkel. A Fourier-sorok az oszcillációs folyamatok lebontásának numerikus módszerére utalnak – az óceán árapályától és fényhullámaitól a nap- (és más csillagászati objektumok) tevékenységi ciklusokig. Ezekkel a matematikai technikákkal elemezhet függvényeket, amelyek bármilyen rezgési folyamatot szinuszos komponensek sorozataként ábrázolnak, amelyek minimumról maximumra és visszafelé mozognak. A Fourier-transzformáció egy olyan függvény, amely leírja az adott frekvenciának megfelelő szinuszok fázisát és amplitúdóját. Ezzel az eljárással nagyon összetett egyenletek oldhatók meg, amelyek hő-, fény- vagy elektromos energia hatására fellépő dinamikus folyamatokat írnak le. Ezenkívül a Fourier-sorok lehetővé teszik az összetett oszcillációs jelek állandó komponenseinek elkülönítését, lehetővé téve az orvostudományban, a kémiában és a csillagászatban kapott kísérleti megfigyelések helyes értelmezését.

Történelmi háttér

Ennek az elméletnek az alapító atyja Jean Baptiste Joseph Fourier francia matematikus. Ezt az átalakulást később róla nevezték el. Kezdetben a tudós módszerét használta a hővezető képesség – a hő szilárd anyagokban való terjedésének – mechanizmusainak tanulmányozására és magyarázatára. Fourier azt javasolta, hogy a kezdeti szabálytalan eloszlás egyszerű szinuszokra bontható, amelyek mindegyikének megvan a saját hőmérsékleti minimuma és maximuma, valamint saját fázisa. Ebben az esetben minden ilyen komponenst a minimumtól a maximumig és visszafelé mérünk. A görbe felső és alsó csúcsát, valamint az egyes harmonikusok fázisait leíró matematikai függvényt a hőmérséklet-eloszlás kifejezés Fourier-transzformációjának nevezzük. Az elmélet szerzője a matematikailag nehezen leírható általános eloszlásfüggvényt egy nagyon kényelmes koszinusz és szinusz sorozatra redukálta, amelyek együttesen adják az eredeti eloszlást.

Az átalakulás elve és a kortársak nézetei

A tudós kortársai – a tizenkilencedik század elejének vezető matematikusai – nem fogadták el ezt az elméletet. A fő kifogás Fourier azon állítása volt, miszerint egy nem folytonos függvény, amely egy egyenest vagy egy nem folytonos görbét ír le, ábrázolható folytonos szinuszos kifejezések összegeként. Példaként vegyük a Heaviside lépést: értéke nulla a folytonossági hiánytól balra, egy pedig jobbra. Ez a függvény leírja az elektromos áram függőségét egy ideiglenes változótól, amikor az áramkör zárt. Az elmélet kortársai akkoriban még soha nem találkoztak hasonló helyzettel, amikor egy nem folytonos kifejezést folytonos, közönséges függvények, például exponenciális, szinusz, lineáris vagy másodfokú függvények kombinációjával írnának le.

Mi zavarta meg a francia matematikusokat Fourier elméletében?

Hiszen ha a matematikusnak igaza volt az állításaiban, akkor a végtelen trigonometrikus Fourier-sor összegzésével pontos reprezentációt kaphatunk a lépéskifejezésről, még akkor is, ha sok hasonló lépése van. A tizenkilencedik század elején egy ilyen kijelentés abszurdnak tűnt. De minden kétség ellenére sok matematikus kiterjesztette ennek a jelenségnek a vizsgálati körét, túlmutatva a hővezető képesség vizsgálatán. A legtöbb tudóst azonban továbbra is gyötörte a kérdés: „Konvergálhat-e egy szinuszos sorozat összege a nem folytonos függvény pontos értékéhez?”

Fourier-sorok konvergenciája: példa

A konvergencia kérdése mindig felmerül, amikor végtelen számsorokat kell összeadni. A jelenség megértéséhez vegyünk egy klasszikus példát. El fogod tudni érni valaha a falat, ha minden következő lépés fele akkora, mint az előző? Tegyük fel, hogy két méterrel a célponttól, az első lépés a féltávig visz, a következő a háromnegyedig, az ötödik után pedig már az út közel 97 százalékát megtetted. Mindazonáltal, akárhány lépést tesz meg, nem fogja elérni a kitűzött célt szigorú matematikai értelemben. Numerikus számításokkal igazolható, hogy végül is lehetséges egy adott távolsághoz olyan közel jutni. Ez a bizonyíték egyenértékű annak bizonyításával, hogy a fele, egynegyed stb. összege egységre hajlamos.

A konvergencia kérdése: A második eljövetel, avagy Lord Kelvin hangszere

Ez a kérdés a 19. század végén ismét felmerült, amikor Fourier-sorokat próbáltak megjósolni az árapály intenzitását. Ebben az időben Lord Kelvin feltalált egy műszert, amely egy analóg számítástechnikai eszköz volt, amely lehetővé tette a katonai és kereskedelmi tengerészek számára ennek a természeti jelenségnek a megfigyelését. Ez a mechanizmus fázis- és amplitúdókészleteket határoz meg az árapály-magasságok és a megfelelő időpontok táblázatából, amelyeket egy adott kikötőben egész évben gondosan mértek. Mindegyik paraméter a dagálymagasság-kifejezés szinuszos komponense volt, és a szabályos komponensek közé tartozott. A méréseket Lord Kelvin számolóműszerébe táplálták, amely szintetizált egy görbét, amely a következő évre előre jelezte a víz magasságát az idő függvényében. Nagyon hamar hasonló görbék készültek a világ összes kikötőjére.

Mi van akkor, ha a folyamatot megszakítja egy nem folyamatos funkció?

Akkoriban kézenfekvőnek tűnt, hogy egy nagy számú számlálóelemmel rendelkező árapály-előrejelző nagyszámú fázist és amplitúdót képes kiszámítani, és ezáltal pontosabb előrejelzéseket adni. Kiderült azonban, hogy ez a mintázat nem figyelhető meg azokban az esetekben, amikor a szintetizálandó árapály-kifejezés éles ugrást tartalmazott, azaz nem folytonos volt. Ha egy időpillanat-táblázat adatait bevisszük a készülékbe, akkor több Fourier-együtthatót számít ki. Az eredeti funkció visszaáll a szinuszos komponenseknek köszönhetően (a talált együtthatóknak megfelelően). Az eredeti és a rekonstruált kifejezés közötti eltérés bármely ponton mérhető. Ismételt számítások és összehasonlítások során jól látható, hogy a legnagyobb hiba értéke nem csökken. Azonban a megszakítási pontnak megfelelő régióban vannak lokalizálva, és bármely más ponton nullára hajlamosak. 1899-ben ezt az eredményt elméletileg megerősítette Joshua Willard Gibbs, a Yale Egyetem munkatársa.

A Fourier-sorok konvergenciája és általában a matematika fejlődése

A Fourier-analízis nem alkalmazható olyan kifejezésekre, amelyek egy bizonyos intervallumon belül végtelen számú tüskét tartalmaznak. Általában a Fourier-sorok, ha az eredeti függvényt valós fizikai mérés eredménye reprezentálja, mindig konvergál. Ennek a folyamatnak a konvergenciájára vonatkozó kérdések bizonyos függvényosztályok esetében új ágak megjelenéséhez vezettek a matematikában, például az általánosított függvények elmélete. Olyan nevekkel hozták kapcsolatba, mint L. Schwartz, J. Mikusinski és J. Temple. Ezen elmélet keretein belül világos és precíz elméleti alapot teremtettek olyan kifejezésekhez, mint a Dirac-delta függvény (egyetlen terület egy pont infinitezimális szomszédságában koncentrálódó régióját írja le) és a Heaviside „lépést”. Ennek a munkának köszönhetően a Fourier-sorozat alkalmazhatóvá vált egyenletek és problémák megoldására, amelyek intuitív fogalmakat tartalmaznak: ponttöltés, ponttömeg, mágneses dipólusok és a nyaláb koncentrált terhelése.

Fourier módszer

A Fourier-sorok, az interferencia elveinek megfelelően, az összetett formák egyszerűbb formákra való bontásával kezdődnek. Például a hőáramlás változását a szabálytalan alakú hőszigetelő anyagból készült különféle akadályokon való áthaladás magyarázza, vagy a föld felszínének megváltozása - földrengés, égitest pályájának megváltozása - a befolyás bolygók. Az egyszerű klasszikus rendszereket leíró egyenletek általában minden egyes hullámra könnyen megoldhatók. Fourier megmutatta, hogy az egyszerű megoldásokat összegezve összetettebb problémákra is lehet megoldást előállítani. Matematikai értelemben a Fourier-sorok olyan technikák, amelyek egy kifejezést harmonikusok - koszinusz és szinusz - összegeként ábrázolnak. Ezért ezt az elemzést „harmonikus elemzésnek” is nevezik.

Fourier-sorozat - ideális technika a „számítógép-korszak” előtt

A számítástechnika megalkotása előtt a Fourier-technika volt a legjobb fegyver a tudósok arzenáljában, amikor világunk hullámtermészetével dolgoztunk. A Fourier-sor összetett formában nem csak egyszerű, Newton mechanikai törvényeire közvetlenül alkalmazható problémák megoldását teszi lehetővé, hanem alapvető egyenletek megoldását is. A 19. századi newtoni tudomány legtöbb felfedezését csak Fourier technikája tette lehetővé.

Fourier sorozat ma

A számítógépek fejlődésével a Fourier-transzformációk minőségileg új szintre emelkedtek. Ez a technika a tudomány és a technológia szinte minden területén szilárdan megalapozott. Ilyen például a digitális hang és videó. Megvalósítása csak egy francia matematikus által a 19. század elején kidolgozott elméletnek köszönhetően vált lehetségessé. Így a Fourier-sor összetett formában lehetővé tette az áttörést a világűr tanulmányozásában. Emellett hatással volt a félvezető anyagok és a plazma fizikájának, a mikrohullámú akusztikának, az oceanográfiának, a radarnak és a szeizmológiának a tanulmányozására.

Trigonometrikus Fourier sorozat

A matematikában a Fourier-sor egy módja annak, hogy tetszőleges összetett függvényeket egyszerűbbek összegeként ábrázoljunk. Általában az ilyen kifejezések száma végtelen lehet. Sőt, minél jobban figyelembe veszik számukat a számítás során, annál pontosabb a végeredmény. Leggyakrabban a koszinusz vagy a szinusz trigonometrikus függvényeit használják a legegyszerűbbekként. Ebben az esetben a Fourier-sorokat trigonometrikusnak, az ilyen kifejezések megoldását pedig harmonikus expanziónak nevezzük. Ez a módszer fontos szerepet játszik a matematikában. Mindenekelőtt a trigonometrikus sorozat a függvények ábrázolására és tanulmányozására szolgál, ez az elmélet fő apparátusa. Ezenkívül lehetővé teszi számos matematikai fizika probléma megoldását. Végül ez az elmélet hozzájárult a matematikai tudomány számos nagyon fontos ágának (az integrálok elmélete, a periodikus függvények elmélete) fejlődéséhez. Emellett kiindulópontul szolgált egy valós változó alábbi függvényeinek kidolgozásához, és megalapozta a harmonikus elemzést is.

Amik már elég unalmasak. És úgy érzem, eljött a pillanat, amikor az elmélet stratégiai tartalékaiból új konzerveket kell kinyerni. Lehetséges más módon a függvényt sorozattá bővíteni? Például egy egyenes szakaszt szinuszokkal és koszinuszokkal fejez ki? Hihetetlennek tűnik, de ilyen távolinak tűnő funkciók lehetnek
"újraegyesítés". Az ismert elméleti és gyakorlati fokozatokon kívül más megközelítések is léteznek a függvény sorozattá bővítésére.

Ebben a leckében megismerkedünk a trigonometrikus Fourier-sorral, érintjük annak konvergenciájának és összegének kérdését, és természetesen számos példát elemezünk a Fourier-sor függvényeinek bővítésére. Őszintén szerettem volna a cikket „Fourier Series for Dummies”-nek nevezni, de ez nem lenne értelmes, mivel a problémák megoldásához a matematikai elemzés más ágainak ismeretére és némi gyakorlati tapasztalatra lenne szükség. Ezért a preambulum az űrhajós képzéshez fog hasonlítani =)

Először is kiváló formában kell megközelítenie az oldalanyagok tanulmányozását. Álmos, kipihent és józan. Erős érzelmek nélkül a törött hörcsög mancsával kapcsolatban és megszállott gondolatok nélkül az akváriumi halak életének nehézségeiről. A Fourier sorozatot nem nehéz megérteni, de a gyakorlati feladatok egyszerűen fokozott figyelemkoncentrációt igényelnek - ideális esetben teljesen el kell távolodnia a külső ingerektől. A helyzetet súlyosbítja, hogy nincs egyszerű módja a megoldás és a válasz ellenőrzésének. Így, ha egészségi állapota átlag alatti, akkor jobb, ha valami egyszerűbbet csinál. Igaz-e.

Másodszor, az űrbe repülés előtt meg kell vizsgálni az űrhajó műszerfalát. Kezdjük azoknak a függvényeknek az értékeivel, amelyekre rá kell kattintani a gépen:

Bármilyen természeti értékhez:

1) . Valójában a szinusz minden egyes „pi”-n keresztül „összefűzi” az x-tengelyt:
. Az argumentum negatív értékei esetén az eredmény természetesen ugyanaz lesz: .

2) . De ezt nem mindenki tudta. A "pi" koszinusz a "villogó" megfelelője:

Egy negatív érv nem változtat a dolgon: .

Talán ennyi is elég.

És harmadszor, kedves űrhajós alakulat, képesnek kell lennie arra, hogy... integrálni.
Főleg magabiztosan a függvényt a differenciáljel alá, darabonként integrálniés békében lenni vele Newton-Leibniz képlet. Kezdjük a fontos repülés előtti gyakorlatokkal. Határozottan nem javaslom az átugrást, nehogy később a súlytalanságban csorbuljon:

1. példa

Határozott integrálok kiszámítása

ahol természeti értékeket vesz fel.

Megoldás: az integráció az „x” változón keresztül történik, és ebben a szakaszban az „en” diszkrét változót állandónak tekintjük. Minden integrálban tegye a függvényt a differenciáljel alá:

A megoldás rövid változata, amelyet célszerű lenne megcélozni, így néz ki:

Szokjunk hozzá:

A fennmaradó négy pont önmaga. Próbáljon lelkiismeretesen megközelíteni a feladatot, és röviden írja le az integrálokat. Az óra végén mintamegoldások.

A MINŐSÉG gyakorlatok elvégzése után szkafandert öltünk
és készülj a kezdésre!

Egy függvény kiterjesztése Fourier-sorrá az intervallumon

Tekintsünk néhány olyan funkciót eltökélt legalább egy ideig (és esetleg hosszabb ideig). Ha ez a függvény integrálható az intervallumra, akkor trigonometrikusra bővíthető Fourier sorozat:
, hol vannak az ún Fourier-együtthatók.

Ebben az esetben hívják a számot bomlási időszak, és a szám az a bomlás felezési ideje.

Nyilvánvaló, hogy általános esetben a Fourier-sor szinuszokból és koszinuszokból áll:

Valóban, írjuk le részletesen:

A sorozat nulla tagját általában az alakban írjuk.

A Fourier-együtthatókat a következő képletekkel számítjuk ki:

Tökéletesen megértem, hogy akik elkezdik tanulmányozni a témát, még mindig nem világosak az új kifejezések: bomlási időszak, félciklus, Fourier-együtthatók stb. Ne essen pánikba, ez nem hasonlítható össze a világűrbe lépés előtti izgalommal. Értsünk meg mindent a következő példában, amelynek végrehajtása előtt logikus, hogy sürgető gyakorlati kérdéseket teszünk fel:

Mit kell tennie a következő feladatokban?

Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba. Ezenkívül gyakran kell ábrázolni egy függvény grafikonját, egy sorozat összegének grafikonját, egy részösszeget, és kifinomult professzori fantáziák esetén valami mást kell tenni.

Hogyan bővíthetünk ki egy függvényt Fourier sorozattá?

Lényegében meg kell találni Fourier-együtthatók, azaz állíts össze és számolj ki hármat határozott integrál.

Kérjük, másolja be a füzetébe a Fourier sorozat általános formáját és a három munkaképletet. Nagyon örülök, hogy néhány látogató a szemem láttára valósítja meg gyermekkori álmát, hogy űrhajós legyen =)

2. példa

Bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorozattá az intervallumon. Készíts gráfot, a sorozat összegének és a részösszegnek gráfját.

Megoldás: A feladat első része a függvény kiterjesztése Fourier-sorba.

Az eleje szabványos, feltétlenül írja le, hogy:

Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus.

Bővítsük ki a függvényt Fourier-sorozattá az intervallumon:

A megfelelő képletek segítségével megtaláljuk Fourier-együtthatók. Most hármat kell összeállítanunk és kiszámítanunk határozott integrál. A kényelem kedvéért számozom a pontokat:

1) Az első integrál a legegyszerűbb, de ehhez szemgolyó is kell:

2) Használja a második képletet:

Ez az integrál jól ismert és darabonként veszi:

Megtaláláskor használt egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere.

A vizsgált feladatban kényelmesebb azonnal használni egy meghatározott integrálban lévő részek szerinti integrálási képlet :

Egy-két technikai megjegyzés. Először is a képlet alkalmazása után a teljes kifejezést nagy zárójelek közé kell tenni, mivel az eredeti integrál előtt van egy konstans. Ne veszítsük el őt! A zárójelek bármelyik további lépésnél bővíthetők. Ezt utolsó lehetőségként tettem meg. Az első "darabban" A helyettesítésnél rendkívüli körültekintéssel járunk el, amint látható, a konstans nincs használatban, és az integráció határait behelyettesítjük a termékbe. Ez a művelet szögletes zárójelben van kiemelve. Nos, ismered a képlet második „darabjának” integrálját a képzési feladatból;-)

És ami a legfontosabb - extrém koncentráció!

3) Keressük a harmadik Fourier-együtthatót:

Az előző integrál rokonát kapjuk, ami szintén darabonként integrálódik:

Ez a példa egy kicsit bonyolultabb, lépésről lépésre kommentálom a további lépéseket:

(1) A kifejezés teljesen nagy zárójelek közé van zárva. Nem akartam unalmasnak tűnni, túl gyakran veszítik el az állandót.

(2) Ebben az esetben azonnal kinyitottam ezeket a nagy zárójeleket. Különös figyelmet Az első „darab”-nak szenteljük magunkat: az állandó oldalakon füstölög, és nem vesz részt a termékbe való beépülés határainak (és ) helyettesítésében. A rekord zűrzavara miatt ezt az akciót ismét célszerű szögletes zárójelekkel kiemelni. A második "darabbal" minden egyszerűbb: itt a tört a nagy zárójelek megnyitása után jelent meg, a konstans pedig - az ismerős integrál integrálása eredményeként;-)

(3) Szögletes zárójelben transzformációt végzünk, a jobb integrálban pedig az integrációs határok helyettesítését.

(4) Távolítsuk el a „villogó fényt” a szögletes zárójelekből: , majd nyissuk ki a belső zárójeleket: .

(5) A zárójelben szereplő 1-et és –1-et töröljük, és végrehajtjuk a végső egyszerűsítéseket.

Végül mindhárom Fourier-együttható megtalálható:

Helyettesítsük be őket a képletbe :

Ugyanakkor ne felejtse el kettéosztani. Az utolsó lépésben a konstans („mínusz kettő”), amely nem függ az „en”-től, az összegen kívülre kerül.

Így megkaptuk a függvény Fourier-sorba való kiterjesztését az intervallumon:

Tanulmányozzuk a Fourier-sorok konvergenciájának kérdését. Különösen az elméletet fogom elmagyarázni Dirichlet-tétel, szó szerint "az ujjakon", ezért ha szigorú megfogalmazásokra van szüksége, kérjük, olvassa el a matematikai elemzés tankönyvét (például Bohan 2. kötete; vagy Fichtenholtz 3. kötete, de ez nehezebb).

A feladat második részéhez meg kell rajzolni egy gráfot, egy sorozat összegének grafikonját és egy részösszeg grafikonját.

A függvény grafikonja a szokásos egyenes vonal egy síkon, amely fekete pontozott vonallal van megrajzolva:

Számítsuk ki a sorozat összegét. Mint tudják, a függvénysorozatok függvényekhez konvergálnak. Esetünkben a felépített Fourier-sor "x" tetszőleges értékére konvergál a pirossal látható függvényhez. Ez a funkció tolerálja 1. típusú szakadások pontokban, de azokon is meghatározott (piros pontok a rajzon)

Így: . Könnyen belátható, hogy érezhetően eltér az eredeti funkciótól, éppen ezért a bejegyzésben Az egyenlőségjel helyett tildát használnak.

Vizsgáljuk meg azt az algoritmust, amely alkalmas egy sorozat összegének összeállítására.

A központi intervallumon a Fourier-sor magához a függvényhez konvergál (a központi piros szegmens egybeesik a lineáris függvény fekete pontozott vonalával).

Most beszéljünk egy kicsit a vizsgált trigonometrikus bővítés természetéről. Fourier sorozat csak a periodikus függvények (konstans, szinusz és koszinusz) szerepelnek, tehát a sorozat összege szintén periodikus függvény.

Mit jelent ez konkrét példánkban? Ez pedig azt jelenti, hogy a sorozat összege –minden bizonnyal időszakos az intervallum piros szegmensét pedig a végtelenségig ismételni kell a bal és a jobb oldalon.

Azt hiszem, most végre világossá vált a „bomlás időszaka” kifejezés jelentése. Egyszerűen fogalmazva, minden alkalommal, amikor a helyzet újra és újra megismétlődik.

A gyakorlatban általában elegendő három bomlási periódus ábrázolása, ahogy az a rajzon is történik. Nos, és a szomszédos időszakok „csonkjai” is - hogy egyértelmű legyen, hogy a grafikon folytatódik.

Különösen érdekesek 1. típusú folytonossági pontok. Ilyen pontokon a Fourier-sor izolált értékekhez konvergál, amelyek pontosan a megszakítás „ugrásának” közepén helyezkednek el (piros pontok a rajzon). Hogyan lehet megtudni ezeknek a pontoknak az ordinátáját? Először keressük meg a „felső emelet” ordinátáját: ehhez kiszámoljuk a függvény értékét a bővítés középső periódusának jobb szélső pontjában: . Az „alsó emelet” ordinátájának kiszámításához a legegyszerűbb módja annak, hogy ugyanazon periódus bal szélső értékét vegyük: . Az átlagérték ordinátája a „felső és alsó” összegének számtani közepe: . Kellemes tény, hogy rajz készítésekor azonnal látni fogja, hogy a középpontot jól vagy rosszul számolták-e ki.

Szerkesszük meg a sorozat részösszegét, és egyúttal ismételjük meg a „konvergencia” kifejezés jelentését. Az indíték is ismert a kb számsor összege. Mutassa be gazdagságunkat részletesen:

Részösszeg összeállításához nulla + további két tagot kell írni a sorozatból. vagyis

A rajzon a függvény grafikonja zölddel látható, és mint látható, elég szorosan „becsomagolja” a teljes összeget. Ha figyelembe vesszük a sorozat öt tagjának részösszegét, akkor ennek a függvénynek a grafikonja még pontosabban közelíti a piros vonalakat, ha száz tag van, akkor a „zöld kígyó” valójában teljesen összeolvad a vörös szegmensekkel, stb. Így a Fourier-sor konvergál az összegéhez.

Érdekes megjegyezni, hogy bármely részösszeg igen folyamatos funkció, azonban a sorozat teljes összege még mindig nem folyamatos.

A gyakorlatban nem olyan ritka a részösszeg gráf megalkotása. Hogyan kell ezt csinálni? Esetünkben figyelembe kell venni a szegmens függvényét, kiszámítani az értékeit a szegmens végén és a közbenső pontokon (minél több pontot vesz figyelembe, annál pontosabb lesz a grafikon). Ezután jelölje meg ezeket a pontokat a rajzon, és óvatosan rajzoljon egy grafikont a periódusra, majd „másolja” azt szomszédos intervallumokra. Hogyan másként? Végül is a közelítés is periodikus függvény... ...bizonyos szempontból a grafikonja egy orvosi eszköz kijelzőjén sima szívritmusra emlékeztet.

Az építkezés elvégzése természetesen nem túl kényelmes, mivel rendkívül óvatosnak kell lennie, legalább fél milliméteres pontossággal. Mindazonáltal azoknak az olvasóknak örülök, akik nem érzik jól magukat a rajzolásban - egy „valódi” probléma esetén nem mindig szükséges a rajzot az esetek 50%-ában kibővíteni egy Fourier-sorba, és ennyi .

A rajz elkészítése után teljesítjük a feladatot:

Válasz:

Sok feladatnál a funkció szenved 1. típusú szakadás közvetlenül a bomlási időszakban:

3. példa

Bontsa ki az intervallumon megadott függvényt Fourier-sorrá. Rajzolja fel a függvény és a sorozatok összegének grafikonját!

A javasolt funkció darabonként van megadva (és figyelem, csak a szegmensen)és kibírja 1. típusú szakadás pontban. Lehetséges-e a Fourier-együttható kiszámítása? Nem probléma. A függvény bal és jobb oldala is integrálható intervallumán, ezért a három képletben szereplő integrálokat két integrál összegeként kell ábrázolni. Nézzük meg például, hogyan történik ez nulla együttható esetén:

A második integrál nullának bizonyult, ami csökkentette a munkát, de ez nem mindig van így.

A másik két Fourier-együtthatót hasonlóan írjuk le.

Hogyan lehet megjeleníteni egy sorozat összegét? A bal oldali intervallumon egy egyenes szakaszt, az intervallumon pedig egy egyenes szakaszt rajzolunk (a tengely szakaszát félkövérrel és félkövérrel kiemeljük). Azaz a kiterjesztési intervallumon a sorozat összege három „rossz” pont kivételével mindenhol egybeesik a függvénnyel. A függvény diszkontinuitási pontján a Fourier-sor egy izolált értékhez fog konvergálni, amely pontosan a folytonossági szakasz „ugrásának” közepén helyezkedik el. Nem nehéz szóban átlátni: bal oldali határ: , jobb oldali határ: és nyilvánvalóan a felezőpont ordinátája 0,5.

Az összeg periodicitása miatt a képet szomszédos periódusokra kell „szorozni”, különösen a és intervallumokon kell ugyanazt ábrázolni. Ugyanakkor egyes pontokon a Fourier-sor a medián értékekhez fog konvergálni.

Valójában nincs itt semmi új.

Próbáljon meg egyedül megbirkózni ezzel a feladattal. Hozzávetőleges minta a végleges tervből és egy rajz a lecke végén.

Függvény kiterjesztése Fourier-sorba tetszőleges perióduson keresztül

Egy tetszőleges kiterjesztési periódus esetén, ahol az „el” bármely pozitív szám, a Fourier-sor és a Fourier-együttható képleteit a szinusz és a koszinusz valamivel bonyolultabb érve különbözteti meg:

Ha , akkor megkapjuk azokat az intervallumképleteket, amelyekkel indultunk.

A probléma megoldásának algoritmusa és elvei teljesen megmaradnak, de a számítások technikai összetettsége nő:

4. példa

Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba, és ábrázolja az összeget.

Megoldás: valójában a 3. példa analógja 1. típusú szakadás pontban. Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus. A függvény csak a félintervallumon van definiálva, de ez nem változtat a dolgon - fontos, hogy a függvény mindkét része integrálható legyen.

Bővítsük ki a függvényt Fourier-sorba:

Mivel a függvény nem folytonos az origóban, minden Fourier-együtthatót nyilvánvalóan két integrál összegeként kell felírni:

1) Leírom az első integrált a lehető legrészletesebben:

2) Gondosan megnézzük a Hold felszínét:

Második integrál darabonként szedd:

Mire kell nagyon odafigyelnünk, miután a megoldás folytatását csillaggal nyitjuk?

Először is, nem veszítjük el az első integrált , ahol azonnal végrehajtjuk feliratkozás a különbözeti jelre. Másodszor, ne felejtsd el a balszerencsés állandót a nagy zárójelek előtt és ne zavarjon össze a jelek képlet használatakor . A nagy konzolokat még mindig kényelmesebb azonnal kinyitni a következő lépésben.

A többi már technika kérdése, csak az integrálok megoldásának elégtelen tapasztalata okozhatja.

Igen, nem hiába háborodtak fel a francia matematikus Fourier jeles kollégái – hogy merte trigonometrikus sorozatokba rendezni a függvényeket?! =) Egyébként valószínűleg mindenkit érdekel a szóban forgó feladat gyakorlati jelentése. Fourier maga is dolgozott a hővezető képesség matematikai modelljén, majd a róla elnevezett sorozatot számos periodikus folyamat tanulmányozására kezdték használni, amelyek láthatók és láthatatlanok a környező világban. Most egyébként azon kaptam magam, hogy nem véletlenül hasonlítottam össze a második példa grafikonját a szív periodikus ritmusával. Az érdeklődők megismerkedhetnek a gyakorlati alkalmazással Fourier transzformáció harmadik fél forrásaiból. ...Bár jobb, ha nem – első szerelemként emlékeznek rá =)

3) Figyelembe véve a többször említett gyenge láncszemeket, nézzük a harmadik együtthatót:

Integráljuk részenként:

Helyettesítsük be a képletbe a talált Fourier-együtthatókat , ne felejtsük el kettéosztani a nulla együtthatót:

Ábrázoljuk a sorozat összegét. Ismételjük meg röviden az eljárást: egy intervallumra egyenest, intervallumra egyenest építünk. Ha az „x” értéke nulla, akkor egy pontot teszünk a rés „ugrásának” közepére, és „megismételjük” a grafikont a szomszédos periódusokra:

A periódusok „csomópontjain” az összeg a rés „ugrásának” felezőpontjával is egyenlő lesz.

Kész. Hadd emlékeztesselek arra, hogy maga a függvény csak félintervallumon van feltétellel definiálva, és nyilvánvalóan egybeesik az intervallumokon lévő sorozatok összegével

Válasz:

Néha egy darabonként adott függvény folyamatos a bővítési periódus alatt. A legegyszerűbb példa: . Megoldás (lásd Bohan 2. kötet) ugyanaz, mint az előző két példában: annak ellenére a funkció folytonossága pontban minden Fourier-együttható két integrál összegeként van kifejezve.

A dekompozíciós intervallumon 1. típusú folytonossági pontokés/vagy a gráfnak több „csomópontja” is lehet (kettő, három és általában bármelyik végső mennyiség). Ha egy függvény mindegyik részen integrálható, akkor Fourier sorozatban is bővíthető. De gyakorlati tapasztalatból nem emlékszem ilyen kegyetlen dologra. Vannak azonban az imént tárgyaltaknál nehezebb feladatok is, és a cikk végén mindenki számára megnövekedett összetettségű Fourier-sorozatra mutató hivatkozások találhatók.

Addig is lazítsunk, dőljünk hátra a székeinkben, és szemléljük a csillagok végtelen kiterjedését:

5. példa

Bontsa ki a függvényt Fourier-sorrá az intervallumon, és ábrázolja a sorozat összegét.

Ebben a problémában a függvény folyamatos a bővítési félintervallumon, ami leegyszerűsíti a megoldást. Minden nagyon hasonlít a 2. példához. Az űrhajó elől nincs menekvés - dönteni kell =) A lecke végén hozzávetőleges tervminta, mellékelve egy diagramot.

Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése

Páros és páratlan függvényekkel a probléma megoldásának folyamata észrevehetően leegyszerűsödik. És itt van miért. Térjünk vissza egy „két pi” periódusú Fourier-sor függvényének kiterjesztéséhez. és tetszőleges időszak „két el” .

Tegyük fel, hogy a függvényünk páros. A sorozat általános kifejezése, mint látható, páros koszinuszokat és páratlan szinuszokat tartalmaz. És ha egy PÁROS függvényt bővítünk, akkor miért kellenek páratlan szinuszok?! Állítsuk vissza a szükségtelen együtthatót: .

Így, páros függvény egy Fourier-sorban csak koszinuszokban bővíthető:

Mivel páros függvények integráljai Egy nullához képest szimmetrikus integrációs szegmens mentén megduplázható, akkor a fennmaradó Fourier-együtthatókat leegyszerűsítjük.

A szakadékhoz:

Tetszőleges intervallumhoz:

A tankönyvpéldák, amelyek szinte minden matematikai elemzési tankönyvben megtalálhatók, tartalmazzák a páros függvények kiterjesztését . Emellett személyes praxisomban is többször találkoztam velük:

6. példa

A funkció adott. Kívánt:

1) bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorba a ponttal, ahol egy tetszőleges pozitív szám;

2) írja fel az intervallum bővítését, alkosson függvényt és ábrázolja grafikonon a sorozatok teljes összegét.

Megoldás: az első bekezdésben a probléma általános megoldását javasoljuk, és ez nagyon kényelmes! Ha szükség van rá, csak cserélje ki értékét.

1) Ebben a feladatban a tágulási periódus félperiódus. A további akciók során, különösen az integráció során, az „el” állandónak számít

A függvény páros, ami azt jelenti, hogy csak koszinuszokban bővíthető Fourier sorozattá: .

Fourier-együtthatókat keresünk a képletekkel . Ügyeljen feltétlen előnyeikre. Először is, az integráció a bővítés pozitív szegmensén keresztül történik, ami azt jelenti, hogy biztonságosan megszabadulunk a modultól , a két darab közül csak az „X”-et figyelembe véve. Másodszor pedig az integráció észrevehetően leegyszerűsödik.

Két:

Integráljuk részenként:

Így:
, míg a konstans, amely nem függ az „en”-től, az összegen kívülre kerül.

Válasz:

2) Írjuk fel az intervallum bővítését, ehhez behelyettesítjük a szükséges félperiódusértéket az általános képletbe:

Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése intervallumon adott függvény szinuszos vagy koszinuszos sorozattá történő kiterjesztése Fourier-sor tetszőleges periódusú függvényhez Fourier-sor Fourier-sorok összetett ábrázolása Fourier-sor általános ortogonális függvényrendszerekben Fourier-sor egy ortogonális rendszer A Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Egyenlőség Parseval Zárt rendszerek Teljesség és zárt rendszerek

Páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése A \-1 intervallumon definiált f(x) függvényt, ahol I > 0, akkor is meghívjuk, ha a páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyre. A J) szakaszon definiált f(x) függvényt, ahol I > 0, páratlannak nevezzük, ha a páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest. Példa. a) A függvény páros a |-jt, jt intervallumon, mivel minden x e esetén b) A függvény páratlan, mivel a páros és páratlan függvények Fourier-soros kiterjesztése egy intervallumon adott függvény szinuszos sorozattá, ill. koszinuszok tetszőleges periódusú függvényhez A Fourier-sor összetett jelölése általános ortogonális függvényrendszerekhez Fourier-sorok esetén. ortogonális rendszer A Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Parseval-egyenlőtlenség Zárt rendszerek Rendszerek teljessége és zártsága c) f(x)=x2-x függvény, ahol nem tartozik sem páros, sem páratlan függvényekhez, mivel Legyen az f(x) függvény kielégítő az 1. Tétel feltételei, páros az x| intervallumon. Akkor mindenkinek i.e. /(x) cos nx páros, f(x) sinnx pedig páratlan. Ezért egy páros függvény Fourier-együtthatói egyenlőek lesznek. Ezért a páros függvény Fourier-sorának alakja f(x) sin х - páros függvény. Így tehát egy páratlan függvény Fourier-sorának alakja 1. példa. Bontsa ki a 4-es függvényt Fourier-sorrá az -x ^ x ^ n intervallumon. Mivel ez a függvény páros és teljesíti az 1. Tétel feltételeit, akkor annak Fourier-sora a Fourier-együttható keresése. A részenkénti integrációt kétszer alkalmazva azt kapjuk, hogy Tehát ennek a függvénynek a Fourier-sora így néz ki: vagy kiterjesztett formában Ez az egyenlőség bármely x €-ra érvényes, mivel az x = ±ir pontokban a függvény összege. sorozat egybeesik az f(x) = x2 függvény értékeivel, mivel az f(x) = x függvény grafikonjait és a kapott sorozatok összegét az ábra mutatja. Megjegyzés. Ez a Fourier-sor lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az egyik konvergens numerikus sorozat összegét, azaz x = 0 esetén azt kapjuk, hogy 2. példa. Bontsa ki az /(x) = x függvényt egy Fourier-sorra az intervallumon. 6. § 6. Intervallumon megadott függvény szinuszos vagy koszinuszos sorozattá bővítése Legyen megadva az intervallumon egy korlátos darabonkénti monoton függvény /. Ennek a függvénynek az értékei a 0| intervallumon többféleképpen is definiálható. Például definiálhat egy / függvényt a tc] szegmensen úgy, hogy /. Ebben az esetben azt mondják, hogy) „a 0] szakaszra egyenletesen kiterjesztve”; Fourier sorozata csak koszinuszokat fog tartalmazni. Ha az /(x) függvényt a [-l-, mc] intervallumon úgy definiáljuk, hogy /(, akkor az eredmény egy páratlan függvény, és akkor azt mondják, hogy a / „kibővül a [-*, 0] intervallumra ebben az esetben a Fourier-sor csak szinuszokat fog tartalmazni. Így az intervallumon definiált f(x) minden egyes korlátos monoton függvény szinuszban és szinuszban egyaránt Fourier-sorrá bővíthető. . Példa 1. Bontsa ki a függvényt Fourier-sorba: a) koszinuszokban; b) szinuszokkal. Ez azt adja, és ezért geometriailag ez a tulajdonság azt jelenti, hogy az ábrán árnyékolt terület esetében. 10 terület egyenlő egymással. Konkrétan egy periódusú f(x) függvényre a páros és páratlan függvények Fourier-sorozatára való kiterjesztésekor egy intervallumon adott függvény szinuszos vagy koszinuszos sorozattá való kiterjesztését kapjuk. Fourier-sor tetszőleges függvény esetén periódus A Fourier-sorok összetett jelölései Fourier-sorok általános ortogonális rendszerek függvényeiben Fourier-sorok ortogonális rendszerben Fourier-együtthatók minimális tulajdonsága Bessel-egyenlőtlenség Parseval-egyenlőség Zárt rendszerek Rendszerek teljessége és zártsága 2. példa. Az x függvény periodikus periódussal Mivel a ennek a függvénynek a páratlanságát integrálszámítás nélkül kijelenthetjük, hogy bármely esetén A bizonyított tulajdonság különösen azt mutatja, hogy egy 21 periódusú f(x) periodikus függvény Fourier-együtthatói kiszámíthatók azokkal a képletekkel, ahol a tetszőleges valós szám (megjegyzendő, hogy a cos - és a sin függvények periódusa 2/). 3. példa: Bontsa ki a 2x periódusú intervallumon adott függvényt Fourier-sorba (11. ábra). 4 Keressük ennek a függvénynek a Fourier-együtthatóit. A képleteket beillesztve azt kapjuk, hogy Ezért a Fourier-sor így fog kinézni: Az x = jt pontban (első típusú megszakítási pont) van §8. A Fourier-sorozat összetett rögzítése Ez a rész a komplex elemzés néhány elemét használja (lásd a XXX fejezetet, ahol minden összetett kifejezéssel végzett művelet szigorúan indokolt). Legyen az f(x) függvény elégséges feltétele a Fourier-sorba való kiterjesztéshez. Ekkor az x] szakaszon egy alakú sorozattal ábrázolható Euler-képletek felhasználásával Ezeket a kifejezéseket cos πx és sin φx helyett (1) sorozatba behelyettesítve kapunk. Vezessük be a következő jelölést. Ekkor a (2) sorozat lesz a forma Így az (1) Fourier-sort összetett formában (3) ábrázoljuk. Keressünk kifejezéseket az együtthatókra integrálokon keresztül. Hasonlóképpen azt találjuk, hogy a с„, с_п és с végső képlete a következőképpen írható fel: . . A с„ együtthatókat a függvény komplex Fourier-együtthatóinak nevezzük. Egy periódusos függvény esetén a Fourier-sor olyan alakja lesz, ahol a Cn együtthatók a sorozatok konvergenciája (3 ) és (4) a következőképpen értendő: a (3) és (4) sorozatot konvergensnek nevezzük adott értékekhez, ha vannak határértékek. Példa. Bővítse ki a periódusfüggvényt egy összetett Fourier-sorba. Határozzuk meg ennek a függvénynek a komplex Fourier-együtthatóit. Van páros n-re páratlan, vagy röviden. Az értékeket behelyettesítve) végül megkapjuk Megjegyzés, hogy ez a sorozat a következőképpen is felírható: Fourier-sor általános ortogonális függvényrendszerekhez 9.1. Ortogonális függvényrendszerek Jelöljük az [a, 6] intervallumon definiált és integrálható összes (valós) függvény halmazát négyzettel, azaz azokat, amelyekhez létezik integrál Konkrétan minden f(x) függvény az [a , 6] intervallumon a 6-hoz tartoznak, és a Lebesgue-integráljuk értéke egybeesik a Riemann-integrálok értékeivel. Meghatározás. Egy függvényrendszert, ahol, ortogonálisnak nevezzük az [a, b\ intervallumon, ha az (1) feltétel különösen azt feltételezi, hogy egyik függvény sem azonosan nulla. Az integrál lebesgue-i értelemben értendő. Bizonyos esetekben azonban, például amikor a (4) sorozat egyenletesen konvergál, minden függvény folytonos és az (a, 6) intervallum véges, ez a művelet törvényes. De számunkra most a formális értelmezés a fontos. Tehát legyen egy függvény adott. Alakítsuk ki a c* számokat az (5) képlet szerint, és írjuk fel a jobb oldali sorozatot az f(x) függvény Fourier-sorának a (^n(i)) rendszerhez képest az f(x) függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük erre a rendszerre vonatkozóan. A ~ jel a (6) képletben csak azt jelenti, hogy a Cn számok az (5) képlet alapján kapcsolódnak az f(x) függvényhez (nem feltételezzük, hogy a jobb oldali sorozat egyáltalán konvergál, még kevésbé konvergál az f függvényhez (x)). Ezért természetesen felmerül a kérdés: melyek ennek a sorozatnak a tulajdonságai? Milyen értelemben „reprezentálja” az f(x) függvényt? 9.3. Átlagos konvergencia Definíció. Egy sorozat átlagosan konvergál a ] elemhez, ha a norma a térben van. 6. Tétel. Ha egy sorozat ) egyenletesen konvergál, akkor átlagosan konvergál. amikor Tn(x) az /(x) függvény Fourier-sorának 71. részösszege a rendszeren (. Ha ak = sk, a (7)-ből megkapjuk a (9) egyenlőséget, ezt Bessel-azonosságnak nevezzük. oldal nemnegatív, akkor ebből a Bessel-egyenlőtlenség következik. Mivel én tetszőlegesen itt vagyok, a Bessel-egyenlőtlenség megerősített formában ábrázolható, azaz bármely függvényre / ennek a függvénynek a négyzetes Fourier-együtthatóinak sorozata ortonormális rendszerben ) konvergál. . Mivel a rendszer ortonormális a [-x, m] intervallumon, ezért a (10) egyenlőtlenség a trigonometrikus Fourier-sor szokásos jelölésére fordítva azt a do összefüggést adja, amely bármely integrálható négyzetes /(x) függvényre érvényes. Ha f2(x) integrálható, akkor a (11) egyenlőtlenség bal oldalán lévő sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele miatt azt kapjuk. Parseval-egyenlőség Egyes rendszerekben (^„(x)) a (10) képletben szereplő egyenlőtlenségjel helyettesíthető (minden f(x) 6 × függvénynél) egyenlőségjellel. A kapott egyenlőséget Parseval-Steklov egyenlőségnek (teljességi feltétel) nevezzük. A (9) Bessel-azonosság lehetővé teszi, hogy a (12) feltételt ekvivalens formában írjuk fel, így a teljességi feltétel teljesülése azt jelenti, hogy az /(x) függvény Fourier-sorának Sn(x) részösszegei konvergálnak a függvényhez. /(x) átlagosan, azaz. 6-os térnorma szerint]. Meghatározás. Egy ortonormális rendszert ( teljesnek nevezünk a b2[аy b]-ben, ha minden függvény átlagosan tetszőleges pontossággal közelíthető a kellően sok tagot tartalmazó forma lineáris kombinációjával, azaz ha bármely függvényre /(x) ∈ b2 [a, b\ és tetszőleges e > 0 esetén van egy nq természetes szám és az a\, a2y... számok úgy, hogy nem A fenti okfejtésből következik a 7. Tétel. Ha az ortonormalizációval a rendszer ) teljes a térben, a Bármely függvény Fourier sorozata ebben a rendszerben átlagosan f(x)-hez konvergál, azaz a norma szerint. Megmutatható, hogy a trigonometrikus rendszer teljes a térben. 8. Tétel. Ha egy függvény /o trigonometrikus Fourier-sora átlagban konvergál hozzá. 9.5. Zárt rendszerek. A rendszerek teljessége és zártsága Definíció. Egy ortonormális függvényrendszert \ zártnak nevezünk, ha a Li\a térben nincs minden függvényre merőleges nullától eltérő függvény. Az L2\a, b\ térben az ortonormális rendszerek teljességének és zártságának fogalma egybeesik. Gyakorlatok 1. Bontsa ki a függvényt egy Fourier-sorban a (-i-, x) intervallumban 2. Bővítse ki a 3-as függvényt egy Fourier-sorban a (-tr, tr) intervallumban 3. Bontsa ki a 4-es függvényt egy Fourier-sorban az intervallum (-tr, tr) a Fourier-sorba az intervallum (-jt, tr) függvényében 5. Bontsa ki az f(x) = x + x függvényt egy Fourier-sorra a (-t, t) intervallumban. 6. Bontsa ki az n függvényt Fourier-sorrá a (-jt, tr) intervallumban 7. Bővítse ki az /(x) = sin2 x függvényt a (-tr, x) intervallum Fourier-sorává. 8. Bontsa ki az f(x) = y függvényt Fourier-sorozattá a (-tr, jt) intervallumban 9. Bontsa ki az f(x) = | bűn x|. 10. Bontsa ki az f(x) = § függvényt egy Fourier-sorra a (-π-, π) intervallumban. 11. Bontsa ki az f(x) = sin § függvényt egy Fourier-sorra a (-tr, tr) intervallumban. 12. Bontsa ki a (0, x) intervallumban megadott f(x) = n -2x függvényt Fourier-sorozattá, kiterjesztve a (-x, 0) intervallumra: a) egyenletesen; b) furcsa módon. 13. Bontsa ki a (0, x) intervallumban megadott /(x) = x2 függvényt szinuszos Fourier-sorrá. 14. Bontsa ki a (-2,2) intervallumban megadott /(x) = 3 függvényt Fourier-sorba. 15. Bontsa ki a (-1,1) intervallumban megadott f(x) = |x| függvényt Fourier-sorozattá. 16. Bontsa ki a (0,1) intervallumban megadott f(x) = 2x függvényt szinuszos Fourier-sorrá.

Fourier sorozat– egy összetett függvény egyszerűbb, ismertebbek összegeként történő ábrázolásának módja.
A szinusz és a koszinusz periodikus függvények. Ezek ortogonális alapot is képeznek. Ez a tulajdonság a tengelyekkel való analógiával magyarázható X X XÉs I Y Y a koordinátasíkon. Ahogyan leírhatjuk egy pont koordinátáit a tengelyekhez képest, úgy minden függvényt leírhatunk szinuszokra és koszinuszokra vonatkozóan. A trigonometrikus függvények jól ismertek és könnyen használhatók a matematikában.

A szinuszokat és koszinuszokat a következő hullámok formájában lehet ábrázolni:

A kékek koszinuszok, a pirosak szinuszok. Az ilyen hullámokat harmonikusoknak is nevezik. A koszinusz páros, a szinusz páratlan. A harmonikus kifejezés az ókorból származik, és a hangmagasságok kapcsolatára vonatkozó megfigyelésekhez kapcsolódik a zenében.

Mi az a Fourier sorozat

Az ilyen sorozatokat, ahol a szinusz és a koszinusz legegyszerűbb függvényeit használjuk, trigonometrikusnak nevezzük. Feltalálója, Jean Baptiste Joseph Fourier tiszteletére nevezték el a 18. század végén és a 19. század elején. aki bebizonyította, hogy bármilyen függvény ábrázolható ilyen harmonikusok kombinációjaként. És minél többet vesz fel belőlük, annál pontosabb lesz ez az ábrázolás. Például az alábbi kép: észrevehető, hogy nagyszámú harmonikus, azaz a Fourier-sor tagjai mellett a piros gráf közelebb kerül a kékhez - az eredeti függvényhez.

Gyakorlati alkalmazás a modern világban

Ezekre a sorokra most egyáltalán szükség van? Hol használhatók a gyakorlatban, és használja-e valaki az elméleti matematikusokon kívül? Kiderült, hogy Fourier az egész világon híres, mert sorozatának gyakorlati előnyei szó szerint felbecsülhetetlenek. Kényelmesen használhatók ott, ahol bármilyen rezgés vagy hullám van: akusztika, csillagászat, rádiótechnika stb. A legegyszerűbb példa a használatára: a kamera vagy videokamera működési mechanizmusa. Röviden elmagyarázva, ezek az eszközök nemcsak képeket rögzítenek, hanem a Fourier-sor együtthatóit. És mindenhol működik - képek, filmek vagy zenehallgatás közben az interneten. A Fourier sorozatnak köszönhető, hogy ezt a cikket mostantól mobiltelefonjáról is olvashatja. A Fourier-transzformáció nélkül nem lenne elegendő internetkapcsolat sávszélességünk ahhoz, hogy egyszerűen nézzünk egy YouTube-videót, még normál minőségben sem.

Ez a diagram egy kétdimenziós Fourier-transzformációt mutat be, amellyel a képet harmonikusokra, azaz alapkomponensekre bontják. Ezen a diagramon a -1 érték feketével, 1 fehérrel van kódolva. A grafikonon jobbra és lefelé a frekvencia növekszik.

Fourier-soros bővítés

Valószínűleg már belefáradtál az olvasásba, úgyhogy térjünk át a képletekre.
Egy olyan matematikai technikához, mint a függvények Fourier-sorokká való kiterjesztése, integrálokat kell venni. Sok integrál. Általában a Fourier-sort végtelen összegként írják fel:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n bűn (n x ) )
Ahol
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f (x) sin (n x) d x

Ha végtelen számot tudunk valahogy megszámolni a n a_n a n És b n b_n b n (ezeket Fourier-tágulási együtthatóknak nevezik, A A A- ez egyszerűen ennek a bővítésnek az állandója), akkor a kapott sorozat 100%-ban megegyezik az eredeti függvénnyel f(x) f(x) f(x) től származó szegmensen − π -\pi − π hogy π\pi π . Ez a szegmens a szinusz és a koszinusz integrációs tulajdonságainak köszönhető. Minél több n n n, amelyre kiszámoljuk a függvény sorozatbővítésének együtthatóit, annál pontosabb lesz ez a bővítés.

Példa

Vegyünk egy egyszerű függvényt y = 5 x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 − π ∫ π f(x)dx=2π1 − π ∫ π 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x) cos (2 x) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) bűn(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xbűn(2 x) dx= − 5

És így tovább. Egy ilyen függvény esetén azonnal kijelenthetjük, hogy minden $a_n = 0$

$\sin ⁡ \ kb. (x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac(10)(3) \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac(5)(2) \cdot \sin (4 \ cdot x)$

Az eredményül kapott függvény grafikonja így fog kinézni:

Az így létrejövő Fourier-soros bővítés megközelíti eredeti funkciónkat. Ha a sorozatból több tagot veszünk, például 15-öt, akkor a következőket fogjuk látni:

Minél több tagból áll a bővítés egy sorozatban, annál nagyobb a pontosság.
Ha kissé megváltoztatjuk a gráf léptékét, észrevehetjük a transzformáció másik jellemzőjét: a Fourier-sor egy periódusos függvény. $2\pi$

Így bármilyen függvényt ábrázolhatunk, amely az intervallumon folytonos $[-\pi;\pi]$