Szeregi Fouriera. Przykłady rozwiązań. Szeregi Fouriera w przykładach i zadaniach Przykłady rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera

17.03.2022

2. Wyznaczanie współczynników szeregu za pomocą wzorów Fouriera.

Niech funkcja okresowa ƒ(x) o okresie 2π będzie taka, że jest reprezentowana przez szereg trygonometryczny zbieżny do danej funkcji w przedziale (-π, π), czyli jest sumą tego szeregu:

Załóżmy, że całka funkcji po lewej stronie tej równości jest równa sumie całek wyrazów tego szeregu. Będzie to prawdziwe, jeśli przyjmiemy, że szereg liczb składający się ze współczynników danego szeregu trygonometrycznego jest zbieżny bezwzględnie, tj. szereg liczb dodatnich jest zbieżny

Szereg (1) jest majorowany i może być całkowany wyraz po wyrazie w przedziale (-π, π). Integrujemy obie części równości (2):

Obliczamy osobno każdą całkę występującą po prawej stronie:

W ten sposób, , gdzie

. (4)

Estymacja współczynników Fouriera. (Bugrow)

Twierdzenie 1. Niech funkcja ƒ(x) okresu 2π ma pochodną ciągłą ƒ(s)(x) rzędu s spełniającą nierówność na całej osi rzeczywistej:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

wtedy współczynniki Fouriera funkcji ƒ spełniają nierówność

Dowód. Integracja na części i uwzględnienie tego

ƒ(-π) = ƒ(π), mamy

Całkowanie prawej strony (7) sekwencyjnie, biorąc pod uwagę, że pochodne ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) są ciągłe i przyjmują te same wartości w punktach t = -π i t = π jako oszacowanie (5) otrzymujemy pierwsze oszacowanie (6).

Drugie oszacowanie (6) uzyskuje się w podobny sposób.

Twierdzenie 2. Współczynniki Fouriera ƒ(x) spełniają nierówność

(8)

Dowód. Mamy

(9)

Wprowadzając w tym przypadku zmianę zmiennej i biorąc pod uwagę, że ƒ(x) jest funkcją okresową, otrzymujemy

Dodając (9) i (10) otrzymujemy

Dowód dla b k przeprowadzamy w podobny sposób.

Konsekwencja. Jeżeli funkcja ƒ(x) jest ciągła, to jej współczynniki Fouriera dążą do zera: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Przestrzeń funkcji z iloczynem skalarnym.

Funkcja ƒ(x) jest nazywana odcinkowo ciągłą na odcinku, jeśli jest ciągła na tym odcinku, z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, w których ma nieciągłości pierwszego rodzaju. Takie punkty mogą być dodawane i mnożone przez liczby rzeczywiste, w wyniku czego można ponownie otrzymać funkcje odcinkowo-ciągłe na odcinku.

Iloczyn skalarny dwóch kawałkami ciągłymi na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Oczywiście dla dowolnych funkcji odcinkowo-ciągłych ƒ , φ , ψ obowiązują następujące własności:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) i równość (ƒ , ƒ) = 0 implikuje, że ƒ(x) =0 on , być może wykluczając skończoną liczbę punktów x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

gdzie α, β są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Zbiór wszystkich odcinkowo ciągłych funkcji określonych na przedziale , dla których wprowadzamy iloczyn skalarny według wzoru (11), oznaczymy, i zadzwoń do miejsca

Uwaga 1.

W matematyce przestrzeń = (a, b) jest zbiorem funkcji ƒ(x) całkowalnych w sensie Lebesgue'a na wraz z ich kwadratami, dla których iloczyn skalarny jest wprowadzony wzorem (11). Dana przestrzeń jest częścią . Przestrzeń ma wiele właściwości przestrzeni, ale nie wszystkie.

Własności 1), 2), 3) implikują istotną nierówność Bunyakowskiego | (ƒ, φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , co w języku całek wygląda tak:

Wartość

nazywa się normą funkcji f.

Norma ma następujące właściwości:

1) || f || ≥ 0, podczas gdy równość może być tylko dla funkcji zerowej f = 0, tj. funkcji równej zero, z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

gdzie α jest liczbą rzeczywistą.

Druga własność w języku całek wygląda tak:

i nazywa się nierównością Minkowskiego.

Mówi się, że ciąg funkcji ( f n ), należy do , jest zbieżny do funkcji należącej w sensie średniego kwadratu na (lub inaczej w normie ), jeżeli

Zauważ, że jeśli sekwencja funkcji ƒ n (x) jest zbieżna jednostajnie do funkcji ƒ(x) na odcinku , to dla wystarczająco dużego n różnica ƒ(x) - ƒ n (x) w wartości bezwzględnej musi być mała dla wszystkich x z segmentu .

Jeśli ƒ n (x) ma tendencję do ƒ (x) w sensie średniokwadratowym na odcinku , wówczas wskazana różnica może nie być mała dla dużego n wszędzie na . W niektórych miejscach odcinka ta różnica może być duża, ale ważne jest tylko, aby całka kwadratu przez odcinek była mała dla dużego n.

Przykład. Niech na daną ciągłą odcinkowo liniową funkcję ƒ n (x) (n = 1, 2,…) pokazaną na rysunku, oraz

(Bugrov, s. 281, ryc. 120)

Dla każdego naturalnego n

iw konsekwencji ten ciąg funkcji, chociaż zbiega się do zera jako n → ∞, nie jest jednorodny. Tymczasem

tj. sekwencja funkcji (f n (x)) dąży do zera w sensie średniego kwadratu na .

Z elementów pewnego ciągu funkcji ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (należących do ) konstruujemy szereg

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Suma jego pierwszych n członków

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

istnieje funkcja, która należy do . Jeśli zdarzy się, że istnieje funkcja ƒ taka, że

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

wtedy mówimy, że szereg (12) jest zbieżny do funkcji ƒ w sensie średniokwadratowym i piszemy

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Uwaga 2.

Można rozważyć przestrzeń = (a, b) funkcji o wartościach zespolonych ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), gdzie ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) są rzeczywistymi kawałkami funkcji ciągłych . W tej przestrzeni funkcje są mnożone przez liczby zespolone i iloczyn skalarny funkcji ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) oraz φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) definiuje się następująco:

a norma ƒ jest zdefiniowana jako wartość

Szereg Fouriera jest reprezentacją arbitralnie przyjętej funkcji z określonym okresem jako szereg. Ogólnie rzecz biorąc, to rozwiązanie nazywa się dekompozycją elementu w bazie ortogonalnej. Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera jest dość potężnym narzędziem do rozwiązywania różnych problemów ze względu na właściwości tej transformacji podczas całkowania, różniczkowania, a także przesuwania wyrażenia w argumencie i splotu.

Osoba, która nie jest zaznajomiona z wyższą matematyką, a także z pracami francuskiego naukowca Fouriera, najprawdopodobniej nie zrozumie, czym są te „serie” i do czego służą. Tymczasem ta transformacja stała się dość gęsta w naszym życiu. Używają go nie tylko matematycy, ale także fizycy, chemicy, lekarze, astronomowie, sejsmolodzy, oceanografowie i wielu innych. Przyjrzyjmy się też bliżej pracom wielkiego francuskiego naukowca, który dokonał odkrycia wyprzedzając swoje czasy.

Człowiek i transformacja Fouriera

Jedną z metod jest szereg Fouriera (obok analizy i innych). Proces ten zachodzi za każdym razem, gdy człowiek słyszy jakikolwiek dźwięk. Nasze ucho automatycznie przekształca cząstki elementarne w elastyczny ośrodek, rozkładają się one na rzędy (wzdłuż widma) kolejnych wartości poziomu głośności dla tonów o różnej wysokości. Następnie mózg zamienia te dane w znajome nam dźwięki. Wszystko to dzieje się oprócz naszego pragnienia lub świadomości samo w sobie, ale aby zrozumieć te procesy, nauka wyższej matematyki zajmie kilka lat.

Więcej o transformacji Fouriera

Przekształcenie Fouriera można przeprowadzić metodami analitycznymi, numerycznymi i innymi. Seria Fouriera odnosi się do liczbowego sposobu rozkładu dowolnych procesów oscylacyjnych - od pływów oceanicznych i fal świetlnych po cykle aktywności Słońca (i innych obiektów astronomicznych). Korzystając z tych technik matematycznych, możliwe jest analizowanie funkcji, reprezentujących dowolne procesy oscylacyjne jako szereg składowych sinusoidalnych, które przechodzą od minimum do maksimum i odwrotnie. Transformata Fouriera to funkcja opisująca fazę i amplitudę sinusoid odpowiadających określonej częstotliwości. Proces ten może być wykorzystany do rozwiązywania bardzo złożonych równań opisujących procesy dynamiczne zachodzące pod wpływem energii cieplnej, świetlnej lub elektrycznej. Również seria Fouriera umożliwia izolację stałych składowych w złożonych sygnałach oscylacyjnych, co umożliwiło prawidłową interpretację uzyskanych obserwacji eksperymentalnych w medycynie, chemii i astronomii.

Odniesienie do historii

Ojcem założycielem tej teorii jest francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier. Ta przemiana została później nazwana jego imieniem. Początkowo naukowiec zastosował swoją metodę do badania i wyjaśniania mechanizmów przewodzenia ciepła - rozchodzenia się ciepła w ciałach stałych. Fourier zasugerował, że pierwotny nieregularny rozkład można rozłożyć na najprostsze sinusoidy, z których każda będzie miała własne minimum i maksimum temperatury, a także własną fazę. W takim przypadku każdy taki składnik będzie mierzony od minimum do maksimum i odwrotnie. Funkcja matematyczna opisująca górne i dolne piki krzywej, jak również fazę każdej z harmonicznych, nazywana jest transformatą Fouriera wyrażenia rozkładu temperatury. Autor teorii zredukował trudną do matematycznego opisania ogólną funkcję dystrybucji do bardzo wygodnego szeregu cosinusa i sinusa, które sumują się, dając pierwotny rozkład.

Zasada transformacji i poglądy współczesnych

Współcześni naukowcowi - czołowi matematycy początku XIX wieku - nie akceptowali tej teorii. Głównym zarzutem było twierdzenie Fouriera, że funkcję nieciągłą opisującą linię prostą lub krzywą nieciągłą można przedstawić jako sumę wyrażeń sinusoidalnych, które są ciągłe. Jako przykład rozważmy „krok” Heaviside'a: jego wartość to zero na lewo od luki i jeden na prawo. Funkcja ta opisuje zależność prądu elektrycznego od zmiennej czasowej, gdy obwód jest zamknięty. Współcześni teorii w tamtym czasie nigdy nie spotkali się z taką sytuacją, w której wyrażenie nieciągłe byłoby opisane kombinacją ciągłych, zwyczajnych funkcji, takich jak wykładnicza, sinusoidalna, liniowa czy kwadratowa.

Co zdezorientowało francuskich matematyków w teorii Fouriera?

W końcu, jeśli matematyk miał rację w swoich twierdzeniach, to sumując nieskończone szeregi trygonometryczne Fouriera, można otrzymać dokładne odwzorowanie wyrażenia krokowego, nawet jeśli ma ono wiele podobnych kroków. Na początku XIX wieku takie stwierdzenie wydawało się absurdalne. Jednak pomimo wszystkich wątpliwości, wielu matematyków rozszerzyło zakres badań tego zjawiska, wyprowadzając je poza zakres badań przewodnictwa cieplnego. Jednak większość naukowców nadal dręczyło pytanie: „Czy suma szeregu sinusoidalnego jest zbieżna z dokładną wartością funkcji nieciągłej?”

Zbieżność szeregu Fouriera: przykład

Kwestia zbieżności jest podnoszona, ilekroć trzeba zsumować nieskończone szeregi liczb. Aby zrozumieć to zjawisko, rozważ klasyczny przykład. Czy zdołasz kiedykolwiek dotrzeć do ściany, jeśli każdy kolejny krok jest o połowę mniejszy od poprzedniego? Załóżmy, że jesteś dwa metry od bramki, pierwszy krok przybliża cię do połowy, następny do trzech czwartych, a po piątym kroku pokonasz prawie 97 procent drogi. Jednak bez względu na to, ile kroków podejmiesz, nie osiągniesz zamierzonego celu w ścisłym matematycznym sensie. Korzystając z obliczeń numerycznych można wykazać, że w końcu można zbliżyć się do dowolnie małej zadanej odległości. Ten dowód jest równoznaczny z wykazaniem, że całkowita wartość połowy, jednej czwartej itd. będzie dążyć do jednego.

Kwestia zbieżności: drugie przyjście, czyli aparat Lorda Kelvina

Pytanie to pojawiło się ponownie pod koniec XIX wieku, kiedy próbowano wykorzystać szeregi Fouriera do przewidywania intensywności przypływów i odpływów. W tym czasie Lord Kelvin wynalazł urządzenie, które jest analogowym urządzeniem komputerowym, które umożliwiało marynarzom floty wojskowej i handlowej śledzenie tego naturalnego zjawiska. Mechanizm ten określał zestawy faz i amplitud na podstawie tabeli wysokości pływów i odpowiadających im momentów czasowych, dokładnie mierzonych w danym porcie w ciągu roku. Każdy parametr był sinusoidalną składową wyrażenia wysokości pływu i był jedną z regularnych składowych. Wyniki pomiarów zostały wprowadzone do kalkulatora Lorda Kelvina, który zsyntetyzował krzywą, która przewidywała wysokość wody w funkcji czasu na następny rok. Wkrótce podobne krzywe zostały narysowane dla wszystkich portów świata.

A jeśli proces zostanie przerwany przez nieciągłą funkcję?

W tamtym czasie wydawało się oczywiste, że predyktor fal pływowych z dużą liczbą elementów liczących może obliczyć dużą liczbę faz i amplitud, a tym samym zapewnić dokładniejsze przewidywania. Okazało się jednak, że prawidłowości tej nie obserwuje się w tych przypadkach, gdy syntetyzowana ekspresja pływowa zawierała ostry skok, to znaczy była nieciągła. W przypadku wprowadzenia do urządzenia danych z tabeli momentów czasowych, obliczane jest kilka współczynników Fouriera. Pierwotna funkcja zostaje przywrócona dzięki składowym sinusoidalnym (zgodnie z ustalonymi współczynnikami). Rozbieżność między oryginalną i przywróconą ekspresją można zmierzyć w dowolnym momencie. Przeprowadzając powtórne obliczenia i porównania można zauważyć, że wartość największego błędu nie maleje. Są one jednak zlokalizowane w regionie odpowiadającym punktowi nieciągłości i dążą do zera w każdym innym punkcie. W 1899 r. wynik ten został teoretycznie potwierdzony przez Joshua Willard Gibbs z Yale University.

Zbieżność szeregu Fouriera i ogólny rozwój matematyki

Analiza Fouriera nie ma zastosowania do wyrażeń zawierających nieskończoną liczbę impulsów w określonym przedziale. Ogólnie rzecz biorąc, szeregi Fouriera, jeśli pierwotna funkcja jest wynikiem rzeczywistego pomiaru fizycznego, zawsze są zbieżne. Kwestie zbieżności tego procesu dla określonych klas funkcji doprowadziły do pojawienia się nowych działów w matematyce, na przykład teorii funkcji uogólnionych. Związany jest z takimi nazwiskami jak L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. W ramach tej teorii stworzono jasne i precyzyjne podstawy teoretyczne dla takich wyrażeń jak funkcja delta Diraca (opisuje ona obszar pojedynczego obszaru skupionego w nieskończenie małym sąsiedztwie punktu) oraz Heaviside’a” krok". Dzięki tej pracy szereg Fouriera znalazł zastosowanie do rozwiązywania równań i problemów, w których pojawiają się intuicyjne pojęcia: ładunek punktowy, masa punktowa, dipole magnetyczne, a także obciążenie skupione na wiązce.

Metoda Fouriera

Szeregi Fouriera, zgodnie z zasadami interferencji, rozpoczynają się od rozkładu form złożonych na formy prostsze. Na przykład zmianę przepływu ciepła tłumaczy się jego przejściem przez różne przeszkody wykonane z materiału termoizolacyjnego o nieregularnym kształcie lub zmianą powierzchni ziemi - trzęsieniem ziemi, zmianą orbity ciała niebieskiego - wpływem planety. Z reguły podobne równania opisujące proste klasyczne układy są rozwiązywane elementarnie dla każdej pojedynczej fali. Fourier wykazał, że proste rozwiązania można zsumować, aby uzyskać rozwiązania bardziej złożonych problemów. Wyrażona w języku matematyki seria Fouriera jest techniką przedstawiania wyrażenia jako sumy harmonicznych - cosinusów i sinusoid. Dlatego ta analiza jest również znana jako „analiza harmoniczna”.

Seria Fouriera - idealna technika przed "erą komputerów"

Przed stworzeniem technologii komputerowej technika Fouriera była najlepszą bronią w arsenale naukowców podczas pracy z falową naturą naszego świata. Szereg Fouriera w postaci złożonej pozwala rozwiązywać nie tylko proste problemy, które można bezpośrednio zastosować do praw mechaniki Newtona, ale także równania podstawowe. Większość odkryć nauki Newtona w XIX wieku była możliwa tylko dzięki technice Fouriera.

Seria Fouriera dzisiaj

Wraz z rozwojem komputerów transformaty Fouriera wzniosły się na jakościowo nowy poziom. Ta technika jest mocno zakorzeniona w prawie wszystkich dziedzinach nauki i technologii. Przykładem jest cyfrowy sygnał audio i wideo. Jego realizacja stała się możliwa tylko dzięki teorii opracowanej przez francuskiego matematyka na początku XIX wieku. W ten sposób szereg Fouriera w złożonej formie umożliwił dokonanie przełomu w badaniu przestrzeni kosmicznej. Ponadto wpłynęło to na badania fizyki materiałów półprzewodnikowych i plazmy, akustyki mikrofalowej, oceanografii, radaru i sejsmologii.

Trygonometryczne szeregi Fouriera

W matematyce szereg Fouriera jest sposobem przedstawiania dowolnych funkcji złożonych jako sumy funkcji prostszych. W ogólnych przypadkach liczba takich wyrażeń może być nieskończona. Co więcej, im bardziej ich liczba zostanie uwzględniona w obliczeniach, tym dokładniejszy jest wynik końcowy. Najczęściej jako najprostsze używa się funkcji trygonometrycznych cosinusa lub sinusa. W tym przypadku szeregi Fouriera nazywamy trygonometrycznymi, a rozwiązanie takich wyrażeń nazywamy rozwinięciem harmonicznej. Ta metoda odgrywa ważną rolę w matematyce. Przede wszystkim szereg trygonometryczny dostarcza środków do obrazu, a także badania funkcji, jest głównym aparatem teorii. Ponadto pozwala rozwiązać szereg problemów fizyki matematycznej. Wreszcie teoria ta przyczyniła się do rozwoju i powołała do życia szereg bardzo ważnych działów nauk matematycznych (teoria całek, teoria funkcji okresowych). Ponadto stanowił punkt wyjścia do rozwoju następujących funkcji zmiennej rzeczywistej, a także wyznaczał początek analizy harmonicznej.

Które już mają dość. I czuję, że nadszedł moment, kiedy nadszedł czas, aby wydobyć nową żywność w puszkach ze strategicznych rezerw teoretycznych. Czy można w inny sposób rozszerzyć funkcję na szereg? Na przykład, aby wyrazić odcinek linii prostej w postaci sinusów i cosinusów? Wydaje się to niewiarygodne, ale takie pozornie odległe funkcje nadają się do:
"zjazd". Oprócz znanych stopni w teorii i praktyce istnieją inne podejścia do rozszerzania funkcji w szereg.

W tej lekcji zapoznamy się z szeregiem trygonometrycznym Fouriera, poruszymy kwestię jego zbieżności i sumy oraz oczywiście przeanalizujemy liczne przykłady rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Szczerze chciałem nazwać artykuł „Seria Fouriera dla manekinów”, ale byłoby to sprytne, ponieważ rozwiązywanie problemów będzie wymagało znajomości innych sekcji analizy matematycznej i pewnego doświadczenia praktycznego. Dlatego preambuła będzie przypominać szkolenie astronautów =)

Po pierwsze, studium materiałów strony należy podejść w doskonałej formie. Senny, wypoczęty i trzeźwy. Bez silnych emocji związanych ze złamaną łapą chomika i obsesyjnych myśli o trudach życia ryb akwariowych. Seria Fouriera nie jest trudna z punktu widzenia rozumienia, jednak zadania praktyczne wymagają po prostu zwiększonej koncentracji uwagi - najlepiej całkowicie zrezygnować z bodźców zewnętrznych. Sytuację pogarsza fakt, że nie ma łatwego sposobu sprawdzenia rozwiązania i odpowiedzi. Tak więc, jeśli twoje zdrowie jest poniżej średniej, lepiej zrobić coś prostszego. Prawda.

Po drugie, przed lotem w kosmos należy przestudiować tablicę przyrządów statku kosmicznego. Zacznijmy od wartości funkcji, które należy kliknąć na maszynie:

Za każdą wartość przyrodniczą:

jeden) . I faktycznie, sinusoida „miga” oś x przez każde „pi”:
. W przypadku ujemnych wartości argumentu wynik oczywiście będzie taki sam: .

2). Ale nie wszyscy o tym wiedzieli. Cosinus „pi en” jest odpowiednikiem „migającego światła”:

Argument przeczący nie zmienia sprawy: .

Być może wystarczy.

I po trzecie, drodzy korpusie kosmonautów, musicie umieć… zintegrować.
W szczególności, oczywiście wnieść funkcję pod znak różniczkowy, integruj przez części i bądź w dobrych stosunkach z Wzór Newtona-Leibniza. Zacznijmy ważne ćwiczenia przed lotem. Zdecydowanie nie polecam pomijania tego, aby później nie spłaszczyć się w zerowej grawitacji:

Przykład 1

Oblicz całki oznaczone

skąd bierze wartości przyrodnicze.

Rozwiązanie: całkowanie odbywa się na zmiennej „x” i na tym etapie zmienna dyskretna „en” jest uważana za stałą. We wszystkich całkach sprowadzić funkcję pod znak dyferencjału:

Krótka wersja rozwiązania, do której dobrze byłoby postrzelać, wygląda tak:

Przyzwyczaić się:

Cztery pozostałe punkty są same. Postaraj się podejść do zadania sumiennie i ułożyć całki w krótki sposób. Przykładowe rozwiązania na koniec lekcji.

Po ćwiczeniach JAKOŚCI zakładamy skafandry kosmiczne
i przygotowujemy się do startu!

Rozwinięcie funkcji w szeregu Fouriera na przedziale

Rozważmy funkcję, która ustalona przynajmniej na przedziale (i ewentualnie na większym przedziale). Jeśli ta funkcja jest całkowalna na segmencie, to można ją rozszerzyć na trygonometryczną Szeregi Fouriera:
, gdzie są tzw Współczynniki Fouriera.

W tym przypadku numer nazywa się okres rozkładu, a liczba to rozkład półtrwania.

Oczywiście w ogólnym przypadku szereg Fouriera składa się z sinusów i cosinusów:

Rzeczywiście, napiszmy to szczegółowo:

Termin zerowy serii jest zwykle zapisywany jako .

Współczynniki Fouriera obliczane są za pomocą następujących wzorów:

Doskonale rozumiem, że nowe terminy są wciąż niejasne dla początkujących do studiowania tematu: okres rozkładu, pół cyklu, Współczynniki Fouriera i inne. Nie panikuj, to nieporównywalne z ekscytacją przed spacerem kosmicznym. Zastanówmy się nad tym w najbliższym przykładzie, przed wykonaniem którego logiczne jest zadawanie naglących praktycznych pytań:

Co musisz zrobić w następujących zadaniach?

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera. Dodatkowo często wymagane jest narysowanie wykresu funkcji, wykresu sumy szeregu, sumy częściowej, a w przypadku wyrafinowanych profesji, zrobić coś innego.

Jak rozwinąć funkcję w szereg Fouriera?

Zasadniczo musisz znaleźć Współczynniki Fouriera, czyli skomponuj i oblicz trzy całki oznaczone.

Proszę skopiować do zeszytu ogólny kształt szeregu Fouriera oraz trzy wzory robocze. Bardzo się cieszę, że niektórzy odwiedzający stronę mają marzenie z dzieciństwa o zostaniu astronautą, które spełnia się na moich oczach =)

Przykład 2

Rozwiń funkcję na szereg Fouriera na przedziale . Zbuduj wykres, wykres sumy serii i sumy częściowej.

Rozwiązanie: pierwsza część zadania polega na rozszerzeniu funkcji na szereg Fouriera.

Początek jest standardowy, koniecznie zapisz, że:

W tym problemie okres ekspansji , półokres .

Rozszerzamy funkcję w szeregu Fouriera na przedziale:

Stosując odpowiednie formuły, znajdujemy Współczynniki Fouriera. Teraz musimy skomponować i obliczyć trzy całki oznaczone. Dla wygody ponumeruję punkty:

1) Całka pierwsza jest najprostsza, jednak wymaga już oka i oka:

2) Używamy drugiej formuły:

Ta całka jest dobrze znana i bierze to po kawałku:

Kiedy zostanie znaleziony używany metoda sprowadzania funkcji pod znak różniczkowy.

W rozważanym zadaniu wygodniej jest od razu użyć wzór na całkowanie przez części w całkę oznaczoną :

Kilka uwag technicznych. Po pierwsze, po zastosowaniu formuły całe wyrażenie należy ująć w duże nawiasy, ponieważ przed całką pierwotną znajduje się stała. Nie traćmy tego! Nawiasy można otworzyć w dowolnym dalszym kroku, zrobiłem to na ostatnim zakręcie. W pierwszym „kawałku” wykazujemy się niezwykłą dokładnością w podstawieniu, jak widać, stała wypada z rynku, a granice integracji są podstawiane do produktu. Ta czynność jest oznaczona nawiasami kwadratowymi. Cóż, całka drugiego „kawałka” wzoru jest Ci dobrze znana z zadania szkoleniowego ;-)

A co najważniejsze - ostateczna koncentracja uwagi!

3) Szukamy trzeciego współczynnika Fouriera:

Otrzymuje się krewny poprzedniej całki, który jest również zintegrowane przez części:

Ta instancja jest trochę bardziej skomplikowana, kolejne kroki skomentuję krok po kroku:

(1) Całe wyrażenie ujęto w duże nawiasy.. Nie chciałem wydawać się nudziarzem, zbyt często tracą stałą.

(2) W tym przypadku natychmiast rozszerzyłem te duże nawiasy. Specjalna uwaga poświęcamy pierwszemu „kawałkowi”: ciągłe palenie na uboczu i nie uczestniczy w zastępowaniu granic integracji ( i ) w produkt . Ze względu na bałagan w rekordzie ponownie wskazane jest wyróżnienie tego działania w nawiasach kwadratowych. Z drugim „kawałkiem” wszystko jest prostsze: tutaj ułamek pojawił się po otwarciu dużych nawiasów, a stała - w wyniku całkowania znanej całki ;-)

(3) W nawiasach kwadratowych dokonujemy przekształceń, aw całce prawej podstawiamy granice całkowania.

(4) Wyjmujemy „flasher” z nawiasów kwadratowych: , po czym otwieramy nawiasy wewnętrzne: .

(5) Skreślamy 1 i -1 w nawiasach i dokonujemy ostatecznych uproszczeń.

Wreszcie znaleziono wszystkie trzy współczynniki Fouriera:

Zastąp je formułą :

Nie zapomnij podzielić na pół. W ostatnim kroku z sumy jest usuwana stała („minus dwa”), która nie zależy od „en”.

W ten sposób otrzymaliśmy rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera na przedziale :

Przyjrzyjmy się kwestii zbieżności szeregu Fouriera. W szczególności wyjaśnię teorię Twierdzenie Dirichleta, dosłownie „na palcach”, więc jeśli potrzebujesz ścisłych sformułowań, zapoznaj się z podręcznikiem rachunku różniczkowego (np. II tom Bohana lub III tom Fichtenholtza, ale jest w nim trudniej).

W drugiej części zadania wymagane jest narysowanie wykresu, wykresu sumy serii i wykresu sumy częściowej.

Wykres funkcji jest zwykły linia prosta w samolocie, który jest narysowany czarną przerywaną linią:

Zajmujemy się sumą serii. Jak wiesz, szeregi funkcyjne zbiegają się do funkcji. W naszym przypadku skonstruowany szereg Fouriera dla dowolnej wartości „x” zbiega się do funkcji pokazanej na czerwono. Ta funkcja podlega przerwy pierwszego rodzaju w punktach , ale także w nich zdefiniowanych (czerwone kropki na rysunku)

W ten sposób: . Łatwo zauważyć, że różni się ona znacznie od pierwotnej funkcji, dlatego w notacji tylda jest używana zamiast znaku równości.

Przeanalizujmy algorytm, za pomocą którego wygodnie jest skonstruować sumę szeregu.

Na przedziale środkowym szereg Fouriera zbiega się do samej funkcji (środkowy odcinek czerwony pokrywa się z czarną przerywaną linią funkcji liniowej).

Porozmawiajmy teraz trochę o naturze rozważanego rozszerzenia trygonometrycznego. Szeregi Fouriera zawiera tylko funkcje okresowe (stałą, sinus i cosinus), więc suma szeregu jest również funkcją okresową.

Co to oznacza w naszym konkretnym przykładzie? A to oznacza, że suma szeregu –koniecznie okresowo a czerwony odcinek interwału musi być nieskończenie powtarzany po lewej i prawej stronie.

Myślę, że teraz znaczenie wyrażenia „okres rozkładu” w końcu stało się jasne. Mówiąc najprościej, za każdym razem sytuacja się powtarza.

W praktyce zazwyczaj wystarczy przedstawić trzy okresy rozkładu, tak jak na rysunku. No i jeszcze więcej "kikutów" sąsiednich okresów - żeby było jasne, że wykres trwa.

Szczególnie interesujące są punkty nieciągłości pierwszego rodzaju. W takich punktach szereg Fouriera zbiega się do wartości izolowanych, które znajdują się dokładnie w środku „skoku” nieciągłości (czerwone kropki na rysunku). Jak znaleźć rzędną tych punktów? Najpierw znajdźmy rzędną „górnego piętra”: w tym celu obliczamy wartość funkcji w skrajnym prawym punkcie centralnego okresu ekspansji: . Aby obliczyć rzędną „dolnego piętra”, najprościej jest przyjąć skrajną lewą wartość tego samego okresu: . Rzędną wartości średniej jest średnia arytmetyczna sumy „góry i dołu”: . Fajne jest to, że budując rysunek, od razu zobaczysz, czy środek jest poprawnie obliczony, czy nie.

Skonstruujmy cząstkową sumę szeregu i jednocześnie powtórzmy znaczenie terminu „zbieżność”. Motyw jest znany z lekcji o suma szeregu liczb. Opiszmy szczegółowo nasze bogactwo:

Aby dokonać sumy częściowej, musisz zapisać zero + jeszcze dwa wyrazy szeregu. To znaczy,

Na rysunku wykres funkcji jest zaznaczony na zielono i jak widać dość ciasno owija się wokół sumy całkowitej. Jeśli weźmiemy pod uwagę częściową sumę pięciu wyrazów szeregu, to wykres tej funkcji jeszcze dokładniej przybliży czerwone linie, jeśli jest sto wyrazów, to „zielony wąż” faktycznie całkowicie połączy się z czerwonymi segmentami, itp. W ten sposób szereg Fouriera zbiega się do swojej sumy.

Warto zauważyć, że każda suma częściowa jest funkcja ciągła, ale łączna suma serii jest nadal nieciągła.

W praktyce nie jest rzadkością budowanie wykresu sumy częściowej. Jak to zrobić? W naszym przypadku należy wziąć pod uwagę funkcję na segmencie, obliczyć jej wartości na końcach segmentu i w punktach pośrednich (im więcej punktów rozważysz, tym dokładniejszy będzie wykres). Następnie należy zaznaczyć te punkty na rysunku i ostrożnie narysować wykres na okresie, a następnie „zreplikować” go na sąsiednie przedziały. Jak inaczej? Przecież aproksymacja to też funkcja okresowa… …jej wykres w jakiś sposób przypomina mi równy rytm serca na wyświetlaczu urządzenia medycznego.

Oczywiście prowadzenie konstrukcji nie jest zbyt wygodne, ponieważ trzeba być bardzo ostrożnym, zachowując dokładność nie mniejszą niż pół milimetra. Ucieszę jednak czytelników, którzy nie mają nic przeciwko rysowaniu – w „prawdziwym” zadaniu nie zawsze konieczne jest rysowanie, gdzieś w 50% przypadków wymagane jest rozszerzenie funkcji na szereg Fouriera i to to.

Po wykonaniu rysunku wykonujemy zadanie:

Odpowiadać:

W wielu zadaniach funkcja cierpi pęknięcie pierwszego rodzaju bezpośrednio w okresie rozkładu:

Przykład 3

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję podaną na przedziale . Narysuj wykres funkcji i sumy serii.

Proponowana funkcja jest podana w kawałkach (i pamiętaj, tylko w segmencie) i wytrzymać pęknięcie pierwszego rodzaju W punkcie . Czy można obliczyć współczynniki Fouriera? Nie ma problemu. Zarówno lewa, jak i prawa część funkcji są całkowalne na swoich przedziałach, więc całki w każdym z trzech wzorów należy przedstawić jako sumę dwóch całek. Zobaczmy na przykład, jak to się robi dla zerowego współczynnika:

Druga całka okazała się równa zero, co zmniejszyło pracę, ale nie zawsze tak jest.

Podobnie zapisuje się dwa inne współczynniki Fouriera.

Jak wyświetlić sumę serii? Na lewym przedziale rysujemy odcinek linii prostej, a na przedziale - odcinek linii prostej (zaznacz odcinek osi pogrubioną czcionką). Oznacza to, że w przedziale rozwinięcia suma szeregu pokrywa się z funkcją wszędzie, z wyjątkiem trzech „złych” punktów. W punkcie nieciągłości funkcji szereg Fouriera zbiega się do wartości izolowanej, która znajduje się dokładnie w środku „skoku” nieciągłości. Nietrudno zobaczyć to ustnie: granica lewej ręki:, granica prawej ręki: i oczywiście rzędna punktu środkowego wynosi 0,5.

Ze względu na cykliczność sumy obraz należy „pomnożyć” na sąsiednie okresy, w szczególności przedstawić to samo na interwałach i . W tym przypadku w punktach szereg Fouriera jest zbieżny do wartości mediany.

W rzeczywistości nie ma tu nic nowego.

Spróbuj sam rozwiązać ten problem. Przybliżona próbka drobnego projektu i rysunku na końcu lekcji.

Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera na dowolnym okresie

Dla dowolnego okresu rozwinięcia, gdzie „el” jest dowolną liczbą dodatnią, wzory na szereg Fouriera i współczynniki Fouriera różnią się nieco bardziej skomplikowanym argumentem sinus i cosinus:

Jeśli , to otrzymujemy wzory na przedział, od którego zaczęliśmy.

Algorytm i zasady rozwiązywania problemu są całkowicie zachowane, ale zwiększa się techniczna złożoność obliczeń:

Przykład 4

Rozwiń funkcję w szereg Fouriera i wykreśl sumę.

Rozwiązanie: w rzeczywistości analog przykładu nr 3 z pęknięcie pierwszego rodzaju W punkcie . W tym problemie okres ekspansji , półokres . Funkcja jest zdefiniowana tylko na półprzedziału , ale to niczego nie zmienia - ważne jest, aby obie części funkcji były całkowalne.

Rozwińmy funkcję do szeregu Fouriera:

Ponieważ funkcja jest nieciągła w początku, każdy współczynnik Fouriera należy oczywiście zapisać jako sumę dwóch całek:

1) Całkę pierwszą napiszę jak najdokładniej:

2) Ostrożnie zajrzyj w powierzchnię księżyca:

Druga całka weź w częściach:

Na co zwrócić szczególną uwagę po otwarciu kontynuacji rozwiązania z gwiazdką?

Po pierwsze, nie tracimy pierwszej całki , gdzie od razu wykonujemy sprowadzenie pod znak różnicy. Po drugie, nie zapomnij o niefortunnej stałej przed dużymi nawiasami i nie dajcie się zmylić znakami podczas korzystania z formuły . W końcu duże nawiasy wygodniej jest otworzyć od razu w następnym kroku.

Reszta to kwestia techniki, tylko niewystarczające doświadczenie w rozwiązywaniu całek może powodować trudności.

Tak, nie na próżno oburzyli się wybitni koledzy francuskiego matematyka Fouriera - jak odważył się rozkładać funkcje na szeregi trygonometryczne?! =) Nawiasem mówiąc, prawdopodobnie wszystkich interesuje praktyczne znaczenie zadania, o którym mowa. Sam Fourier pracował nad matematycznym modelem przewodzenia ciepła, a następnie seria nazwana jego imieniem zaczęła być wykorzystywana do badania wielu procesów okresowych, najwyraźniej niewidocznych w świecie zewnętrznym. Nawiasem mówiąc, przyłapałem się na myśleniu, że to nie przypadek, że porównałem wykres z drugiego przykładu z okresowym rytmem serca. Zainteresowani mogą zapoznać się z praktycznym zastosowaniem transformaty Fouriera ze źródeł zewnętrznych. ... Chociaż lepiej tego nie robić - zostanie zapamiętany jako Pierwsza Miłość =)

3) Biorąc pod uwagę wielokrotnie wspominane słabe ogniwa, mamy do czynienia z trzecim współczynnikiem:

Integracja przez części:

Znalezione współczynniki Fouriera podstawiamy do wzoru , nie zapominając o podzieleniu współczynnika zerowego na pół:

Wykreślmy sumę serii. Powtórzmy krótko procedurę: na przedziale budujemy linię, a na przedziale - linię. Przy zerowej wartości „x” umieszczamy punkt w środku „skoku” luki i „replikujemy” wykres dla sąsiednich okresów:

W „skrzyżowaniach” okresów suma będzie również równa środkom „skoku” luki.

Gotowy. Przypominam, że sama funkcja jest warunkowo określona tylko na półprzedziału i oczywiście pokrywa się z sumą szeregu na przedziałach

Odpowiadać:

Czasami funkcja dana odcinkowo jest również ciągła w okresie ekspansji. Najprostszy przykład: . Rozwiązanie (Patrz Bohan Tom 2) jest taki sam jak w dwóch poprzednich przykładach: pomimo ciągłość funkcji w punkcie każdy współczynnik Fouriera jest wyrażony jako suma dwóch całek.

W okresie zerwania punkty nieciągłości pierwszego rodzaju i/lub „połączeń” grafu może być więcej (dwa, trzy i generalnie dowolna) finał ilość). Jeśli funkcja jest całkowalna na każdej części, to jest również rozszerzalna w szereg Fouriera. Ale z praktycznego doświadczenia nie pamiętam takiej puszki. Niemniej jednak istnieją trudniejsze zadania niż tylko rozważane, a na końcu artykułu dla wszystkich znajdują się linki do serii Fouriera o zwiększonej złożoności.

W międzyczasie zrelaksujmy się, opierając się na naszych krzesłach i kontemplując nieskończone przestrzenie gwiazd:

Przykład 5

Rozwiń funkcję do szeregu Fouriera na przedziale i wykreśl sumę szeregu.

W tym zadaniu funkcja ciągły na półokresie rozkładu, co upraszcza rozwiązanie. Wszystko jest bardzo podobne do przykładu nr 2. Ze statku kosmicznego nie ma ucieczki - musisz zdecydować =) Przybliżona próbka projektu na końcu lekcji, harmonogram w załączeniu.

Rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera

Przy funkcjach parzystych i nieparzystych proces rozwiązywania problemu jest zauważalnie uproszczony. I własnie dlatego. Wróćmy do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera na okresie „dwóch pi” i arbitralny okres „dwa piwa” .

Załóżmy, że nasza funkcja jest parzysta. Ogólny termin serii, jak widać, zawiera cosinusy parzyste i nieparzyste. A jeśli rozłożymy funkcję PARZYSTĄ, to po co nam nieparzyste sinusy?! Zresetujmy niepotrzebny współczynnik: .

W ten sposób, funkcja parzysta rozszerza się do szeregu Fouriera tylko w cosinusach:

Ponieważ całki funkcji parzystych nad segmentem całkowania symetrycznym względem zera można podwoić, wówczas pozostałe współczynniki Fouriera są również uproszczone.

Dla rozpiętości:

Dla dowolnego przedziału:

Podręcznikowe przykłady, które można znaleźć w prawie każdym podręczniku rachunku różniczkowego, obejmują rozwinięcia funkcji parzystych . Ponadto wielokrotnie spotykali się w mojej osobistej praktyce:

Przykład 6

Dana funkcja. Wymagany:

1) rozwiń funkcję do szeregu Fouriera z okresem , gdzie jest dowolną liczbą dodatnią;

2) zapisz rozwinięcie na przedziale , zbuduj funkcję i narysuj łączną sumę szeregu .

Rozwiązanie: w pierwszym akapicie proponuje się ogólne rozwiązanie problemu, co jest bardzo wygodne! Będzie potrzeba - po prostu podmień swoją wartość.

1) W tym problemie okres ekspansji, półokres. W trakcie dalszych działań, w szczególności podczas integracji, „el” jest uważane za stałą

Funkcja jest parzysta, co oznacza, że rozwija się do szeregu Fouriera tylko w cosinusach: .

Współczynniki Fouriera są poszukiwane przez wzory . Zwróć uwagę na ich absolutne zalety. Najpierw integracja odbywa się nad dodatnim segmentem rozszerzenia, co oznacza, że bezpiecznie pozbywamy się modułu , biorąc pod uwagę tylko "x" z dwóch kawałków. Po drugie, integracja jest zauważalnie uproszczona.

Dwa:

Integracja przez części:

W ten sposób:
, natomiast stała , która nie zależy od „en”, jest usuwana z sumy.

Odpowiadać:

2) Piszemy rozwinięcie na przedziale, w tym celu podstawiamy pożądaną wartość półokresu do ogólnej formuły:

Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych rozwinięcie funkcji podanej na odcinku w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Szereg Fouriera dla funkcji z dowolnym okresem Złożona reprezentacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parseval Układy zamknięte Kompletność i zamknięcie układów

Rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera Funkcja f(x), zdefiniowana na odcinku \-1, gdzie I > 0, jest wywoływana, nawet jeśli wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Funkcja f(x) zdefiniowana na odcinku J, gdzie I > 0, nazywana jest nieparzystą, jeśli wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku. Przykład. a) Funkcja jest parzysta na odcinku |-jt, jt), ponieważ dla wszystkich x e b) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ rozwinięcie funkcji parzystych i nieparzystych w szereg Fouriera jest rozwinięciem funkcji podanej na tym odcinku w szeregu sinusy lub cosinusy Szereg Fouriera dla funkcji z dowolnym okresem Złożona notacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów c) Funkcja f(x)=x2-x, gdzie nie należy ani do parzystych, ani nieparzystych funkcji, ponieważ Niech funkcja f(x) spełniająca warunki Twierdzenia 1 będzie parzysta na odcinku x|. Wtedy dla wszystkich tj. /(g) cos nx jest funkcją parzystą, a f(x)sinnx jest funkcją nieparzystą. Zatem współczynniki Fouriera funkcji parzystej /(x) będą równe.W związku z tym szereg Fouriera funkcji parzystej ma postać f(x) sin nx jest funkcją parzystą. Zatem będziemy mieli Tak więc szereg Fouriera funkcji nieparzystej ma postać Mamy Stosując całkowanie przez części dwukrotnie, otrzymujemy to Stąd szereg Fouriera tej funkcji wygląda tak: lub w rozwiniętej formie Ta równość jest ważna dla dowolnego x €, ponieważ w punktach x = ±ir suma szereg pokrywa się z wartościami funkcji f(x ) = x2, ponieważ wykresy funkcji f(x) = x i sumy otrzymanego szeregu podano na ryc. Komentarz. Ta seria Fouriera pozwala znaleźć sumę jednego ze zbieżnych szeregów liczbowych, a mianowicie dla x \u003d 0 otrzymujemy to Funkcja /(x) spełnia warunki Twierdzenia 1, dlatego może być rozszerzona na szereg Fouriera, który ze względu na nieparzystość tej funkcji będzie miał postać Całkując przez części, znajdujemy współczynniki Fouriera. szereg tej funkcji ma postać Ta równość obowiązuje dla wszystkich x В punktów x - ±tg suma szeregu Fouriera nie pokrywa się z wartościami funkcji / (x) = x, ponieważ jest równa Poza odcinek [- *, n-] suma szeregu jest okresową kontynuacją funkcji / (x) \u003d x; jego wykres pokazano na ryc. 6. § 6. Rozwinięcie funkcji podanej na przedziale w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Niech na przedziale będzie dana ograniczona odcinkowo funkcja monotoniczna. Wartości tej funkcji w przedziale 0| można definiować na różne sposoby. Na przykład możliwe jest zdefiniowanie funkcji /na segmencie mc] w taki sposób, że /. W tym przypadku mówi się, że) „rozszerza się do segmentu 0] w równy sposób”; jego szereg Fouriera będzie zawierał tylko cosinusy. Jeśli jednak funkcja /(x) jest zdefiniowana na odcinku [-x, mc] tak, że /(, to otrzymujemy funkcję nieparzystą, a następnie mówimy, że / "rozszerza się na odcinek [-*, 0 ] w dziwny sposób"; w tym przypadku szereg Fouriera będzie zawierał tylko sinusy. Tak więc każda ograniczona funkcja odcinkowo-monotoniczna /(x), zdefiniowana na odcinku , może zostać rozszerzona do szeregu Fouriera zarówno pod względem sinusy i cosinusy.Przykład 1. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera: a) o cosinusy; b) wzdłuż sinusów. M Ta funkcja, z jej parzystymi i nieparzystymi rozszerzeniami segmentu |-x, 0) będzie ograniczona i odcinkowo monotoniczna. a) kontynuujemy / (z) do odcinka 0) a) kontynuujemy j \ x) do odcinka (-m, 0 | w sposób parzysty (rys. 7), wtedy jego szereg Fouriera i będzie miał postać P \u003d 1 gdzie współczynniki Fouriera są równe odpowiednio dla Dlatego b) Kontynuujmy /(z) w segmencie [-x,0] w dziwny sposób (ryc. 8). Następnie jego szereg Fouriera §7. Szereg Fouriera dla funkcji o dowolnym okresie Niech funkcja fix) będzie okresowa z okresem 21,1 ^ 0. Aby rozwinąć ją w szereg Fouriera na przedziale, gdzie I > 0, dokonujemy zmiany zmiennej przez ustawienie x = jt . Wtedy funkcja F(t) = / ^tj będzie funkcją okresową argumentu t z okresem i będzie można ją rozwinąć na odcinku w szeregu Fouriera. siła również dla funkcji okresowych z dowolnym okresem 21. W szczególności pozostaje również ważne kryterium wystarczające do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Przykład 1. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję okresową o okresie 21, podaną na odcinku [-/,/] wzorem (rys. 9). Ponieważ ta funkcja jest parzysta, jej szereg Fouriera ma postać Zastępując znalezione wartości współczynników Fouriera w szereg Fouriera, otrzymujemy Zauważamy jedną ważną właściwość funkcji okresowych. Twierdzenie 5. Jeśli funkcja ma okres T i jest całkowalna, to dla dowolnej liczby a zachodzi równość m. tzn. całka na odcinku o długości równej okresowi T ma taką samą wartość niezależnie od położenia tego odcinka na osi rzeczywistej. Rzeczywiście, dokonujemy zmiany zmiennej w drugiej całce, zakładając: Daje to i dlatego geometrycznie ta właściwość oznacza, że w przypadku obszaru zacienionego na ryc. 10 obszarów jest sobie równych. W szczególności dla funkcji f(x) z okresem otrzymujemy na rozwinięciu szeregu Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych rozwinięcie funkcji podanej na odcinku w szereg w postaci sinusów lub cosinusów Szereg Fouriera dla funkcji z dowolny okres Złożona reprezentacja szeregu Fouriera Szereg Fouriera w ogólnych funkcjach układów ortogonalnych Szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów, w których współczynniki Fouriera funkcji okresowej f(x) z okresem 21 można obliczyć za pomocą wzorów, w których a jest dowolną liczbą rzeczywistą (zauważ, że funkcje cos - i sin mają okres 2/). Przykład 3. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję podaną na przedziale o okresie 2x (rys. 11). 4 Znajdź współczynniki Fouriera tej funkcji. Umieszczając formuły stwierdzamy, że dla Dlatego szereg Fouriera będzie wyglądał następująco: W punkcie x = jt (punkt nieciągłości pierwszego rodzaju) mamy §8. Złożona notacja szeregu Fouriera W tym podrozdziale wykorzystano niektóre elementy analizy złożonej (patrz rozdział XXX, gdzie wszystkie operacje wykonywane tutaj na wyrażeniach złożonych są ściśle uzasadnione). Niech funkcja f(x) spełnia warunki wystarczające do rozwinięcia w szereg Fouriera. Wtedy na odcinku x] może być reprezentowany przez szereg postaci Korzystając ze wzorów Eulera Podstawiając te wyrażenia do szeregu (1) zamiast cos nx i sin xy otrzymamy Wprowadzimy następującą notację Następnie szereg (2) przyjmuje postać Tak więc szereg Fouriera (1) jest przedstawiony w postaci zespolonej (3). Znajdźmy wyrażenia na współczynniki w postaci całek. Mamy Podobnie, znajdujemy Wreszcie wzory na с„, с_п i с można zapisać w następujący sposób: . . Współczynniki cn nazywane są zespolonymi współczynnikami Fouriera funkcji Dla funkcji okresowej z okresem, zespolona postać szeregu Fouriera przyjmuje postać wartości w jeśli istnieją granice Przykład. Rozwiń funkcję okresu w złożony szereg Fouriera Funkcja ta spełnia wystarczające warunki do rozwinięcia w szereg Fouriera. Znajdźmy zespolone współczynniki Fouriera tej funkcji. Mamy za nieparzyste dla parzystego n, w skrócie. Podstawiając wartości), w końcu otrzymujemy Zauważ, że szereg ten można również zapisać w następujący sposób: Szereg Fouriera w ogólnych układach ortogonalnych funkcji 9.1. Ortogonalne układy funkcji Oznaczmy zbiorem wszystkich (rzeczywistych) funkcji, które są zdefiniowane kwadratowo i całkowalne na przedziale [a, 6], tj. takie, dla których istnieje całka, w szczególności wszystkie funkcje f(x), które są ciągłe na przedziale [a , 6], należą do 6], a wartości ich całek Lebesgue'a pokrywają się z wartościami całek Riemanna. Definicja. Układ funkcji, gdzie, nazywamy ortogonalnym na przedziale [a, b\, jeśli Warunek (1) zakłada w szczególności, że żadna z funkcji nie jest identycznie równa zeru. Całka jest rozumiana w sensie Lebesgue'a. a wielkość nazywamy normą funkcji.Jeśli w układzie ortogonalnym dla dowolnego n, to układ funkcji nazywamy ortonormalnym. Jeżeli układ (y>n(x)) jest ortogonalny, to układ Przykład 1. Układ trygonometryczny jest ortogonalny na odcinku. Układ funkcji jest ortonormalnym układem funkcji, Przykład 2. Układ cosinus i układ sinus są ortonormalne. Wprowadźmy zapis, że są one ortogonalne na odcinku (0, f|, ale nie ortonormalne (dla I ↦ 2)).Ponieważ ich normy to COS, to funkcje tworzą ortonormalny układ funkcji na odcinku. Pokażmy, na przykład, że wielomiany Legendre'a są ortogonalne.Niech m > n. W tym przypadku całkując n razy przez części, znajdujemy, ponieważ dla funkcji t/m = (z2 - I)m, wszystkie pochodne do rzędu m - Znikam włącznie na końcach odcinka [-1,1). Definicja. Układ funkcji (pn(x)) nazywamy ortogonalnym na przedziale (a, b) przez nawis p(x), jeśli: 1) istnieją całki dla wszystkich n = 1,2,... Tutaj zakłada się, że funkcja wagi p(x) jest zdefiniowana i dodatnia wszędzie na przedziale (a, b), z możliwym wyjątkiem skończonej liczby punktów, w których p(x) może zniknąć. Po wykonaniu zróżnicowania we wzorze (3) znajdujemy. Można wykazać, że wielomiany Czebyszewa-Hermite'a są ortogonalne na przedziale Przykład 4. Układ funkcji Bessela (jL(pix)^ jest ortogonalny na przedziale zer układu Bessela Niech ortogonalny układ funkcji w przedziale (a, 6) i niech szereg (cj = const) zbiega się na tym przedziale do funkcji f(x): Z racji ortogonalności układu otrzymujemy, że Operacja ta ma generalnie charakter czysto formalny. Jednak w niektórych przypadkach, na przykład, gdy szereg (4) jest zbieżny jednostajnie, wszystkie funkcje są ciągłe, a przedział (a, 6) jest skończony, operacja ta jest dozwolona. Ale teraz ważna jest dla nas interpretacja formalna. Powiedzmy, że dana jest funkcja. Tworzymy liczby c * zgodnie ze wzorem (5) i piszemy Szereg po prawej stronie nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (x) względem układu (^n (n)) - Liczby Cn to nazwane współczynnikami Fouriera funkcji f (x) w tym układzie. Znak ~ we wzorze (6) oznacza jedynie, że liczby Cn są powiązane z funkcją f(x) wzorem (5) (w tym przypadku nie zakłada się, że szereg po prawej stronie w ogóle jest zbieżny, a tym bardziej jest zbieżny do funkcji f(x)). Dlatego naturalnie pojawia się pytanie: jakie są właściwości tej serii? W jakim sensie „reprezentuje” funkcję f(x)? 9.3. Średnia definicja zbieżności. Ciąg zbieżny do elementu ] średnio, jeśli norma znajduje się w przestrzeni Twierdzenie 6. Jeśli ciąg ) jest zbieżny jednostajnie, to również zbiega się średnio. M Niech ciąg ()) zbiega się jednostajnie na odcinku [a, b] do funkcji f(x). Oznacza to, że dla każdego, dla wszystkich wystarczająco dużych n, mamy Stąd, z którego wynika nasze twierdzenie. Odwrotność nie jest prawdą: ciąg () może być średnio zbieżny do /(x), ale nie może być jednostajnie zbieżny. Przykład. Rozważmy ciąg nx Łatwo to zauważyć Ale ta zbieżność nie jest jednostajna: istnieje e, na przykład, takie, że bez względu na to, jak duże jest n, na odcinku szeregu Fouriera dla funkcji o dowolnym okresie Złożona reprezentacja szereg Fouriera szereg Fouriera w ogólnych ortogonalnych układach funkcji szereg Fouriera w układzie ortogonalnym Minimalna własność współczynników Fouriera Nierówność Bessela Równość Parsevala Układy zamknięte Kompletność i domkliwość układów i niech ) w układzie ortonormalnym b Rozważ kombinację liniową, w której n ^ 1 jest stała liczba całkowita i znajdź wartości stałych, dla których całka przyjmuje swoją minimalną wartość. Napiszmy to bardziej szczegółowo. Całkując wyraz po wyrazie, ze względu na ortonormalność układu otrzymujemy Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie równości (7) są niezależne, a wyraz trzeci jest nieujemny. Dlatego całka (*) przyjmuje wartość minimalną przy ak = sk. Całka nazywana jest przybliżeniem pierwiastkowym funkcji f(x) jako kombinacją liniową Tn(x). Tak więc przybliżenie średniej kwadratowej funkcji /\ przyjmuje minimalną wartość kiedy. gdy Tn(x) jest 71. sumą cząstkową szeregu Fouriera funkcji /(x) w układzie (. Ustawiając ak = ck, z (7) otrzymujemy Równość (9) nazywamy tożsamością Bessela. Od lewej strona jest nieujemna, to z niej wynika nierówność Bessela Ponieważ i jest tu arbitralne, nierówność Bessela można przedstawić w postaci wzmocnionej, tj. dla dowolnej funkcji / szereg kwadratów współczynników Fouriera tej funkcji w układzie ortonormalnym ) jest zbieżny . Ponieważ układ jest ortonormalny na odcinku [-x, r], to nierówność (10) przełożona na zwykły zapis szeregu trygonometrycznego Fouriera daje zależność poprawną dla dowolnej funkcji f(x) z całkowalnym kwadratem. Jeżeli f2(x) jest całkowalna, to na mocy warunku koniecznego zbieżności szeregu po lewej stronie nierówności (11) otrzymujemy to. Równość Parsevala Dla niektórych systemów (^n(x)) znak nierówności we wzorze (10) można zastąpić (dla wszystkich funkcji f(x) 6 x) znakiem równości. Powstała równość nazywana jest równością Parsevala-Steklova (warunkiem zupełności). Tożsamość Bessela (9) pozwala nam zapisać warunek (12) w formie równoważnej przez normę przestrzenną 6]. Definicja. Układ ortonormalny ( nazywamy kompletnym w b2[ay b] jeśli dowolną funkcję można aproksymować średnio z dowolną dokładnością liniową kombinacją postaci o wystarczająco dużej liczbie wyrazów, tj. jeśli dla dowolnej funkcji f(x) ∈ b2[a, b\ i dla dowolnego e > 0 istnieje liczba naturalna nq oraz liczby a\, a2y... takie, że Nie. Twierdzenie 7. Jeśli układ ) jest zupełny w przestrzeni przez ortonormalizację, szereg Fouriera dowolna funkcja / w tym układzie zbiega się średnio do f(x), czyli zgodnie z normą Można wykazać, że układ trygonometryczny jest zupełny w przestrzeni, co implikuje twierdzenie. Twierdzenie 8. Jeśli funkcja /0 jej szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny do niej średnio. 9.5. systemy zamknięte. Kompletność i zamknięcie systemów Definicja. Układ ortonormalny funkcji \, nazywamy zamkniętym, jeśli w przestrzeni Li\a, b) nie istnieje niezerowa funkcja ortogonalna do wszystkich funkcji.W przestrzeni L2\a, b\ pojęcia zupełności i domknięcia układów ortonormalnych zbiec się. Ćwiczenia 1. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-i-, x) 2. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-r, r) 3. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera na przedziale (-r, r) 4. Rozwiń w szereg Fouriera w funkcji przedziałowej (-jt, r) 5. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, r) funkcję f(x) = x + x. 6. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-jt, r) funkcję n 7. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, x) funkcję / (x) \u003d sin2 x. 8. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-m, jt) funkcję f(x) = y 9. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-mm, -k) funkcję f(x) = | sinx|. 10. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-x-, r) funkcję f(x) = g. 11. Rozwiń w szeregu Fouriera w przedziale (-r, r) funkcję f (x) \u003d sin §. 12. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję f (x) = n -2x, podaną w przedziale (0, x), kontynuując ją w przedziale (-x, 0): a) w sposób parzysty; b) w dziwny sposób. 13. Rozwiń w szeregu Fouriera pod względem sinusów funkcję / (x) \u003d x2, podaną w przedziale (0, x). 14. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję / (x) \u003d 3-x, podaną w przedziale (-2,2). 15. Rozwiń w szeregu Fouriera funkcję f (x) \u003d |x |, podaną w przedziale (-1,1). 16. Rozwiń w szeregu Fouriera pod względem sinusów funkcję f (x) \u003d 2x, określoną w przedziale (0,1).

Szeregi Fouriera- sposób przedstawiania funkcji złożonej jako sumy prostszych, znanych.
Sinus i cosinus to funkcje okresowe. Tworzą również podstawę ortogonalną. Ta właściwość może być wyjaśniona przez analogię z osiami X X X oraz YY Tak na płaszczyźnie współrzędnych. W ten sam sposób, w jaki możemy opisać współrzędne punktu względem osi, możemy opisać dowolną funkcję względem sinusów i cosinusów. Funkcje trygonometryczne są dobrze zrozumiane i łatwe do zastosowania w matematyce.

Możesz przedstawić sinusy i cosinusy w postaci takich fal:

Niebieski to cosinusy, czerwony to sinusy. Fale te są również nazywane harmonicznymi. Cosinusy są parzyste, sinusy są nieparzyste. Termin harmonijka wywodzi się ze starożytności i wiąże się z obserwacjami na temat relacji wysokości w muzyce.

Co to jest seria Fouriera

Taki szereg, w którym funkcje sinus i cosinus są używane jako najprostsze, nazywamy trygonometrycznymi. Nazwa pochodzi od jego wynalazcy Jeana Baptiste Josepha Fouriera z końca XVIII – początku XIX wieku. który udowodnił, że każdą funkcję można przedstawić jako kombinację takich harmonicznych. A im więcej weźmiesz, tym dokładniejsza będzie ta reprezentacja. Na przykład poniższy rysunek: widać, że przy dużej liczbie harmonicznych, tj. członków szeregu Fouriera, czerwony wykres zbliża się do niebieskiego - funkcji pierwotnej.

Praktyczne zastosowanie we współczesnym świecie

Czy te rzędy naprawdę są teraz potrzebne? Gdzie można je zastosować w praktyce i czy używa ich ktoś inny niż matematycy teoretyczni? Okazuje się, że Fourier jest znany na całym świecie, ponieważ praktyczne zastosowanie jego serii jest dosłownie nieobliczalne. Wygodnie jest ich używać tam, gdzie występują jakiekolwiek drgania lub fale: akustyka, astronomia, radiotechnika itp. Najprostszym przykładem ich zastosowania jest mechanizm kamery lub kamery wideo. Krótko mówiąc, urządzenia te rejestrują nie tylko zdjęcia, ale współczynniki serii Fouriera. I działa wszędzie – podczas oglądania zdjęć w Internecie, filmu czy słuchania muzyki. To dzięki serii Fouriera możesz teraz przeczytać ten artykuł ze swojego telefonu komórkowego. Bez transformacji Fouriera nie mielibyśmy wystarczającej przepustowości połączeń internetowych, aby po prostu obejrzeć film na YouTube, nawet w standardowej jakości.

Na tym schemacie dwuwymiarowa transformata Fouriera, która służy do dekompozycji obrazu na harmoniczne, czyli podstawowe składowe. Na tym diagramie wartość -1 jest zakodowana na czarno, a na biało 1. Po prawej i na dole wykresu częstotliwość wzrasta.

Ekspansja Fouriera

Prawdopodobnie masz już dość czytania, więc przejdźmy do formuł.
Dla takiej techniki matematycznej, jak rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera, trzeba będzie wziąć całki. Wiele całek. Ogólnie szereg Fouriera jest zapisany jako suma nieskończona:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n grzech ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n grzech (nx) )
gdzie
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) re x A = \ Frac (1) (2 \ pi) \ Displaystyle \ int \ limity_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxA=2 π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) re x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ - π π f (x) grzech ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f(x)sin(nx)dx

Jeśli możemy jakoś policzyć nieskończoną liczbę a n a_ n a n oraz BN BN b n (nazywane są współczynnikami ekspansji Fouriera, A A jest tylko stałą tego rozwinięcia), to wynikowy szereg będzie w 100% pokrywał się z pierwotną funkcją f(x) f(x) f(x) na odcinku od − π -\pi − π zanim π\pi π . Taki segment wynika z całkowania właściwości sinusa i cosinusa. Więcej n n n, dla którego obliczamy współczynniki rozwinięcia funkcji w szereg, tym dokładniejsze będzie to rozwinięcie.

Przykład

Weźmy prostą funkcję y=5x y=5x y=5x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 − π ∫ π f(x) dx =2 π1 − π ∫ π 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (x ) d x =π 1 − π ∫ π 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) grzech ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x grzech ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limity_ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle \ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \ Displaystyle \ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin (2x) dx = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limits_ (- \ pi) ^ (\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) grzech(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xgrzech(2 x) dx= − 5

I tak dalej. W przypadku takiej funkcji możemy od razu powiedzieć, że wszystko $a_n=0$

$\ok 10 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac(10)(3) \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac(5)(2) \cdot \sin (4 \ cdot x)$

Wykres wynikowej funkcji będzie wyglądał tak:

Wynikające z tego rozszerzenie Fouriera zbliża się do naszej pierwotnej funkcji. Jeśli weźmiemy większą liczbę terminów w serii, na przykład 15, zobaczymy już:

Im więcej terminów ekspansji w serii, tym wyższa dokładność.
Jeśli nieco zmienimy skalę wykresu, zauważymy inną cechę transformacji: szereg Fouriera jest funkcją okresową z okresem $2\pi$

W ten sposób można przedstawić dowolną funkcję, która jest ciągła na odcinku $[-\pi;\pi]$