Seria Fourier. Exemple de soluții. Serii Fourier în exemple și probleme Exemple de extindere a unei funcții într-o serie Fourier

2. Determinarea coeficienților de serie folosind formule Fourier.

Fie o funcție periodică ƒ(x) cu perioada 2π astfel încât să fie reprezentată printr-o serie trigonometrică convergentă către o funcție dată în intervalul (-π, π), adică este suma acestei serii:

Să presupunem că integrala funcției din partea stângă a acestei egalități este egală cu suma integralelor termenilor acestei serii. Acest lucru va fi adevărat dacă presupunem că seria numerică compusă din coeficienții unei serii trigonometrice date este absolut convergentă, adică seria numerică pozitivă converge

Seria (1) este majorizabilă și poate fi integrată termen cu termen în intervalul (-π, π). Să integrăm ambele părți ale egalității (2):

Să evaluăm separat fiecare integrală care apare în partea dreaptă:

,

,

Astfel, , unde

. (4)

Estimarea coeficienților Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Fie funcția ƒ(x) a perioadei 2π să aibă o derivată continuă ƒ (s) (x) de ordinul s, satisfăcând inegalitatea pe toată axa reală:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

atunci coeficienții Fourier ai funcției ƒ satisfac inegalitatea

Dovada. Integrarea pe părți și ținând cont de faptul că

ƒ(-π) = ƒ(π), avem

Integrând secvenţial partea dreaptă a lui (7), ţinând cont de faptul că derivatele ƒ ΄, …, ƒ (s-1) sunt continue şi iau aceleaşi valori în punctele t = -π şi t = π, ca precum și estimarea (5), obținem prima estimare (6).

A doua estimare (6) se obține într-un mod similar.

Teorema 2. Pentru coeficienții Fourier ƒ(x) este valabilă următoarea inegalitate:

(8)

Dovada. Avem

(9)

Introducând o schimbare de variabilă în acest caz și ținând cont că ƒ(x) este o funcție periodică, obținem

Adăugând (9) și (10), obținem

Efectuăm demonstrația pentru b k într-un mod similar.

Consecinţă. Dacă funcția ƒ(x) este continuă, atunci coeficienții ei Fourier tind spre zero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Spațiul funcțiilor cu produs scalar.

O funcție ƒ(x) se numește continuă pe bucăți pe un interval dacă este continuă pe acest interval, cu excepția posibilă a unui număr finit de puncte în care are discontinuități de primul fel. Astfel de puncte pot fi adunate și înmulțite cu numere reale și, ca rezultat, se obțin din nou funcții continue pe segmente.

Produsul scalar a două continuu pe bucăți pe (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Evident, pentru orice funcții continue pe bucăți ƒ, φ, ψ sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) iar din egalitatea (ƒ , ƒ) = 0 rezultă că ƒ(x) =0 pe , excluzând, poate, un număr finit de puncte x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

unde α, β sunt numere reale arbitrare.

Vom desemna mulțimea tuturor funcțiilor continue pe bucăți definite pe intervalul pentru care produsul scalar este introdus conform formulei (11), și numiți-i spațiu

Nota 1.

În matematică, spațiul = (a, b) este o colecție de funcții ƒ(x) care sunt integrabile în sensul Lebesgue împreună cu pătratele lor, pentru care produsul scalar este introdus conform formulei (11). Spațiul în cauză este o parte. Spațiul are multe proprietăți ale spațiului, dar nu toate.

Din proprietățile 1), 2), 3) urmează importanta inegalitate Bunyakovsky | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, care în limbajul integralelor arată astfel:

Magnitudinea

se numeste norma functiei f.

Norma are următoarele proprietăți:

1) || f || ≥ 0, în acest caz egalitatea poate fi numai pentru funcția zero f = 0, adică o funcție egală cu zero, cu excepția, poate, pentru un număr finit de puncte;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

unde α este un număr real.

A doua proprietate în limbajul integralelor arată astfel:

și se numește inegalitatea Minkowski.

Ei spun că o secvență de funcții ( f n ) îi aparține, converge către o funcție aparține în sensul pătratului mediu pe (sau, de asemenea, în normă) dacă

Rețineți că dacă șirul de funcții ƒ n (x) converge uniform către funcția ƒ (x) pe segmentul , atunci pentru n suficient de mare diferența ƒ (x) - ƒ n (x) în valoare absolută ar trebui să fie mică pentru toate x din segment.

Dacă ƒ n (x) tinde spre ƒ (x) în sensul pătratului mediu pe intervalul , atunci diferența indicată poate să nu fie mică pentru n mare peste tot pe . În unele locuri ale segmentului această diferență poate fi mare, dar singurul lucru important este că integrala pătratului său peste segment este mică pentru n mare.

Exemplu. Să fie dată funcția liniară continuă pe bucăți ƒ n (x) (n = 1, 2,...) prezentată în figură și

(Bugrov, p. 281, fig. 120)

Pentru orice număr natural n

și, în consecință, această succesiune de funcții, deși converge la zero ca n → ∞, nu converge uniform. Între timp

adică succesiunea funcţiilor (f n (x)) tinde spre zero în sensul pătratului mediu pe .

Din elementele unei anumite secvențe de funcții ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,... (aparținând lui ) construim o serie

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +... (12)

Suma primilor n termeni ai săi

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

există o funcţie care aparţine lui . Dacă se întâmplă să existe o funcţie ƒ astfel încât

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

atunci ei spun că seria (12) converge către funcția ƒ în sens pătrat mediu și scrieți

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +...

Nota 2.

Putem considera spațiul = (a, b) al funcțiilor cu valori complexe ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), unde ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt funcții continue reale pe bucăți . În acest spațiu, funcțiile sunt înmulțite cu numere complexe și produsul scalar al funcțiilor ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) și φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x) ) este definită după cum urmează:

iar norma ƒ este definită ca valoare

Seriile Fourier sunt o reprezentare a unei funcții arbitrare cu o anumită perioadă sub forma unei serii. În general, această soluție se numește descompunerea unui element pe o bază ortogonală. Extinderea funcțiilor în seria Fourier este un instrument destul de puternic pentru rezolvarea diferitelor probleme datorită proprietăților acestei transformări în timpul integrării, diferențierii, precum și prin schimbarea expresiilor prin argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizată cu matematica superioară, precum și cu lucrările omului de știință francez Fourier, cel mai probabil nu va înțelege ce sunt aceste „serii” și pentru ce sunt necesare. Între timp, această transformare a devenit destul de integrată în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. De asemenea, să aruncăm o privire mai atentă la lucrările marelui om de știință francez care a făcut o descoperire care a fost înaintea timpului său.

Omul și transformarea Fourier

Serii Fourier sunt una dintre metode (împreună cu analize și altele). Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude un sunet. Urechea noastră transformă automat particulele elementare într-un mediu elastic în rânduri (de-a lungul spectrului) de niveluri de volum succesive pentru tonuri de diferite înălțimi. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete care ne sunt familiare. Toate acestea se întâmplă în afara dorinței sau conștiinței noastre, de la sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va fi nevoie de câțiva ani pentru a studia matematica superioară.

Mai multe despre transformata Fourier

Transformarea Fourier poate fi efectuată folosind metode analitice, numerice și alte metode. Serii Fourier se referă la metoda numerică de descompunere a oricăror procese oscilatorii - de la maree oceanice și unde luminoase la cicluri de activitate solară (și alte obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, puteți analiza funcții, reprezentând orice procese oscilatorii ca o serie de componente sinusoidale care se deplasează de la minim la maxim și înapoi. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva ecuații foarte complexe care descriu procese dinamice care apar sub influența energiei termice, luminoase sau electrice. De asemenea, seriile Fourier fac posibilă izolarea componentelor constante în semnale oscilatorii complexe, făcând posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale obținute în medicină, chimie și astronomie.

Context istoric

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier. Această transformare a fost ulterior numită după el. Inițial, omul de știință și-a folosit metoda pentru a studia și explica mecanismele conductivității termice - răspândirea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția neregulată inițială poate fi descompusă în sinusoide simple, fiecare dintre acestea având propria temperatură minimă și maximă, precum și propria sa fază. În acest caz, fiecare astfel de componentă va fi măsurată de la minim la maxim și înapoi. Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecăreia dintre armonici, se numește transformată Fourier a expresiei distribuției temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția de distribuție generală, care este dificil de descris matematic, la o serie foarte convenabilă de cosinus și sinus, care împreună dau distribuția originală.

Principiul transformării și punctele de vedere ale contemporanilor

Contemporanii omului de știință – matematicieni de seamă de la începutul secolului al XIX-lea – nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost afirmația lui Fourier că o funcție discontinuă, care descrie o linie dreaptă sau o curbă discontinuă, poate fi reprezentată ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca exemplu, luați în considerare pasul Heaviside: valoarea sa este zero la stânga discontinuității și unu la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de o variabilă temporară atunci când circuitul este închis. Contemporanii teoriei de la acea vreme nu au întâlnit niciodată o situație similară în care o expresie discontinuă să fie descrisă printr-o combinație de funcții continue, obișnuite, cum ar fi exponențial, sinus, liniar sau pătratic.

Ce i-a derutat pe matematicienii francezi cu privire la teoria lui Fourier?

La urma urmei, dacă matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci prin însumarea seriei infinite trigonometrice Fourier, se poate obține o reprezentare precisă a expresiei pasului, chiar dacă are mulți pași similari. La începutul secolului al XIX-lea, o astfel de afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoielilor, mulți matematicieni au extins domeniul de studiu al acestui fenomen, ducându-l dincolo de studiul conductivității termice. Cu toate acestea, majoritatea oamenilor de știință au continuat să fie chinuiți de întrebarea: „Poate suma unei serii sinusoidale să convergă către valoarea exactă a funcției discontinue?”

Convergența seriei Fourier: un exemplu

Problema convergenței se pune ori de câte ori este necesar să se însumeze serii infinite de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, luați în considerare un exemplu clasic. Vei putea vreodată să ajungi la perete dacă fiecare pas următor este jumătate din dimensiunea celui precedent? Să presupunem că ești la doi metri de țintă, primul pas te duce până la jumătatea drumului, următorul te duce la trei sferturi, iar după al cincilea vei fi parcurs aproape 97 la sută din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai face, nu îți vei atinge scopul propus într-un sens strict matematic. Folosind calcule numerice, se poate dovedi că în cele din urmă este posibil să se apropie cât mai mult de o anumită distanță. Această dovadă este echivalentă cu demonstrarea că suma unei jumătăți, a unui sfert etc. va tinde spre unitate.

Problema convergenței: a doua venire sau instrumentul lordului Kelvin

Această problemă a fost ridicată din nou la sfârșitul secolului al XIX-lea, când au încercat să folosească seria Fourier pentru a prezice intensitatea mareelor. În acest moment, Lordul Kelvin a inventat un instrument, care era un dispozitiv de calcul analogic care permitea marinarilor militari și marini comerciali să monitorizeze acest fenomen natural. Acest mecanism a determinat seturi de faze și amplitudini dintr-un tabel de înălțimi ale mareelor ​​și puncte de timp corespunzătoare, măsurate cu atenție într-un anumit port pe tot parcursul anului. Fiecare parametru a fost o componentă sinusoidală a expresiei înălțimii mareei și a fost una dintre componentele regulate. Măsurătorile au fost introduse în instrumentul de calcul al lui Lord Kelvin, care a sintetizat o curbă care a prezis înălțimea apei în funcție de timp pentru anul următor. Foarte curând au fost trasate curbe similare pentru toate porturile lumii.

Ce se întâmplă dacă procesul este perturbat de o funcție discontinuă?

La acea vreme, părea evident că un predictor de undă mare cu un număr mare de elemente de numărare ar putea calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel să ofere predicții mai precise. Cu toate acestea, s-a dovedit că acest model nu este observat în cazurile în care expresia mareelor ​​care ar trebui sintetizată conținea un salt ascuțit, adică era discontinuu. Dacă datele dintr-un tabel de momente de timp sunt introduse în dispozitiv, acesta calculează mai mulți coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (în conformitate cu coeficienții aflați). Discrepanța dintre expresia originală și cea reconstruită poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, este clar că valoarea celei mai mari erori nu scade. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate, iar în orice alt punct tind spre zero. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriilor Fourier și dezvoltarea matematicii în general

Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de vârfuri într-un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este reprezentată de rezultatul unei măsurători fizice reale, converg întotdeauna. Întrebările despre convergența acestui proces pentru clase specifice de funcții au condus la apariția de noi ramuri în matematică, de exemplu, teoria funcțiilor generalizate. Ea este asociată cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinski și J. Temple. În cadrul acestei teorii, a fost creată o bază teoretică clară și precisă pentru expresii precum funcția deltei Dirac (descrie o regiune dintr-o singură zonă concentrată într-o vecinătate infinitezimală a unui punct) și „pasul” Heaviside. Datorită acestei lucrări, seria Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și a problemelor care implică concepte intuitive: sarcină punctiformă, masă punctuală, dipoli magnetici și sarcină concentrată pe un fascicul.

Metoda Fourier

Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, încep cu descompunerea formelor complexe în altele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură se explică prin trecerea acestuia prin diferite obstacole din material termoizolant de formă neregulată sau o modificare a suprafeței pământului - un cutremur, o schimbare a orbitei unui corp ceresc - influența a planetelor. De regulă, astfel de ecuații care descriu sisteme clasice simple pot fi rezolvate cu ușurință pentru fiecare val individual. Fourier a arătat că soluțiile simple pot fi, de asemenea, însumate pentru a produce soluții la probleme mai complexe. În termeni matematici, seriile Fourier sunt o tehnică de reprezentare a unei expresii ca o sumă de armonici - cosinus și sinus. Prin urmare, această analiză este cunoscută și sub denumirea de „analiza armonică”.

Seria Fourier - o tehnică ideală înainte de „era computerului”

Înainte de crearea tehnologiei informatice, tehnica Fourier era cea mai bună armă din arsenalul oamenilor de știință atunci când lucrau cu natura ondulată a lumii noastre. Seria Fourier în formă complexă face posibilă rezolvarea nu numai a problemelor simple care pot fi aplicate direct legile mecanicii lui Newton, ci și a ecuațiilor fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au fost posibile doar prin tehnica lui Fourier.

Seria Fourier azi

Odată cu dezvoltarea computerelor, transformatele Fourier s-au ridicat la un nivel calitativ nou. Această tehnică este ferm stabilită în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este audio și video digital. Implementarea sa a devenit posibilă doar datorită unei teorii dezvoltate de un matematician francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unei descoperiri în studiul spațiului cosmic. În plus, a influențat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica microundelor, oceanografie, radar și seismologie.

Seria Fourier trigonometrică

În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții complexe arbitrare ca o sumă a celor mai simple. În cazuri generale, numărul de astfel de expresii poate fi infinit. Mai mult, cu cât numărul lor este luat în considerare în calcul, cu atât rezultatul final este mai precis. Cel mai adesea, funcțiile trigonometrice de cosinus sau sinus sunt folosite ca cele mai simple. În acest caz, seriile Fourier se numesc trigonometrice, iar soluția unor astfel de expresii se numește expansiune armonică. Această metodă joacă un rol important în matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc de înfățișare și, de asemenea, studierea funcțiilor, este principalul aparat al teoriei. În plus, vă permite să rezolvați o serie de probleme din fizica matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea unui număr de ramuri foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit drept punct de plecare pentru dezvoltarea următoarelor funcții ale unei variabile reale și, de asemenea, a pus bazele analizei armonice.

Care sunt deja destul de plictisitoare. Și simt că a venit momentul în care este timpul să extragem noi conserve din rezervele strategice ale teoriei. Este posibil să extinzi funcția într-o serie într-un alt mod? De exemplu, exprimați un segment de dreaptă în termeni de sinusuri și cosinusuri? Pare incredibil, dar astfel de funcții aparent îndepărtate pot fi
„reunificare”. Pe lângă gradele familiare în teorie și practică, există și alte abordări pentru extinderea unei funcții într-o serie.

În această lecție ne vom familiariza cu seria Fourier trigonometrică, vom aborda problema convergenței și a sumei sale și, bineînțeles, vom analiza numeroase exemple de extindere a funcțiilor din seria Fourier. Am vrut din tot sufletul să numesc articolul „Seria Fourier pentru manechini”, dar ar fi necinstit, deoarece rezolvarea problemelor ar necesita cunoașterea altor ramuri ale analizei matematice și ceva experiență practică. Prin urmare, preambulul va semăna cu antrenamentul astronauților =)

În primul rând, ar trebui să abordați studiul materialelor paginii într-o formă excelentă. Somnoros, odihnit si treaz. Fără emoții puternice despre laba unui hamster rupt și gânduri obsesive despre greutățile vieții pentru peștii de acvariu. Seria Fourier nu este greu de înțeles, dar sarcinile practice necesită pur și simplu o concentrare sporită a atenției - în mod ideal, ar trebui să vă detașați complet de stimulii externi. Situația este agravată de faptul că nu există o modalitate ușoară de a verifica soluția și de a răspunde. Astfel, dacă sănătatea ta este sub medie, atunci este mai bine să faci ceva mai simplu. Este adevărat?

În al doilea rând, înainte de a zbura în spațiu, este necesar să se studieze panoul de instrumente al navei spațiale. Să începem cu valorile funcțiilor pe care trebuie să faceți clic pe mașină:

Pentru orice valoare naturală:

1) . Într-adevăr, sinusoidul „coase” axa x prin fiecare „pi”:
. În cazul valorilor negative ale argumentului, rezultatul, desigur, va fi același: .

2) . Dar nu toată lumea știa asta. Cosinusul „pi” este echivalentul unui „intermitent”:

Un argument negativ nu schimbă problema: .

Poate că este suficient.

Și în al treilea rând, dragi corp de cosmonauți, trebuie să fiți capabil să... integra.
În special, cu încredere subsumează funcția sub semnul diferențial, integra pe bucatăși fii în pace cu formula Newton-Leibniz. Să începem exercițiile importante înainte de zbor. Nu recomand categoric să-l sări peste el, pentru a nu strica mai târziu în imponderabilitate:

Exemplul 1

Calculați integrale definite

unde ia valori naturale.

Soluţie: integrarea se realizează peste variabila „x” iar în această etapă variabila discretă „en” este considerată constantă. În toate integralele puneți funcția sub semnul diferențial:

O versiune scurtă a soluției pe care ar fi bine să o vizați arată astfel:

Hai sa ne obisnuim:

Cele patru puncte rămase sunt pe cont propriu. Încercați să abordați sarcina cu conștiință și să scrieți integralele într-un mod scurt. Exemple de soluții la sfârșitul lecției.

După efectuarea exercițiilor CALITATE, ne îmbrăcăm costume spațiale
și pregătiți-vă să începeți!

Expansiunea unei funcții într-o serie Fourier pe interval

Luați în considerare o funcție care determinat cel puțin pentru o perioadă de timp (și eventual pentru o perioadă mai lungă). Dacă această funcție este integrabilă pe interval, atunci ea poate fi extinsă în trigonometrică Seria Fourier:
, unde sunt așa-zișii Coeficienții Fourier.

În acest caz, numărul este apelat perioada de descompunere, iar numărul este timpul de înjumătățire al descompunerii.

Este evident că, în cazul general, seria Fourier constă din sinusuri și cosinusuri:

Într-adevăr, să o scriem în detaliu:

Termenul zero al seriei se scrie de obicei sub forma .

Coeficienții Fourier se calculează folosind următoarele formule:

Înțeleg perfect că cei care încep să studieze subiectul sunt încă neclari cu privire la noile termeni: perioada de descompunere, semiciclu, Coeficienții Fourier etc. Nu intrați în panică, acest lucru nu este comparabil cu entuziasmul înainte de a merge în spațiul cosmic. Să înțelegem totul în exemplul următor, înainte de a executa ceea ce este logic să punem întrebări practice stringente:

Ce trebuie să faci în următoarele sarcini?

Extindeți funcția într-o serie Fourier. În plus, este adesea necesar să descrii un grafic al unei funcții, un grafic al sumei unei serii, o sumă parțială și, în cazul fanteziilor profesorale sofisticate, să faci altceva.

Cum se extinde o funcție într-o serie Fourier?

În esență, trebuie să găsești Coeficienții Fourier, adică compune și calculează trei integrală definită.

Vă rugăm să copiați forma generală a seriei Fourier și cele trei formule de lucru în caiet. Sunt foarte bucuros că unii vizitatori ai site-ului își realizează visul din copilărie de a deveni astronaut chiar în fața ochilor mei =)

Exemplul 2

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval. Construiți un grafic, un grafic al sumei seriei și al sumei parțiale.

Soluţie: Prima parte a sarcinii este de a extinde funcția într-o serie Fourier.

Începutul este standard, asigurați-vă că notați:

În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă.

Să extindem funcția într-o serie Fourier pe intervalul:

Folosind formulele adecvate, găsim Coeficienții Fourier. Acum trebuie să compunem și să calculăm trei integrală definită. Pentru comoditate, voi numerota punctele:

1) Prima integrală este cea mai simplă, totuși, necesită și globi oculari:

2) Folosiți a doua formulă:

Această integrală este bine cunoscută și o ia bucată cu bucată:

Folosit când este găsit metoda de subsumare a unei functii sub semnul diferential.

În sarcina luată în considerare, este mai convenabil să se utilizeze imediat formula de integrare pe părți într-o integrală definită :

Câteva note tehnice. În primul rând, după aplicarea formulei întreaga expresie trebuie cuprinsă între paranteze mari, deoarece există o constantă înaintea integralei originale. Să nu o pierdem! Parantezele pot fi extinse la orice pas ulterior. Am făcut asta ca ultimă soluție. În prima „piesă” Arătăm o grijă extremă în înlocuire, după cum puteți vedea, constanta nu este utilizată, iar limitele de integrare sunt substituite în produs. Această acțiune este evidențiată între paranteze drepte. Ei bine, ești familiarizat cu integrala celei de-a doua „piese” a formulei din sarcina de antrenament;-)

Și cel mai important - concentrare extremă!

3) Căutăm al treilea coeficient Fourier:

Se obține o relativă a integralei anterioare, care este de asemenea integrează fragmentar:

Această instanță este puțin mai complicată, voi comenta pașii următori pas cu pas:

(1) Expresia este complet cuprinsă între paranteze mari. Nu am vrut să par plictisitor, ei pierd constanta prea des.

(2) În acest caz, am deschis imediat aceste paranteze mari. O atenție deosebită Ne dedicăm primei „piese”: constanta fumează pe margine și nu participă la înlocuirea limitelor de integrare ( și ) în produs . Din cauza dezordinei înregistrării, este din nou recomandabil să evidențiezi această acțiune cu paranteze drepte. Cu a doua "piesa" totul este mai simplu: aici fracția a apărut după deschiderea parantezelor mari, iar constanta - ca urmare a integrării integralei familiare;-)

(3) Între paranteze pătrate se efectuează transformări, iar în integrala dreaptă - înlocuirea limitelor de integrare.

(4) Scoatem „lumina intermitentă” din parantezele pătrate: , iar apoi deschidem parantezele interioare: .

(5) Anulăm 1 și –1 între paranteze și efectuăm simplificările finale.

În cele din urmă, se găsesc toți cei trei coeficienți Fourier:

Să le substituim în formulă :

În același timp, nu uitați să împărțiți în jumătate. La ultimul pas, constanta („minus doi”), care nu depinde de „en”, este luată în afara sumei.

Astfel, am obținut extinderea funcției într-o serie Fourier pe intervalul:

Să studiem problema convergenței seriei Fourier. Voi explica teoria, în special teorema lui Dirichlet, literalmente „pe degete”, așa că dacă aveți nevoie de formulări stricte, vă rugăm să consultați manualul de analiză matematică (de exemplu, al 2-lea volum din Bohan; sau al 3-lea volum din Fichtenholtz, dar este mai dificil).

A doua parte a problemei necesită desenarea unui grafic, un grafic al sumei unei serii și un grafic al unei sume parțiale.

Graficul funcției este cel obișnuit linie dreaptă pe un plan, care este desenat cu o linie punctată neagră:

Să ne dăm seama suma seriei. După cum știți, seriile de funcții converg către funcții. În cazul nostru, seria Fourier construită pentru orice valoare a lui "x" va converge către funcția, care este afișată în roșu. Această funcție tolerează rupturi de primul fel la puncte, dar este definit și la ele (puncte roșii în desen)

Astfel: . Este ușor de observat că este vizibil diferită de funcția originală, motiv pentru care în intrare Se folosește mai degrabă o tildă decât un semn de egalitate.

Să studiem un algoritm care este convenabil pentru a construi suma unei serii.

Pe intervalul central, seria Fourier converge către funcția în sine (segmentul roșu central coincide cu linia punctată neagră a funcției liniare).

Acum să vorbim puțin despre natura expansiunii trigonometrice luate în considerare. Seria Fourier sunt incluse doar funcțiile periodice (constante, sinusuri și cosinus), deci suma seriei este și o funcție periodică.

Ce înseamnă acest lucru în exemplul nostru specific? Și asta înseamnă că suma seriei –cu siguranță periodice iar segmentul roșu al intervalului trebuie repetat la nesfârșit în stânga și în dreapta.

Cred că sensul expresiei „perioada de descompunere” a devenit în sfârșit clar. Pentru a spune simplu, de fiecare dată când situația se repetă din nou și din nou.

În practică, este de obicei suficient să descrii trei perioade de descompunere, așa cum se face în desen. Ei bine, și, de asemenea, „cioturi” ale perioadelor învecinate - astfel încât să fie clar că graficul continuă.

De un interes deosebit sunt puncte de discontinuitate de primul fel. În astfel de puncte, seria Fourier converge către valori izolate, care sunt situate exact în mijlocul „sariturii” discontinuității (puncte roșii în desen). Cum să aflați ordonata acestor puncte? Mai întâi, să găsim ordonata „etajului superior”: pentru a face acest lucru, calculăm valoarea funcției în punctul cel mai din dreapta al perioadei centrale a expansiunii: . Pentru a calcula ordonata „etajului inferior”, cel mai simplu mod este să luați valoarea cea mai din stânga a aceleiași perioade: . Ordonata valorii medii este media aritmetică a sumei „sus și jos”: . Un fapt plăcut este că atunci când construiți un desen, veți vedea imediat dacă mijlocul este calculat corect sau incorect.

Să construim o sumă parțială a seriei și, în același timp, să repetăm ​​sensul termenului „convergență”. Motivul este cunoscut și din lecția despre suma unei serii de numere. Să ne descriem în detaliu bogăția:

Pentru a compune o sumă parțială, trebuie să scrieți zero + încă doi termeni ai seriei. adica

În desen, graficul funcției este afișat în verde și, după cum puteți vedea, „înfășoară” suma completă destul de strâns. Dacă luăm în considerare o sumă parțială de cinci termeni ai seriei, atunci graficul acestei funcții va aproxima și mai precis liniile roșii, dacă există o sută de termeni, atunci „șarpele verde” se va îmbina complet cu segmentele roșii; etc. Astfel, seria Fourier converge către suma sa.

Este interesant de observat că orice sumă parțială este functie continua, cu toate acestea, suma totală a seriei este încă discontinuă.

În practică, nu este atât de rar să construiești un grafic cu sumă parțială. Cum să faci asta? În cazul nostru, este necesar să luăm în considerare funcția pe segment, să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctele intermediare (cu cât luați în considerare mai multe puncte, cu atât graficul va fi mai precis). Apoi ar trebui să marcați aceste puncte pe desen și să desenați cu atenție un grafic al perioadei, apoi să îl „replicați” în intervale adiacente. Cum altfel? La urma urmei, aproximarea este, de asemenea, o funcție periodică... ... într-un fel graficul ei îmi amintește de un ritm cardiac lin pe afișajul unui dispozitiv medical.

Efectuarea construcției, desigur, nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să fii extrem de atent, menținând o precizie de nu mai puțin de jumătate de milimetru. Cu toate acestea, voi mulțumi cititorii care nu se simt confortabil cu desenul - într-o problemă „adevărată” nu este întotdeauna necesar să se efectueze un desen în aproximativ 50% din cazuri, este necesar să se extindă funcția într-o serie Fourier și atât .

După finalizarea desenului, îndeplinim sarcina:

Răspuns:

În multe sarcini funcția are de suferit ruptura de primul fel chiar în timpul perioadei de descompunere:

Exemplul 3

Extindeți funcția dată pe interval într-o serie Fourier. Desenați un grafic al funcției și al sumei totale a seriei.

Funcția propusă este specificată pe bucăți (și, rețineți, doar pe segment) si rezista ruptura de primul fel la punctul . Este posibil să se calculeze coeficienții Fourier? Nici o problemă. Ambele părți din stânga și dreapta ale funcției sunt integrabile pe intervalele lor, prin urmare integralele din fiecare dintre cele trei formule ar trebui reprezentate ca suma a două integrale. Să vedem, de exemplu, cum se face acest lucru pentru un coeficient zero:

A doua integrală s-a dovedit a fi egală cu zero, ceea ce a redus munca, dar nu este întotdeauna cazul.

Ceilalți doi coeficienți Fourier sunt descriși în mod similar.

Cum se arată suma unei serii? Pe intervalul din stânga desenăm un segment de linie dreaptă, iar pe interval - un segment de linie dreaptă (subliniem secțiunea axei cu aldine și aldine). Adică, pe intervalul de expansiune, suma seriei coincide cu funcția peste tot, cu excepția a trei puncte „rele”. În punctul de discontinuitate al funcției, seria Fourier va converge către o valoare izolată, care se află exact în mijlocul „sariturii” discontinuității. Nu este greu să-l vezi oral: limită din stânga: , limită din dreapta: și, evident, ordonata punctului de mijloc este 0,5.

Datorită periodicității sumei, imaginea trebuie „înmulțită” în perioade învecinate, în special, același lucru trebuie reprezentat pe intervale și . În același timp, în anumite puncte seria Fourier va converge către valorile mediane.

De fapt, nu este nimic nou aici.

Încercați să vă descurcați singur cu această sarcină. O mostră aproximativă a proiectului final și un desen la sfârșitul lecției.

Extinderea unei funcții într-o serie Fourier pe o perioadă arbitrară

Pentru o perioadă de expansiune arbitrară, unde „el” este orice număr pozitiv, formulele pentru seria Fourier și coeficienții Fourier se disting printr-un argument puțin mai complicat pentru sinus și cosinus:

Dacă , atunci obținem formulele de interval cu care am început.

Algoritmul și principiile pentru rezolvarea problemei sunt complet păstrate, dar complexitatea tehnică a calculelor crește:

Exemplul 4

Extindeți funcția într-o serie Fourier și trasați suma.

Soluţie: de fapt un analog al Exemplului nr. 3 cu ruptura de primul fel la punctul . În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă. Funcția este definită numai pe jumătate de interval, dar acest lucru nu schimbă problema - este important ca ambele părți ale funcției să fie integrabile.

Să extindem funcția într-o serie Fourier:

Deoarece funcția este discontinuă la origine, fiecare coeficient Fourier ar trebui în mod evident scris ca suma a două integrale:

1) Voi scrie prima integrală cât mai detaliat posibil:

2) Privim cu atenție suprafața Lunii:

A doua integrală ia-o bucată cu bucată:

La ce ar trebui să fim atenți după ce deschidem continuarea soluției cu un asterisc?

În primul rând, nu pierdem prima integrală , unde executăm imediat subscriind la semnul diferenţial. În al doilea rând, nu uita de constanta nefericita dinaintea parantezelor mari și nu te deruta de semne atunci când utilizați formula . Parantezele mari sunt încă mai convenabile pentru a fi deschise imediat în pasul următor.

Restul este o chestiune de tehnică; dificultățile pot fi cauzate doar de o experiență insuficientă în rezolvarea integralelor.

Da, nu degeaba s-au indignat colegii eminenți ai matematicianului francez Fourier - cum a îndrăznit el să aranjeze funcțiile în serii trigonometrice?! =) Apropo, probabil că toată lumea este interesată de sensul practic al sarcinii în cauză. Fourier însuși a lucrat la un model matematic de conductivitate termică, iar ulterior seria numită după el a început să fie folosită pentru a studia multe procese periodice, care sunt vizibile și invizibile în lumea înconjurătoare. Acum, apropo, m-am surprins crezând că nu întâmplător am comparat graficul celui de-al doilea exemplu cu ritmul periodic al inimii. Cei interesați se pot familiariza cu aplicația practică transformata Fourierîn surse terțe. ...Deși este mai bine să nu o faci - va fi amintit ca Prima dragoste =)

3) Ținând cont de legăturile slabe menționate în mod repetat, să ne uităm la al treilea coeficient:

Să integrăm pe părți:

Să înlocuim coeficienții Fourier găsiți în formulă , fără a uita să împărțiți coeficientul zero la jumătate:

Să reprezentăm suma seriei. Să repetăm ​​pe scurt procedura: construim o linie dreaptă pe un interval și o linie dreaptă pe un interval. Dacă valoarea „x” este zero, punem un punct în mijlocul „sariturii” decalajului și „replicam” graficul pentru perioadele învecinate:


La „joncțiunile” perioadelor, suma va fi, de asemenea, egală cu punctele de mijloc ale „sariturii” decalajului.

Gata. Permiteți-mi să vă reamintesc că funcția în sine este definită prin condiție doar pe o jumătate de interval și, evident, coincide cu suma seriei pe intervale

Răspuns:

Uneori, o funcție dată pe bucăți este continuă pe perioada de expansiune. Cel mai simplu exemplu: . Soluţie (vezi Bohan volumul 2) la fel ca în cele două exemple precedente: în ciuda continuitatea functieiîn punctul , fiecare coeficient Fourier este exprimat ca suma a două integrale.

Pe intervalul de descompunere puncte de discontinuitate de primul felși/sau pot exista mai multe puncte de „joncțiune” ale graficului (două, trei și, în general, oricare final cantitate). Dacă o funcție este integrabilă pe fiecare parte, atunci este și extensibilă într-o serie Fourier. Dar din experiența practică nu-mi amintesc un lucru atât de crud. Cu toate acestea, există sarcini mai dificile decât cele luate în considerare, iar la sfârșitul articolului există link-uri către seria Fourier de complexitate crescută pentru toată lumea.

Între timp, să ne relaxăm, să ne lăsăm pe spate în scaunele noastre și să contemplăm întinderile nesfârșite de stele:

Exemplul 5

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval și trasați suma seriei.

În această problemă funcția continuu pe semi-intervalul de expansiune, ceea ce simplifică soluția. Totul este foarte asemănător cu Exemplul nr. 2. Nu există nicio scăpare din nava spațială - trebuie să decideți =) O mostră de proiectare aproximativă la sfârșitul lecției, este atașată o diagramă.

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare

Cu funcțiile pare și impare, procesul de rezolvare a problemei este simplificat considerabil. Și iată de ce. Să revenim la expansiunea unei funcții dintr-o serie Fourier cu o perioadă de „doi pi” și perioada arbitrară „două el” .

Să presupunem că funcția noastră este pară. Termenul general al seriei, după cum puteți vedea, conține cosinusuri pare și sinusuri impare. Și dacă extindem o funcție PAR, atunci de ce avem nevoie de sinusuri ciudate?! Să resetăm coeficientul inutil: .

Astfel, o funcție pară poate fi extinsă într-o serie Fourier numai în cosinus:

Din moment ce integrale ale funcțiilor pare de-a lungul unui segment de integrare care este simetric față de zero poate fi dublat, apoi coeficienții Fourier rămași sunt simplificați.

Pentru decalaj:

Pentru un interval arbitrar:

Exemplele de manuale care pot fi găsite în aproape orice manual de analiză matematică includ expansiuni ale funcțiilor pare . În plus, au fost întâlnite de mai multe ori în practica mea personală:

Exemplul 6

Funcția este dată. Necesar:

1) extindeți funcția într-o serie Fourier cu perioada , unde este un număr pozitiv arbitrar;

2) notați expansiunea pe interval, construiți o funcție și reprezentați grafic suma totală a seriei.

Soluţie: în primul paragraf se propune rezolvarea problemei în formă generală, iar acest lucru este foarte convenabil! Dacă este nevoie, înlocuiți-vă doar valoarea.

1) În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă. În timpul acțiunilor ulterioare, în special în timpul integrării, „el” este considerat o constantă

Funcția este pară, ceea ce înseamnă că poate fi extinsă într-o serie Fourier numai în cosinus: .

Căutăm coeficienții Fourier folosind formulele . Acordați atenție avantajelor lor necondiționate. În primul rând, integrarea se realizează pe segmentul pozitiv al expansiunii, ceea ce înseamnă că scăpăm în siguranță de modul , luând în considerare doar „X” din cele două piese. Și, în al doilea rând, integrarea este simplificată considerabil.

Două:

Să integrăm pe părți:

Astfel:
, în timp ce constanta , care nu depinde de „en”, este luată în afara sumei.

Răspuns:

2) Să notăm expansiunea pe interval pentru a face acest lucru, înlocuim valoarea necesară a semiperioadei în formula generală:

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare extinderea unei funcții dată pe un interval într-o serie în sinusuri sau cosinus Seria Fourier pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Reprezentare complexă a seriei Fourier Seria Fourier în sistemele generale ortogonale de funcții Seria Fourier într-o sistem ortogonal Proprietate minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea lui Bessel Egalitate Parseval Sisteme închise Completitudine și sisteme închise

Expansiunea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare O funcție f(x), definită pe intervalul \-1, unde I > 0, se numește chiar dacă graficul funcției pare este simetric față de axa ordonatelor. O funcție f(x), definită pe segmentul J), unde I > 0, se numește impară dacă graficul funcției impare este simetric față de origine. Exemplu. a) Funcția este pară pe intervalul |-jt, jt), deoarece pentru toate x e b) Funcția este impară, deoarece extinderea în serie Fourier a funcțiilor pare și impare este extinderea unei funcții dată pe un interval într-o serie în sinusuri sau Cosinusuri pentru o funcție cu o perioadă arbitrară Notarea complexă a seriei Fourier Seria Fourier pentru sistemele ortogonale generale de funcții. sistem ortogonal Proprietate minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea lui Bessel Egalitatea lui Parseval Sisteme închise Completitudinea și închiderea sistemelor c) Funcția f(x)=x2-x, unde nu aparține nici funcțiilor pare sau impare, deoarece Fie funcția f(x) satisfăcând condiţiile teoremei 1, este par pe intervalul x|. Atunci pentru toată lumea adică. /(x) cos nx este o funcție pară, iar f(x) sinnx este una impară. Prin urmare, coeficienții Fourier ai unei funcții pare /(x) vor fi egali. Prin urmare, seria Fourier a unei funcții pare are forma f(x) sin х - o funcție pară. Prin urmare, vom avea Astfel, seria Fourier a unei funcții impare are forma Exemplul 1. Extindeți funcția 4 într-o serie Fourier pe intervalul -x ^ x ^ n Deoarece această funcție este pară și îndeplinește condițiile teoremei 1, atunci seria lui Fourier are forma Găsiți coeficienții Fourier. Avem Aplicând integrarea prin părți de două ori, obținem că Deci, seria Fourier a acestei funcții arată astfel: sau, în formă extinsă, Această egalitate este valabilă pentru orice x €, deoarece în punctele x = ±ir suma seria coincide cu valorile funcției f(x) = x2, deoarece graficele funcției f(x) = x și suma seriei rezultate sunt date în Fig. Comentariu. Această serie Fourier ne permite să găsim suma uneia dintre seriile numerice convergente, și anume, pentru x = 0 obținem acel Exemplu 2. Expandăm funcția /(x) = x într-o serie Fourier pe interval. 6. § 6. Expansiunea unei funcţii dată pe un interval într-o serie în sinusuri sau cosinusuri Fie dată pe interval o funcţie monotonă pe bucăţi mărginită /. Valorile acestei funcții pe intervalul 0| poate fi definit în continuare în diferite moduri. De exemplu, puteți defini o funcție / pe segmentul tc] astfel încât /. În acest caz ei spun că) „se extinde la segmentul 0] într-o manieră uniformă”; seria lui Fourier va conține numai cosinus. Dacă funcția /(x) este definită pe intervalul [-l-, mc] astfel încât /(, atunci rezultatul este o funcție impară, și atunci se spune că / este „extins la intervalul [-*, 0] într-un mod ciudat” în acest caz, seria Fourier va conţine numai sinusuri. Astfel, fiecare funcţie monotonă mărginită f(x) definită pe interval poate fi extinsă într-o serie Fourier atât în ​​sinusuri. . cosinus Exemplu 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier: a) în cosinus; b) prin sinusuri. Aceasta dă și prin urmare, Geometric, această proprietate înseamnă că în cazul zonei umbrite în Fig. 10 zone sunt egale între ele. În special, pentru o funcție f(x) cu perioadă obținem la Expansiunea într-o serie Fourier de funcții pare și impare, extinderea unei funcții dată pe un interval într-o serie în sinusuri sau cosinusuri serie Fourier pentru o funcție cu o funcție arbitrară. perioada Notarea complexă a seriei Fourier Seria Fourier în funcții generale ale sistemelor ortogonale Seria Fourier într-un sistem ortogonal Proprietatea minimă a coeficienților Fourier Inegalitatea lui Bessel Egalitatea Parseval Sisteme închise Completitudinea și închiderea sistemelor Exemplul 2. Funcția x este periodică cu perioadă Datorită neobișnuității acestei funcții, fără a calcula integrale, putem afirma că pentru orice Proprietatea dovedită, în special, arată că coeficienții Fourier ai unui funcția periodică f(x) cu perioada 21 poate fi calculată folosind formulele în care a este un număr real arbitrar (rețineți că funcțiile cos - și sin au perioada 2/). Exemplul 3. Extindeți într-o serie Fourier o funcție dată pe un interval cu o perioadă de 2x (Fig. 11). 4 Să găsim coeficienții Fourier ai acestei funcții. Introducând formulele constatăm că pentru Prin urmare, seria Fourier va arăta astfel: În punctul x = jt (punct de discontinuitate de primul fel) avem §8. Înregistrarea complexă a seriei Fourier Această secțiune utilizează unele elemente de analiză complexă (vezi Capitolul XXX, unde toate acțiunile efectuate aici cu expresii complexe sunt strict justificate). Fie funcția f(x) să satisfacă condiții suficiente pentru extinderea într-o serie Fourier. Apoi pe segmentul x] poate fi reprezentat printr-o serie de forma Folosind formulele lui Euler Înlocuind aceste expresii în seria (1) în loc de cos πx și sin φx vom avea Să introducem următoarea notație Atunci seria (2) va lua forma Astfel, seria Fourier (1) este reprezentată în formă complexă (3). Să găsim expresii pentru coeficienți prin integrale. Avem În mod similar, găsim Formulele finale pentru с„, с_п și с pot fi scrise astfel: . . Coeficienții с„ se numesc coeficienți Fourier complecși ai funcției Pentru o funcție periodică cu o perioadă), forma complexă a seriei Fourier va lua forma în care coeficienții Cn sunt calculați folosind formulele de convergență a seriei (3 ) și (4) se înțelege astfel: seriile (3) și (4) se numesc convergente pentru o valoare dată dacă există limite Exemplu. Extindeți funcția de perioadă într-o serie Fourier complexă Această funcție satisface condiții suficiente pentru extinderea într-o serie Fourier. Să găsim coeficienții Fourier complecși ai acestei funcții. Avem ca impar pentru n par sau, pe scurt. Înlocuind valorile), obținem în final. Notă că această serie poate fi scrisă și astfel: Serii Fourier pentru sistemele ortogonale generale de funcții 9.1. Sisteme ortogonale de funcții Să notăm prin mulțimea tuturor funcțiilor (reale) definite și integrabile pe intervalul [a, 6] cu un pătrat, adică acelea pentru care există o integrală, în special, toate funcțiile f(x) continue pe intervalul [a , 6], aparțin lui 6], iar valorile integralelor lor Lebesgue coincid cu valorile integralelor Riemann. Definiţie. Un sistem de funcții, unde, se numește ortogonal pe intervalul [a, b\, dacă Condiția (1) presupune, în special, că niciuna dintre funcții nu este identic zero. Integrala este înțeleasă în sensul Lebesgue. Totuși, în unele cazuri, de exemplu, când seria (4) converge uniform, toate funcțiile sunt continue și intervalul (a, 6) este finit, această operație este legală. Dar pentru noi acum este importantă interpretarea formală. Deci, să fie dată o funcție. Să formăm numerele c* după formula (5) și să scriem seria din partea dreaptă se numește seria Fourier a funcției f(x) față de sistemul (^n(i)). se numesc coeficienții Fourier ai funcției f(x) față de acest sistem. Semnul ~ din formula (6) înseamnă doar că numerele Cn sunt legate de funcția f(x) prin formula (5) (nu se presupune că seria din dreapta converge deloc, cu atât mai puțin converge către funcția f (x)). Prin urmare, se pune firesc întrebarea: care sunt proprietățile acestei serii? În ce sens „reprezintă” funcția f(x)? 9.3. Convergenţă în medie Definiţie. O secvență converge către elementul ] în medie dacă norma este în spațiul Teorema 6. Dacă o secvență ) converge uniform, atunci converge în medie. când Tn(x) este a 71-a sumă parțială a seriei Fourier a funcției /(x) asupra sistemului (. Fixând ak = sk, din (7) obținem Egalitatea (9) se numește identitatea Bessel. Deoarece stânga sa latura este nenegativă, atunci din aceasta rezultă inegalitatea Bessel Deoarece sunt aici în mod arbitrar, inegalitatea Bessel poate fi reprezentată într-o formă întărită, adică pentru orice funcție / o serie de coeficienți Fourier pătrați ai acestei funcții. sistem ortonormal) converge. Deoarece sistemul este ortonormal pe intervalul [-x, m], atunci inegalitatea (10) tradusă în notația uzuală a seriei Fourier trigonometrice dă relația do care este valabilă pentru orice funcție /(x) cu un pătrat integrabil. Dacă f2(x) este integrabil, atunci, datorită condiției necesare pentru convergența seriei din partea stângă a inegalității (11), obținem că. Egalitatea lui Parseval Pentru unele sisteme (^„(x)), semnul inegalității din formula (10) poate fi înlocuit (pentru toate funcțiile f(x) 6 ×) cu un semn egal. Egalitatea rezultată se numește egalitatea Parseval-Steklov (condiția de completitudine). Identitatea lui Bessel (9) ne permite să scriem condiția (12) într-o formă echivalentă. Astfel, îndeplinirea condiției de completitudine înseamnă că sumele parțiale Sn(x) ale seriei Fourier ale funcției /(x) converg către funcția. /(x) în medie, adică conform normei de spaţiu 6]. Definiţie. Un sistem ortonormal ( se numește complet în b2[аy b] dacă fiecare funcție poate fi aproximată cu orice precizie în medie printr-o combinație liniară a formei cu un număr suficient de mare de termeni, adică dacă pentru orice funcție /(x) ∈ b2 [a, b\ și pentru orice e > 0 există un număr natural nq și numere a\, a2y..., astfel încât Nu Din raționamentul de mai sus rezultă teorema 7 Dacă Prin ortonormalizarea sistemului ) este complet în spațiu, seria Fourier a oricărei funcții / pentru acest sistem converge în medie la f(x), adică, conform normei, se poate demonstra că sistemul trigonometric este complet implică afirmația. Teorema 8. Dacă o funcție /o seria sa trigonometrică Fourier converge către ea în medie. 9.5. Sisteme închise. Completitudinea si inchiderea sistemelor Definitie. Un sistem ortonormal de functii \ se numeste inchis daca in spatiul Li\a, b) nu exista o functie nenula ortogonala la toate functiile In spatiul L2\a, b\, conceptele de completitudine si inchidere ale sistemelor ortonormale coincid. Exerciții 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier în intervalul (-i-, x) 2. Extindeți funcția 3 într-o serie Fourier în intervalul (-tr, tr) 3. Extindeți funcția 4 într-o serie Fourier în intervalul (-tr, tr) în seria Fourier în intervalul (-jt, tr) funcția 5. Extindeți funcția f(x) = x + x într-o serie Fourier în intervalul (-t, t). 6. Extindeți funcția n într-o serie Fourier în intervalul (-jt, tr) 7. Extindeți funcția /(x) = sin2 x într-o serie Fourier în intervalul (-tr, x). 8. Extindeți funcția f(x) = y într-o serie Fourier în intervalul (-tr, jt) 9. Extindeți funcția f(x) = | sin x|. 10. Extindeți funcția f(x) = § într-o serie Fourier în intervalul (-π-, π). 11. Extindeți funcția f(x) = sin § într-o serie Fourier în intervalul (-tr, tr). 12. Extindeți funcția f(x) = n -2x, dată în intervalul (0, x), într-o serie Fourier, extinzând-o în intervalul (-x, 0): a) într-o manieră uniformă; b) într-un mod ciudat. 13. Extindeți funcția /(x) = x2, dată în intervalul (0, x), într-o serie Fourier în sinusuri. 14. Extindeți funcția /(x) = 3, dată în intervalul (-2,2), într-o serie Fourier. 15. Extindeți într-o serie Fourier funcția f(x) = |x|, dată în intervalul (-1,1). 16. Extindeți funcția f(x) = 2x, specificată în intervalul (0,1), într-o serie Fourier în sinusuri.

Seria Fourier– un mod de a reprezenta o funcție complexă ca o sumă a celor mai simple, cunoscute.
Sinus și cosinus sunt funcții periodice. Ele formează, de asemenea, o bază ortogonală. Această proprietate poate fi explicată prin analogie cu axele X X XŞi Y Y Y pe planul de coordonate. Așa cum putem descrie coordonatele unui punct în raport cu axe, putem descrie orice funcție în raport cu sinusurile și cosinusurile. Funcțiile trigonometrice sunt bine înțelese și ușor de utilizat în matematică.

Sinusurile și cosinusurile pot fi reprezentate sub forma următoarelor unde:

Cele albastre sunt cosinus, cele roșii sunt sinusuri. Astfel de unde sunt numite și armonice. Cosinusurile sunt pare, sinusurile sunt impare. Termenul de armonică provine din antichitate și este asociat cu observații despre relația tonurilor în muzică.

Ce este o serie Fourier

O astfel de serie, în care sunt utilizate cele mai simple funcții de sinus și cosinus, se numește trigonometrică. A fost numită în onoarea inventatorului său, Jean Baptiste Joseph Fourier, la sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea. care a demonstrat că orice funcţie poate fi reprezentată ca o combinaţie de astfel de armonici. Și cu cât luați mai multe dintre ele, cu atât această reprezentare va fi mai precisă. De exemplu, imaginea de mai jos: puteți observa că cu un număr mare de armonici, adică membrii seriei Fourier, graficul roșu devine mai aproape de cel albastru - funcția originală.

Aplicație practică în lumea modernă

Sunt necesare aceste rânduri chiar acum? Unde pot fi ele folosite practic și le folosește altcineva în afară de teoreticieni? Se dovedește că Fourier este faimos în întreaga lume deoarece beneficiile practice ale seriei sale sunt literalmente incalculabile. Ele sunt convenabile de utilizat acolo unde există vibrații sau unde: acustică, astronomie, inginerie radio etc. Cel mai simplu exemplu de utilizare: mecanismul de funcționare al unei camere sau camere video. Pentru a explica pe scurt, aceste dispozitive înregistrează nu doar imagini, ci și coeficienții seriei Fourier. Și funcționează peste tot - când vizionați imagini pe Internet, un film sau ascultați muzică. Datorită seriei Fourier, puteți citi acest articol de pe telefonul mobil. Fără transformarea Fourier, nu am avea suficientă lățime de bandă a conexiunii la Internet pentru a viziona pur și simplu un videoclip YouTube, chiar și la calitate standard.

Această diagramă prezintă o transformată Fourier bidimensională, care este utilizată pentru a descompune imaginea în armonici, adică componente de bază. În această diagramă, valoarea -1 este codată în negru, 1 în alb. În dreapta și în jos, frecvența crește.

Extinderea seriei Fourier

Probabil te-ai săturat deja să citești, așa că hai să trecem la formule.
Pentru o astfel de tehnică matematică precum extinderea funcțiilor într-o serie Fourier, va trebui să luați integrale. O mulțime de integrale. În general, seria Fourier este scrisă ca o sumă infinită:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (o n​ cos (n x ) +b n​ sin (n x ) )
Unde
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxo n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Dacă putem să numărăm cumva un număr infinit a n a_n o n​ Şi b n b_n b n​ (se numesc coeficienți de expansiune Fourier, A A O- aceasta este pur și simplu o constantă a acestei expansiuni), atunci seria rezultată va fi 100% identică cu funcția originală f(x) f(x) f(x) pe segmentul de la − π -\pi − π la π\pi π . Acest segment se datorează proprietăților de integrare ale sinusului și cosinusului. Cu atât mai mult n n n, pentru care calculăm coeficienții expansiunii în serie a funcției, cu atât această expansiune va fi mai precisă.

Exemplu

Să luăm o funcție simplă y = 5 x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0o 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ stil de afișare\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0o 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) păcat(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xpăcat(2 x) dx= − 5

Și așa mai departe. În cazul unei astfel de funcții, putem spune imediat că totul a n = 0 a_n=0on​ = 0 , coeficienți b n b_nbn​ va trebui să calculeze. Dacă luăm primii patru termeni ai expansiunii seriei Fourier pentru funcție y = 5 x y=5xy= 5 x, obținem:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{păcat}(x)-5\cdot \mathrm{păcat}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{păcat}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{păcat}(4\cdot x)$

Graficul funcției rezultate va arăta astfel:

Extinderea seriei Fourier rezultată se apropie de funcția noastră originală. Dacă luăm un număr mai mare de termeni ai seriei, de exemplu, 15, vom vedea următoarele:

Cu cât sunt mai mulți termeni de expansiune într-o serie, cu atât este mai mare acuratețea.
Dacă modificăm ușor scara graficului, putem observa o altă caracteristică a transformării: seria Fourier este o funcție periodică cu o perioadă. 2 π 2\pi2 π .

Astfel, putem reprezenta orice funcție care este continuă pe interval [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Toate acestea sunt necesare pentru a facilita analiza unor fenomene care sunt descrise prin funcții complexe. Nu este întotdeauna posibil să se calculeze derivata analitic (adică, folosind o formulă), dar în cazul unui set de sinusuri și cosinusuri, o astfel de problemă nu va apărea. Expansiunea seriei Fourier în sine arată că problemele pot fi adesea rezolvate analitic folosind modele simplificate, dintre care un exemplu este seria Fourier.