Ряди Фур'є. Приклади розв'язків. Ряди фур'є в прикладах і задачах Приклади розкладання функції до ряду фур'є

2. Визначення коефіцієнтів низки за формулами Фур'є.

Нехай періодична функція ƒ(х) з періодом 2π така, що вона представляється тригонометричним рядом, що сходить до цієї функції в інтервалі (-π, π), тобто є сумою цього ряду:

Припустимо, що інтеграл від функції, що стоїть у лівій частині цієї рівності, дорівнює сумі інтегралів від цього ряду. Це буде виконуватися, якщо припустити, що числовий ряд, складений з коефіцієнтів даного тригонометричного ряду, абсолютно сходиться, тобто сходиться позитивний числовий ряд

Ряд (1) мажоруємо і можна почленно інтегрувати у проміжку (-π, π). Проінтегруємо обидві частини рівності (2):

Обчислимо окремо кожен інтеграл, що зустрічається у правій частині:

,

,

Таким чином, , звідки

. (4)

Оцінка коефіцієнтів Фур'є. (Бугрів)

Теорема 1. Нехай функція ƒ(x) періоду 2π має безперервну похідну ƒ(s) (x) порядку s, яка задовольняє на всій дійсній осі нерівності:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тоді коефіцієнти Фур'є функції задовольняють нерівності

Доказ. Інтегруючи частинами і враховуючи, що

ƒ(-π) = ƒ(π), маємо

Інтегруючи праву частину (7) послідовно, враховуючи, що похідні ? 6).

Друга оцінка (6) виходить так.

Теорема 2. Для коефіцієнтів Фур'є ƒ(x) має місце нерівність

(8)

Доказ. Маємо

(9)

Вводячи у разі заміну змінної і враховуючи, що ƒ(x) – періодична функція, отримаємо

Складаючи (9) та (10), отримуємо

Аналогічно проводимо доказ для b k .

Слідство. Якщо функція ƒ(x) безперервна, її коефіцієнти Фур'є прагнуть нулю: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Простір функцій із скалярним твором.

Функція ƒ(x) називається кусочно-непрерывной на відрізку , якщо вона безперервна цьому відрізку, крім, можливо, кінцевого числа точок, де має розриви першого роду. Такі точки можна складати та множити на дійсні числа та отримувати як результат знову шматково-безперервні на відрізку функції.

Скалярним твором двох шматково-безперервних на (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Очевидно для будь-яких шматково-безперервних на функцій ƒ , φ ψ виконуються властивості:

1) (ƒ , φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) і з рівності (ƒ , ƒ) = 0 випливає, що ƒ(x) =0 на , виключаючи, можливо, кінцеве число точок x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

де α, β – довільні дійсні числа.

Безліч всіх шматково-безперервних функцій, визначених на відрізку , для яких введено скалярний твір за формулою (11), ми будемо позначати, і називати простором

Зауваження 1.

У математиці називають простором = (a, b) сукупність функцій ƒ(x), інтегрованих у лебеговом сенсі разом зі своїми квадратами, котрим запроваджено скалярне твір за такою формулою (11). Розглянутий простір є частиною. Простір має багато властивостей простору, але не всіма.

З властивостей 1), 2), 3) випливає важлива нерівність Буняковського | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , яка мовою інтегралів виглядає так:

Величина

називається нормою функції f.

Норма має такі властивості:

1) | f || ≥ 0, при цьому рівність може бути тільки для нульової функції f = 0, тобто функції, що дорівнює нулю, за винятком, можливо, кінцевого числа точок;

2) | ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) | α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

де α – дійсне число.

Друга властивість мовою інтегралів виглядає так:

і називається нерівністю Мінковського.

Говорять, що послідовність функцій ( f n ), належить до , сходить до функції належить у сенсі середнього квадратичного на (або ще за нормою ), якщо

Зазначимо, що якщо послідовність функцій n (x) сходиться рівномірно до функції ƒ (x) на відрізку , то для досить великих n різниця ƒ (x) - n (x) по абсолютній величині повинна бути мала для всіх х з відрізка .

У випадку ж, якщо n (x) прагне до ƒ (x) у сенсі середнього квадратичного на відрізку , то зазначена різниця може і не бути малою для великих n всюди на . В окремих місцях відрізка ця різниця може бути велика, але важливо тільки, щоб інтеграл від її квадрата по відрізку був малий для великих n.

приклад. Нехай на задана зображена на малюнку безперервна шматково-лінійна функція n (x) (n = 1, 2, ...), причому

(Бугров, стор. 281, рис. 120)

При будь-якому натуральному n

і, отже, ця послідовність функцій, хоч і сходить до нуля при n → ∞, але нерівномірно. Тим часом

т. Е. Послідовність функцій (f n (х)) прагне до нуля в сенсі середнього квадратичного на .

З елементів деякої послідовності функцій 1, 2, 3, ... (належних) побудуємо ряд

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Сума перших його членів

σ n = 1 + 2 + … + ƒ n

є функція, що належить до . Якщо трапиться, що існує функція така, що

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

то кажуть, що ряд (12) сходиться до функції в сенсі середнього квадратичного і пишуть

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Примітка 2.

Можна розглядати простір = (a, b) комплекснозначних функцій ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), де ƒ 1 (x) та ƒ 2 (x) – дійсні шматково – безперервні на функції. У цьому просторі функції множаться на комплексні числа та скалярний добуток функцій ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) та φ(х) = φ 1 (х) +i φ 2 (х) визначається наступним чином:

а норма визначається як величина

Ряди Фур'є - це уявлення довільно взятої функції з конкретним періодом у вигляді ряду. У загальному вигляді це рішення називають розкладанням елемента по ортогональному базису. Розкладання функцій у ряд Фур'є є досить потужним інструментарієм при розв'язанні різноманітних завдань завдяки властивостям даного перетворення при інтегруванні, диференціюванні, а також зсув виразу за аргументом і згорткою.

Людина, не знайома з вищою математикою, а також з працями французького вченого Фур'є, швидше за все, не зрозуміє, що це за «ряди» і для чого вони потрібні. А тим часом це перетворення досить щільно увійшло в наше життя. Ним користуються не лише математики, а й фізики, хіміки, медики, астрономи, сейсмологи, океанографи та багато інших. Давайте і ми ближче познайомимося з працями великого французького вченого, який зробив відкриття, яке випередило свій час.

Людина та перетворення Фур'є

Ряди Фур'є є одним із методів (поряд з аналізом та іншими) Цей процес відбувається щоразу, коли людина чує якийсь звук. Наше вухо в автоматичному режимі здійснює перетворення елементарних частинок в пружному середовищі, що розкладаються в ряди (за спектром) послідовних значень рівня гучності для тонів різної висоти. Далі мозок перетворює ці дані на звичні нам звуки. Все це відбувається окрім нашого бажання чи свідомості, саме по собі, а от для того, щоб зрозуміти ці процеси, знадобиться кілька років вивчати вищу математику.

Докладніше про перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є можна проводити аналітичними, чисельними та іншими методами. Ряди Фур'є відносяться до чисельного способу розкладання будь-яких коливальних процесів - від океанських припливів та світлових хвиль до циклів сонячної (та інших астрономічних об'єктів) активності. Використовуючи ці математичні прийоми, можна розбирати функції, представляючи будь-які коливальні процеси як ряд синусоїдальних складових, які переходять від мінімуму до максимуму і назад. Перетворення Фур'є є функцією, що описує фазу та амплітуду синусоїд, що відповідають певній частоті. Цей процес можна використовувати для вирішення дуже складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під дією теплової, світлової чи електричної енергії. Також ряди Фур'є дозволяють виділяти постійні складові у складних коливальних сигналах, завдяки чому стало можливим правильно інтерпретувати отримані експериментальні спостереження в медицині, хімії та астрономії.

Історична довідка

Батьком-засновником цієї теорії є французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є. Його ім'ям згодом і було названо це перетворення. Спочатку вчений застосував свій метод для вивчення та пояснення механізмів теплопровідності – поширення тепла у твердих тілах. Фур'є припустив, що спочатку нерегулярний розподіл можна розкласти на найпростіші синусоїди, кожна з яких матиме свій температурний мінімум і максимум, а також свою фазу. При цьому кожна така компонента вимірюватиметься від мінімуму до максимуму та назад. Математична функція, яка описує верхні та нижні піки кривої, а також фазу кожної з гармонік, назвали перетворенням Фур'є від вираження розподілу температури. Автор теорії звів загальну функцію розподілу, яка важко піддається математичному опису, до дуже зручного в обігу ряду косинуса і синуса, що в сумі дають вихідний розподіл.

Принцип перетворення та погляди сучасників

Сучасники вченого - провідні математики початку ХІХ століття - не прийняли цю теорію. Основним запереченням послужило твердження Фур'є про те, що розривну функцію, що описує пряму лінію або криву, що розривається, можна подати у вигляді суми синусоїдальних виразів, які є безперервними. Як приклад можна розглянути «сходинку» Хевісайда: її значення дорівнює нулю ліворуч від розриву та одиниці праворуч. Ця функція визначає залежність електричного струму від тимчасової змінної при замиканні ланцюга. Сучасники теорії на той момент ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривний вираз описувався комбінацією безперервних, звичайних функцій, таких як експонента, синусоїда, лінійна або квадратична.

Що бентежило французьких математиків у теорії Фур'є?

Адже якщо математик мав рацію у своїх твердженнях, то, підсумовуючи нескінченний тригонометричний ряд Фур'є, можна отримати точне уявлення ступінчастого вираження навіть у тому випадку, якщо воно має безліч подібних щаблів. На початку ХІХ століття подібне твердження здавалося абсурдним. Але незважаючи на всі сумніви, багато математиків розширили сферу вивчення даного феномену, вивівши його за межі досліджень теплопровідності. Проте більшість учених продовжували мучитися питанням: "Чи може сума синусоїдального ряду сходитися до точного значення розривної функції?"

Схожість рядів Фур'є: приклад

Питання про збіжність піднімається щоразу за необхідності підсумовування нескінченних рядів чисел. Для розуміння цього феномена розглянемо класичний приклад. Чи зможете ви коли-небудь досягти стіни, якщо кожен наступний крок буде вдвічі меншим за попередній? Припустимо, що ви знаходитесь за два метри від мети, перший крок наближає до позначки на половині шляху, наступний - до позначки в три чверті, а після п'ятого ви подолаєте майже 97 відсотків шляху. Однак скільки б ви не зробили кроків, наміченої мети ви не досягнете в строгому математичному сенсі. Використовуючи числові розрахунки, можна довести, що зрештою можна наблизитися на скільки завгодно малу задану відстань. Даний доказ є еквівалентним демонстрації того, що сумарне значення однієї другої, однієї четвертої тощо буде прагнути до одиниці.

Питання збіжності: друге пришестя, або Прилад лорда Кельвіна

Повторно це питання піднялося наприкінці дев'ятнадцятого століття, коли ряди Фур'є спробували застосувати для прогнозування інтенсивності відливів і припливів. У цей час лордом Кельвіном був винайдений прилад, що є аналоговим обчислювальним пристроєм, який дозволяв морякам військового і торгового флоту відстежувати це природне явище. Даний механізм визначав набори фаз і амплітуд по таблиці висоти припливів і відповідних тимчасових моментів, ретельно заміряних в даній гавані протягом року. Кожен параметр був синусоїдальною компонентою виразу висоти припливу і був однією з регулярних складових. Результати вимірювань вводилися в обчислювальний прилад лорда Кельвіна, який синтезує криву, яка передбачала висоту води як тимчасову функцію наступного року. Незабаром подібні криві були складені всім гаваней світу.

А якщо процес буде порушено розривною функцією?

У той час здавалося очевидним, що прилад, що передбачає проливну хвилю, з великою кількістю елементів рахунку може обчислити велику кількість фаз і амплітуд і так забезпечити більш точні передбачення. Проте виявилося, що ця закономірність не дотримується у тих випадках, коли приливний вираз, який слід синтезувати, містив різкий стрибок, тобто був розривним. У тому випадку, якщо пристрій вводяться дані з таблиці часових моментів, то воно робить обчислення декількох коефіцієнтів Фур'є. Вихідна функція відновлюється завдяки синусоїдальним компонентам (відповідно до знайдених коефіцієнтів). Розбіжність між вихідним та відновленим виразом можна вимірювати у будь-якій точці. При проведенні повторних обчислень та порівнянь видно, що значення найбільшої помилки не зменшується. Однак вони локалізуються в області, що відповідає точці розриву, а в будь-якій іншій точці прагнуть нуля. У 1899 році цей результат був теоретично підтверджений Джошуа Уіллардом Гіббсом із Єльського університету.

Схожість рядів Фур'є та розвиток математики в цілому

Аналіз Фур'є не застосовується до виразів, що містять нескінченну кількість сплесків на певному інтервалі. У цілому ряди Фур'є, якщо початкова функція представлена ​​результатом реального фізичного виміру, завжди сходяться. Питання збіжності даного процесу для конкретних класів функцій сприяли появі нових розділів у математиці, наприклад теорії узагальнених функцій. Вона пов'язані з такими іменами, як Л. Шварц, Дж. Мікусінський та Дж. Темпл. В рамках даної теорії була створена чітка і точна теоретична основа під такі вирази, як дельта-функція Дірака (вона описує область єдиної площі, сконцентрованої в нескінченно малій околиці точки) і "ступінь" Хевісайда. Завдяки цій роботі ряди Фур'є стали застосовні для вирішення рівнянь і завдань, в яких фігурують поняття інтуїтивні: точковий заряд, точкова маса, магнітні диполі, а також зосереджена навантаження на балці.

Метод Фур'є

Ряди Фур'є, відповідно до принципів інтерференції, починаються з розкладання складних форм більш прості. Наприклад, зміна теплового потоку пояснюється його проходженням крізь різні перешкоди з теплоізолюючого матеріалу неправильної форми або зміною поверхні землі – землетрусом, зміною орбіти небесного тіла – впливом планет. Як правило, подібні рівняння, що описують прості класичні системи, просто вирішуються для кожної окремої хвилі. Фур'є показав, що прості рішення також можна підсумовувати для отримання більш складних завдань. Висловлюючись мовою математики, ряди Фур'є - це методика подання виразу сумою гармонік - косінусоїд та синусоїд. Тому цей аналіз відомий також під ім'ям «гармонічний аналіз».

Ряд Фур'є – ідеальна методика до «комп'ютерної доби»

До створення комп'ютерної техніки методика Фур'є була найкращою зброєю в арсеналі вчених під час роботи з хвильовою природою нашого світу. Ряд Фур'є у комплексній формі дозволяє вирішувати не лише прості завдання, які піддаються прямому застосуванню законів механіки Ньютона, а й фундаментальні рівняння. Більшість відкриттів ньютонівської науки дев'ятнадцятого століття стали можливими лише завдяки методиці Фур'є.

Ряди Фур'є сьогодні

З розвитком комп'ютерів перетворення Фур'є піднялися якісно новий рівень. Ця методика міцно закріпилася практично у всіх сферах науки та техніки. Як приклад можна навести цифровий аудіо- та відеосигнал. Його реалізація стала можливою лише завдяки теорії, розробленій французьким математиком на початку ХІХ століття. Так, ряд Фур'є у комплексній формі дозволив зробити прорив у вивченні космічного простору. Крім того, це вплинуло на вивчення фізики напівпровідникових матеріалів та плазми, мікрохвильової акустики, океанографії, радіолокації, сейсмології.

Тригонометричний ряд Фур'є

У математиці ряд Фур'є є способом уявлення довільних складних функцій сумою простіших. У загальних випадках кількість таких виразів може бути нескінченною. При цьому чим більше їхня кількість враховується при розрахунку, тим точніше виходить кінцевий результат. Найчастіше як найпростіші використовують тригонометричні функції косинуса або синуса. У такому разі ряди Фур'є називають тригонометричними, а розв'язання таких виразів – розкладанням гармоніки. Цей метод відіграє у математиці. Насамперед, тригонометричний ряд дає засоби для зображення, а також вивчення функцій, він є основним апаратом теорії. Крім того, він дозволяє вирішувати низку завдань математичної фізики. Нарешті, ця теорія сприяла розвитку викликала до життя низку дуже важливих розділів математичної науки (теорію інтегралів, теорію періодичних функцій). Крім того, послужила відправним пунктом для розвитку наступних функцій дійсного змінного, а також започаткувала гармонійний аналіз.

Які вже добряче набридли. І я відчуваю, що настав момент, коли зі стратегічних запасів теорії настав час витягти нові консерви. Чи не можна розкласти функцію в ряд якось інакше? Наприклад, виразити відрізок прямої лінії через синуси та косинуси? Здається неймовірним, але такі, начебто, далекі одна від одної функції піддаються
"возз'єднання". Крім примелькавшихся ступенів у теорії та практиці існують інші підходи до розкладання функції в ряд.

На даному уроці ми познайомимося з тригонометричним рядом Фур'є, торкнемося питання його збіжності та суми і, звичайно ж, розберемо численні приклади на розкладання функцій у ряді Фур'є. Щиро хотілося назвати статтю «Ряди Фур'є для чайників», але це було б лукавством, оскільки для вирішення завдань знадобляться знання інших розділів математичного аналізу та деякий практичний досвід. Тому преамбула нагадуватиме підготовку космонавтів =)

По-перше, до вивчення матеріалів сторінки слід підійти у відмінній формі. Виспалися, відпочили і тверезі. Без сильних емоцій з приводу зламаної лапи хом'ячка та нав'язливих думок про тягар життя акваріумних рибок. Ряд Фур'є не складний з погляду розуміння, проте практичні завдання вимагають просто підвищеної концентрації уваги – в ідеалі слід повністю відмовитися від зовнішніх подразників. Ситуація ускладнюється тим, що не існує легкого способу перевірки рішення та відповіді. Таким чином, якщо ваше самопочуття нижче середнього, то краще зайнятися чимось простим. Щоправда.

По-друге, перед польотом у космос необхідно вивчити панель приладів космічного корабля. Почнемо із значень функцій, які повинні клацатися на автоматі:

При будь-якому натуральному значенні:

1). І справді, синусоїда «прошиває» вісь абсцис через кожне «пі»:
. Що стосується негативних значень аргументу результат, звісно ж, буде таким же: .

2). А це знали не всі. Косинус «пі ен» є еквівалентом «мигалки»:

Негативний аргумент справи не змінює: .

Мабуть, достатньо.

І, по-третє, шановний загін космонавтів, необхідно вміти... інтегрувати.
Зокрема, впевнено підводити функцію під знак диференціалу, інтегрувати частинамиі бути в ладах з формулою Ньютона-Лейбніца. Почнемо важливі передпольотні вправи. Категорично не рекомендую пропускати, щоб потім не плющило у невагомості:

Приклад 1

Обчислити певні інтеграли

де набуває натуральних значень.

Рішення: інтегрування проводиться за змінною "ікс" і на даному етапі дискретна змінна "ен" вважається константою. У всіх інтегралах підводимо функцію під знак диференціалу:

Коротка версія рішення, до якої добре пристрілятися, виглядає так:

Звикаємо:

Чотири пункти, що залишилися, самостійно. Постарайтеся сумлінно поставитися до завдання та оформити інтеграли коротким способом. Зразки рішень наприкінці уроку.

Після якісного виконання вправ надягаємо скафандри
і готуємось до старту!

Розкладання функції у ряд Фур'є на проміжку

Розглянемо деяку функцію, яка визначенопринаймні на проміжку (а, можливо, і на більшому проміжку). Якщо ця функція інтегрована на відрізку , її можна розкласти в тригонометрический ряд Фур'є:
де – так звані коефіцієнти Фур'є.

При цьому число називають періодом розкладання, А число - напівперіодом розкладання.

Очевидно, що в загальному випадку ряд Фур'є складається з синусів та косінусів:

Дійсно, розпишемо його докладно:

Нульовий член низки прийнято записувати як .

Коефіцієнти Фур'є розраховуються за такими формулами:

Прекрасно розумію, що початківцям вивчати тему поки що малозрозумілі нові терміни: період розкладання, напівперіод, коефіцієнти Фур'єта ін Без паніки, це не порівняно з хвилюванням перед виходом у відкритий космос. У всьому розберемося в найближчому прикладі, перед виконанням якого логічно поставитися насущними практичними питаннями:

Що потрібно зробити в наведених нижче завданнях?

Розкласти функцію до ряду Фур'є. Додатково нерідко потрібно зобразити графік функції, графік суми ряду, часткової суми і у разі витончених професорських фантазій зробити щось ще.

Як розкласти функцію до ряду Фур'є?

По суті, потрібно знайти коефіцієнти Фур'єтобто скласти і обчислити три певних інтегралів.

Будь ласка, перепишіть загальний вигляд ряду Фур'є та три робочі формули до себе у зошит. Я дуже радий, що у деяких відвідувачів сайту прямо на моїх очах здійснюється дитяча мрія стати космонавтом.

Приклад 2

Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Побудувати графік, графік суми ряду та часткової суми.

Рішення: перша частина завдання полягає у розкладанні функції в ряд Фур'є.

Початок стандартний, обов'язково записуємо, що:

У цьому завдання період розкладання, напівперіод.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є на проміжку:

Використовуючи відповідні формули, знайдемо коефіцієнти Фур'є. Тепер потрібно скласти та обчислити три певних інтегралів. Для зручності я нумеруватиму пункти:

1) Перший інтеграл найпростіший, проте і він уже вимагає око та око:

2) Використовуємо другу формулу:

Цей інтеграл добре знайомий і береться він частинами:

При знаходженні використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

У розглянутому завданні зручніше відразу використовувати формулу інтегрування частинами у певному інтегралі :

Пара технічних зауважень. По-перше, після застосування формули весь вираз потрібно покласти у великі дужки, оскільки перед вихідним інтегралом є константа . Не втрачаємо її! Дужки можна розкрити на будь-якому подальшому кроці, я це зробив в останню чергу. У першому «шматку» виявляємо крайню акуратність у підстановці, як бачите, константа не при справах, і межі інтегрування підставляються у твір. Ця дія виділена квадратними дужками. Ну а інтеграл другого «шматка» формули вам добре знайомий із тренувального завдання;-)

І найголовніше – гранична концентрація уваги!

3) Шукаємо третій коефіцієнт Фур'є:

Отримано родича попереднього інтеграла, який теж інтегрується частинами:

Цей екземпляр трохи складніший, закоментую подальші дії покроково:

(1) Вираз повністю укладаємо у великі дужки. Не хотів здатися занудою, надто часто втрачають константу.

(2) У цьому випадку я негайно розкрив ці великі дужки. Особлива увагаприділяємо першому «шматку»: константа палить осторонь і бере участь у підстановці меж інтегрування ( і ) до твір . Через захаращеність запису цю дію знову доцільно виділити квадратними дужками. З другим «шматком» все простіше: тут дріб з'явився після розкриття великих дужок, а константа – внаслідок інтегрування знайомого інтеграла;-)

(3) У квадратних дужках проводимо перетворення, а правому інтегралі – підстановку меж інтегрування.

(4) Виносимо «мигалку» з квадратних дужок: після чого розкриваємо внутрішні дужки: .

(5) Взаємознищуємо 1 та –1 у дужках та проводимо остаточні спрощення.

Нарешті знайдено всі три коефіцієнти Фур'є:

Підставимо їх у формулу :

При цьому не забуваємо розділити навпіл. На останньому етапі константа («мінус два»), яка не залежить від «ен», винесена за межі суми.

Таким чином, ми отримали розкладання функції в ряд Фур'є на проміжку:

Вивчимо питання збіжності низки Фур'є. Я поясню теорію, зокрема теорему Діріхле, буквально «на пальцях», тому якщо вам необхідні суворі формулювання, будь ласка, зверніться до підручника з математичного аналізу (Наприклад, 2-й том Бохана; або 3-й том Фіхтенгольця, але в ньому важче).

У другій частині завдання потрібно зобразити графік, графік суми ряду та графік часткової суми.

Графік функції є звичайною пряму на площині, яка проведена чорним пунктиром:

Розбираємось із сумою ряду. Як ви знаєте, функціональні ряди сходяться до функцій. У нашому випадку побудований ряд Фур'є за будь-якого значення «ікс»зійдеться до функції, яка зображена червоним кольором. Ця функція терпить розриви 1-го родуу точках , але визначена і в них (червоні точки на кресленні)

Таким чином: . Легко бачити, що помітно відрізняється від вихідної функції саме тому в записі ставиться значок «тильда», а чи не знак рівності.

Вивчимо алгоритм, яким зручно будувати суму ряду.

На центральному інтервалі ряд Фур'є сходиться до функції (центральний червоний відрізок збігається з чорним пунктиром лінійної функції).

Тепер трохи поміркуємо про природу тригонометричного розкладання, що розглядається. У ряд Фур'є входять лише періодичні функції (константа, синуси та косинуси), тому сума ряду теж є періодичною функцією.

Що це означає у нашому конкретному прикладі? А це означає те, що сума ряду –неодмінно періодичнаі червоний відрізок інтервалу повинен нескінченно повторюватися ліворуч і праворуч.

Думаю, зараз остаточно прояснилося значення фрази «період розкладання». Спрощено кажучи, через кожну ситуацію знову і знову повторюється.

Насправді зазвичай досить зобразити три періоди розкладання, як і зроблено на кресленні. Ну і ще "обрубки" сусідніх періодів - щоб було зрозуміло, що графік продовжується.

Особливий інтерес представляють точки розриву 1-го роду. У таких точках ряд Фур'є сходить до ізольованих значень, які розташовані рівно посередині «стрибка» розриву (червоні точки на кресленні). Як дізнатися ординату цих точок? Спочатку знайдемо ординату «верхнього поверху»: при цьому обчислимо значення функції крайньої правої точки центрального періоду розкладання: . Щоб обчислити ординату «нижнього поверху» найпростіше взяти крайнє ліве значення цього періоду: . Ордината середнього значення – це середня арифметична сума «верху і низу»: . Приємним є той факт, що при побудові креслення ви відразу побачите, чи правильно чи неправильно обчислено середину.

Побудуємо часткову суму низки і заразом повторимо сенс терміна «збіжність». Мотив відомий ще з уроку про сумі числового ряду. Розпишемо наше багатство докладно:

Щоб скласти часткову суму, необхідно записати нульовий + ще два члени ряду. Тобто,

На кресленні графік функції зображений зеленим кольором, і, як бачите, досить щільно «обвиває» повну суму. Якщо розглянути часткову суму з п'яти членів ряду , то графік цієї функції ще точніше наближатиме червоні лінії, якщо сто членів – то «зелений змій» фактично повністю зіллється з червоними відрізками тощо. Таким чином, ряд Фур'є сходиться до своєї суми.

Цікаво відзначити, що будь-яка часткова сума – це безперервна функція, проте повна сума ряду все ж таки розривна.

Насправді негаразд рідко потрібно побудувати і графік часткової суми. Як це зробити? У разі необхідно розглянути функцію на відрізку , обчислити її значення кінцях відрізка й у проміжних точках (що більше точок розглянете – то точніше буде графік). Потім слід зазначити дані точки на кресленні та акуратно зобразити графік на періоді, після чого «розтиражувати» його на сусідні проміжки. А як інакше? Адже наближення – це теж періодична функція… …щось мені її графік нагадує рівний ритм серця на дисплеї медичного приладу.

Виконувати побудову, звичайно, не дуже зручно, тому що і доводиться виявляти надакуратність, витримуючи точність не менше ніж до половини міліметра. Втім, читачів, які не в ладах із кресленням, порадую – у «реальному» завданні виконувати креслення потрібно далеко не завжди, десь у 50% випадків потрібно розкласти функцію до ряду Фур'є і все.

Після виконання креслення завершуємо завдання:

Відповідь:

Багато завдань функція терпить розрив 1-го родупрямо на періоді розкладання:

Приклад 3

Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану на відрізку. Накреслити графік функції та повної суми ряду.

Запропонована функція задана кусковим чином (Причому, зауважте, тільки на відрізку)і терпить розрив 1-го родуу точці. Чи можна визначити коефіцієнти Фур'є? Без проблем. І ліва і права частини функції інтегруються на своїх проміжках, тому інтеграли в кожній із трьох формул слід подати у вигляді суми двох інтегралів. Подивимося, наприклад, як це робиться у нульового коефіцієнта:

Другий інтеграл дорівнював нулю, що зменшило роботи, але так буває далеко не завжди.

Аналогічно розписуються два інші коефіцієнти Фур'є.

Як зобразити суму ряду? На лівому інтервалі креслимо відрізок прямої, а на інтервалі – відрізок прямої (жирно-жирно виділяємо ділянку осі). Тобто, на проміжку розкладання сума ряду збігається з функцією скрізь, крім трьох «поганих» точок. У точці розриву функції ряд Фур'є зійдеться до ізольованого значення, яке розташовується посередині «стрибка» розриву. Його неважко побачити і усно: лівостороння межа: , правостороння межа: і очевидно, що ордината середньої точки дорівнює 0,5.

З огляду на періодичність суми , картинку необхідно «розмножити» на сусідні періоди, зокрема зобразити те саме на інтервалах і . При цьому, у точках ряд Фур'є зійдеться до серединних значень.

По суті, нічого нового тут немає.

Постарайтеся самостійно впоратися з цим завданням. Зразок чистового оформлення та креслення наприкінці уроку.

Розкладання функції ряд Фур'є на довільному періоді

Для довільного періоду розкладання , де «ель» – будь-яке позитивне число, формули ряду Фур'є та коефіцієнтів Фур'є відрізняються трохи ускладненим аргументом синуса та косинуса:

Якщо , то виходять формули проміжку , з яких ми починали.

Алгоритм та принципи вирішення задачі повністю зберігаються, але зростає технічна складність обчислень:

Приклад 4

Розкласти функцію в ряд Фур'є та побудувати графік суми.

Рішення: фактично аналог Прикладу № 3 с розривом 1-го родуу точці. У цьому завдання період розкладання, напівперіод. Функція визначена тільки на напівінтервалі, але це не змінює справи – важливо, що обидва шматки функції інтегруються.

Розкладемо функцію до ряду Фур'є:

Оскільки функція розривна на початку координат, то кожен коефіцієнт Фур'є очевидно слід записати у вигляді суми двох інтегралів:

1) Перший інтеграл розпишу максимально докладно:

2) Ретельно вдивляємось у поверхню Місяця:

Другий інтеграл беремо частинами:

На що слід звернути пильну увагу після того, як ми зірочкою відкриваємо продовження рішення?

По-перше, не втрачаємо перший інтеграл де відразу ж виконуємо підведення під знак диференціалу. По-друге, не забуваємо злощасну константу перед великими дужками та не плутаємось у знакахпри використанні формули . Великі дужки, все-таки зручніше розкривати відразу на наступному кроці.

Інша справа техніки, складнощі може викликати лише недостатній досвід розв'язання інтегралів.

Так, недаремно імениті колеги французького математика Фур'є обурювалися - як це той посмів розкладати функції в тригонометричні ряди?! =) До речі, напевно, всім цікавий практичний зміст завдання. Сам Фур'є працював над математичною моделлю теплопровідності, а згодом ряд, названий його ім'ям став застосовуватися для вивчення багатьох періодичних процесів, яких у навколишньому світі мабуть-невидимо. Зараз, до речі, впіймав себе на думці, що не випадково порівняв графік другого прикладу з періодичним ритмом серця. Бажаючі можуть ознайомитись із практичним застосуванням перетворення Фур'єу сторонніх джерелах. …Хоча краще не треба – буде згадуватися, як Перше Кохання =)

3) Враховуючи слабкі ланки, що неодноразово згадувалися, розбираємося з третім коефіцієнтом:

Інтегруємо частинами:

Підставимо знайдені коефіцієнти Фур'є у формулу , не забуваючи поділити нульовий коефіцієнт навпіл:

Побудуємо графік суми низки. Коротко повторимо порядок дій: на інтервалі будуємо пряму, але в інтервалі – пряму . При нульовому значенні «ікс» ставимо крапку посередині «стрибка» розриву та «тиражуємо» графік на сусідні періоди:


На «стиках» періодів сума також дорівнюватиме серединам «стрибка» розриву.

Готово. Нагадую, що сама функція за умовою визначена лише на напівінтервалі та, очевидно, збігається із сумою ряду на інтервалах

Відповідь:

Іноді шматково-задана функція буває безперервна на періоді розкладання. Найпростіший зразок: . Рішення (Див. 2-й том Бохана)таке саме, як і двох попередніх прикладах: незважаючи на безперервність функціїу точці , кожен коефіцієнт Фур'є виражається сумою двох інтегралів.

На проміжку розкладання точок розриву 1-го родута/або точок «стику» графіка може бути і більше (дві, три і взагалі будь-яке кінцевекількість). Якщо функція інтегрована кожної частини, вона також розкладена до низки Фурье. Але з практичного досвіду таку жерсть щось не пригадую. Тим не менш, зустрічаються більш важкі завдання, ніж щойно розглянуте, і наприкінці статті для всіх бажаючих є посилання на ряди Фур'є підвищеної складності.

А поки розслабимося, відкинувшись у кріслах і споглядаючи безкраї зоряні простори:

Приклад 5

Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку та побудувати графік суми ряду.

У цьому завданні функція безперервнана напівінтервалі розкладання, що полегшує рішення. Все дуже схоже на Приклад № 2. З космічного корабля нікуди не подітися – доведеться вирішувати =) Прикладний зразок оформлення наприкінці уроку графік додається.

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій

З парними та непарними функціями процес вирішення завдання помітно спрощується. І ось чому. Повернемося до розкладання функції до ряду Фур'є на періоді «два пі» та довільному періоді «два ель» .

Припустимо, що наша функція парна. Загальний член ряду, як ви бачите, містить парні косинуси і непарні синуси. А якщо ми розкладаємо ЧЕТНУ функцію, то навіщо нам непарні синуси? Давайте обнулимо непотрібний коефіцієнт: .

Таким чином, парна функція розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах:

Оскільки інтеграли від парних функційпо симетричному щодо нуля відрізку інтегрування можна подвоювати, то спрощуються та інші коефіцієнти Фур'є.

Для проміжку:

Для довільного проміжку:

До хрестоматійних прикладів, які є практично в будь-якому підручнику з матаналізу, належать розкладання парних функцій . Крім того, вони неодноразово зустрічалися і в моїй особистій практиці:

Приклад 6

Дана функція. Потрібно:

1) розкласти функцію до низки Фур'є з періодом , де – довільне позитивне число;

2) записати розкладання на проміжку, побудувати функцію та графік повної суми ряду.

Рішення: у першому пункті пропонується вирішити завдання у загальному вигляді, і це дуже зручно! З'явиться потреба – просто підставте своє значення.

1) У цій задачі період розкладання, напівперіод. У ході подальших дій, зокрема під час інтегрування, «ель» вважається константою

Функція є парною, а значить, розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах: .

Коефіцієнти Фур'є шукаємо за формулами . Зверніть увагу на їхню безумовну перевагу. По-перше, інтегрування проводиться за позитивним відрізком розкладання, а значить, ми благополучно позбавляємося модуля , розглядаючи з двох шматків лише «ікс». І по-друге, помітно спрощується інтегрування.

Два:

Інтегруємо частинами:

Таким чином:
, у своїй константу , яка залежить від «ен», виносимо межі суми.

Відповідь:

2) Запишемо розкладання на проміжку, для цього в загальну формулу підставляємо потрібне значення напівперіоду:

Розкладання в ряд Фур'є парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або косинусами Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій Ряд Фур'є за ортогональною системою Парсеваля Замкнуті системи Повнота та замкнутість систем

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій Функція f(x), визначена на відрізку \-1, де I > 0, називається парною, якщо Графік парної функції симетричний щодо осі ординат. Функція f(x), визначена на відрізку J), де I > 0, називається непарною, якщо Графік непарної функції симетричний щодо початку координат. приклад. а) Функція є парною на відрізку |-jt, jt), тому що для всіх х е б) Функція є непарною, тому що Розкладання в ряд Фур'є парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або косинусами Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій Ряд Фур'є за ортогональною системою Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Безселя Рівність Парсеваля Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем в) Функція f(x) де ні до парних, ні до непарних функцій, оскільки Нехай функція f(x), що задовольняє умов теореми 1, є парною на відрізку х|. Тоді всім тобто. /(ж) cos nx є парною функцією, a f(x) sinnx - непарною. Тому коефіцієнти Фур'є парної функції /(ж) дорівнюють Отже, ряд Фур'є парної функції має вигляд 00 Якщо f(x) - непарна функція на відрізку [-тг, ir|, то добуток f(x)cosnx буде непарною функцією, а добуток f(x) sin пх - парною функцією. Тому будемо мати Таким чином, ряд Фур'є непарної функції має вигляд Приклад 1. Розкласти в ряд Фур'є на відрізку -х^х^п функцію 4 Так як ця функція парна і задовольняє умовам теореми 1, то її ряд Фур'є має вигляд Знаходимо коефіцієнти Фур'є. Маємо Двічі інтегрування по частинах, отримаємо, що Значить, ряд Фур'є даної функції виглядає так: або, в розгорнутому вигляді, Ця рівність справедлива для будь-якого х € , так як у точках х = ±ir сума ряду збігається зі значеннями функції f(x ) = х2, оскільки Графіки функції f(x) = х та суми отриманого ряду дано на рис. Зауваження. Цей ряд Фур'є дозволяє знайти суму одного з числових рядів, що сходяться, а саме, при х = 0 отримуємо, що Приклад 2. Розкласти в ряд Фур'є на інтервалі функцію /(х) = х. Функція /(х) задовольняє умовам теореми 1, отже її можна розкласти в ряд Фур'є, який через непарність цієї функції матиме вигляд Інтегруючи вроздріб, знаходимо коефіцієнти Фур'є Отже, ряд Фур'є даної функції має вигляд Ця рівність має місце для всіх х точках х - ±тг сума ряду Фур'є не збігається зі значеннями функції /(х) = х, оскільки вона дорівнює поза відрізком [-*, я-] сума ряду є періодичним продовженням функції /(х) = х; її графік зображено на рис. 6. § 6. Розкладання функції, заданої на відрізку, в ряд синусами або косинусами Нехай обмежена кусково-монотонна функція / задана на відрізку . Значення цієї функції на відрізку 0 | можна визначити різним чином. Наприклад, можна визначити функцію / на відрізку тс] так, щоб /. В цьому випадку говорять, що) «продовжена на відрізок 0] парним чином»; її ряд Фур'є міститиме лише косинуси. Якщо ж функцію /(ж) визначити на відрізку [-л-, тс] так, щоб /(, то вийде непарна функція, і тоді кажуть, що / "продовжена на відрізок [-*, 0] непарним чином"; випадку се ряд Фур'є буде містити тільки синуси. по косинусах; б) за синусами. М Дана функція при її парному та непарному продовженнях у відрізок |-х,0) буде обмеженою та шматково-монотонною. а) Продовжимо /(z) у відрізок 0) а) Продовжимо j\x) у відрізок (-тг,0| парним чином (рис. 7), тоді її ряд Фур'є i матиме вигляд П=1 де коефіцієнти Фур'є рівні відповідно Отже, б) Продовжимо /(z) у відрізок [-x,0] непарним чином (рис. 8). Тоді її ряд Фур'є §7. Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Нехай функція fix) є періодичною з періодом 21,1^0. Для розкладання її в ряд Фур'є на відрізку де I > 0 зробимо заміну змінної, поклавши х = jt. Тоді функція F(t) = / ^tj буде періодичною функцією аргументу t з періодом і її можна розкласти на відрізку до ряду Фур'є. , Залишаються в силі і для періодичних функцій з довільним періодом 21. Зокрема, зберігає свою силу і достатню ознаку розкладання функції в ряд Фур'є. Приклад 1. Розкласти ряд Фур'є періодичну функцію з періодом 21, задану на відрізку [-/,/] формулою (рис.9). Так як дана функція парна, то її ряд Фур'є має вигляд Підставляючи ряд Фур'є знайдені значення коефіцієнтів Фур'є, отримаємо Відзначимо одну важливу властивість періодичних функцій. Теорема 5. Якщо функція має період Т і інтегрована, то будь-якого числа а виконується рівність m. е. інтеграл no відрізку, довжина якого дорівнює періоду Т, має те саме значення незалежно від положення цього відрізка на числовій осі. Справді, Робимо заміну змінної у другому інтегралі, вважаючи. Це дає і отже, геометрично ця властивість означає, що у випадку площі заштрихованих на рис. 10 областей рівні між собою. Зокрема, для функції f(x) з періодом отримаємо при розкладанні ряду Фур'є парних парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або по косинусах Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Бесселя Рівність Парсеваля Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем Приклад 2. Функція x є періодичною з періодом В силу непарності даної функції без обчислення інтегралів можна стверджувати, що при будь-якому Доведена властивість, зокрема , Що коефіцієнти Фур'є періодичної функції f(x) з періодом 21 можна обчислювати за формулами де а - довільне дійсне число (зазначимо, що функції cos - і sin мають період 2/). Приклад 3. Розкласти ряд Фур'є задану на інтервалі функцію з періодом 2х (рис. 11). 4 Знайдемо коефіцієнти Фур'є цієї функції. Отже, ряд Фур'є виглядатиме так: У точці х = jt (точка розриву першого роду) маємо §8. Комплексний запис ряду Фур'є У цьому параграфі використовуються деякі елементи комплексного аналізу (див. розділ XXX, де всі дії, що тут проводяться з комплексними виразами, суворо обґрунтовані). Нехай функція f(x) задовольняє достатні умови розкладності в ряд Фур'є. Тоді на відрізку ж] її можна уявити поруч виду Використовуючи формули Ейлера Підставляючи ці вирази в ряд (1) замість cos пх і sin пху будемо мати Введемо наступні позначення Тоді ряд (2) набуде вигляду Таким чином, ряд Фур'є (1) представлений у комплексній формі (3). Знайдемо вирази коефіцієнтів через інтеграли. Аналогічно знаходимо остаточно формули для с„, с_п і со можна записати так: . . Коефіцієнти з„ називаються комплексними коефіцієнтами Фур'є функції Для періодичної функції з періодом) комплексна форма ряду Фур'є набуде вигляду де коефіцієнти Сп обчислюються за формулами значення ж, якщо є межі Приклад. Розкласти в комплексний ряд Фур'є функцію періоду Ця функція задовольняє достатні умови розкладності в ряд Фур'є. Нехай Знайдемо комплексні коефіцієнти Фур'є цієї функції. Маємо для непарних для парних n, або, коротше. Підставляючи значення), отримаємо остаточно Зауважимо, що цей ряд можна записати і так: Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій 9.1. Ортогональні системи функцій Позначимо через множину всіх (дійсних) функцій, визначених та інтегрованих на відрізку [а, 6] з квадратом, т.е. е. таких, для яких існує інтеграл Зокрема всі функції f(x), безперервні на відрізку [а, 6], належать 6], і значення їх інтегралів Лебега збігаються зі значеннями інтегралів Рімана. Визначення. Система функцій, де, називається ортогональною на відрізку [а, Ь\, якщо Умова (1) передбачає, зокрема, що жодна з функцій не дорівнює тотожному нулю. Інтеграл розуміється у сенсі Лебега. і назвемо величину нормою функції Якщо в ортогональній системі для всякого маємо, то система функцій називається ортонормованою. Якщо система (у>„(ж)) ортогональна, то система Приклад 1. Тригонометрична система ортогональна на відрізку. Система функцій є ортонормованою системою функцій, Приклад 2. Косинус-система і синус-система ортонормована. Введемо позначення є ортогональними на відрізку (0, f|, але не ортонормованими (при I Ф-2). так як їх норми COS Приклад 3. Багаточлени, що визначаються рівністю, називаються багаточленами (поліномами) Лежандра. При п = 0 маємо Довести , Що функції утворюють ортонормовану систему функцій на відрізку. наприклад, ортогональність поліномів Лежандра. -1,1). Визначення. Система функцій (pn(x)) називається ортогональною на інтервалі (а, Ь) звисом р(х), якщо: 1) для всіх п = 1,2,... існують інтеграли Тут передбачається, що вагова функція р(х) визначено і позитивно всюди на інтервалі (а, Ь) за можливим винятком кінцевого числа точок, де р(х) може звертатися в нуль. Виконавши диференціювання у формулі (3), знаходимо. Можна показати, що багаточлени Чебишева-Ерміта ортогональні на інтервалі Приклад 4. Система функцій Бесселя (jL(pix)^ ортогональна на інтервалі нулі функції Бесселя Приклад 5. Розглянемо багаточлени Чебишева-Ерміта, які можуть бути визначені за допомогою рівності. Ряд Фурн системі Нехай ортогональна система функцій у інтервалі (a, 6) і нехай ряд (cj = const) сходить на цьому інтервалі до функції f(x): Помножуючи обидві частини останньої рівності на - фіксовано) і інтегруючи по ж від а до 6, в силу ортогональності системи отримаємо, що Ця операція має, власне кажучи, суто формальний характер. Тим не менш, у деяких випадках, наприклад, коли ряд (4) сходиться рівномірно, всі функції безперервні та інтервал (a, 6) кінцевий, ця операція є законною. Але для нас зараз важливе саме формальне трактування. Отже, нехай задано функцію. Утворимо числа с* за формулою (5) і напишемо Ряд, що стоїть у правій частині, називається рядом Фур'є функції f(x) щодо системи (^п(я))- Числа Сп називаються коефіцієнтами Фур'є функції f(x) за цією системою. Знак ~ у формулі (6) означає лише, що числа Сп пов'язані з функцією /(ж) формулою (5) (при цьому не передбачається, що ряд справа взагалі сходиться, а тим більше сходиться до функції f(x)). Тому, природно виникає питання: які властивості цього ряду? У якому значенні він «представляє» функцію f(x)? 9.3. Збіжність у середньому Визначення. Послідовність, сходиться до елементу ] у середньому, якщо норма у просторі Теорема 6. Якщо послідовність ) сходиться рівномірно, вона сходиться й у середньому. М Нехай послідовність () сходить рівномірно на відрізку [а, Ь] до функції /(х). Це означає, що для кожного при всіх досить великих маємо Отже, звідки випливає наше твердження. Зворотне твердження неправильне: послідовність () може сходитися в середньому до /(х), але не бути рівномірно схожою. приклад. Розглянемо послідовність пх Легко бачити, що Але ця збіжність не рівномірна: існує е, наприклад, таке, що хоч би великим л, на відрізку , Розкладання в ряд Фур'є парних парних і непарних функцій розкладання функції заданої на відрізку в ряд за синусами або по косинусам Ряд Фур'є для функції з довільним періодом Комплексний запис ряду Фур'є Ряди Фур'є за загальним ортогональним системам функцій Ряд Фур'є за ортогональною системою Мінімальна властивість коефіцієнтів Фур'є Нерівність Бесселя Рівність Парсеваля Замкнуті системи Повнота і замкнутість систем ) за ортонормованою системою Розглянемо лінійну комбінацію де n ^ 1 - фіксоване ціле число, і знайдемо значення постійних, при яких інтеграл набуває мінімального значення. Запишемо його докладніше Інтефуючи почленно, в силу ортонормованості системи отримаємо Перші два доданки у правій частині рівності (7) не залежать, а третій доданок невід'ємний. Тому інтеграл (*) набуває мінімального значення при ак = ск Інтеграл називають середнім квадратичним наближенням функції / (х) лінійною комбінацією Тп (х). Отже, середнє квадратичне наближення функції/\ приймає мінімальне значення, коли. коли Тп(х) є 71-а часткова сума ряду Фур'є функції /(х) за системою (. Вважаючи ак = ск, з (7) отримуємо Рівність (9) називається тотожністю Бесселя. Так як його ліва частина невід'ємна, то з нього слідує нерівність Бесселя Оскільки я тут довільно, то нерівність Бесселя можна представити в посиленій формі тобто для будь-якої функції / ряд з квадратів коефіцієнтів Фур'є цієї функції за ортонормованою системою ) сходиться. Так як система ортонормована на відрізку [-х, тг], то нерівність (10) у перекладі на звичний запис тригонометричного ряду Фур'є дає співвідношення do справедливе для будь-якої функції /(х) з квадратом, що інтегрується. Якщо f2(x) інтегрована, то через необхідну умову збіжності ряду в лівій частині нерівності (11) отримуємо, що. Рівність Парсе валя Для деяких систем (^„(х)) знак нерівності у формулі (10) може бути замінений (для всіх функцій /(х) 6 год) знаком рівності. Отримана рівність називається рівністю Парсеваля-Стеклова (умовою повноти). Тотожність Бесселя (9) дозволяє записати умова (12) у рівносильної формі Тим самим виконання умови повноти означає, що часткові суми Sn(x) низки Фур'є функції /(х) сходяться до функції /(х) у середньому, тобто. за нормою простору 6]. Визначення. Ортонормована система (називається повної в Ь2[ау Ь], якщо будь-яку функцію можна з будь-якою точністю наблизити в середньому лінійною комбінацією виду з досить великим числом доданків, тобто якщо для будь-якої функції/(х) € Ь2[а, Ь\ і для будь-якого е > 0 знайдеться натуральне число nq і числа а\, а2у..., такі, що No З наведених міркувань випливає Теорема 7. Якщо ортонормуванням система ) повна у просторі ряд Фур'є будь-якої функції / за цією системою сходить до f(x) у середньому, тобто за нормою Можна показати, що тригонометрична система повна у просторі, Звідси випливає твердження . Теорема 8. Якщо функція про її тригонометричний ряд Фур'є сходиться до неї в середньому. 9.5. Замкнуті системи. Повнота та замкнутість систем Визначення. Ортонормована система функцій \, називається замкнутої, якщо в просторі Li \ a, Ь) не існує відмінної від нуля функції, ортогональної до всіх функцій У просторі L2 \ a, Ь \ поняття повноти і замкнутості ортонормованих систем збігаються. Вправи 1. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-я-, ж) функцію 2. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію 3. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію 4. Розкладіть у ряд Фур'є в інтервалі (-jt, тг) функцію 5. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію f(x) = ж + х. 6. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-jt, тг) функцію п 7. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тг, ж) функцію /(х) = sin2 х. 8. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тг, jt) функцію f(x) = у 9. Розкладіть до ряду Фур'є в інтервалі (-тт, -к) функцію /(х) = | sin х|. 10. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-я-, тг) функцію /(х) = §. 11. Розкладіть ряд Фур'є в інтервалі (-тг, тг) функцію f(x) = sin §. 12. Розкладіть у ряд Фур'є функцію f(x) = п -2х, задану в інтервалі (0, х), продовживши її в інтервал (-х, 0): а) парним чином; б) непарним чином. 13. Розкладіть у ряд Фур'є за синусами функцію /(х) = х2, задану в інтервалі (0, х). 14. Розкладіть у ряд Фур'є функцію /(х) = 3-х, задану в інтервалі (-2,2). 15. Розкладіть до ряду Фур'є функцію f(x) = |х|, задану в інтервалі (-1,1). 16. Розкладіть у ряд Фур'є за синусами функцію f(x) = 2х, задану в інтервалі (0,1).

Ряди Фур'є– спосіб уявлення складної функції сумою простіших, добре відомих.
Синус та косинус – це періодичні функції. Ще вони утворюють ортогональний базис. Цю властивість можна пояснити за аналогією з осями X X Xі Y Y Yна координатній площині. Так само, як ми можемо описати координати точки щодо осей, ми можемо описати будь-яку функцію щодо синусів та косинусів. Тригонометричні функції добре вивчені та їх легко застосовувати у математиці.

Уявити синуси та косинуси можна у вигляді таких хвиль:

Сині – це косинуси, червоні – синуси. Ще такі хвилі називають гармоніками. Косинуси – парними, синуси – непарними. Термін гармоніка прийшов ще з античності і пов'язаний із спостереженнями про взаємозв'язок висот звуків у музиці.

Що таке ряд Фур'є

Такий ряд, де як найпростіші використовуються функції синуса та косинуса, називається тригонометричним. Названо його на честь свого винахідника Жана Батіста Жозефа Фур'є, наприкінці XVIII–початку XIX ст. який доказав, що будь-яку функцію можна представити у вигляді комбінації таких гармонік. І чим більше їх взяти, тим точніше ця вистава буде. Наприклад картинка нижче: можна побачити, що з великою кількістю гармонік, т. е. членів низки Фур'є, червоний графік стає дедалі ближче до синього – вихідної функції.

Практичне застосування у сучасному світі

А чи взагалі потрібні ці ряди зараз? Де вони можуть застосовуватися практично і чи використовує їх хтось, крім математиків-теоретиків? Виявляється, Фур'є тому й відомий на весь світ, що практична користь його лав буквально незліченна. Їх зручно застосовувати там, де є якісь коливання чи хвилі: акустика, астрономія, радіотехніка тощо. буд. Найпростіший приклад його використання: механізм роботи фотоапарата чи відеокамери. Якщо коротше пояснювати, ці пристрої записують не просто картинки, а коефіцієнти рядів Фур'є. І працює це скрізь - під час перегляду картинок в інтернеті, фільму або прослуховування музики. Саме завдяки рядам Фур'є ви можете прочитати цю статтю зі свого мобільного телефону. Без перетворення Фур'є нам не вистачило б жодної пропускної спроможності інтернет-з'єднань, щоб просто переглянути відео на YouTube навіть у стандартній якості.

На цій схемі двовимірне перетворення Фур'є, яке використовується для розкладання зображення на гармоніки, тобто базисні складові. На цій схемі чорним закодовано значення -1, білим 1. Вправо та вниз за графіком збільшується частота.

Розкладання в ряд Фур'є

Напевно, ви вже втомилися читати, тож перейдемо до формул.
Для такого математичного прийому, як розкладання функцій у ряді Фур'є, доведеться брати інтеграли. Багато інтегралів. У загальному вигляді ряд Фур'є записують у вигляді нескінченної суми:

F(x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A +n = 1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ sin (n x ))
де
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x ) d x

Якщо ми якимось чином зможемо порахувати нескінченну кількість a n a_n a n​ і b n b_n b n​ (Вони і називаються коефіцієнтами розкладання Фур'є, A A A- це просто постійна цього розкладання), то отриманий ряд в результаті буде на 100% збігатися з вихідною функцією f(x) f(x) f(x)на відрізку від − π -\pi − π до π \pi π . Такий відрізок обумовлений властивостями інтегрування синуса та косинуса. Чим більше n n nдля якого ми розрахуємо коефіцієнти розкладання функції в ряд, тим точніше буде це розкладання.

приклад

Візьмемо просту функцію y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A =2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \ cos (x) dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \ sin (x) dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) sin(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xsin(2 x) dx= − 5

І так далі. У випадку з такою функцією ми можемо відразу сказати, що всі a n = 0 a_n = 0an​ = 0 , коефіцієнти b n b_nbn​ доведеться обчислювати. Якщо ми візьмемо перші чотири члени розкладання в ряд Фур'є для функції y = 5 x y = 5xy= 5 x, Отримаємо:

$5x\approx 10\cdot \sin (x)-5\cdot \sin (2\cdot x)+310\cdot \sin (3\cdot x)-25\cdot \sin (4\cdot x)$

Графік функції, що вийшла, буде виглядати наступним чином:

Розкладання, що вийшло, в ряд Фур'є наближається до нашої вихідної функції. Якщо ми візьмемо більше членів ряду, наприклад, 15, то побачимо вже таке:

Чим більше членів розкладання в ряд, тим вища точність.
Якщо ми трохи змінимо масштаб графіка, зможемо помітити ще одну особливість перетворення: низка Фур'є – це періодична функція з періодом 2 π 2\pi2 π .

Таким чином, можна представляти будь-яку функцію, яка є безперервною на відрізку [ − π ; π] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Все це потрібно для того, щоб полегшити аналіз якихось явищ, що описуються складними функціями. Не завжди можливо аналітично (тобто за формулою) порахувати похідну, а у випадку з набором синусів та косинусів такої проблеми не виникне. Власне розкладання до ряду Фур'є показує, що найчастіше завдання можна вирішувати аналітично на спрощених моделях, одним із прикладів яких і є ряд Фур'є.