Die Fourierreihe. Lösungsbeispiele. Fourier-Reihen in Beispielen und Aufgaben Beispiele für die Erweiterung einer Funktion zu einer Fourier-Reihe

2. Bestimmung der Koeffizienten der Reihe durch die Fourier-Formeln.

Eine periodische Funktion ƒ(x) mit einer Periode von 2π sei so beschaffen, dass sie durch eine trigonometrische Reihe dargestellt wird, die im Intervall (-π, π) gegen eine gegebene Funktion konvergiert, d. h. die Summe dieser Reihe ist:

Angenommen, das Integral der Funktion auf der linken Seite dieser Gleichheit ist gleich der Summe der Integrale der Terme dieser Reihe. Dies gilt, wenn wir annehmen, dass die aus den Koeffizienten der gegebenen trigonometrischen Reihen zusammengesetzte Zahlenreihe absolut konvergiert, d. h. die positive Zahlenreihe konvergiert

Reihe (1) ist majorisiert und kann Term für Term im Intervall (-π, π) integriert werden. Wir integrieren beide Teile der Gleichheit (2):

Wir berechnen jedes auf der rechten Seite auftretende Integral separat:

,

,

Auf diese Weise, , wo

. (4)

Schätzung der Fourier-Koeffizienten. (Bugrov)

Satz 1. Eine Funktion ƒ(x) der Periode 2π habe eine stetige Ableitung ƒ (s) (x) der Ordnung s, die die Ungleichung auf der gesamten reellen Achse erfüllt:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

dann erfüllen die Fourier-Koeffizienten der Funktion ƒ die Ungleichung

Nachweisen. Teileweise integrieren und das berücksichtigen

ƒ(-π) = ƒ(π), haben wir

Integriert die rechte Seite von (7) sequentiell unter Berücksichtigung, dass die Ableitungen ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) stetig sind und auch an den Punkten t = -π und t = π die gleichen Werte annehmen als Abschätzung (5) erhalten wir die erste Abschätzung ( 6).

Die zweite Schätzung (6) wird auf ähnliche Weise erhalten.

Satz 2. Die Fourier-Koeffizienten ƒ(x) erfüllen die Ungleichung

(8)

Nachweisen. Wir haben

(9)

Indem wir in diesem Fall eine Variablenänderung einführen und berücksichtigen, dass ƒ(x) eine periodische Funktion ist, erhalten wir

Addieren wir (9) und (10), erhalten wir

Den Beweis für bk führen wir analog.

Folge. Wenn die Funktion ƒ(x) stetig ist, dann gehen ihre Fourier-Koeffizienten gegen Null: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funktionenraum mit Skalarprodukt.

Eine Funktion ƒ(x) heißt auf einer Strecke stückweise stetig, wenn sie auf dieser Strecke stetig ist, außer vielleicht an endlich vielen Punkten, wo sie Diskontinuitäten der ersten Art hat. Solche Punkte können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden und im Ergebnis wiederum stückweise stetige Funktionen auf einer Strecke erhalten werden.

Das Skalarprodukt zweier stückweise kontinuierlicher (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Offensichtlich gelten für alle stückweise stetigen Funktionen ƒ , φ , ψ die folgenden Eigenschaften:

1) (ƒ , φ) = (φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) und die Gleichheit (ƒ , ƒ) = 0 impliziert, dass ƒ(x) =0 auf , unter Ausschluss vielleicht einer endlichen Anzahl von Punkten x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

wobei α, β beliebige reelle Zahlen sind.

Die Menge aller auf dem Intervall definierten stückweise stetigen Funktionen , für die das Skalarprodukt gemäß der Formel (11) eingeführt wird, bezeichnen wir mit und Raum nennen

Bemerkung 1.

In der Mathematik ist ein Raum = (a, b) eine Menge von Funktionen ƒ(x), die zusammen mit ihren Quadraten im Lebesgue-Sinne integrierbar sind, für die das Skalarprodukt durch Formel (11) eingeführt wird. Der fragliche Raum ist ein Teil von . Der Raum hat viele Eigenschaften des Raums, aber nicht alle.

Die Eigenschaften 1), 2), 3) implizieren die wichtige Bunyakovskii-Ungleichung | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , was in der Sprache der Integrale so aussieht:

Wert

heißt die Norm der Funktion f.

Die Norm hat folgende Eigenschaften:

1) || f || ≥ 0, während die Gleichheit nur für die Nullfunktion f = 0 sein kann, d. h. die Funktion gleich Null, außer vielleicht für eine endliche Anzahl von Punkten;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || ϕ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

wobei α eine reelle Zahl ist.

Die zweite Eigenschaft in der Sprache der Integrale sieht so aus:

und heißt Minkowski-Ungleichung.

Man sagt, dass eine Folge von Funktionen ( f n ), gehört zu , konvergiert zu einer Funktion gehört im Sinne des mittleren Quadrats an (oder auch in der Norm ), wenn

Beachten Sie, dass, wenn die Folge von Funktionen ƒ n (x) gleichmäßig gegen die Funktion ƒ(x) auf dem Segment konvergiert, dann für ausreichend großes n die Differenz ƒ(x) - ƒ n (x) im Absolutwert für alle klein sein muss x aus dem Segment .

Wenn ƒ n (x) im Sinne des mittleren Quadrats auf dem Segment zu ƒ(x) tendiert, dann ist die angezeigte Differenz für große n möglicherweise nicht überall auf klein. An manchen Stellen der Strecke kann dieser Unterschied groß sein, wichtig ist aber nur, dass das Integral seines Quadrats über der Strecke für große n klein ist.

Beispiel. Sei eine gegebene stetige stückweise lineare Funktion ƒ n (x) (n = 1, 2,…) in der Abbildung gezeigt, und

(Bugrow, S. 281, Abb. 120)

Für jedes natürliche n

und folglich ist diese Folge von Funktionen, obwohl sie für n → ∞ gegen Null konvergiert, nicht einheitlich. In der Zwischenzeit

d.h. die Folge von Funktionen (f n (x)) strebt gegen Null im Sinne des mittleren Quadrats auf .

Aus den Elementen einer Folge von Funktionen ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (zugehörig zu ) konstruieren wir eine Reihe

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Die Summe seiner ersten n Mitglieder

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

Es gibt eine Funktion, die zu gehört. Wenn es passiert, dass es eine Funktion ƒ gibt, so dass

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

dann sagen wir, dass die Reihe (12) im Sinne des mittleren Quadrats gegen die Funktion ƒ konvergiert und schreiben

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Bemerkung 2.

Man kann den Raum = (a, b) von komplexwertigen Funktionen ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) betrachten, wobei ƒ 1 (x) und ƒ 2 (x) reelle stückweise stetige Funktionen sind . In diesem Raum werden Funktionen mit komplexen Zahlen multipliziert und das Skalarprodukt der Funktionen ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) und φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) ist wie folgt definiert:

und die Norm ƒ ist als Wert definiert

Die Fourier-Reihe ist eine Darstellung einer willkürlich genommenen Funktion mit einer bestimmten Periode als Reihe. Allgemein wird diese Lösung als Zerlegung eines Elements in orthogonaler Basis bezeichnet. Die Erweiterung von Funktionen in einer Fourier-Reihe ist aufgrund der Eigenschaften dieser Transformation beim Integrieren, Differenzieren sowie beim Verschieben eines Ausdrucks in einem Argument und einer Faltung ein ziemlich leistungsfähiges Werkzeug zum Lösen verschiedener Probleme.

Eine Person, die mit höherer Mathematik sowie mit den Werken des französischen Wissenschaftlers Fourier nicht vertraut ist, wird höchstwahrscheinlich nicht verstehen, was diese „Reihen“ sind und wozu sie dienen. Mittlerweile ist diese Transformation ziemlich dicht in unserem Leben geworden. Es wird nicht nur von Mathematikern verwendet, sondern auch von Physikern, Chemikern, Medizinern, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und vielen anderen. Werfen wir auch einen genaueren Blick auf die Werke des großen französischen Wissenschaftlers, der seiner Zeit voraus eine Entdeckung gemacht hat.

Der Mensch und die Fourier-Transformation

>

Die Fourier-Reihe ist eine der Methoden (zusammen mit der Analyse und anderen). Dieser Prozess tritt jedes Mal auf, wenn eine Person einen Ton hört. Unser Ohr wandelt Elementarteilchen automatisch in ein elastisches Medium um, sie werden in Reihen (entlang des Spektrums) aufeinanderfolgender Werte des Lautstärkepegels für Töne unterschiedlicher Höhe zerlegt. Als nächstes verwandelt das Gehirn diese Daten in uns vertraute Geräusche. All dies geschieht zusätzlich zu unserem Wunsch oder Bewusstsein, von selbst, aber um diese Prozesse zu verstehen, wird es mehrere Jahre dauern, höhere Mathematik zu studieren.

Mehr zur Fourier-Transformation

>

Die Fourier-Transformation kann durch analytische, numerische und andere Verfahren durchgeführt werden. Fourier-Reihen beziehen sich auf die numerische Methode zur Zerlegung aller oszillierenden Prozesse – von Meeresgezeiten und Lichtwellen bis hin zu Zyklen der Sonnenaktivität (und anderer astronomischer Objekte). Mit diesen mathematischen Techniken ist es möglich, Funktionen zu analysieren, die beliebige oszillatorische Prozesse als eine Reihe von sinusförmigen Komponenten darstellen, die vom Minimum zum Maximum und umgekehrt verlaufen. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion, die die Phase und Amplitude von Sinuskurven beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entsprechen. Mit diesem Verfahren lassen sich sehr komplexe Gleichungen lösen, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von thermischer, Licht- oder elektrischer Energie ablaufen. Außerdem ermöglichen Fourier-Reihen die Isolierung der konstanten Komponenten in komplexen Schwingungssignalen, wodurch die erhaltenen experimentellen Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie richtig interpretiert werden konnten.

Geschichtlicher Bezug

>

Begründer dieser Theorie ist der französische Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier. Diese Transformation wurde später nach ihm benannt. Zunächst wandte der Wissenschaftler seine Methode an, um die Mechanismen der Wärmeleitung – der Ausbreitung von Wärme in Festkörpern – zu untersuchen und zu erklären. Fourier schlug vor, dass die ursprüngliche unregelmäßige Verteilung in die einfachsten Sinuskurven zerlegt werden kann, von denen jede ihr eigenes Temperaturminimum und -maximum sowie ihre eigene Phase hat. In diesem Fall wird jede dieser Komponenten vom Minimum zum Maximum und umgekehrt gemessen. Die mathematische Funktion, die die oberen und unteren Spitzen der Kurve sowie die Phase jeder der Harmonischen beschreibt, wird als Fourier-Transformation des Temperaturverteilungsausdrucks bezeichnet. Der Autor der Theorie reduzierte die allgemeine Verteilungsfunktion, die mathematisch schwer zu beschreiben ist, auf eine sehr bequeme Reihe von Kosinus und Sinus, die sich zur ursprünglichen Verteilung addieren.

Das Prinzip der Verwandlung und die Ansichten der Zeitgenossen

>

Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers – die führenden Mathematiker des frühen 19. Jahrhunderts – akzeptierten diese Theorie nicht. Der Haupteinwand war Fouriers Behauptung, dass eine diskontinuierliche Funktion, die eine gerade Linie oder eine diskontinuierliche Kurve beschreibt, als Summe von sinusförmigen Ausdrücken dargestellt werden kann, die kontinuierlich sind. Betrachten Sie als Beispiel den "Schritt" von Heaviside: Sein Wert ist null links von der Lücke und eins rechts von der Lücke. Diese Funktion beschreibt die Abhängigkeit des elektrischen Stroms von der Zeitvariablen beim Schließen des Stromkreises. Die Zeitgenossen der damaligen Theorie hatten noch nie eine solche Situation erlebt, in der ein diskontinuierlicher Ausdruck durch eine Kombination kontinuierlicher, gewöhnlicher Funktionen wie einer Exponential-, Sinus-, Linear- oder Quadratfunktion beschrieben wurde.

Was verwirrte französische Mathematiker in der Fourier-Theorie?

>

Denn wenn der Mathematiker mit seinen Aussagen recht hatte, dann kann man durch Summieren der unendlichen trigonometrischen Fourier-Reihen eine exakte Darstellung des schrittweisen Ausdrucks erhalten, selbst wenn er viele ähnliche Schritte hat. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts erschien eine solche Aussage absurd. Aber trotz aller Zweifel haben viele Mathematiker den Umfang der Untersuchung dieses Phänomens erweitert und ihn über den Umfang der Untersuchungen der Wärmeleitfähigkeit hinausgeführt. Die meisten Wissenschaftler quälten sich jedoch weiterhin mit der Frage: "Kann die Summe der Sinusreihe gegen den exakten Wert der unstetigen Funktion konvergieren?"

Konvergenz der Fourier-Reihe: Ein Beispiel

>

Die Frage der Konvergenz stellt sich immer dann, wenn es darum geht, unendliche Zahlenreihen zu summieren. Betrachten Sie ein klassisches Beispiel, um dieses Phänomen zu verstehen. Können Sie jemals die Wand erreichen, wenn jeder aufeinanderfolgende Schritt halb so groß ist wie der vorherige? Angenommen, Sie sind zwei Meter vom Ziel entfernt, der erste Schritt bringt Sie näher an die Halbzeit, der nächste an die Dreiviertelmarke und nach dem fünften Schritt haben Sie fast 97 Prozent des Weges zurückgelegt. Aber egal, wie viele Schritte Sie gehen, Sie werden das beabsichtigte Ziel im streng mathematischen Sinne nicht erreichen. Mittels numerischer Berechnungen lässt sich zeigen, dass es letztlich möglich ist, sich einer beliebig kleinen gegebenen Distanz anzunähern. Dieser Beweis ist gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass der Gesamtwert von einem halben, einem Viertel usw. gegen eins tendieren wird.

Eine Frage der Konvergenz: Das zweite Kommen oder Lord Kelvins Gerät

>

Diese Frage wurde Ende des 19. Jahrhunderts erneut gestellt, als versucht wurde, mithilfe von Fourier-Reihen die Intensität von Ebbe und Flut vorherzusagen. Zu dieser Zeit erfand Lord Kelvin ein Gerät, ein analoges Rechengerät, das es Seeleuten der Militär- und Handelsflotte ermöglichte, dieses Naturphänomen zu verfolgen. Dieser Mechanismus bestimmte die Sätze von Phasen und Amplituden aus einer Tabelle mit Gezeitenhöhen und ihren entsprechenden Zeitpunkten, die während des Jahres in einem bestimmten Hafen sorgfältig gemessen wurden. Jeder Parameter war eine sinusförmige Komponente des Gezeitenhöhenausdrucks und war eine der regulären Komponenten. Die Ergebnisse der Messungen wurden in Lord Kelvins Rechner eingegeben, der eine Kurve synthetisierte, die die Wasserhöhe als Funktion der Zeit für das nächste Jahr vorhersagte. Sehr bald wurden ähnliche Kurven für alle Häfen der Welt erstellt.

Und wenn der Prozess durch eine unstetige Funktion unterbrochen wird?

>

Damals schien es naheliegend, dass ein Flutwellenprädiktor mit einer großen Anzahl von Zählelementen eine große Anzahl von Phasen und Amplituden berechnen und somit genauere Vorhersagen liefern könnte. Es stellte sich jedoch heraus, dass diese Regelmäßigkeit in den Fällen nicht beobachtet wird, in denen der zu synthetisierende Gezeitenausdruck einen scharfen Sprung enthielt, dh diskontinuierlich war. Falls Daten aus der Tabelle der Zeitmomente in das Gerät eingegeben werden, berechnet es mehrere Fourier-Koeffizienten. Die ursprüngliche Funktion wird dank der sinusförmigen Komponenten (gemäß den gefundenen Koeffizienten) wiederhergestellt. Die Diskrepanz zwischen dem ursprünglichen und dem wiederhergestellten Ausdruck kann an jedem Punkt gemessen werden. Bei wiederholten Berechnungen und Vergleichen ist zu erkennen, dass der Wert des größten Fehlers nicht abnimmt. Sie sind jedoch in dem Bereich lokalisiert, der dem Diskontinuitätspunkt entspricht, und gehen an jedem anderen Punkt gegen Null. 1899 wurde dieses Ergebnis von Joshua Willard Gibbs von der Yale University theoretisch bestätigt.

Konvergenz von Fourier-Reihen und die Entwicklung der Mathematik im Allgemeinen

>

Die Fourier-Analyse ist nicht auf Ausdrücke anwendbar, die eine unendliche Anzahl von Bursts in einem bestimmten Intervall enthalten. Im Allgemeinen konvergieren Fourier-Reihen immer, wenn die ursprüngliche Funktion das Ergebnis einer realen physikalischen Messung ist. Fragen der Konvergenz dieses Prozesses für bestimmte Klassen von Funktionen haben zur Entstehung neuer Bereiche in der Mathematik geführt, beispielsweise der Theorie der verallgemeinerten Funktionen. Es ist mit Namen wie L. Schwartz, J. Mikusinsky und J. Temple verbunden. Im Rahmen dieser Theorie wurde eine klare und präzise theoretische Grundlage für solche Ausdrücke wie die Dirac-Delta-Funktion (sie beschreibt eine Fläche einer einzigen Fläche, die in einer unendlich kleinen Nachbarschaft eines Punktes konzentriert ist) und die Heaviside „ Schritt". Dank dieser Arbeit wurden Fourier-Reihen anwendbar, um Gleichungen und Probleme zu lösen, in denen intuitive Konzepte auftauchen: eine Punktladung, eine Punktmasse, magnetische Dipole und auch eine konzentrierte Last auf einem Balken.

Fourier-Methode

>

Fourier-Reihen beginnen nach den Prinzipien der Interferenz mit der Zerlegung komplexer Formen in einfachere. Zum Beispiel erklärt sich eine Änderung des Wärmestroms durch seinen Durchgang durch verschiedene Hindernisse aus unregelmäßig geformtem wärmeisolierendem Material oder eine Änderung der Erdoberfläche - ein Erdbeben, eine Änderung der Umlaufbahn eines Himmelskörpers - der Einfluss von Planeten. In der Regel werden ähnliche Gleichungen, die einfache klassische Systeme beschreiben, für jede einzelne Welle elementar gelöst. Fourier zeigte, dass einfache Lösungen auch summiert werden können, um Lösungen für komplexere Probleme zu geben. In der Sprache der Mathematik ausgedrückt, ist die Fourier-Reihe eine Technik zur Darstellung eines Ausdrucks als Summe von Harmonischen – Cosinus und Sinuskurven. Daher wird diese Analyse auch als „Harmonische Analyse“ bezeichnet.

Fourierreihen - die ideale Technik vor dem "Computerzeitalter"

>

Vor der Entwicklung der Computertechnologie war die Fourier-Technik die beste Waffe im Arsenal der Wissenschaftler bei der Arbeit mit der Wellennatur unserer Welt. Die Fourier-Reihe in komplexer Form ermöglicht es, nicht nur einfache Probleme zu lösen, die direkt auf die Gesetze der Newtonschen Mechanik angewendet werden können, sondern auch grundlegende Gleichungen. Die meisten Entdeckungen der Newtonschen Wissenschaft im 19. Jahrhundert wurden nur durch Fouriers Technik ermöglicht.

Fourierreihen heute

>

Mit der Entwicklung von Computern sind Fourier-Transformationen auf eine qualitativ neue Ebene gestiegen. Diese Technik ist in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technik fest verankert. Ein Beispiel ist ein digitales Audio- und Videosignal. Ihre Verwirklichung wurde erst möglich dank der Theorie, die ein französischer Mathematiker zu Beginn des 19. Jahrhunderts entwickelt hatte. So ermöglichte die Fourier-Reihe in komplexer Form einen Durchbruch in der Erforschung des Weltraums. Darüber hinaus beeinflusste dies das Studium der Physik von Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowellenakustik, Ozeanographie, Radar und Seismologie.

Trigonometrische Fourier-Reihe

>

In der Mathematik ist eine Fourier-Reihe eine Möglichkeit, beliebige komplexe Funktionen als Summe einfacherer darzustellen. Im Allgemeinen kann die Anzahl solcher Ausdrücke unendlich sein. Darüber hinaus ist das Endergebnis umso genauer, je mehr ihre Anzahl in der Berechnung berücksichtigt wird. Am häufigsten werden die trigonometrischen Funktionen von Cosinus oder Sinus als die einfachsten verwendet. In diesem Fall werden die Fourier-Reihen als trigonometrisch bezeichnet, und die Lösung solcher Ausdrücke wird als Erweiterung der Harmonischen bezeichnet. Diese Methode spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle. Zunächst einmal bietet die trigonometrische Reihe ein Mittel für das Bild sowie für das Studium der Funktionen, sie ist der Hauptapparat der Theorie. Darüber hinaus ermöglicht es die Lösung einer Reihe von Problemen der mathematischen Physik. Schließlich trug diese Theorie zur Entwicklung bei und brachte eine Reihe sehr wichtiger Bereiche der mathematischen Wissenschaft zum Leben (die Theorie der Integrale, die Theorie der periodischen Funktionen). Darüber hinaus diente es als Ausgangspunkt für die Entwicklung der folgenden Funktionen einer reellen Variablen und markierte auch den Beginn der harmonischen Analyse.

Die sind schon ziemlich satt. Und ich fühle, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, neue Konserven aus den strategischen Reserven der Theorie zu extrahieren. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Reihe zu erweitern? Zum Beispiel ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus ausdrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar entfernten Funktionen bieten sich an
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion werden wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut machen, das Thema ihrer Konvergenz und Summe ansprechen und natürlich zahlreiche Beispiele für die Erweiterung von Funktionen zu einer Fourier-Reihe analysieren. Ich wollte den Artikel aufrichtig „Fourierreihe für Dummies“ nennen, aber das wäre schlau, da das Lösen von Problemen Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und einige praktische Erfahrungen erfordert. Daher wird die Präambel dem Training von Astronauten ähneln =)

Erstens sollte das Studium der Seitenmaterialien in ausgezeichneter Form angegangen werden. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über die gebrochene Pfote eines Hamsters und obsessive Gedanken über die Strapazen des Aquarienfischlebens. Die Fourier-Reihe ist vom Verständnis her nicht schwierig, praktische Aufgaben erfordern jedoch einfach eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man auf äußere Reize komplett verzichten. Die Situation wird durch die Tatsache verschlimmert, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und die Antwort zu überprüfen. Wenn Ihre Gesundheit also unterdurchschnittlich ist, dann ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Wahrheit.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

eines) . Und tatsächlich "blitzt" die Sinuskurve die x-Achse durch jedes "pi":
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2). Aber das wussten nicht alle. Der Kosinus „pi en“ entspricht einem „Blinklicht“:

Ein negatives Argument ändert nichts am Fall: .

Vielleicht genug.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, müssen Sie in der Lage sein ... integrieren.
Insbesondere sicher Bringen Sie eine Funktion unter ein Differentialzeichen, partiell integrieren und sich gut verstehen Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle dringend, es nicht zu überspringen, damit Sie später nicht in der Schwerelosigkeit platt machen:

Beispiel 1

Bestimmte Integrale berechnen

wo nimmt natürliche Werte.

Lösung: Die Integration wird über die Variable "x" ausgeführt und in diesem Stadium wird die diskrete Variable "en" als Konstante betrachtet. In allen Integralen Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials:

Eine kurze Version der Lösung, die gut zum Schießen wäre, sieht so aus:

Sich an etwas gewöhnen:

Die vier verbleibenden Punkte sind für sich alleine. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft zu bearbeiten und die Integrale kurz zu ordnen. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nach einer QUALITÄTSübung ziehen wir Raumanzüge an
und startklar machen!

Erweiterung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall

>

Betrachten wir eine Funktion, die definiert zumindest auf dem Intervall (und möglicherweise auf einem größeren Intervall). Wenn diese Funktion auf dem Segment integrierbar ist, kann sie in eine trigonometrische erweitert werden die Fourierreihe:
, wo sind die sog Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Zersetzungszeit, und die Zahl ist Halbwertszeitzerlegung.

Offensichtlich besteht die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus:

Schreiben wir es in der Tat im Detail:

Der Nullterm der Reihe wird normalerweise als geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden mit den folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe sehr gut, dass neue Begriffe für Anfänger immer noch undurchsichtig sind, um das Thema zu studieren: Zersetzungszeit, Halbzyklus, Fourier-Koeffizienten Keine Panik, es ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Weltraumspaziergang. Lassen Sie uns alles im nächsten Beispiel herausfinden, bevor Sie es ausführen, was logisch ist, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

>

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Außerdem ist es oft erforderlich, einen Funktionsgraphen, einen Reihensummengraphen, eine Partialsumme zu zeichnen und bei ausgefeilten Professorenphantasien noch etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

>

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmte Integrale.

Bitte übertrage die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in dein Heft. Ich freue mich sehr, dass bei einigen Besuchern der Website ein Kindheitstraum, Astronaut zu werden, vor meinen Augen wahr wird =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall . Erstellen Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe einer Reihe und einer Teilsumme.

Lösung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern.

Der Anfang ist Standard, notieren Sie sich Folgendes:

In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode .

Wir erweitern die Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall:

Unter Verwendung der entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammensetzen und berechnen bestimmte Integrale. Der Einfachheit halber nummeriere ich die Punkte:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert aber schon Auge und Auge:

2) Wir verwenden die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wenn gebraucht gefunden Methode, eine Funktion unter ein Differentialzeichen zu bringen.

Bei der betrachteten Aufgabe ist es bequemer, sie sofort zu verwenden Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Anmerkungen. Zuerst nach Anwendung der Formel der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass es uns nicht verlieren! Klammern können bei jedem weiteren Schritt geöffnet werden, ich habe es in der allerletzten Runde gemacht. Im ersten "Stück" Wir zeigen extreme Genauigkeit bei der Substitution, wie Sie sehen können, ist die Konstante aus dem Geschäft, und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt eingesetzt. Diese Aktion ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Nun, das Integral des zweiten "Stücks" der Formel ist Ihnen aus der Trainingsaufgabe bekannt ;-)

Und vor allem - die ultimative Aufmerksamkeitskonzentration!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Ein Relativer des vorherigen Integrals wird erhalten, was auch ist stückweise integriert:

Diese Instanz ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt auskommentieren:

(1) Der gesamte Ausdruck wird in große Klammern eingeschlossen.. Ich wollte nicht wie ein Langweiler wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort erweitert. Besondere Aufmerksamkeit widmen wir uns dem ersten „Stück“: das raucht ständig am Rande und beteiligt sich nicht an der Substitution der Integrationsgrenzen ( und ) in das Produkt . Angesichts der Unordnung des Protokolls empfiehlt es sich wiederum, diese Aktion in eckigen Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten "Stück" alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals ;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen durch und im rechten Integral setzen wir die Integrationsgrenzen ein.

(4) Wir entfernen den „Flasher“ aus den eckigen Klammern: , danach öffnen wir die inneren Klammern: .

(5) Wir kürzen die 1 und -1 in Klammern und nehmen letzte Vereinfachungen vor.

Endlich alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setze sie in die Formel ein :

Vergessen Sie nicht, in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird die Konstante ("minus zwei"), die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt.

Damit haben wir die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall erhalten:

Betrachten wir die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Satz von Dirichlet, wörtlich "an den Fingern", wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, schlagen Sie bitte in einem Lehrbuch über Analysis nach (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber darin ist es schwieriger).

Im zweiten Teil der Aufgabe gilt es, einen Graphen, einen Reihensummengraphen und einen Teilsummengraphen zu zeichnen.

Der Graph der Funktion ist der übliche Gerade im Flugzeug, die mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Wir beschäftigen uns mit der Summe der Reihen. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von "x" konvergiert gegen die rot dargestellte Funktion. Diese Funktion unterliegt Pausen der 1. Art in Punkten , sondern auch darin definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich deutlich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb in der Notation Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Untersuchen wir einen Algorithmus, mit dem es bequem ist, die Summe einer Reihe zu bilden.

Auf dem zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe zur Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarz gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe enthält nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Cosinus), also die Summe der Reihen ist ebenfalls eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem speziellen Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Reihe –unbedingt periodisch und das rote Segment des Intervalls muss links und rechts unendlich wiederholt werden.

Ich denke, dass jetzt endlich die Bedeutung des Ausdrucks "Zeit der Zersetzung" klar geworden ist. Einfach gesagt, jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, wie in der Zeichnung drei Zersetzungsperioden darzustellen. Nun, und weitere "Stümpfe" benachbarter Perioden - um deutlich zu machen, dass das Diagramm fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Stellen konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die sich genau in der Mitte des Unstetigkeits-"Sprungs" befinden (rote Punkte in der Zeichnung). Wie findet man die Ordinate dieser Punkte? Suchen wir zunächst die Ordinate der „oberen Etage“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der mittleren Expansionsperiode: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, nehmen Sie am einfachsten den Wert ganz links im gleichen Zeitraum: . Die Ordinate des Mittelwertes ist das arithmetische Mittel der Summe aus „oben und unten“: . Schön ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Bilden wir eine Partialsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs "Konvergenz". Das Motiv ist aus der Lektion über bekannt die Summe der Zahlenreihe. Lassen Sie uns unser Vermögen im Detail beschreiben:

Um eine Teilsumme zu bilden, musst du null + zwei weitere Terme der Reihe aufschreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt, und wie Sie sehen können, umschließt er die Gesamtsumme ziemlich eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, nähert sich der Graph dieser Funktion den roten Linien noch genauer an, wenn es hundert Terme gibt, dann verschmilzt die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten, usw. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Teilsumme ist kontinuierliche Funktion, aber die Gesamtsumme der Reihe ist immer noch unstetig.

In der Praxis ist es nicht ungewöhnlich, einen Partialsummengraphen zu erstellen. Wie kann man das machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu berücksichtigen und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte auf der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über die Periode zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Approximation ist schließlich auch eine periodische Funktion ... ... deren Graph erinnert mich irgendwie an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines Medizingerätes.

Natürlich ist es nicht sehr bequem, die Konstruktion durchzuführen, da Sie äußerst vorsichtig sein müssen und eine Genauigkeit von nicht weniger als einem halben Millimeter einhalten müssen. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die mit dem Zeichnen uneins sind - bei einer "echten" Aufgabe ist es bei weitem nicht immer notwendig, eine Zeichnung durchzuführen, irgendwo in 50% der Fälle ist es erforderlich, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern und das ist es.

Nach Abschluss der Zeichnung erledigen wir die Aufgabe:

Antworten:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Ruptur 1. Art direkt am Zersetzungszeitraum:

Beispiel 3

Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die auf dem Intervall gegebene Funktion. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion ist stückweise gegeben (und wohlgemerkt nur auf dem Segment) und aushalten Ruptur 1. Art am Punkt . Kann man die Fourier-Koeffizienten berechnen? Kein Problem. Sowohl der linke als auch der rechte Teil der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe von zwei Integralen dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null gemacht wird:

Das zweite Integral stellte sich als gleich Null heraus, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Zwei andere Fourier-Koeffizienten werden ähnlich geschrieben.

Wie zeigt man die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall - ein gerades Liniensegment (markieren Sie den Achsenabschnitt fett-fett). Das heißt, im Expansionsintervall stimmt die Summe der Reihe überall mit der Funktion überein, mit Ausnahme von drei "schlechten" Punkten. An der Unstetigkeitsstelle der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe gegen einen isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu sehen: linke Grenze:, rechte Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild in benachbarte Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere auf den Intervallen und dasselbe darstellen. In diesem Fall konvergiert die Fourier-Reihe an den Punkten gegen die Medianwerte.

Eigentlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Ein ungefähres Beispiel für feines Design und Zeichnen am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine beliebige Periode

>

Für eine beliebige Expansionsperiode, bei der "el" eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten in einem etwas komplizierteren Sinus- und Cosinus-Argument:

Wenn , dann erhalten wir die Formeln für das Intervall, mit dem wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, aber die technische Komplexität der Berechnungen nimmt zu:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe.

Lösung: in der Tat ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Ruptur 1. Art am Punkt . In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Die Funktion ist nur auf dem Halbintervall definiert, aber das ändert nichts - es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion am Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich schreibe das erste Integral so detailliert wie möglich:

2) Schauen Sie vorsichtig in die Oberfläche des Mondes:

Zweites Integral Teile aufnehmen:

Worauf sollten Sie genau achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Zweitens, vergessen Sie nicht die unglückselige Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht von Zeichen verwirren bei Verwendung der Formel . Große Klammern ist es schließlich bequemer, sie gleich im nächsten Schritt zu öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik, nur unzureichende Erfahrung beim Lösen von Integralen kann zu Schwierigkeiten führen.

Ja, es war nicht umsonst, dass die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört waren - wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen zu zerlegen?! =) Wahrscheinlich interessiert sich übrigens jeder für die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitung, und in der Folge begann man mit der nach ihm benannten Reihe viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der Außenwelt scheinbar unsichtbar sind. Jetzt habe ich mich übrigens dabei ertappt, dass ich den Graphen des zweiten Beispiels nicht zufällig mit einem periodischen Herzrhythmus verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformationen aus Drittquellen. ... Obwohl es besser ist, es nicht zu tun - es wird als First Love in Erinnerung bleiben =)

3) Angesichts der immer wieder erwähnten Schwachstellen behandeln wir den dritten Koeffizienten:

Teilweise integrieren:

Wir setzen die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , ohne zu vergessen, den Nullkoeffizienten zu halbieren:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe zeichnen. Lassen Sie uns den Vorgang kurz wiederholen: Auf dem Intervall bauen wir eine Linie und auf dem Intervall - eine Linie. Bei einem Nullwert von "x" setzen wir einen Punkt in die Mitte des "Sprungs" der Lücke und "replizieren" das Diagramm für benachbarte Perioden:


An den "Verbindungspunkten" der Perioden ist die Summe auch gleich den Mittelpunkten des "Sprungs" der Lücke.

Bereit. Ich erinnere Sie daran, dass die Funktion selbst nur im Halbintervall bedingt definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen in den Intervallen übereinstimmt

Antworten:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion auch auf der Expansionsperiode stetig. Das einfachste Beispiel: . Lösung (Siehe Bohan Band 2) ist dasselbe wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Funktionskontinuität am Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

In der Trennungspause Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder "Knoten"-Punkte des Graphen können mehr sein (zwei, drei und im Allgemeinen beliebige Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung erinnere ich mich nicht an eine solche Dose. Trotzdem gibt es schwierigere Aufgaben als gerade betrachtet, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

In der Zwischenzeit entspannen wir uns, lehnen uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihen.

In dieser Aufgabe ist die Funktion kontinuierlich auf dem Zersetzungshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist sehr ähnlich zu Beispiel Nr. 2. Es gibt kein Entkommen aus dem Raumschiff - Sie müssen sich entscheiden =) Ein ungefähres Designbeispiel am Ende der Lektion, der Zeitplan ist beigefügt.

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen

>

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung spürbar vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Erweiterung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine Periode von "zwei Pi" zurück und beliebiger Zeitraum "zwei Ales" .

Nehmen wir an, unsere Funktion ist gerade. Wie Sie sehen können, enthält der allgemeine Begriff der Reihe gerade Kosinusse und ungerade Sinusse. Und wenn wir eine GERADE-Funktion zerlegen, warum brauchen wir dann ungerade Sinus?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion wird nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe erweitert:

Weil die Integrale gerader Funktionenüber ein zu Null symmetrisches Integrationssegment verdoppelt werden, dann werden auch die übrigen Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für Spanne:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Lehrbuch für Analysis zu finden sind, beinhalten Erweiterungen von geraden Funktionen . Darüber hinaus haben sie sich in meiner persönlichen Praxis immer wieder getroffen:

Beispiel 6

Gegeben eine Funktion. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Punkt , wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Erweiterung des Intervalls auf, bauen Sie eine Funktion auf und stellen Sie die Gesamtsumme der Reihe graphisch dar.

Lösung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem allgemein zu lösen, und das ist sehr praktisch! Es wird einen Bedarf geben - ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Im weiteren Verlauf, insbesondere beim Integrieren, wird "el" als Konstante betrachtet

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe expandiert: .

Fourier-Koeffizienten werden durch die Formeln gesucht . Achten Sie auf ihre absoluten Vorteile. Zunächst wird die Integration über das positive Segment der Erweiterung durchgeführt, was bedeutet, dass wir das Modul sicher loswerden , wobei nur "x" von zwei Stücken berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.

Zwei:

Teilweise integrieren:

Auf diese Weise:
, während die Konstante , die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt wird.

Antworten:

2) Wir schreiben die Erweiterung auf das Intervall, dazu setzen wir den gewünschten Wert der Halbperiode in die allgemeine Formel ein:

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen Entwicklung einer auf einer Strecke gegebenen Funktion in eine Reihe nach Sinus oder Cosinus Fourier-Reihen für eine Funktion mit beliebiger Periode Komplexe Darstellung der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Systemen von Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Besselsche Ungleichung Gleichheit Parseval Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen Die Funktion f(x), definiert auf dem Segment \-1, wobei I > 0, heißt gerade, wenn der Graph der geraden Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Die auf dem Segment J definierte Funktion f(x) mit I > 0 heißt ungerade, wenn der Graph der ungeraden Funktion bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist. Beispiel. a) Die Funktion ist gerade auf dem Segment |-jt, jt), da für alle x e b) Die Funktion ist ungerade, da die Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen die Entwicklung einer auf dem Segment gegebenen Funktion in eine Reihe von ist Sinus oder Cosinus Fourier-Reihen für eine Funktion mit beliebiger Periode Komplexe Notation der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Funktionensystemen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen c) Funktion f(x)=x2-x, wobei weder zu geraden noch zu ungeraden Funktionen gehört, da die Funktion f(x), die die Bedingungen von Theorem 1 erfüllt, auf der Strecke x| gerade ist. Dann für alle, d.h. /(g) cos nx ist eine gerade Funktion, und f(x)sinnx ist eine ungerade. Daher sind die Fourier-Koeffizienten einer geraden Funktion /(x) gleich, daher hat die Fourier-Reihe einer geraden Funktion die Form f(x) sin nx ist eine gerade Funktion. Daher haben wir also die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion die Form Wir haben zweimal partielle Integration angewendet und erhalten: Die Fourier-Reihe dieser Funktion sieht also so aus: oder, in erweiterter Form, Diese Gleichheit gilt für jedes x €, da an den Stellen x = ±ir die Summe der Die Reihe stimmt mit den Werten der Funktion f(x ) = x2 überein, da die Graphen der Funktion f(x) = x und die Summen der resultierenden Reihe in Abb. Kommentar. Mit dieser Fourier-Reihe können Sie die Summe einer der konvergenten numerischen Reihen finden, nämlich für x \u003d 0 erhalten wir das Die Funktion /(x) erfüllt die Bedingungen von Theorem 1, daher kann sie zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden, die aufgrund der Seltsamkeit dieser Funktion die Form haben wird. Durch partielle Integration finden wir die Fourier-Koeffizienten. Daher die Fourier Reihe dieser Funktion hat die Form Diese Gleichheit gilt für alle x  Punkte x - ±tg die Summe der Fourier-Reihe fällt nicht mit den Werten der Funktion / (x) = x zusammen, da sie gleich Außerhalb der ist Segment [- *, n-] Die Summe der Reihe ist eine periodische Fortsetzung der Funktion / (x) \u003d x; sein Graph ist in Abb. 6. § 6. Entwicklung einer auf einem Intervall gegebenen Funktion in eine Reihe in Bezug auf Sinus oder Cosinus Es sei eine beschränkte stückweise monotone Funktion / auf einem Intervall gegeben. Die Werte dieser Funktion auf dem Intervall 0| kann auf verschiedene Weise definiert werden. Beispielsweise ist es möglich, die Funktion / auf dem Segment mc] so zu definieren, dass /. In diesem Fall heißt es, dass) "gleichmäßig bis zum Segment 0 verlängert wird"; seine Fourier-Reihe enthält nur Kosinusse. Wenn jedoch die Funktion /(x) auf dem Segment [-x, mc] definiert ist, so dass /(, dann erhält man eine ungerade Funktion, und dann sagen wir, dass / "auf das Segment [-*, 0 verlängert wird ] auf eine seltsame Weise"; in diesem Fall enthält die Fourier-Reihe nur Sinuswerte. Daher kann jede begrenzte stückweise monotone Funktion /(x), die auf dem Segment definiert ist, in eine Fourier-Reihe erweitert werden, und zwar sowohl in Bezug auf Sinus und Cosinus. Beispiel 1. Erweitern Sie die Funktion in einer Fourier-Reihe: a) um Cosinus; b) entlang der Sinus. M Diese Funktion mit ihren geraden und ungeraden Erweiterungen zum Segment |-x, 0) wird beschränkt und stückweise monoton sein. a) Wir setzen / (z) in das Segment 0 fort) a) Wir setzen j \ x) in das Segment (-m, 0 | in gerader Weise fort (Abb. 7), dann hat seine Fourier-Reihe i die Form P \u003d 1, wobei die Fourier-Koeffizienten jeweils gleich sind. Daher b) Fahren wir mit /(z) im Segment [-x,0] auf ungerade Weise fort (Abb. 8). Dann seine Fourier-Reihe §7. Fourier-Reihe für eine Funktion mit beliebiger Periode Die Funktion fix) sei periodisch mit einer Periode von 21,1 ^ 0. Um sie zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall mit I > 0 zu erweitern, ändern wir die Variable, indem wir x = jt setzen . Dann ist die Funktion F(t) = / ^tj eine periodische Funktion des Arguments t mit einem Punkt und kann auf ein Segment in einer Fourier-Reihe erweitert werden. Zurück zur Variablen x, d. h. zum Setzen erhalten wir , bleiben in gilt auch für periodische Funktionen mit beliebiger Periode 21. Insbesondere bleibt auch das hinreichende Kriterium für die Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe gültig. Beispiel 1. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine periodische Funktion mit einer Periode von 21, die auf dem Segment [-/,/] durch die Formel (Abb. 9) gegeben ist. Da diese Funktion gerade ist, hat ihre Fourier-Reihe die Form. Wenn wir die gefundenen Werte der Fourier-Koeffizienten in die Fourier-Reihe einsetzen, erhalten wir Wir bemerken eine wichtige Eigenschaft periodischer Funktionen. Satz 5. Wenn eine Funktion eine Periode T hat und integrierbar ist, dann gilt für jede Zahl a die Gleichheit m. d.h. das Integral auf einem Segment, dessen Länge gleich der Periode T ist, hat den gleichen Wert, unabhängig von der Position dieses Segments auf der reellen Achse. In der Tat nehmen wir eine Änderung der Variablen im zweiten Integral vor, vorausgesetzt Daraus ergibt sich und daher geometrisch bedeutet diese Eigenschaft, dass im Falle des schraffierten Bereichs in Abb. 10 Bereiche sind einander gleich. Insbesondere für eine Funktion f(x) mit einer Periode erhält man bei der Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen die Entwicklung einer auf einer Strecke gegebenen Funktion in eine Reihe in Form von Sinus- oder Cosinus-Fourier-Reihen für eine Funktion mit eine beliebige Periode Komplexe Darstellung der Fourier-Reihen Fourier-Reihen in allgemeinen orthogonalen Systemen Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Abgeschlossenheit von Systemen, die die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion f(x) mit einer Periode von 21 kann mit den Formeln berechnet werden, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist (beachten Sie, dass die Funktionen cos - und sin eine Periode von 2/ haben). Beispiel 3. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine Funktion, die auf einem Intervall mit einer Periode von 2x gegeben ist (Abb. 11). 4 Finden Sie die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion. Wenn wir die Formeln einsetzen, finden wir für Daher sieht die Fourier-Reihe so aus: An der Stelle x = jt (Unstetigkeitsstelle erster Art) haben wir §8. Komplexe Notation der Fourier-Reihe In diesem Abschnitt werden einige Elemente der komplexen Analysis verwendet (siehe Kapitel XXX, wo alle hier mit komplexen Ausdrücken durchgeführten Operationen streng begründet sind). Die Funktion f(x) erfülle hinreichende Bedingungen für die Entwicklung in eine Fourier-Reihe. Dann kann es auf dem Segment x] durch eine Reihe der Form dargestellt werden Unter Verwendung der Euler-Formeln Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Reihe (1) anstelle von cos nx und sin xy erhalten wir Wir führen die folgende Notation ein Dann die Reihe (2) nimmt die Form an Somit wird die Fourier-Reihe (1) in der komplexen Form (3) dargestellt. Lassen Sie uns Ausdrücke für die Koeffizienten in Form von Integralen finden. Wir haben Ähnlich finden wir Schließlich können die Formeln für с„, с_п und с wie folgt geschrieben werden: . . Die Koeffizienten cn heißen die komplexen Fourier-Koeffizienten der Funktion Für eine periodische Funktion mit einer Periode) nimmt die komplexe Form der Fourier-Reihe die Formwerte w an, wenn Grenzwerte existieren Beispiel. Entwickle die Periodenfunktion in eine komplexe Fourier-Reihe Diese Funktion erfüllt hinreichende Bedingungen für die Entfaltung in eine Fourier-Reihe. Lassen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten dieser Funktion finden. Wir haben für ungerade für gerade n, oder kurz. Durch Einsetzen der Werte) erhalten wir schließlich Beachten Sie, dass diese Reihe auch wie folgt geschrieben werden kann: Fourierreihen in allgemeinen orthogonalen Funktionensystemen 9.1. Orthogonale Funktionensysteme Bezeichnen mit die Menge aller (reellen) Funktionen, die auf dem Intervall [a, 6] quadratdefiniert und integrierbar sind, also solche, für die es ein Integral gibt, insbesondere alle Funktionen f(x), die sind stetig auf dem Intervall [a , 6], gehören zu 6], und die Werte ihrer Lebesgue-Integrale stimmen mit den Werten der Riemann-Integrale überein. Definition. Das System der Funktionen, wobei, heißt orthogonal auf dem Intervall [a, b\, wenn Bedingung (1) insbesondere voraussetzt, dass keine der Funktionen identisch gleich Null ist. Das Integral wird im Sinne von Lebesgue verstanden. und wir nennen die Größe die Norm einer Funktion.Wenn wir in einem orthogonalen System für jedes n haben, dann heißt das System von Funktionen orthonormal. Wenn das System (y>n(x)) orthogonal ist, dann das System Beispiel 1. Ein trigonometrisches System ist orthogonal auf einer Strecke. Das Funktionensystem ist ein orthonormales Funktionensystem, Beispiel 2. Das Kosinussystem und das Sinussystem ist orthonormal. Führen wir die Notation ein, dass sie orthogonal auf dem Segment sind (0, f|, aber nicht orthonormal (für I ↦ 2). Da ihre Normen COS sind, bilden die Funktionen ein orthonormales System von Funktionen auf einem Segment. Zeigen wir, zum Beispiel, dass die Legendre-Polynome orthogonal sind, sei m > n. In diesem Fall finden wir durch n-fache Integration in Teilen, da für die Funktion t/m = (z2 - I)m alle Ableitungen bis zur Ordnung m - I einschließlich verschwinden an den Enden des Intervalls [-1,1). Definition. Das Funktionensystem (pn(x)) heißt orthogonal auf dem Intervall (a, b) durch Überhang p(x), wenn: 1) es Integrale für alle n = 1,2,... gibt. Dabei wird angenommen, dass die Gewichtsfunktion p(x) ist überall auf dem Intervall (a, b) definiert und positiv, mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten, wo p(x) verschwinden kann. Nach Durchführung der Differentiation in Formel (3) finden wir. Es kann gezeigt werden, dass die Tschebyscheff-Hermite-Polynome orthogonal auf dem Intervall sind. Beispiel 4. Das System der Bessel-Funktionen (jL(pix)^ ist orthogonal auf dem Intervall von Nullen des Bessel-Funktionen-Systems. Sei ein orthogonales System von Funktionen im Intervall (a, 6) und konvergiere die Reihe (cj = const) auf diesem Intervall gegen die Funktion f(x): Aufgrund der Orthogonalität des Systems erhalten wir: Diese Operation hat im allgemeinen rein formalen Charakter. In einigen Fällen jedoch, beispielsweise wenn die Reihe (4) gleichmäßig konvergiert, alle Funktionen stetig sind und das Intervall (a, 6) endlich ist, ist diese Operation zulässig. Aber es ist die formale Interpretation, die für uns jetzt wichtig ist. Nehmen wir also an, eine Funktion ist gegeben. Wir bilden die Zahlen c* nach der Formel (5) und schreiben Die Reihe auf der rechten Seite heißt Fourierreihe der Funktion f (x) bezüglich des Systems (^n (n)) - Die Zahlen Cn sind in diesem System die Fourier-Koeffizienten der Funktion f (x) genannt. Das Zeichen ~ in Formel (6) bedeutet nur, dass die Zahlen Cn durch Formel (5) mit der Funktion f(x) in Beziehung stehen (in diesem Fall wird nicht angenommen, dass die rechte Reihe überhaupt konvergiert, geschweige denn konvergiert). zur Funktion f(x)). Daher stellt sich natürlich die Frage: Welche Eigenschaften hat diese Serie? In welchem Sinne "repräsentiert" es die Funktion f(x)? 9.3. Definition der durchschnittlichen Konvergenz. Eine Folge konvergiert im Mittel gegen ein Element ], wenn die Norm im Raum liegt Satz 6. Wenn eine Folge ) gleichmäßig konvergiert, dann konvergiert sie auch im Mittel. M Die Folge ()) konvergiere gleichmäßig auf der Strecke [a, b] gegen die Funktion f(x). Das bedeutet, dass wir für jedes hinreichend große n Daher haben, woraus unsere Behauptung folgt. Die Umkehrung gilt nicht: Die Folge () kann im Mittel gegen /(x) konvergieren, aber nicht gleichmäßig konvergieren. Beispiel. Betrachten wir die Folge nx Es ist leicht zu sehen, dass diese Konvergenz nicht einheitlich ist: Es gibt zum Beispiel e, so dass, egal wie groß n ist, auf dem Segment eine Fourier-Reihe für eine Funktion mit beliebiger Periode Komplexe Darstellung von die Fourier-Reihen Fourier-Reihen im Allgemeinen Orthogonale Systeme von Funktionen Fourier-Reihen in einem orthogonalen System Minimale Eigenschaft von Fourier-Koeffizienten Bessel-Ungleichung Parseval-Gleichheit Geschlossene Systeme Vollständigkeit und Geschlossenheit von Systemen und let ) im orthonormalen System b Betrachten Sie eine Linearkombination, bei der n ^ 1 ist eine feste ganze Zahl, und finden Sie die Werte der Konstanten, für die das Integral seinen Mindestwert annimmt. Lassen Sie es uns detaillierter schreiben Durch Term für Term integrieren, erhalten wir aufgrund der Orthonormalität des Systems: Die ersten beiden Terme auf der rechten Seite von Gleichheit (7) sind unabhängig, und der dritte Term ist nichtnegativ. Daher nimmt das Integral (*) einen Minimalwert bei ak = sk an. Das Integral wird als Root-Mean-Square-Approximation der Funktion f(x) als Linearkombination von Tn(x) bezeichnet. Somit nimmt die Root-Mean-Square-Approximation der Funktion /\ einen minimalen Wert an, wenn. wenn Tn(x) die 71. Partialsumme der Fourier-Reihe der Funktion /(x) im System ( ist. Setzen wir ak = ck, erhalten wir aus (7) Gleichheit (9) heißt Bessel-Identität Seite nichtnegativ ist, dann folgt daraus die Besselsche Ungleichung Da i hier beliebig ist, lässt sich die Besselsche Ungleichung in verstärkter Form darstellen, d.h. für jede Funktion / konvergiert die Reihe der quadrierten Fourierkoeffizienten dieser Funktion in einem Orthonormalsystem ). . Da das System auf dem Segment [-x, r] orthonormal ist, ergibt die Ungleichung (10), übersetzt in die übliche Notation der trigonometrischen Fourier-Reihe, die Beziehung do, die für jede Funktion f(x) mit einem integrierbaren Quadrat gilt. Ist f2(x) integrierbar, so erhalten wir dies aufgrund der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe auf der linken Seite der Ungleichung (11). Parsevalsche Gleichheit Für einige Systeme (^n(x)) kann das Ungleichheitszeichen in Formel (10) (für alle Funktionen f(x) 6 x) durch ein Gleichheitszeichen ersetzt werden. Die resultierende Gleichheit wird als Parseval-Steklov-Gleichung (Vollständigkeitsbedingung) bezeichnet. Die Bessel-Identität (9) erlaubt uns, Bedingung (12) in äquivalenter Form zu schreiben durch die Raumnorm 6]. Definition. Ein Orthonormalsystem ( heißt vollständig in b2[ay b], wenn sich jede Funktion durch eine Linearkombination der Form mit genügend vielen Termen im Mittel einigermaßen genau approximieren lässt, d.h. wenn für jede Funktion f(x) ∈ b2[a, b\ und für jedes e > 0 gibt es eine natürliche Zahl nq und Zahlen a\, a2y..., so dass Nr. Satz 7. Wenn das System ) durch Orthonormierung räumlich vollständig ist, die Fourier-Reihe von jede Funktion / in diesem System konvergiert im Mittel gegen f( x), d.h. gemäß der Norm Es kann gezeigt werden, dass das trigonometrische System räumlich vollständig ist, was die Behauptung impliziert. Satz 8. Wenn eine Funktion /0 ist, konvergiert ihre trigonometrische Fourier-Reihe im Mittel gegen sie. 9.5. geschlossene Systeme. Vollständigkeit und Geschlossenheit von Systemen Definition. Ein Orthonormalsystem von Funktionen \, heißt geschlossen, wenn es im Raum Li\a, b) keine von Null verschiedene Funktion orthogonal zu allen Funktionen gibt Im Raum L2\a, b\ die Begriffe Vollständigkeit und Geschlossenheit von Orthonormalsystemen übereinstimmen. Aufgaben 1. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-i-, x) 2. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) 3. Erweitern Sie die Funktion in der Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) 4. Erweitere in einer Fourier-Reihe in der Intervallfunktion (-jt, r) 5. Entfalten Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) die Funktion f(x) = x + x. 6. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-jt, r) die Funktion n 7. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, x) die Funktion / (x) \u003d sin2 x. 8. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-m, jt) die Funktion f(x) = y 9. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-mm, -k) die Funktion f(x) = | Sünde|. 10. Entwickeln Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-x-, r) die Funktion f(x) = g. 11. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im Intervall (-r, r) die Funktion f (x) \u003d sin §. 12. Entfalte in einer Fourier-Reihe die im Intervall (0, x) gegebene Funktion f (x) = n -2x und setze sie im Intervall (-x, 0) fort: a) gerade; b) auf seltsame Weise. 13. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe in Bezug auf Sinus die Funktion / (x) \u003d x2, die im Intervall (0, x) angegeben ist. 14. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die Funktion / (x) \u003d 3-x, die im Intervall (-2,2) angegeben ist. 15. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die Funktion f (x) \u003d |x |, die im Intervall (-1,1) angegeben ist. 16. Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die im Intervall (0,1) angegebene Funktion f (x) \u003d 2x in Form von Sinus.

die Fourierreihe- eine Möglichkeit, eine komplexe Funktion als Summe einfacherer, bekannter Funktionen darzustellen.
Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen. Sie bilden auch eine orthogonale Basis. Diese Eigenschaft lässt sich analog zu den Achsen erklären XX X und JJ Y auf der Koordinatenebene. So wie wir die Koordinaten eines Punktes in Bezug auf die Achsen beschreiben können, können wir jede Funktion in Bezug auf Sinus und Cosinus beschreiben. Trigonometrische Funktionen sind in der Mathematik gut verständlich und einfach anzuwenden.

Sie können Sinus und Cosinus in Form solcher Wellen darstellen:

Blau sind Kosinus, Rot sind Sinus. Diese Wellen werden auch Harmonische genannt. Cosinus ist gerade, Sinus ist ungerade. Der Begriff Mundharmonika stammt aus der Antike und ist mit Beobachtungen über das Verhältnis von Tonhöhen in der Musik verbunden.

Was ist eine Fourier-Reihe

>

Eine solche Reihe, bei der am einfachsten die Funktionen Sinus und Cosinus verwendet werden, nennt man trigonometrisch. Es ist nach seinem Erfinder Jean Baptiste Joseph Fourier Ende des 18. – Anfang des 19. Jahrhunderts benannt. der bewies, dass jede Funktion als Kombination solcher Harmonischen dargestellt werden kann. Und je mehr Sie nehmen, desto genauer wird diese Darstellung. Zum Beispiel das Bild unten: Sie sehen, dass bei einer großen Anzahl von Harmonischen, also Mitgliedern der Fourier-Reihe, der rote Graph dem blauen näher kommt - der ursprünglichen Funktion.

Praktische Anwendung in der modernen Welt

>

Werden diese Reihen jetzt wirklich gebraucht? Wo können sie in der Praxis angewendet werden und werden sie von anderen als theoretischen Mathematikern verwendet? Es stellt sich heraus, dass Fourier auf der ganzen Welt berühmt ist, weil der praktische Nutzen seiner Reihen buchstäblich unberechenbar ist. Es ist praktisch, sie dort zu verwenden, wo Vibrationen oder Wellen auftreten: Akustik, Astronomie, Funktechnik usw. Das einfachste Beispiel für ihre Verwendung ist der Mechanismus der Kamera oder Videokamera. Kurz gesagt, diese Geräte zeichnen nicht nur Bilder auf, sondern die Koeffizienten von Fourier-Reihen. Und es funktioniert überall – beim Betrachten von Bildern im Internet, bei einem Film oder beim Musikhören. Es ist der Fourier-Reihe zu verdanken, dass Sie diesen Artikel jetzt von Ihrem Mobiltelefon aus lesen können. Ohne die Fourier-Transformation hätten wir nicht genug Bandbreite an Internetverbindungen, um einfach ein YouTube-Video anzusehen, selbst in Standardqualität.

In diesem Diagramm die zweidimensionale Fourier-Transformation, die verwendet wird, um das Bild in Harmonische, d. h. Grundkomponenten, zu zerlegen. In diesem Diagramm ist der Wert -1 in Schwarz codiert, in Weiß der Wert 1. Rechts und unten im Diagramm nimmt die Häufigkeit zu.

Fourier-Entwicklung

>

Wahrscheinlich haben Sie das Lesen schon satt, also gehen wir zu den Formeln über.
Für solch eine mathematische Technik wie die Entwicklung von Funktionen in einer Fourier-Reihe wird man Integrale nehmen müssen. Viele Integrale. Im Allgemeinen wird die Fourier-Reihe als unendliche Summe geschrieben:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n Sünde (n x ) )
wo
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2pi1 − π ∫ π f(x)dx
ein n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) Sünde ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ Sünde(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f(x)sin(nx)dx

Wenn wir irgendwie unendlich viele zählen können ein n ein_n a n und b n b_n b n (Sie werden die Koeffizienten der Fourier-Entwicklung genannt, Ein A EIN nur eine Konstante dieser Erweiterung ist), dann stimmt die resultierende Reihe zu 100 % mit der ursprünglichen Funktion überein f(x) f(x) f(x) auf dem Segment von − π -\pi − π Vor π\pi π . Ein solches Segment ist auf die Integrationseigenschaften von Sinus und Cosinus zurückzuführen. Je mehr n n n, für die wir die Koeffizienten der Entwicklung der Funktion in eine Reihe berechnen, desto genauer wird diese Entwicklung sein.

Beispiel

Nehmen wir eine einfache Funktion y=5x y=5x y=5x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2pi1 − π ∫ π f (x) d x =2pi1 − π ∫ π 5xdx=0
ein 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (x ) d x =π 1 − π ∫ π 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) Sünde ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x Sünde ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx=10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) Sünde (x) d x =π 1 − π ∫ π 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) Sünde ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x Sünde ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) Sünde(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xSünde(2 x) dx= − 5

Usw. Bei einer solchen Funktion können wir das sofort alles sagen ein n = 0 ein_n=0an = 0 , Koeffizienten b n b_nbn muss gerechnet werden. Nehmen wir für die Funktion die ersten vier Terme der Fourier-Reihenentwicklung y=5x y=5xj= 5 x, wir bekommen:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{Sünde}(x)-5\cdot \mathrm{Sünde}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{Sünde}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{Sünde}(4\cdot x)$

Der Graph der resultierenden Funktion sieht folgendermaßen aus:

Die resultierende Fourier-Entwicklung nähert sich unserer ursprünglichen Funktion. Wenn wir eine größere Anzahl von Begriffen in der Reihe nehmen, beispielsweise 15, sehen wir bereits Folgendes:

Je mehr Erweiterungsterme in einer Reihe sind, desto höher ist die Genauigkeit.
Wenn wir den Maßstab des Diagramms ein wenig ändern, können wir ein weiteres Merkmal der Transformation feststellen: Die Fourier-Reihe ist eine periodische Funktion mit einer Periode 2π 2\pi2 π .

Somit ist es möglich, jede Funktion darzustellen, die auf dem Intervall stetig ist [ - π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . All dies ist notwendig, um die Analyse einiger Phänomene zu erleichtern, die durch komplexe Funktionen beschrieben werden. Es ist nicht immer möglich, die Ableitung analytisch (d. h. durch Formel) zu berechnen, und im Fall eines Satzes von Sinus und Kosinus tritt ein solches Problem nicht auf. Die Erweiterung selbst zu einer Fourier-Reihe zeigt, dass Probleme oft analytisch an vereinfachten Modellen gelöst werden können, ein Beispiel dafür ist die Fourier-Reihe.