อนุกรมฟูริเยร์ ตัวอย่างการแก้ปัญหา อนุกรมฟูริเยร์ในตัวอย่างและปัญหา ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์

2. การหาค่าสัมประสิทธิ์อนุกรมโดยใช้สูตรฟูริเยร์

ปล่อยให้ฟังก์ชันคาบ ƒ(x) ด้วยคาบ 2π แสดงว่าอนุกรมตรีโกณมิติมาบรรจบกับฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา (-π, π) นั่นคือ คือผลรวมของอนุกรมนี้:

ให้เราสมมติว่าอินทิกรัลของฟังก์ชันทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับผลรวมของอินทิกรัลของเทอมของอนุกรมนี้ สิ่งนี้จะเป็นจริงหากเราสมมุติว่าอนุกรมตัวเลขที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของอนุกรมตรีโกณมิติที่กำหนดนั้นมาบรรจบกันอย่างแน่นอน กล่าวคือ อนุกรมจำนวนบวกมาบรรจบกัน

อนุกรม (1) สามารถแบ่งได้เป็นส่วนใหญ่และสามารถบูรณาการทีละเทอมในช่วงเวลา (-π, π) มารวมความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน (2):

ให้เราแยกกันประเมินอินทิกรัลแต่ละรายการที่ปรากฏทางด้านขวามือ:

,

,

ดังนั้น, , ที่ไหน

. (4)

การประมาณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ (บูโกรฟ)

ทฤษฎีบท 1 ปล่อยให้ฟังก์ชัน ƒ(x) ของคาบ 2π มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง ƒ (s) (x) ของลำดับ s ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันบนแกนจริงทั้งหมด:

│ ƒ (s) (x)│≤ M วินาที ; (5)

จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชัน ƒ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

การพิสูจน์. บูรณาการทีละส่วนและคำนึงถึงสิ่งนั้น

ƒ(-π) = ƒ(π) เรามี

การรวมทางด้านขวาของ (7) ตามลำดับโดยคำนึงถึงอนุพันธ์ของ ƒ ΄, …, ƒ (s-1) มีความต่อเนื่องและรับค่าเดียวกันที่จุด t = -π และ t = π เช่น เช่นเดียวกับค่าประมาณ (5) เราได้ค่าประมาณแรก ( 6)

การประมาณค่าที่สอง (6) ได้มาจากวิธีที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบท 2 สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ ƒ(x) จะถือว่าอสมการต่อไปนี้:

(8)

การพิสูจน์. เรามี

(9)

ขอแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในกรณีนี้และพิจารณาว่า ƒ(x) เป็นฟังก์ชันคาบ เราได้รับ

เมื่อบวก (9) และ (10) เราจะได้

เราดำเนินการพิสูจน์สำหรับ b k ในทำนองเดียวกัน

ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชัน ƒ(x) ต่อเนื่องกัน ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์มีแนวโน้มเป็นศูนย์: a k → 0, b k → 0, k → ∞

สเปซของฟังก์ชันกับผลคูณสเกลาร์

ฟังก์ชัน ƒ(x) เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นชิ้นๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานี้ ยกเว้นจุดที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดซึ่งมีความไม่ต่อเนื่องในรูปแบบแรก จุดดังกล่าวสามารถบวกและคูณด้วยจำนวนจริงได้ และด้วยเหตุนี้ จึงได้ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นชิ้นๆ บนเซกเมนต์อีกครั้ง

ผลคูณสเกลาร์ของสองชิ้นต่อเนื่องกันบน (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

แน่นอนว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องแบบเป็นชิ้นๆ ƒ, φ, ψ จะต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) และจากความเท่าเทียมกัน (ƒ , ƒ) = 0 ตามนั้น ƒ(x) =0 บน โดยไม่รวมบางทีอาจเป็นจำนวนจุด x ที่จำกัด;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ)

โดยที่ α, β เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราจะแสดงชุดของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบชิ้นเดียวทั้งหมดที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาที่มีการแนะนำผลคูณสเกลาร์ตามสูตร (11) และเรียกมันว่าช่องว่าง

หมายเหตุ 1.

ในทางคณิตศาสตร์ ปริภูมิ = (a, b) คือชุดของฟังก์ชัน ƒ(x) ที่สามารถปริพันธ์ได้ในความหมายแบบเลอเบสก์ร่วมกับกำลังสองของฟังก์ชัน ซึ่งใช้ผลคูณสเกลาร์ตามสูตร (11) พื้นที่ที่เป็นปัญหาก็เป็นส่วนหนึ่ง อวกาศมีคุณสมบัติหลายประการของอวกาศ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด

จากคุณสมบัติ 1), 2), 3) เป็นไปตามอสมการ Bunyakovsky ที่สำคัญ | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½ ซึ่งในภาษาอินทิกรัลมีลักษณะดังนี้:

ขนาด

เรียกว่าบรรทัดฐานของฟังก์ชัน f

บรรทัดฐานมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) || ฉ || ≥ 0 ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันสามารถทำได้เฉพาะกับฟังก์ชันศูนย์เท่านั้น f = 0 กล่าวคือ ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ ยกเว้นบางที สำหรับจำนวนจุดที่มีจำกัด

2) || ƒ + φ || || ƒ(x) || - φ ||;

3) || α ƒ || - α | - ƒ ||,

โดยที่ α เป็นจำนวนจริง

คุณสมบัติที่สองในภาษาปริพันธ์มีลักษณะดังนี้:

และเรียกว่าอสมการมินโคว์สกี้

พวกเขาบอกว่าลำดับของฟังก์ชัน ( f n ) เป็นของ การบรรจบกันของฟังก์ชันนั้นอยู่ในความหมายของกำลังสองเฉลี่ยบน (หรือในบรรทัดฐานด้วย) ถ้า

โปรดทราบว่าหากลำดับของฟังก์ชัน ƒ n (x) มาบรรจบกันกับฟังก์ชัน ƒ (x) บนเซ็กเมนต์อย่างสม่ำเสมอ ดังนั้นสำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ความแตกต่าง ƒ (x) - ƒ n (x) ในค่าสัมบูรณ์ควรมีขนาดเล็กสำหรับทุกคน x จากส่วน

ถ้า ƒ n (x) มีแนวโน้มที่จะเป็น ƒ (x) ในแง่ของกำลังสองเฉลี่ยในช่วงเวลา ดังนั้นความแตกต่างที่ระบุอาจไม่เล็กสำหรับ n ขนาดใหญ่ทุกที่บน ในบางตำแหน่งของเซ็กเมนต์ความแตกต่างนี้อาจมาก แต่สิ่งสำคัญเพียงอย่างเดียวคืออินทิกรัลของกำลังสองส่วนนี้มีขนาดเล็กสำหรับ n ขนาดใหญ่

ตัวอย่าง. ปล่อยให้ฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเรียงเป็นชิ้นต่อเนื่อง ƒ n (x) (n = 1, 2,...) ดังแสดงในรูป และ

(Bugrov, หน้า 281, รูปที่ 120)

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n

และด้วยเหตุนี้ ลำดับฟังก์ชันนี้ แม้ว่าจะลู่เข้าหากันเป็นศูนย์เป็น n → ∞ แต่ก็ไม่ได้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ ขณะเดียวกัน

นั่นคือ ลำดับของฟังก์ชัน (f n (x)) มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ในแง่ของค่าเฉลี่ยกำลังสองบน

จากองค์ประกอบของลำดับฟังก์ชันบางอย่าง ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,... (เป็นของ ) เราสร้างอนุกรม

1 + 2 + 3 +… (12)

ผลรวมของเทอม n แรก

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

มีฟังก์ชันที่เป็นของ . ถ้ามันเกิดขึ้นว่ามีฟังก์ชัน ƒ เช่นนั้นอยู่

- ƒ- σ n || → 0 (n → ∞)

จากนั้นพวกเขาบอกว่าอนุกรม (12) มาบรรจบกับฟังก์ชัน ƒ ในความหมายกำลังสองเฉลี่ยแล้วเขียน

f = f 1 + f 2 + f 3 +...

หมายเหตุ 2

เราสามารถพิจารณาสเปซ = (a, b) ของฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อน ƒ(x) = ƒ 1 (x) + i 2 (x) โดยที่ ƒ 1 (x) และ ƒ 2 (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบทีละชิ้นจริง . ในพื้นที่นี้ ฟังก์ชันจะคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนและผลคูณสเกลาร์ของฟังก์ชัน ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) และ φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

และบรรทัดฐาน ƒ ถูกกำหนดให้เป็นค่า

อนุกรมฟูริเยร์เป็นตัวแทนของฟังก์ชันใดๆ ที่มีคาบเฉพาะในรูปอนุกรม โดยทั่วไป สารละลายนี้เรียกว่าการสลายตัวขององค์ประกอบตามแนวตั้งฉาก การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมฟูริเยร์เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังพอสมควรในการแก้ปัญหาต่างๆ เนื่องจากคุณสมบัติของการแปลงนี้ในระหว่างการอินทิเกรต การสร้างความแตกต่าง ตลอดจนการเปลี่ยนนิพจน์ด้วยการโต้แย้งและการบิด

ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงรวมถึงผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสฟูริเยร์มักจะไม่เข้าใจว่า "ซีรีส์" เหล่านี้คืออะไรและจำเป็นสำหรับอะไร ในขณะเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงนี้ได้กลายมาเป็นส่วนหนึ่งในชีวิตของเรา มันถูกใช้ไม่เพียงแต่โดยนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้โดยนักฟิสิกส์ นักเคมี แพทย์ นักดาราศาสตร์ นักแผ่นดินไหววิทยา นักสมุทรศาสตร์ และอื่นๆ อีกมากมาย เรามาดูผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ผู้ค้นพบสิ่งที่ล้ำหน้าไปมากกว่านี้กันดีกว่า

มนุษย์และการแปลงฟูริเยร์

อนุกรมฟูริเยร์เป็นวิธีหนึ่ง (พร้อมกับการวิเคราะห์และอื่น ๆ ) กระบวนการนี้เกิดขึ้นทุกครั้งที่มีคนได้ยินเสียง หูของเราจะแปลงอนุภาคมูลฐานในตัวกลางที่ยืดหยุ่นให้เป็นแถว (ตามสเปกตรัม) ของระดับเสียงที่ต่อเนื่องกันโดยอัตโนมัติสำหรับโทนเสียงที่มีความสูงต่างกัน ต่อไป สมองจะเปลี่ยนข้อมูลนี้เป็นเสียงที่เราคุ้นเคย ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นนอกเหนือจากความปรารถนาหรือจิตสำนึกของเราเอง แต่เพื่อที่จะเข้าใจกระบวนการเหล่านี้ จะต้องใช้เวลาหลายปีในการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับสูง

เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์สามารถทำได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ ตัวเลข และวิธีการอื่นๆ อนุกรมฟูเรียร์หมายถึงวิธีการเชิงตัวเลขในการสลายกระบวนการออสซิลเลชันใดๆ ตั้งแต่กระแสน้ำในมหาสมุทรและคลื่นแสง ไปจนถึงวัฏจักรของกิจกรรมสุริยะ (และวัตถุทางดาราศาสตร์อื่นๆ) การใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ทำให้คุณสามารถวิเคราะห์ฟังก์ชันต่างๆ ซึ่งแสดงถึงกระบวนการออสซิลเลชันใดๆ ที่เป็นชุดของส่วนประกอบไซน์ซอยด์ที่ย้ายจากต่ำสุดไปสูงสุดและย้อนกลับ การแปลงฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันที่อธิบายเฟสและแอมพลิจูดของไซนัสอยด์ที่สอดคล้องกับความถี่เฉพาะ กระบวนการนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการที่ซับซ้อนมากซึ่งอธิบายกระบวนการไดนามิกที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของพลังงานความร้อน แสง หรือไฟฟ้า นอกจากนี้ อนุกรมฟูริเยร์ยังทำให้สามารถแยกส่วนประกอบคงที่ในสัญญาณการสั่นที่ซับซ้อนได้ ทำให้สามารถตีความการสังเกตการทดลองที่ได้รับในทางการแพทย์ เคมี และดาราศาสตร์ได้อย่างถูกต้อง

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

บิดาผู้ก่อตั้งทฤษฎีนี้คือ Jean Baptiste Joseph Fourier นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส การเปลี่ยนแปลงนี้ได้รับการตั้งชื่อตามเขาในเวลาต่อมา ในขั้นต้น นักวิทยาศาสตร์ใช้วิธีการของเขาในการศึกษาและอธิบายกลไกของการนำความร้อน - การแพร่กระจายของความร้อนในของแข็ง ฟูริเยร์แนะนำว่าการกระจายแบบไม่ปกติเริ่มแรกสามารถแบ่งออกเป็นไซนูซอยด์อย่างง่าย ซึ่งแต่ละอันจะมีอุณหภูมิต่ำสุดและสูงสุดของตัวเอง รวมทั้งมีเฟสของตัวเองด้วย ในกรณีนี้ แต่ละส่วนประกอบดังกล่าวจะถูกวัดจากต่ำสุดไปสูงสุดและย้อนกลับ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายจุดสูงสุดบนและล่างของเส้นโค้ง รวมถึงเฟสของฮาร์โมนิคแต่ละตัว เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ของนิพจน์การกระจายอุณหภูมิ ผู้เขียนทฤษฎีได้ลดฟังก์ชันการแจกแจงทั่วไปซึ่งยากต่อการอธิบายทางคณิตศาสตร์ ให้เป็นอนุกรมของโคไซน์และไซน์ที่สะดวกมาก ซึ่งรวมกันแล้วทำให้เกิดการแจกแจงดั้งเดิม

หลักการเปลี่ยนแปลงและมุมมองของคนรุ่นเดียวกัน

ผู้ร่วมสมัยของนักวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของต้นศตวรรษที่ 19 ไม่ยอมรับทฤษฎีนี้ ข้อโต้แย้งหลักคือการยืนยันของฟูริเยร์ว่าฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งอธิบายเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่ไม่ต่อเนื่อง สามารถแสดงเป็นผลรวมของนิพจน์ไซนูซอยด์ที่ต่อเนื่องกัน เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาขั้นตอนของเฮวิไซด์: ค่าของมันคือศูนย์ทางด้านซ้ายของความไม่ต่อเนื่องและอีกค่าหนึ่งทางด้านขวา ฟังก์ชันนี้อธิบายการขึ้นต่อกันของกระแสไฟฟ้ากับตัวแปรชั่วคราวเมื่อปิดวงจร ผู้ร่วมสมัยของทฤษฎีในเวลานั้นไม่เคยพบกับสถานการณ์ที่คล้ายกันซึ่งการแสดงออกที่ไม่ต่อเนื่องจะถูกอธิบายโดยการรวมกันของฟังก์ชันธรรมดาที่ต่อเนื่องกัน เช่น เอ็กซ์โปเนนเชียล ไซน์ เชิงเส้น หรือกำลังสอง

อะไรทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสับสนเกี่ยวกับทฤษฎีฟูริเยร์?

ท้ายที่สุด หากนักคณิตศาสตร์พูดถูกในประโยคของเขา เมื่อรวมอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติอนันต์ เราจะสามารถแสดงนิพจน์ขั้นตอนได้อย่างแม่นยำ แม้ว่าจะมีขั้นตอนที่คล้ายกันหลายขั้นตอนก็ตาม ในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 ข้อความดังกล่าวดูเหมือนไร้สาระ แม้จะมีข้อสงสัยทั้งหมด นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ขยายขอบเขตการศึกษาปรากฏการณ์นี้ โดยนอกเหนือไปจากการศึกษาการนำความร้อน อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ยังคงรู้สึกทรมานกับคำถามที่ว่า “ผลรวมของอนุกรมไซน์ซอยด์สามารถมาบรรจบกันเป็นค่าที่แน่นอนของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องได้หรือไม่”

การบรรจบกันของอนุกรมฟูริเยร์: ตัวอย่าง

คำถามของการลู่เข้าเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องรวมชุดตัวเลขอนันต์ เพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์นี้ ลองพิจารณาตัวอย่างคลาสสิก คุณจะสามารถเข้าถึงกำแพงได้หรือไม่ ถ้าแต่ละขั้นตอนต่อมามีขนาดครึ่งหนึ่งของขั้นตอนก่อนหน้า? สมมติว่าคุณอยู่ห่างจากเป้าหมาย 2 เมตร ก้าวแรกจะพาคุณไปถึงจุดครึ่งทาง ก้าวต่อไปจะพาคุณไปยังจุดสามในสี่ และหลังจากก้าวที่ห้า คุณจะเดินทางได้เกือบ 97 เปอร์เซ็นต์ของทาง อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าคุณจะก้าวไปกี่ก้าว คุณจะไม่บรรลุเป้าหมายที่ตั้งใจไว้ในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด การใช้การคำนวณเชิงตัวเลขสามารถพิสูจน์ได้ว่าในที่สุดแล้วก็สามารถเข้าใกล้ได้มากเท่ากับระยะทางที่กำหนด การพิสูจน์นี้เทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่าผลรวมของครึ่งหนึ่ง หนึ่งในสี่ ฯลฯ มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ

คำถามของการบรรจบกัน: การมาครั้งที่สอง หรือเครื่องดนตรีของลอร์ดเคลวิน

ปัญหานี้ถูกหยิบยกขึ้นมาอีกครั้งในปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อพวกเขาพยายามใช้อนุกรมฟูริเยร์เพื่อทำนายความรุนแรงของกระแสน้ำ ในเวลานี้ ลอร์ดเคลวินได้ประดิษฐ์เครื่องมือซึ่งเป็นอุปกรณ์คอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อกที่ช่วยให้ทหารเรือและทหารเรือพาณิชย์สามารถติดตามปรากฏการณ์ทางธรรมชาตินี้ได้ กลไกนี้กำหนดชุดของระยะและแอมพลิจูดจากตารางความสูงของน้ำขึ้นน้ำลงและจุดเวลาที่สอดคล้องกัน โดยทำการวัดอย่างรอบคอบในท่าเรือที่กำหนดตลอดทั้งปี พารามิเตอร์แต่ละตัวเป็นองค์ประกอบไซน์ซอยด์ของการแสดงออกของความสูงของระดับน้ำและเป็นหนึ่งในองค์ประกอบปกติ การวัดถูกป้อนเข้าไปในเครื่องมือคำนวณของลอร์ด เคลวิน ซึ่งสังเคราะห์เส้นโค้งที่ทำนายความสูงของน้ำตามเวลาในปีถัดไป ในไม่ช้าก็มีการวาดเส้นโค้งที่คล้ายกันนี้ขึ้นสำหรับท่าเรือทั้งหมดของโลก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ากระบวนการถูกรบกวนโดยฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง?

ในเวลานั้น ดูเหมือนชัดเจนว่าเครื่องทำนายคลื่นยักษ์ที่มีองค์ประกอบการนับจำนวนมากสามารถคำนวณเฟสและแอมพลิจูดได้จำนวนมาก จึงให้การทำนายที่แม่นยำยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่ารูปแบบนี้ไม่ได้รับการสังเกตในกรณีที่การแสดงออกของกระแสน้ำที่ควรสังเคราะห์มีการกระโดดอย่างรวดเร็ว กล่าวคือ มันไม่ต่อเนื่องกัน หากมีการป้อนข้อมูลจากตารางเวลาช่วงเวลาลงในอุปกรณ์ อุปกรณ์จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์หลายค่า ฟังก์ชั่นดั้งเดิมได้รับการฟื้นฟูด้วยส่วนประกอบไซน์ซอยด์ (ตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ) ความคลาดเคลื่อนระหว่างนิพจน์ดั้งเดิมและนิพจน์ที่สร้างขึ้นใหม่สามารถวัดได้ทุกจุด เมื่อทำการคำนวณและการเปรียบเทียบซ้ำๆ จะเห็นได้ชัดว่าค่าของข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดไม่ลดลง อย่างไรก็ตาม มีการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นในภูมิภาคที่สอดคล้องกับจุดไม่ต่อเนื่อง และที่จุดอื่นๆ มีแนวโน้มจะเป็นศูนย์ ในปี พ.ศ. 2442 ผลลัพธ์นี้ได้รับการยืนยันทางทฤษฎีโดย Joshua Willard Gibbs จากมหาวิทยาลัยเยล

การบรรจบกันของอนุกรมฟูริเยร์กับการพัฒนาคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

การวิเคราะห์ฟูริเยร์ไม่สามารถใช้ได้กับนิพจน์ที่มีจำนวนเดือยที่ไม่จำกัดในช่วงเวลาหนึ่ง โดยทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์ หากฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงด้วยผลลัพธ์ของการวัดทางกายภาพจริง ก็จะมาบรรจบกันเสมอ คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของกระบวนการนี้สำหรับคลาสฟังก์ชันเฉพาะนำไปสู่การเกิดขึ้นของสาขาใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไป เธอมีความเกี่ยวข้องกับชื่อเช่น L. Schwartz, J. Mikusinski และ J. Temple ภายในกรอบของทฤษฎีนี้ มีการสร้างพื้นฐานทางทฤษฎีที่ชัดเจนและแม่นยำสำหรับนิพจน์ต่างๆ เช่น ฟังก์ชันเดลต้าดิแรก (ซึ่งอธิบายบริเวณของพื้นที่เดียวที่กระจุกตัวอยู่ในบริเวณใกล้เคียงที่เล็กที่สุดของจุดหนึ่ง) และ "ขั้น" ของเฮวิไซด์ ต้องขอบคุณงานนี้ อนุกรมฟูริเยร์จึงสามารถนำไปใช้ในการแก้สมการและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดตามสัญชาตญาณ ได้แก่ ประจุจุด มวลจุด ไดโพลแม่เหล็ก และภาระที่เข้มข้นบนลำแสง

วิธีฟูริเยร์

อนุกรมฟูริเยร์ตามหลักการแทรกแซง เริ่มต้นด้วยการสลายตัวของรูปแบบที่ซับซ้อนให้กลายเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า ตัวอย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงของการไหลของความร้อนอธิบายโดยการเดินผ่านสิ่งกีดขวางต่าง ๆ ที่ทำจากวัสดุฉนวนความร้อนที่มีรูปร่างผิดปกติหรือการเปลี่ยนแปลงของพื้นผิวโลก - แผ่นดินไหว, การเปลี่ยนแปลงในวงโคจรของเทห์ฟากฟ้า - อิทธิพล ของดาวเคราะห์ ตามกฎแล้ว สมการดังกล่าวที่อธิบายระบบคลาสสิกอย่างง่ายสามารถแก้ได้อย่างง่ายดายสำหรับแต่ละคลื่น ฟูริเยร์แสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ สามารถนำมารวมกันเพื่อสร้างวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ในแง่คณิตศาสตร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นเทคนิคในการแสดงนิพจน์เป็นผลรวมของฮาร์โมนิก - โคไซน์และไซน์ ดังนั้นการวิเคราะห์นี้จึงเรียกอีกอย่างว่า “การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก”

ซีรีส์ฟูริเยร์ - เทคนิคในอุดมคติก่อน "ยุคคอมพิวเตอร์"

ก่อนการสร้างเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เทคนิคฟูริเยร์เป็นอาวุธที่ดีที่สุดในคลังแสงของนักวิทยาศาสตร์เมื่อทำงานกับธรรมชาติของคลื่นในโลกของเรา อนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนทำให้สามารถแก้ปัญหาไม่เพียงแต่ปัญหาง่ายๆ ที่สามารถประยุกต์โดยตรงกับกฎกลศาสตร์ของนิวตัน แต่ยังรวมถึงสมการพื้นฐานด้วย การค้นพบวิทยาศาสตร์ของนิวตันส่วนใหญ่ในศตวรรษที่ 19 เกิดขึ้นได้ด้วยเทคนิคของฟูริเยร์เท่านั้น

ซีรีย์ฟูริเยร์วันนี้

ด้วยการพัฒนาคอมพิวเตอร์ การแปลงฟูริเยร์ได้เพิ่มขึ้นสู่ระดับใหม่ในเชิงคุณภาพ เทคนิคนี้เป็นที่ยอมรับอย่างมั่นคงในเกือบทุกสาขาของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตัวอย่างคือเสียงและวิดีโอดิจิทัล การนำไปปฏิบัติเป็นไปได้ก็ต้องขอบคุณทฤษฎีที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 ดังนั้นอนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อนทำให้สามารถพัฒนาการศึกษาอวกาศรอบนอกได้ นอกจากนี้ยังมีอิทธิพลต่อการศึกษาฟิสิกส์ของวัสดุเซมิคอนดักเตอร์และพลาสมา เสียงไมโครเวฟ สมุทรศาสตร์ เรดาร์ และวิทยาแผ่นดินไหว

อนุกรมตรีโกณมิติฟูริเยร์

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมฟูริเยร์เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามอำเภอใจโดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่ง่ายกว่า ในกรณีทั่วไป จำนวนนิพจน์ดังกล่าวสามารถมีได้ไม่จำกัด ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งคำนึงถึงจำนวนของพวกเขาในการคำนวณมากเท่าใด ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์หรือไซน์ถูกใช้เป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ อนุกรมฟูริเยร์เรียกว่าตรีโกณมิติ และการแก้นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าการขยายตัวแบบฮาร์มอนิก วิธีนี้มีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ประการแรก ซีรีส์ตรีโกณมิติเป็นวิธีการอธิบายและศึกษาฟังก์ชัน มันเป็นเครื่องมือหลักของทฤษฎี นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณแก้ปัญหาต่าง ๆ ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ได้ ในที่สุด ทฤษฎีนี้มีส่วนช่วยในการพัฒนาสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่สำคัญมากหลายสาขา (ทฤษฎีปริพันธ์ ทฤษฎีฟังก์ชันคาบ) นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการพัฒนาฟังก์ชันต่อไปนี้ของตัวแปรจริง และยังวางรากฐานสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกอีกด้วย

ซึ่งมันค่อนข้างน่าเบื่ออยู่แล้ว และฉันรู้สึกว่าถึงเวลาแล้วที่จะดึงสินค้ากระป๋องใหม่ออกจากคลังทางยุทธศาสตร์ เป็นไปได้ไหมที่จะขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมด้วยวิธีอื่น? ตัวอย่างเช่น แสดงส่วนของเส้นตรงในรูปของไซน์และโคไซน์? ดูเหมือนเหลือเชื่อ แต่ฟังก์ชันที่ดูเหมือนห่างไกลเช่นนั้นสามารถเกิดขึ้นได้
"การรวมตัวใหม่" นอกเหนือจากระดับที่คุ้นเคยในทางทฤษฎีและการปฏิบัติแล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ ในการขยายฟังก์ชันเป็นชุดข้อมูล

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับอนุกรมตรีโกณมิติฟูริเยร์ พูดถึงปัญหาของการลู่เข้าและผลรวมของมัน และแน่นอนว่า เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างมากมายของการขยายฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์ ฉันอยากจะเรียกบทความว่า "Fourier Series for Dummies" อย่างจริงใจ แต่สิ่งนี้จะไม่ตรงไปตรงมา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะต้องอาศัยความรู้ในสาขาอื่นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และประสบการณ์เชิงปฏิบัติ ดังนั้นคำนำจะคล้ายกับการฝึกนักบินอวกาศ =)

ประการแรก คุณควรศึกษาเนื้อหาของหน้าในรูปแบบที่ดีเยี่ยม ง่วงนอนพักผ่อนและมีสติ ปราศจากอารมณ์รุนแรงเกี่ยวกับอุ้งเท้าของหนูแฮมสเตอร์ที่หักและความคิดครอบงำเกี่ยวกับความยากลำบากของชีวิตสำหรับตู้ปลา ซีรีส์ฟูริเยร์นั้นเข้าใจได้ไม่ยาก แต่งานภาคปฏิบัติเพียงต้องการความสนใจเพิ่มขึ้น - ตามหลักการแล้วคุณควรแยกตัวเองออกจากสิ่งเร้าภายนอกโดยสิ้นเชิง สถานการณ์เลวร้ายลงเนื่องจากไม่มีวิธีง่ายๆ ในการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาและคำตอบ ดังนั้นหากสุขภาพของคุณต่ำกว่าค่าเฉลี่ยก็ควรทำอะไรที่ง่ายกว่านี้ดีกว่า จริงหรือเปล่า.

ประการที่สอง ก่อนที่จะบินสู่อวกาศ จำเป็นต้องศึกษาแผงหน้าปัดของยานอวกาศก่อน เริ่มจากค่าของฟังก์ชันที่ควรคลิกบนเครื่องกันก่อน:

สำหรับคุณค่าทางธรรมชาติใดๆ:

1) . อันที่จริงไซนัสอยด์ "เย็บ" แกน x ผ่าน "pi" แต่ละตัว:
- ในกรณีของค่าลบของการโต้แย้ง แน่นอนว่าผลลัพธ์จะเหมือนกัน: .

2) . แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้เรื่องนี้ โคไซน์ "pi" เทียบเท่ากับ "ไฟกระพริบ":

อาร์กิวเมนต์เชิงลบไม่เปลี่ยนเรื่อง: .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว

และประการที่สาม เหล่านักบินอวกาศที่รัก คุณต้องสามารถ... บูรณาการ.
โดยเฉพาะอย่างมั่นใจ แทนฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล, บูรณาการทีละน้อยและอยู่อย่างสันติด้วย สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ- มาเริ่มแบบฝึกหัดสำคัญก่อนการบินกันดีกว่า ฉันไม่แนะนำให้ข้ามมันอย่างเด็ดขาดเพื่อไม่ให้น้ำหนักลดลงในภายหลัง:

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน

จะเอาคุณค่าทางธรรมชาติไปที่ไหน

สารละลาย: การบูรณาการจะดำเนินการกับตัวแปร “x” และในขั้นตอนนี้ ตัวแปรแยก “en” ถือเป็นค่าคงที่ ในปริพันธ์ทั้งหมด วางฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล:

เวอร์ชันสั้นๆ ของโซลูชันที่เหมาะกับการกำหนดเป้าหมายมีลักษณะดังนี้:

มาทำความคุ้นเคยกันเถอะ:

สี่คะแนนที่เหลือเป็นของคุณเอง พยายามเข้าหางานอย่างมีสติและเขียนอินทิกรัลให้สั้นลง ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน

หลังจากทำแบบฝึกหัดคุณภาพแล้ว เราก็สวมชุดอวกาศ
และเตรียมพร้อมที่จะเริ่มต้น!

การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา

พิจารณาฟังก์ชันบางอย่างนั้น มุ่งมั่นอย่างน้อยก็ช่วงระยะเวลาหนึ่ง (และอาจเป็นระยะเวลานานกว่านั้น) ถ้าฟังก์ชันนี้สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลา ก็สามารถขยายเป็นตรีโกณมิติได้ อนุกรมฟูริเยร์:
ที่เรียกว่าอยู่ที่ไหน สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์.

ในกรณีนี้จะมีการเรียกหมายเลขดังกล่าว ระยะเวลาการสลายตัวและหมายเลขนั้นก็คือ ครึ่งชีวิตของการสลายตัว.

เห็นได้ชัดว่าในกรณีทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์:

อันที่จริงเรามาเขียนรายละเอียดกัน:

เทอมที่เป็นศูนย์ของอนุกรมมักจะเขียนอยู่ในรูปแบบ

ค่าสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ฉันเข้าใจดีว่าผู้ที่เริ่มศึกษาหัวข้อนี้ยังไม่ชัดเจนเกี่ยวกับข้อกำหนดใหม่: ระยะเวลาการสลายตัว, ครึ่งรอบ, สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์เป็นต้น อย่าตกใจไป เทียบไม่ได้กับความตื่นเต้นก่อนออกสู่อวกาศ มาทำความเข้าใจทุกอย่างในตัวอย่างต่อไปนี้ ก่อนที่จะดำเนินการ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ควรถามคำถามเชิงปฏิบัติแบบเร่งด่วน:

คุณต้องทำอะไรในงานต่อไปนี้?

ขยายฟังก์ชันออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์ นอกจากนี้ มักจำเป็นต้องพรรณนากราฟของฟังก์ชัน กราฟของผลรวมของอนุกรม ผลรวมบางส่วน และในกรณีของจินตนาการอันซับซ้อนของศาสตราจารย์ ให้ทำอย่างอื่น

จะขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้อย่างไร?

โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องค้นหา สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์นั่นคือเขียนและคำนวณสาม อินทิกรัลที่แน่นอน.

โปรดคัดลอกรูปแบบทั่วไปของชุดฟูริเยร์และสูตรการทำงานทั้งสามสูตรลงในสมุดบันทึกของคุณ ฉันดีใจมากที่ผู้เยี่ยมชมไซต์บางคนได้ตระหนักถึงความฝันในวัยเด็กในการเป็นนักบินอวกาศต่อหน้าต่อตาฉัน =)

ตัวอย่างที่ 2

ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตามช่วงเวลา สร้างกราฟ กราฟผลรวมของอนุกรม และผลรวมบางส่วน

สารละลาย: ส่วนแรกของงานคือการขยายฟังก์ชันให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์

จุดเริ่มต้นเป็นมาตรฐาน อย่าลืมจดไว้ว่า:

ในปัญหานี้ ระยะเวลาการขยายคือครึ่งงวด

ให้เราขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ตามช่วงเวลา:

เราพบโดยใช้สูตรที่เหมาะสม สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์- ตอนนี้เราต้องเขียนและคำนวณสามรายการ อินทิกรัลที่แน่นอน- เพื่อความสะดวกฉันจะนับคะแนน:

1) อินทิกรัลแรกนั้นง่ายที่สุด แต่ต้องใช้ลูกตาด้วย:

2) ใช้สูตรที่สอง:

อินทิกรัลนี้เป็นที่รู้จักกันดีและ เขารับมันทีละชิ้น:

ใช้เมื่อพบ วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล.

ในงานที่พิจารณาจะสะดวกกว่าในการใช้งานทันที สูตรสำหรับการอินทิกรัลตามส่วนต่างๆ ในอินทิกรัลจำกัดเขต :

บันทึกทางเทคนิคสองสามข้อ ประการแรกหลังจากใช้สูตรแล้ว นิพจน์ทั้งหมดจะต้องอยู่ในวงเล็บขนาดใหญ่เนื่องจากมีค่าคงที่อยู่ก่อนอินทิกรัลดั้งเดิม เราจะไม่สูญเสียเธอ- วงเล็บสามารถขยายได้ในขั้นตอนต่อไป ฉันทำเช่นนี้เป็นทางเลือกสุดท้าย ใน "ชิ้นแรก" เราแสดงความระมัดระวังอย่างยิ่งในการทดแทน อย่างที่คุณเห็น ไม่ได้ใช้ค่าคงที่ และขีดจำกัดของการบูรณาการจะถูกแทนที่ในผลิตภัณฑ์ การดำเนินการนี้ถูกเน้นไว้ในวงเล็บเหลี่ยม คุณคุ้นเคยกับอินทิกรัลของ "ชิ้นส่วน" ที่สองของสูตรจากงานฝึกอบรมแล้ว ;-)

และที่สำคัญที่สุด - มีสมาธิอย่างมาก!

3) เรากำลังมองหาสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ตัวที่สาม:

ได้รับญาติของอินทิกรัลก่อนหน้าซึ่งก็คือเช่นกัน บูรณาการทีละน้อย:

อินสแตนซ์นี้ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ฉันจะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับขั้นตอนเพิ่มเติมทีละขั้นตอน:

(1) นิพจน์จะอยู่ในวงเล็บขนาดใหญ่โดยสมบูรณ์- ฉันไม่ต้องการที่จะดูน่าเบื่อ พวกเขาเสียค่าคงที่บ่อยเกินไป

(2) ในกรณีนี้ ฉันเปิดวงเล็บขนาดใหญ่เหล่านี้ทันที เอาใจใส่เป็นพิเศษเราอุทิศตนเองให้กับ "ชิ้นส่วน" ชิ้นแรก: การสูบบุหรี่ข้างสนามอย่างต่อเนื่อง และไม่มีส่วนร่วมในการทดแทนขีดจำกัดของการบูรณาการ ( และ ) เข้ากับผลิตภัณฑ์ เนื่องจากความยุ่งเหยิงของบันทึก ขอแนะนำให้เน้นการกระทำนี้ด้วยวงเล็บเหลี่ยมอีกครั้ง กับ "ชิ้น" ชิ้นที่สอง ทุกอย่างง่ายกว่า: ที่นี่เศษส่วนปรากฏขึ้นหลังจากเปิดวงเล็บขนาดใหญ่และค่าคงที่ - อันเป็นผลมาจากการรวมอินทิกรัลที่คุ้นเคย ;-)

(3) ในวงเล็บเหลี่ยม เราทำการแปลง และในอินทิกรัลด้านขวา - การแทนที่ขีดจำกัดการรวม

(4) เราลบ “ไฟกระพริบ” ออกจากวงเล็บเหลี่ยม: แล้วเปิดวงเล็บด้านใน: .

(5) เรายกเลิก 1 และ –1 ในวงเล็บ และดำเนินการลดรูปขั้นสุดท้าย

ในที่สุดก็จะพบค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ทั้งสามค่า:

ลองแทนที่พวกมันลงในสูตรกัน :

ขณะเดียวกันก็อย่าลืมแบ่งครึ่งด้วย ในขั้นตอนสุดท้าย ค่าคงที่ (“ลบสอง”) ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับ “en” จะถูกนำออกไปนอกผลรวม

ดังนั้นเราจึงได้รับการขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา:

ให้เราศึกษาประเด็นการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ ผมจะอธิบายทฤษฎีโดยเฉพาะ ทฤษฎีบทของดิริชเลต์แปลตรงตัวว่า "บนนิ้ว" ดังนั้นหากคุณต้องการสูตรที่เข้มงวด โปรดดูตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (เช่นเล่มที่ 2 ของ Bohan หรือเล่มที่ 3 ของ Fichtenholtz แต่ยากกว่า).

ส่วนที่สองของปัญหาต้องมีการวาดกราฟ กราฟผลรวมของอนุกรม และกราฟผลรวมบางส่วน

กราฟของฟังก์ชันเป็นแบบปกติ เส้นตรงบนเครื่องบินซึ่งวาดด้วยเส้นประสีดำ:

ลองหาผลรวมของอนุกรมนี้กัน ดังที่คุณทราบ อนุกรมฟังก์ชันมาบรรจบกันเป็นฟังก์ชัน ในกรณีของเรา อนุกรมฟูริเยร์ที่สร้างขึ้น สำหรับค่าใด ๆ ของ "x"จะมาบรรจบกันที่ฟังก์ชันซึ่งจะแสดงเป็นสีแดง ฟังก์ชั่นนี้ทนได้ การแตกร้าวประเภทที่ 1ที่จุดต่างๆ แต่ยังถูกกำหนดไว้ที่จุดนั้นด้วย (จุดสีแดงในรูปวาด)

ดังนั้น: - เห็นได้ง่ายว่ามันแตกต่างไปจากฟังก์ชั่นเดิมอย่างเห็นได้ชัดซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมในรายการ ใช้เครื่องหมายตัวหนอนแทนเครื่องหมายเท่ากับ

เรามาศึกษาอัลกอริทึมที่สะดวกในการสร้างผลรวมของอนุกรมกัน

ในช่วงตรงกลาง อนุกรมฟูเรียร์มาบรรจบกันที่ฟังก์ชันนั้นเอง (ส่วนสีแดงตรงกลางเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นประสีดำของฟังก์ชันเชิงเส้น)

ตอนนี้เรามาพูดถึงธรรมชาติของการขยายตรีโกณมิติที่กำลังพิจารณากันสักหน่อย อนุกรมฟูริเยร์ รวมเฉพาะฟังก์ชันคาบ (ค่าคงที่ ไซน์ และโคไซน์) เท่านั้น ดังนั้นผลรวมของอนุกรม ยังเป็นฟังก์ชันคาบอีกด้วย.

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรในตัวอย่างเฉพาะของเรา และนี่ก็หมายความว่าผลรวมของอนุกรม –เป็นระยะอย่างแน่นอนและส่วนสีแดงของช่วงเวลาจะต้องทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทางซ้ายและขวา

ฉันคิดว่าความหมายของวลี "ช่วงเวลาแห่งการสลายตัว" ในที่สุดก็ชัดเจนแล้ว พูดง่ายๆ ก็คือทุกครั้งที่สถานการณ์เกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีก

ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้ว การแสดงช่วงเวลาการสลายตัวสามช่วงก็เพียงพอแล้ว ดังที่วาดไว้ในภาพวาด แล้วก็ "ตอไม้" ของช่วงเวลาใกล้เคียงด้วย - เพื่อให้ชัดเจนว่ากราฟยังคงดำเนินต่อไป

ที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ จุดไม่ต่อเนื่องประเภทที่ 1- ณ จุดดังกล่าว อนุกรมฟูริเยร์มาบรรจบกันเป็นค่าที่แยกได้ ซึ่งอยู่ตรงกลางของ "การกระโดด" ของความไม่ต่อเนื่อง (จุดสีแดงในภาพวาด) จะหาพิกัดของจุดเหล่านี้ได้อย่างไร? ขั้นแรก เรามาค้นหาพิกัดของ "ชั้นบน" กัน: ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดขวาสุดของคาบกลางของการขยาย: ในการคำนวณพิกัดของ "ชั้นล่าง" วิธีที่ง่ายที่สุดคือหาค่าซ้ายสุดในช่วงเวลาเดียวกัน: - ลำดับของค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมของ "บนและล่าง": ข้อเท็จจริงที่น่ายินดีก็คือเมื่อสร้างภาพวาดคุณจะเห็นได้ทันทีว่าการคำนวณตรงกลางถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง

มาสร้างผลรวมบางส่วนของอนุกรมและในขณะเดียวกันก็ทำซ้ำความหมายของคำว่า "การบรรจบกัน" แรงจูงใจนี้เป็นที่รู้จักจากบทเรียนเกี่ยวกับ ผลรวมของชุดตัวเลข- ให้เราอธิบายความมั่งคั่งของเราโดยละเอียด:

ในการเขียนผลรวมบางส่วน คุณต้องเขียนพจน์ของอนุกรมเป็นศูนย์ + อีกสองเทอม นั่นคือ

ในภาพวาด กราฟของฟังก์ชันจะแสดงเป็นสีเขียว และอย่างที่คุณเห็น กราฟจะ "ตัด" ผลรวมทั้งหมดค่อนข้างแน่น หากเราพิจารณาผลรวมบางส่วนของห้าเทอมของอนุกรม กราฟของฟังก์ชันนี้จะประมาณเส้นสีแดงได้แม่นยำยิ่งขึ้น หากมีหนึ่งร้อยพจน์ "งูเขียว" ก็จะรวมเข้ากับส่วนสีแดงอย่างสมบูรณ์ ฯลฯ ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์มาบรรจบกันเป็นผลรวม

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าจำนวนเงินบางส่วนคือ ฟังก์ชั่นต่อเนื่องอย่างไรก็ตาม ผลรวมของอนุกรมนี้ยังคงไม่ต่อเนื่องกัน

ในทางปฏิบัติ การสร้างกราฟผลรวมบางส่วนไม่ใช่เรื่องยากนัก วิธีการทำเช่นนี้? ในกรณีของเรา จำเป็นต้องพิจารณาฟังก์ชันในส่วนนั้น คำนวณค่าของมันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดกึ่งกลาง (ยิ่งคุณพิจารณาจุดมากเท่าใด กราฟก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น) จากนั้นคุณควรทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนภาพวาดและวาดกราฟในช่วงเวลาอย่างระมัดระวัง จากนั้น "ทำซ้ำ" ในช่วงเวลาที่อยู่ติดกัน อย่างอื่นล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว การประมาณก็เป็นฟังก์ชันคาบเช่นกัน ... ...กราฟของมันทำให้ฉันนึกถึงจังหวะการเต้นของหัวใจที่ราบรื่นบนหน้าจออุปกรณ์ทางการแพทย์ในบางแง่

แน่นอนว่าการก่อสร้างนั้นไม่สะดวกนักเนื่องจากคุณต้องระมัดระวังอย่างยิ่งโดยรักษาความแม่นยำไว้ไม่น้อยกว่าครึ่งมิลลิเมตร อย่างไรก็ตาม ฉันจะเอาใจผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยกับการวาดภาพ - ในปัญหา "ของจริง" ไม่จำเป็นต้องวาดภาพเสมอไป ในกรณีประมาณ 50% จำเป็นต้องขยายฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ก็แค่นั้น .

หลังจากวาดรูปเสร็จแล้วเราก็ทำงานให้เสร็จ:

คำตอบ:

ในงานหลายอย่างฟังก์ชั่นต้องทนทุกข์ทรมาน การแตกร้าวประเภทที่ 1ในช่วงระยะเวลาการสลายตัว:

ตัวอย่างที่ 3

ขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ วาดกราฟของฟังก์ชันและผลรวมของอนุกรม

ฟังก์ชั่นที่นำเสนอจะถูกระบุในลักษณะทีละส่วน (และโปรดทราบว่าเฉพาะในส่วนนี้เท่านั้น)และคงอยู่ การแตกร้าวประเภทที่ 1ณ จุด เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์? ไม่มีปัญหา. ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของฟังก์ชันสามารถอินทิกรัลตามช่วงเวลาได้ ดังนั้นปริพันธ์ในแต่ละสูตรจากทั้งสามสูตรจึงควรแสดงเป็นผลรวมของปริพันธ์ทั้งสอง ลองดูตัวอย่างว่าจะทำอย่างไรกับค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์:

อินทิกรัลตัวที่สองกลายเป็นศูนย์ ซึ่งทำให้งานลดลง แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์อีกสองตัวมีคำอธิบายคล้ายกัน

จะแสดงผลรวมของอนุกรมได้อย่างไร? ในช่วงเวลาด้านซ้ายเราวาดส่วนของเส้นตรงและในช่วงเวลา - ส่วนของเส้นตรง (เราเน้นส่วนของแกนด้วยตัวหนาและตัวหนา) นั่นคือ ในช่วงการขยายตัว ผลรวมของอนุกรมจะสอดคล้องกับฟังก์ชันทุกที่ ยกเว้นจุด "ไม่ดี" สามจุด ที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุกรมฟูริเยร์จะบรรจบกันเป็นค่าที่แยกได้ ซึ่งอยู่ตรงกลางของ "การกระโดด" ของความไม่ต่อเนื่องพอดี การมองเห็นด้วยวาจาไม่ใช่เรื่องยาก: ขีด จำกัด ด้านซ้าย: , ขีด จำกัด ทางด้านขวา: และแน่นอนว่าพิกัดของจุดกึ่งกลางคือ 0.5

เนื่องจากช่วงเวลาของผลรวม รูปภาพจะต้อง "คูณ" ในช่วงเวลาใกล้เคียง โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะต้องแสดงสิ่งเดียวกันในช่วงเวลา และ . ในเวลาเดียวกัน ณ จุดต่างๆ อนุกรมฟูริเยร์จะบรรจบกันเป็นค่ามัธยฐาน

อันที่จริงไม่มีอะไรใหม่ที่นี่

พยายามรับมือกับงานนี้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณและภาพวาดท้ายบทเรียน

การขยายฟังก์ชันให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลาใดก็ได้

สำหรับช่วงการขยายตามอำเภอใจ โดยที่ "el" เป็นจำนวนบวก สูตรสำหรับอนุกรมฟูริเยร์และสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์จะแตกต่างกันด้วยอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยสำหรับไซน์และโคไซน์:

ถ้า แล้วเราจะได้สูตรช่วงเวลาที่เราเริ่มต้น

อัลกอริธึมและหลักการในการแก้ปัญหาได้รับการเก็บรักษาไว้อย่างสมบูรณ์ แต่ความซับซ้อนทางเทคนิคของการคำนวณเพิ่มขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

ขยายฟังก์ชันออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์แล้วพล็อตผลรวม

สารละลาย: จริงๆ แล้วเป็นอะนาล็อกของตัวอย่างที่ 3 ด้วย การแตกร้าวประเภทที่ 1ณ จุด ในปัญหานี้ ระยะเวลาการขยายคือครึ่งงวด ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้เฉพาะในช่วงครึ่งเวลาเท่านั้น แต่สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง - สิ่งสำคัญคือฟังก์ชันทั้งสองชิ้นจะรวมเข้าด้วยกันได้

ลองขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์:

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่จุดกำเนิด ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์แต่ละตัวควรเขียนเป็นผลรวมของปริพันธ์สองค่าอย่างชัดเจน:

1) ฉันจะเขียนอินทิกรัลแรกโดยละเอียดให้มากที่สุด:

2) เราพิจารณาพื้นผิวของดวงจันทร์อย่างระมัดระวัง:

อินทิกรัลที่สอง เอาไปทีละชิ้น:

เราควรใส่ใจอะไรอย่างใกล้ชิดหลังจากที่เราเปิดการแก้ปัญหาต่อเนื่องด้วยเครื่องหมายดอกจัน?

ประการแรก เราจะไม่สูญเสียอินทิกรัลอันแรกไป โดยที่เราดำเนินการทันที สมัครรับเครื่องหมายส่วนต่าง- ประการที่สองอย่าลืมค่าคงที่ที่โชคร้ายต่อหน้าวงเล็บใหญ่และ อย่าสับสนกับป้ายบอกทางเมื่อใช้สูตร - วงเล็บขนาดใหญ่ยังสะดวกกว่าในการเปิดทันทีในขั้นตอนต่อไป

ที่เหลือเป็นเรื่องของเทคนิค ปัญหาอาจเกิดจากประสบการณ์ที่ไม่เพียงพอในการแก้อินทิกรัลเท่านั้น

ใช่แล้ว เพื่อนร่วมงานที่มีชื่อเสียงของฟูริเยร์นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสไม่พอใจ - เขากล้าจัดฟังก์ชันเป็นอนุกรมตรีโกณมิติได้อย่างไร! =) อย่างไรก็ตาม ทุกคนอาจสนใจในความหมายเชิงปฏิบัติของงานที่เป็นปัญหา ฟูริเยร์เองก็ทำงานในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการนำความร้อน และต่อมาซีรีส์ที่ตั้งชื่อตามเขาก็เริ่มถูกนำมาใช้เพื่อศึกษากระบวนการเป็นระยะ ๆ มากมายซึ่งมองเห็นและมองไม่เห็นในโลกโดยรอบ อย่างไรก็ตาม ฉันพบว่าตัวเองคิดว่าไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่จะเปรียบเทียบกราฟของตัวอย่างที่สองกับจังหวะการเต้นของหัวใจเป็นระยะ ผู้สนใจสามารถศึกษาการใช้งานจริงได้ การแปลงฟูริเยร์ในแหล่งข้อมูลบุคคลที่สาม ...ถึงแม้จะไม่ทำจะดีกว่า แต่จะถูกจดจำว่าเป็นรักแรกพบ =)

3) เมื่อคำนึงถึงลิงก์ที่อ่อนแอที่กล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำอีก มาดูค่าสัมประสิทธิ์ที่สามกัน:

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

ให้เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่พบลงในสูตร โดยไม่ลืมที่จะหารค่าสัมประสิทธิ์ศูนย์ครึ่งหนึ่ง:

ลองพลอตผลรวมของอนุกรมกัน ให้เราทำซ้ำขั้นตอนสั้นๆ: เราสร้างเส้นตรงในช่วงเวลาหนึ่ง และสร้างเส้นตรงในช่วงเวลาหนึ่ง หากค่า "x" เป็นศูนย์ เราจะวางจุดที่กึ่งกลางของ "การกระโดด" ของช่องว่างและ "จำลอง" กราฟในช่วงเวลาใกล้เคียง:


ที่จุด "ทางแยก" ของงวด ผลรวมจะเท่ากับจุดกึ่งกลางของ "การกระโดด" ของช่องว่างด้วย

พร้อม. ฉันขอเตือนคุณว่าฟังก์ชันนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้ในช่วงครึ่งเวลาเท่านั้น และแน่นอนว่าเกิดขึ้นพร้อมกับผลรวมของอนุกรมในช่วงเวลาต่างๆ

คำตอบ:

บางครั้งฟังก์ชันที่กำหนดเป็นชิ้น ๆ จะต่อเนื่องตลอดระยะเวลาการขยาย ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: - สารละลาย (ดูโบฮันเล่มที่ 2)เช่นเดียวกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้: แม้จะมี ความต่อเนื่องของฟังก์ชันณ จุด แต่ละสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์จะแสดงเป็นผลรวมของปริพันธ์สองตัว

ในช่วงเวลาการสลายตัว จุดไม่ต่อเนื่องประเภทที่ 1และ/หรืออาจมีจุด “ทางแยก” ของกราฟมากกว่า (สอง สาม และโดยทั่วไปมีจุดใดก็ได้ สุดท้ายปริมาณ). หากฟังก์ชันสามารถอินทิเกรตในแต่ละส่วนได้ ก็จะขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ด้วย แต่จากประสบการณ์จริงฉันจำเรื่องโหดร้ายเช่นนี้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม มีงานที่ยากกว่างานที่เพิ่งพิจารณา และในตอนท้ายของบทความจะมีลิงก์ไปยังชุดฟูริเยร์ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นสำหรับทุกคน

ในระหว่างนี้ มาผ่อนคลาย เอนหลังบนเก้าอี้ของเรา และพิจารณาดวงดาวอันกว้างใหญ่อันไม่มีที่สิ้นสุด:

ตัวอย่างที่ 5

ขยายฟังก์ชันออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลาและพล็อตผลรวมของอนุกรม

ในปัญหานี้ฟังก์ชัน อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาครึ่งการขยาย ซึ่งทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ทุกอย่างคล้ายกับตัวอย่างที่ 2 มาก ไม่มีทางหนีจากยานอวกาศได้ - คุณต้องตัดสินใจ =) มีไดอะแกรมแนบตัวอย่างการออกแบบโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

การขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคู่และคี่

ด้วยฟังก์ชันคู่และคี่ กระบวนการแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัด และนี่คือเหตุผล กลับไปที่การขยายฟังก์ชันในอนุกรมฟูริเยร์ที่มีคาบ "2 pi" และระยะเวลาตามอำเภอใจ “สองเอล” .

สมมุติว่าฟังก์ชันของเราเป็นเลขคู่ อย่างที่คุณเห็น คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ประกอบด้วยโคไซน์คู่และไซน์คี่ และถ้าเราจะขยายฟังก์ชัน EVEN แล้วทำไมเราต้องมีไซน์คี่ด้วยล่ะ! มารีเซ็ตค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่จำเป็น: .

ดังนั้น, ฟังก์ชันคู่สามารถขยายได้ในอนุกรมฟูริเยร์ในโคไซน์เท่านั้น:

เนื่องจาก อินทิกรัลของฟังก์ชันคู่สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าตามส่วนการรวมที่สมมาตรเทียบกับศูนย์ จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่เหลือจะถูกทำให้ง่ายขึ้น

สำหรับช่องว่าง:

ตามระยะเวลาที่กำหนด:

ตัวอย่างหนังสือเรียนที่สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกือบทุกเล่ม ได้แก่ การขยายฟังก์ชันเลขคู่ - นอกจากนี้ฉันพบพวกเขาหลายครั้งในการปฏิบัติส่วนตัวของฉัน:

ตัวอย่างที่ 6

ฟังก์ชันจะได้รับ ที่จำเป็น:

1) ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ด้วยจุด โดยที่ เป็นจำนวนบวกตามอำเภอใจ

2) เขียนการขยายตัวในช่วงเวลา สร้างฟังก์ชันและกราฟผลรวมของอนุกรม

สารละลาย: ในย่อหน้าแรกขอเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบทั่วไปซึ่งสะดวกมาก! หากจำเป็น ให้ทดแทนค่าของคุณ

1) ในปัญหานี้ คาบการขยายคือครึ่งคาบ ในระหว่างการดำเนินการเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระหว่างการบูรณาการ “el” จะถือเป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าสามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ในโคไซน์เท่านั้น: .

เราค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์โดยใช้สูตร - ให้ความสนใจกับข้อได้เปรียบที่ไม่มีเงื่อนไข ประการแรก การรวมจะดำเนินการในส่วนบวกของส่วนขยาย ซึ่งหมายความว่าเราจะกำจัดโมดูลได้อย่างปลอดภัย โดยพิจารณาเฉพาะตัว "X" ของทั้งสองชิ้นเท่านั้น และประการที่สอง การบูรณาการจะง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัด

สอง:

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

ดังนั้น:
ในขณะที่ค่าคงที่ ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับ "en" จะถูกนำออกไปนอกผลรวม

คำตอบ:

2) ลองเขียนส่วนขยายในช่วงเวลานั้น โดยแทนที่ค่าครึ่งงวดที่ต้องการลงในสูตรทั่วไป:

การขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคู่และคี่ การขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาให้เป็นอนุกรมในไซน์หรือโคไซน์ อนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันที่มีคาบตามต้องการ การแสดงแทนอนุกรมฟูริเยร์ที่ซับซ้อน อนุกรมฟูริเยร์ในระบบมุมตั้งฉากทั่วไปของฟังก์ชัน อนุกรมฟูริเยร์ใน ระบบตั้งฉาก คุณสมบัติน้อยที่สุดของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ อสมการของเบสเซล ความเท่าเทียมกัน พาร์เซวาล ระบบปิด ความสมบูรณ์และ ระบบปิด

การขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเลขคู่และฟังก์ชันคี่ ฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา \-1 โดยที่ I > 0 จะถูกเรียก แม้ว่ากราฟของฟังก์ชันเลขคู่จะสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัดก็ตาม ฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดไว้บนเซ็กเมนต์ J) โดยที่ I > 0 เรียกว่าคี่ ถ้ากราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด ตัวอย่าง. a) ฟังก์ชันเป็นเลขคู่ในช่วงเวลา |-jt, jt) เนื่องจากสำหรับ x e ทั้งหมด b) ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจากการขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเลขคู่และฟังก์ชันคี่เป็นการขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาหนึ่งให้เป็นอนุกรมในไซน์หรือ โคไซน์ อนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันที่มีคาบกำหนด อนุกรมฟูริเยร์สำหรับระบบฟังก์ชันตั้งฉากทั่วไปสำหรับ ระบบตั้งฉาก คุณสมบัติน้อยที่สุดของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ อสมการของ Bessel ความเท่าเทียมกันของ Parseval ระบบปิด ความสมบูรณ์และความปิดของระบบ c) ฟังก์ชัน f(x)=x2-x โดยที่ไม่ได้อยู่ในฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่ เนื่องจาก ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) เป็นที่น่าพอใจ เงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 จะอยู่ในช่วง x| แล้วสำหรับทุกคนเช่น /(x) cos nx เป็นฟังก์ชันคู่ และ f(x) sinnx เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันคู่ /(x) จะเท่ากัน ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคู่จึงมีรูปแบบ f(x) sin х - ฟังก์ชันคู่ ดังนั้น เราจะได้ ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคี่จะมีรูปแบบตัวอย่างที่ 1 ขยายฟังก์ชัน 4 ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา -x ^ x ^ n เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นจำนวนคู่และเป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์จะมีรูปแบบ ค้นหาสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ เราใช้อินทิเกรตทีละส่วนสองครั้ง เราได้มาว่า ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันนี้จะมีลักษณะดังนี้: หรือในรูปแบบขยาย ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับ x € ใดๆ เนื่องจากที่จุด x = ±ir ผลรวมของ อนุกรมเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน f(x ) = x2 เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน f(x) = x และผลรวมของอนุกรมผลลัพธ์จะได้รับในรูปที่ ความคิดเห็น อนุกรมฟูริเยร์นี้ช่วยให้เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน กล่าวคือ เมื่อ x = 0 เราจะได้ตัวอย่างที่ 2 ขยายฟังก์ชัน /(x) = x ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา 6. § 6. การขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาให้เป็นอนุกรมในไซน์หรือโคไซน์ ให้ฟังก์ชันโมโนโทนิกที่มีขอบเขตเป็นชิ้น ๆ / ถูกกำหนดในช่วงเวลา ค่าของฟังก์ชันนี้ในช่วง 0| สามารถกำหนดเพิ่มเติมได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น คุณสามารถกำหนดฟังก์ชัน / บนเซ็กเมนต์ tc] เพื่อให้ / ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่า) “ถูกขยายไปยังเซ็กเมนต์ 0] ในลักษณะคู่”; อนุกรมฟูริเยร์จะมีเฉพาะโคไซน์เท่านั้น ถ้าฟังก์ชัน /(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-l-, mc] ดังนั้น /( ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นฟังก์ชันคี่ แล้วพวกเขาบอกว่า / ถูกขยายไปยังช่วง [-*, 0] ในลักษณะแปลก ๆ” ในกรณีนี้ อนุกรมฟูริเยร์จะมีแต่ไซน์เท่านั้น ดังนั้น แต่ละฟังก์ชันโมโนโทนิกที่มีขอบเขตเป็นชิ้น ๆ f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลาสามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ทั้งในรูปของไซน์และในรูปของไซน์ . โคไซน์ ตัวอย่างที่ 1 ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์: ก) ในโคไซน์; b) โดยไซน์ สิ่งนี้ทำให้ในทางเรขาคณิต คุณสมบัตินี้หมายความว่าในกรณีของพื้นที่แรเงาในรูป 10 พื้นที่เท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับฟังก์ชัน f(x) ที่มีคาบที่เราได้รับจากการขยายตัวเป็นอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ การขยายฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาให้เป็นอนุกรมในอนุกรมฟูริเยร์ไซน์หรือโคไซน์สำหรับฟังก์ชันที่มีกฎเกณฑ์ใดๆ คาบ สัญลักษณ์เชิงซ้อนของอนุกรมฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์ในระบบตั้งฉากทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์ในระบบตั้งฉาก คุณสมบัติน้อยที่สุดของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ อสมการของเบสเซล ความเท่าเทียมกันของพาร์ซีวัล ระบบปิด ความสมบูรณ์และความปิดของระบบ ตัวอย่างที่ 2 ฟังก์ชัน x เป็นคาบที่มีจุด เนื่องจาก ความแปลกของฟังก์ชันนี้ โดยไม่ต้องคำนวณปริพันธ์ เราสามารถระบุได้ว่าสำหรับคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วโดยเฉพาะ แสดงว่าค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบ f(x) ที่มีคาบ 21 สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรโดยที่ a คือ จำนวนจริงตามอำเภอใจ (โปรดทราบว่าฟังก์ชัน cos และ sin มีคาบ 2/) ตัวอย่างที่ 3 ขยายเป็นอนุกรมฟูเรียร์ด้วยฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา 2x (รูปที่ 11) 4 ลองหาสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชันนี้กัน เมื่อใส่สูตรแล้ว เราพบว่าสำหรับ ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์จะมีลักษณะดังนี้: ณ จุด x = jt (จุดไม่ต่อเนื่องของชนิดแรก) เรามี §8 การบันทึกชุดฟูริเยร์ที่ซับซ้อน ในส่วนนี้ใช้องค์ประกอบบางส่วนของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (ดูบทที่ XXX ซึ่งการกระทำทั้งหมดที่ดำเนินการที่นี่ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อนได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวด) ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) เป็นไปตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายอนุกรมฟูริเยร์ จากนั้นในส่วน x] มันสามารถแสดงได้ด้วยชุดของแบบฟอร์ม โดยใช้สูตรของออยเลอร์ แทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นชุด (1) แทนที่จะเป็น cos πx และ sin φx เราจะได้ ให้เราแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้ จากนั้นชุด (2) จะนำ แบบฟอร์ม ดังนั้น อนุกรมฟูริเยร์ (1) จึงแสดงอยู่ในรูปแบบเชิงซ้อน (3) ลองหานิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์ผ่านอินทิกรัลกัน เรามี ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าสูตรสุดท้ายสำหรับ с„, с_п และ с สามารถเขียนได้ดังนี้: . - ค่าสัมประสิทธิ์ с เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์เชิงซ้อนของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันคาบกับช่วงเวลา) รูปแบบที่ซับซ้อนของอนุกรมฟูเรียร์จะอยู่ในรูปแบบที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ Cn โดยใช้สูตรการบรรจบกันของอนุกรม (3 ) และ (4) มีความเข้าใจดังนี้: อนุกรม (3) และ (4) เรียกว่าลู่เข้าสำหรับค่าที่กำหนดหากมีขีดจำกัด ตัวอย่าง ขยายฟังก์ชันคาบเป็นอนุกรมฟูริเยร์ที่ซับซ้อน ฟังก์ชันนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ ให้เราหาค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์เชิงซ้อนของฟังก์ชันนี้ เรามีเลขคี่สำหรับเลขคู่ n หรือเรียกสั้นๆ ว่า เมื่อแทนค่า) ในที่สุดเราก็ได้ โปรดทราบว่าอนุกรมนี้สามารถเขียนได้ดังต่อไปนี้ อนุกรมฟูริเยร์สำหรับระบบมุมตั้งฉากทั่วไปของฟังก์ชัน 9.1 ระบบฟังก์ชันตั้งฉาก ให้เราแสดงด้วยเซตของฟังก์ชัน (จริง) ทั้งหมดที่กำหนดและปริพันธ์ได้ในช่วง [a, 6] ด้วยกำลังสอง นั่นคือ ฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันทั้งหมด f(x) ต่อเนื่องกัน ในช่วงเวลา [a , 6] เป็นของ 6] และค่าของปริพันธ์ Lebesgue ตรงกับค่าของปริพันธ์ของ Riemann คำนิยาม. ระบบของฟังก์ชัน โดยที่ เรียกว่าตั้งฉากในช่วงเวลา [a, b\ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเงื่อนไข (1) สันนิษฐานว่าไม่มีฟังก์ชันใดที่เป็นศูนย์เหมือนกัน อินทิกรัลเป็นที่เข้าใจในความหมายของ Lebesgue อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ตัวอย่างเช่น เมื่ออนุกรม (4) มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ ฟังก์ชันทั้งหมดจะต่อเนื่องกัน และช่วงเวลา (a, 6) มีจำกัด การดำเนินการนี้ถูกต้องตามกฎหมาย แต่สำหรับเราตอนนี้ การตีความอย่างเป็นทางการเป็นสิ่งสำคัญ เลยให้ฟังก์ชันมาแทน ให้เราสร้างตัวเลข c* ตามสูตร (5) แล้วเขียนอนุกรมทางด้านขวาเรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับระบบ (^n(i)) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับระบบนี้ เครื่องหมาย ~ ในสูตร (6) หมายความว่าตัวเลข Cn สัมพันธ์กับฟังก์ชัน f(x) ตามสูตร (5) เท่านั้น (ไม่ถือว่าอนุกรมทางด้านขวามาบรรจบกันเลย แต่จะน้อยกว่ามากมาบรรจบกับฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)) ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้นตามธรรมชาติ: คุณสมบัติของซีรีย์นี้คืออะไร? มัน “เป็นตัวแทน” ฟังก์ชัน f(x) ในแง่ใด 9.3. การบรรจบกันโดยเฉลี่ย คำจำกัดความ ลำดับมาบรรจบกับองค์ประกอบ ] โดยเฉลี่ยหากบรรทัดฐานอยู่ในทฤษฎีบท 6 ของปริภูมิ หากลำดับ ) มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ มันก็จะมาบรรจบกันโดยเฉลี่ย เมื่อ Tn(x) คือผลรวมส่วนที่ 71 ของอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน /(x) บนระบบ ( การตั้งค่า ak = sk จาก (7) เราจะได้ความเท่าเทียมกัน (9) เรียกว่าเอกลักษณ์ Bessel เนื่องจากเหลือไว้ ด้านนั้นไม่เป็นลบ จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันของ Bessel จะตามมา เนื่องจากฉันอยู่ที่นี่โดยพลการ ความไม่เท่าเทียมกันของ Bessel จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่เข้มแข็งขึ้น เช่น สำหรับฟังก์ชันใด ๆ / ชุดของค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์กำลังสองของฟังก์ชันนี้ในระบบออร์โธนอร์มอล ) มาบรรจบกัน . เนื่องจากระบบอยู่ในออร์โธนอร์มอลในช่วง [-x, m] ดังนั้นอสมการ (10) จึงแปลเป็นสัญกรณ์ปกติของอนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติ จะให้ความสัมพันธ์ do ซึ่งใช้ได้กับฟังก์ชันใดๆ /(x) ที่มีกำลังสองอินทิเกรตได้ ถ้า f2(x) สามารถอินทิเกรตได้ เนื่องจากเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมทางด้านซ้ายของอสมการ (11) เราจึงได้ค่านั้น ความเท่าเทียมกันของพาร์เซวาล สำหรับบางระบบ (^„(x)) เครื่องหมายอสมการในสูตร (10) สามารถแทนที่ได้ (สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f(x) 6 ×) ด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเรียกว่าความเสมอภาค Parseval-Steklov (เงื่อนไขความสมบูรณ์) เอกลักษณ์ของเบสเซล (9) ช่วยให้เราสามารถเขียนเงื่อนไข (12) ในรูปแบบที่เทียบเท่าได้ ดังนั้น เมื่อบรรลุเงื่อนไขความสมบูรณ์แล้ว หมายความว่าผลรวมบางส่วนของ Sn(x) ของอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน /(x) มาบรรจบกันที่ฟังก์ชัน /(x) โดยเฉลี่ย เช่น ตามมาตรฐานของพื้นที่ 6] คำนิยาม. ระบบออร์โธนอร์มอล ( เรียกว่าสมบูรณ์ใน b2[аy b] หากทุกฟังก์ชันสามารถประมาณด้วยความแม่นยำใด ๆ โดยเฉลี่ยโดยการรวมกันเชิงเส้นของรูปแบบที่มีเงื่อนไขจำนวนมากเพียงพอ เช่น ถ้าสำหรับฟังก์ชันใด ๆ /(x) ∈ b2 [a, b\ และสำหรับ e ใดๆ > 0 จะมีจำนวนธรรมชาติ nq และตัวเลข a\, a2y... โดยที่ No จากเหตุผลข้างต้นเป็นไปตามทฤษฎีบท 7 ถ้าโดยการปรับออร์โธนอร์มัลไลเซชัน ระบบ ) เสร็จสมบูรณ์ในอวกาศ อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันใดๆ / ในระบบนี้มาบรรจบกันเป็น f( x) โดยเฉลี่ย กล่าวคือ เป็นไปตามบรรทัดฐาน แสดงว่าระบบตรีโกณมิติมีความสมบูรณ์ในปริภูมิ ทฤษฎีบท 8 ถ้าฟังก์ชัน /o อนุกรมฟูริเยร์ตรีโกณมิติมาบรรจบกันเป็นค่าเฉลี่ย 9.5. ระบบปิด. ความสมบูรณ์และความปิดของระบบ คำนิยาม ระบบออร์โธนอร์มอลของฟังก์ชัน \ เรียกว่าปิด ถ้าในช่องว่าง Li\a, b) ไม่มีฟังก์ชันที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกับฟังก์ชันทั้งหมด ในช่องว่าง L2\a, b\ แนวคิดเรื่องความสมบูรณ์และความปิดของระบบออร์โธนอร์มอลตรงกัน แบบฝึกหัด 1. ขยายฟังก์ชันในชุดฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-i-, x) 2. ขยายฟังก์ชัน 3 ในชุดฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-tr, tr) 3. ขยายฟังก์ชัน 4 ในชุดฟูริเยร์ใน ช่วงเวลา (-tr, tr) ลงในอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-jt, tr) ฟังก์ชัน 5 ขยายฟังก์ชัน f(x) = x + x ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-t, t) 6. ขยายฟังก์ชัน n ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-jt, tr) 7. ขยายฟังก์ชัน /(x) = sin2 x ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-tr, x) 8. ขยายฟังก์ชัน f(x) = y ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-tr, jt) 9. ขยายฟังก์ชัน f(x) = | บาป x|. 10. ขยายฟังก์ชัน f(x) = § ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-π-, π) 11. ขยายฟังก์ชัน f(x) = sin § ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในช่วงเวลา (-tr, tr) 12. ขยายฟังก์ชัน f(x) = n -2x โดยกำหนดในช่วง (0, x) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ และขยายออกไปเป็นระยะ (-x, 0): a) ในลักษณะคู่ b) ในทางที่แปลก 13. ขยายฟังก์ชัน /(x) = x2 ที่กำหนดในช่วง (0, x) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในไซน์ 14. ขยายฟังก์ชัน /(x) = 3 ที่กำหนดในช่วง (-2,2) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ 15. ขยายเป็นอนุกรมฟูเรียร์ด้วยฟังก์ชัน f(x) = |x| โดยกำหนดให้อยู่ในช่วง (-1,1) 16. ขยายฟังก์ชัน f(x) = 2x ที่ระบุในช่วง (0,1) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ในไซน์

อนุกรมฟูริเยร์– วิธีการแทนฟังก์ชันที่ซับซ้อนโดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่าและเป็นที่รู้จัก
ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ พวกมันยังสร้างพื้นฐานตั้งฉากด้วย คุณสมบัตินี้สามารถอธิบายได้โดยการเปรียบเทียบกับแกน เอ็กซ์ เอ็กซ์ เอ็กซ์และ วาย วาย ยบนระนาบพิกัด เช่นเดียวกับที่เราสามารถอธิบายพิกัดของจุดเทียบกับแกน เราก็สามารถอธิบายฟังก์ชันใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับไซน์และโคไซน์ได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นที่เข้าใจกันดีและใช้งานง่ายในวิชาคณิตศาสตร์

ไซน์และโคไซน์สามารถแสดงได้ในรูปของคลื่นต่อไปนี้:

สีน้ำเงินคือโคไซน์ สีแดงคือไซน์ คลื่นดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าฮาร์โมนิค โคไซน์เป็นคู่ ไซน์เป็นเลขคี่ คำว่าฮาร์โมนิคมาจากสมัยโบราณและเกี่ยวข้องกับการสังเกตเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของระดับเสียงในดนตรี

ซีรีย์ฟูริเยร์คืออะไร

อนุกรมดังกล่าวที่ใช้ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของไซน์และโคไซน์เรียกว่าตรีโกณมิติ ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่นักประดิษฐ์ Jean Baptiste Joseph Fourier เมื่อปลายศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 ผู้พิสูจน์ว่าฟังก์ชันใดๆ สามารถแสดงเป็นการรวมกันของฮาร์โมนิกดังกล่าวได้ และยิ่งคุณรับมากเท่าไร การนำเสนอนี้ก็จะมีความแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่นภาพด้านล่าง: คุณจะสังเกตได้ว่าเมื่อมีฮาร์โมนิกจำนวนมาก เช่น สมาชิกของซีรีย์ฟูริเยร์ กราฟสีแดงจะเข้าใกล้กราฟสีน้ำเงินมากขึ้น - ฟังก์ชันดั้งเดิม

การนำไปประยุกต์ใช้จริงในโลกสมัยใหม่

ตอนนี้แถวเหล่านี้จำเป็นหรือไม่? พวกมันสามารถใช้งานได้จริงที่ไหน และมีใครอื่นที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีใช้พวกมันบ้าง? ปรากฎว่าฟูริเยร์มีชื่อเสียงไปทั่วโลกเพราะประโยชน์เชิงปฏิบัติของซีรีส์ของเขานั้นไม่สามารถคำนวณได้อย่างแท้จริง สะดวกในการใช้งานเมื่อมีการสั่นสะเทือนหรือคลื่น: อะคูสติก ดาราศาสตร์ วิศวกรรมวิทยุ ฯลฯ ตัวอย่างการใช้งานที่ง่ายที่สุด: กลไกการทำงานของกล้องหรือกล้องวิดีโอ เพื่ออธิบายโดยย่อ อุปกรณ์เหล่านี้ไม่เพียงแต่บันทึกภาพเท่านั้น แต่ยังบันทึกค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ด้วย และใช้งานได้ทุกที่ ไม่ว่าจะดูภาพทางอินเทอร์เน็ต ดูหนัง หรือฟังเพลง ต้องขอบคุณซีรี่ส์ฟูริเยร์ที่ทำให้คุณสามารถอ่านบทความนี้จากโทรศัพท์มือถือของคุณได้แล้ว หากไม่มีการแปลงฟูริเยร์ เราจะมีแบนด์วิดท์การเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตไม่เพียงพอที่จะรับชมวิดีโอ YouTube แม้ในคุณภาพมาตรฐานก็ตาม

แผนภาพนี้แสดงการแปลงฟูริเยร์สองมิติ ซึ่งใช้ในการแยกย่อยภาพออกเป็นฮาร์โมนิกส์ กล่าวคือ ส่วนประกอบพื้นฐาน ในแผนภาพนี้ ค่า -1 จะแสดงเป็นสีดำ และ 1 เป็นสีขาว ความถี่จะเพิ่มขึ้น

การขยายอนุกรมฟูริเยร์

คุณอาจเบื่อที่จะอ่านหนังสือแล้ว มาดูสูตรกันดีกว่า
สำหรับเทคนิคทางคณิตศาสตร์ เช่น การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมฟูริเยร์ คุณจะต้องหาอินทิกรัล อินทิกรัลมากมาย โดยทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์เขียนเป็นผลรวมอนันต์:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \บาป(nx))ฉ(x) =เอ+n=1∑ ∞ ​ (ก n​ คอส (น x ) +ข n​ บาป (น x ) )
ที่ไหน
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxก=2π1 ​ − π ∫ π ​ เอฟ(x)ดีเอ็กซ์
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxก n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) cos (n x) ง x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ บาป(nx)dxข n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) บาป (n x) d x

หากเราสามารถนับจำนวนอนันต์ได้ ไม่ใช่ ก n​ และ ข n ข_n ข n​ (เรียกว่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวฟูริเยร์ เอ เอ ก- นี่เป็นเพียงค่าคงที่ของส่วนขยายนี้) จากนั้นอนุกรมผลลัพธ์จะเหมือนกับฟังก์ชันดั้งเดิม 100% ฉ(x) ฉ(x) ฉ(x)ในส่วนจาก − π -\pi − π ถึง พาย\ปี่ π - ส่วนนี้เกิดจากคุณสมบัติการรวมของไซน์และโคไซน์ ยิ่งมาก. ไม่ nซึ่งเราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายอนุกรมของฟังก์ชัน การขยายนี้ก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่าง

ลองใช้ฟังก์ชันง่ายๆ กัน y = 5 x y=5x ย=5 ครั้ง
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0ก=2π1 ​ − π ∫ π ​ ฉ(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x ลึก x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \คอส(x)dx = 0ก 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x คอส (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \บาป(x)dx = 10ข 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) บาป (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x บาป (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0ก 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ ฉ (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x คอส (2 x ) dx =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ พาย) 5x\บาป(2x)dx = -5ข 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ ฉ(x) บาป(2 x) งx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xบาป(2 x) งx= − 5

และอื่นๆ ในกรณีของฟังก์ชันดังกล่าว เราสามารถพูดได้ทันทีว่าทุกอย่าง n = 0 a_n=0กn​ = 0 , ค่าสัมประสิทธิ์ ข n ข_nขn​ จะต้องคำนวณ หากเราใช้สี่เทอมแรกของการขยายอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน y = 5 x y=5xย= 5 xเราได้รับ:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{บาป}(x)-5\cdot \mathrm{บาป}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{บาป}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{บาป}(4\cdot x)$

กราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์จะมีลักษณะดังนี้:

การขยายอนุกรมฟูริเยร์ที่เกิดขึ้นจะเข้าใกล้ฟังก์ชันดั้งเดิมของเรา หากเราใช้พจน์จำนวนมากของชุดข้อมูล เช่น 15 เราจะเห็นดังต่อไปนี้:

ยิ่งมีเงื่อนไขในการขยายอนุกรมมากเท่าใด ความแม่นยำก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น
หากเราเปลี่ยนสเกลของกราฟเล็กน้อย เราจะสังเกตเห็นคุณลักษณะอื่นของการแปลงได้: อนุกรมฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด 2 π 2\ไพ2 π .

ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงฟังก์ชันใดๆ ที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาได้ [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] - ทั้งหมดนี้จำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์บางอย่างที่อธิบายโดยฟังก์ชันที่ซับซ้อน ไม่สามารถคำนวณอนุพันธ์ในเชิงวิเคราะห์ได้เสมอไป (เช่น การใช้สูตร) ​​แต่ในกรณีของเซตของไซน์และโคไซน์ ปัญหาดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้น การขยายตัวของอนุกรมฟูริเยร์แสดงให้เห็นว่าปัญหาต่างๆ มักจะได้รับการแก้ไขในเชิงวิเคราะห์โดยใช้แบบจำลองอย่างง่าย ตัวอย่างหนึ่งคือ อนุกรมฟูริเยร์