Furjė serija. Sprendimo pavyzdžiai. Furjė eilutės pavyzdžiuose ir užduotyse Funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę pavyzdžiai

17.03.2022

2. Eilučių koeficientų nustatymas Furjė formulėmis.

Tegul periodinė funkcija ƒ(x), kurios periodas yra 2π, yra tokia, kad ją pavaizduotų trigonometrinė eilutė, konverguojanti į nurodytą funkciją intervale (-π, π), t. y. yra šios eilutės suma:

Tarkime, kad funkcijos integralas kairėje šios lygybės pusėje yra lygus šios eilutės narių integralų sumai. Tai bus tiesa, jei manysime, kad skaičių eilutės, sudarytos iš duotų trigonometrinių eilučių koeficientų, absoliučiai konverguoja, t. y. teigiamos skaičių eilutės konverguoja

Serija (1) yra suskirstyta į didžiąją dalį ir gali būti integruojama po termino intervale (-π, π). Integruojame abi lygybės dalis (2):

Skaičiuojame atskirai kiekvieną integralą, esantį dešinėje:

Šiuo būdu, , kur

. (4)

Furjė koeficientų įvertinimas. (Bugrov)

1 teorema. Tegu 2π periodo funkcija ƒ(x) turi s eilės ištisinę išvestinę ƒ(s) (x), kuri tenkina nelygybę visoje realioje ašyje:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

tada funkcijos Furjė koeficientai ƒ tenkina nelygybę

Įrodymas. Integravimas dalimis ir atsižvelgiant į tai

ƒ(-π) = ƒ(π), turime

Integruojant dešinę (7) pusę nuosekliai, atsižvelgiant į tai, kad išvestinės ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) yra tolydžios ir taškuose t = -π ir t = π taip pat turi tokias pačias reikšmes. kaip įvertį (5), gauname pirmąjį įvertį (6).

Antrasis įvertinimas (6) gaunamas panašiu būdu.

2 teorema. Furjė koeficientai ƒ(x) tenkina nelygybę

(8)

Įrodymas. Mes turime

(9)

Įvesdami kintamojo pasikeitimą šiuo atveju ir atsižvelgdami į tai, kad ƒ(x) yra periodinė funkcija, gauname

Sudėjus (9) ir (10), gauname

Panašiai atliekame ir b k įrodymą.

Pasekmė. Jei funkcija ƒ(x) yra ištisinė, tai jos Furjė koeficientai linkę į nulį: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Funkcijų erdvė su skaliarine sandauga.

Funkcija ƒ(x) vadinama dalimis tolydi atkarpoje, jei ji yra ištisinė šioje atkarpoje, išskyrus galbūt baigtinį taškų skaičių, kur ji turi pirmos rūšies netolydumus. Tokius taškus galima sudėti ir padauginti iš realiųjų skaičių ir dėl to vėl galima gauti ištisines segmento funkcijas.

Dviejų ištisinių dalių skaliarinė sandauga (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Akivaizdu, kad bet kurioms ištisinėms funkcijoms ƒ , φ , ψ galioja šios savybės:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) ir lygybė (ƒ , ƒ) = 0 reiškia, kad ƒ(x) =0 ant , neįskaitant, galbūt, baigtinį taškų skaičių x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

kur α, β yra savavališki realieji skaičiai.

Visų fragmentiškai ištisinių funkcijų rinkinys, apibrėžtas intervale , kuriam pagal formulę (11) įvedamas skaliarinis sandauga, pažymėsime, ir skambučio erdvė

1 pastaba.

Matematikoje erdvė = (a, b) yra funkcijų ƒ(x), kurios yra integruojamos Lebesgue prasme, rinkinys kartu su jų kvadratais, kurių skaliarinė sandauga įvedama pagal (11) formulę. Aptariama erdvė yra dalis. Erdvė turi daug erdvės savybių, bet ne visas.

Savybės 1), 2), 3) reiškia svarbią Bunyakovskii nelygybę | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , kuris integralų kalboje atrodo taip:

Vertė

vadinama funkcijos f norma.

Norma turi šias savybes:

1) || f || ≥ 0, o lygybė gali būti tik nulinei funkcijai f = 0, t. y. funkcijai lygi nuliui, išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

kur α yra tikrasis skaičius.

Antroji savybė integralų kalboje atrodo taip:

ir vadinama Minkovskio nelygybe.

Sakoma, kad funkcijų seka ( f n ), priklauso , suartėja su funkcija priklauso vidurkio kvadrato prasme (arba į normą ), jei

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijų seka ƒ n (x) tolygiai konverguoja su funkcija ƒ(x) atkarpoje , tada pakankamai dideliam n skirtumas ƒ(x) - ƒ n (x) absoliučia verte turi būti mažas visoms x iš segmento .

Jei atkarpoje ƒ n (x) linksta į ƒ(x) vidutine kvadrato prasme, tada nurodytas skirtumas gali būti nemenkas dideliems n visur . Kai kuriose atkarpos vietose šis skirtumas gali būti didelis, tačiau svarbu tik, kad jo kvadrato integralas virš atkarpos būtų mažas, kai n.

Pavyzdys. Pažymėkite duotąją ištisinę tiesinę funkciją ƒ n (x) (n = 1, 2,…), parodytą paveikslėlyje, ir

(Bugrov, p. 281, pav. 120)

Bet kokiam natūraliam n

ir dėl to ši funkcijų seka, nors ir konverguoja į nulį kaip n → ∞, nėra vienoda. Tuo tarpu

y., funkcijų seka (f n (x)) yra linkusi į nulį vidutinio kvadrato prasme.

Iš kai kurių funkcijų sekos elementų ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (priklausančių ) sudarome seką

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Pirmųjų n narių suma

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

yra funkcija, kuri priklauso . Jei taip atsitiks, kad egzistuoja funkcija ƒ tokia, kad

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

tada sakome, kad eilutė (12) susilieja su funkcija ƒ vidurkio kvadrato prasme ir rašome

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

2 pastaba.

Galima nagrinėti kompleksinės reikšmės funkcijų ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) erdvę = (a, b), kur ƒ 1 (x) ir ƒ 2 (x) yra realios ištisinės funkcijos. . Šioje erdvėje funkcijos dauginamos iš kompleksinių skaičių ir funkcijų skaliarinės sandaugos ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) ir φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) apibrėžiamas taip:

o norma ƒ apibrėžiama kaip reikšmė

Furjė serija yra savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija. Apskritai šis sprendimas vadinamas elemento išskaidymu stačiakampiu pagrindu. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas dėl šios transformacijos savybių integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumente ir konvoliucijoje.

Asmuo, kuris nėra susipažinęs su aukštąja matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai nesupras, kas yra šios „serialai“ ir kam jos skirtos. Tuo tarpu ši transformacija mūsų gyvenime tapo gana tanki. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų. Taip pat atidžiau pažvelkime į didžiojo prancūzų mokslininko, kuris atrado anksčiau laiko, darbus.

Žmogus ir Furjė transformacija

Furjė serija yra vienas iš metodų (kartu su analize ir kitais) Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus girdi bet kokį garsą. Mūsų ausis automatiškai transformuoja elementarias daleles į elastingą terpę, jos suskaidomos į eiles (išilgai spektro) nuoseklių garsumo verčių skirtingo aukščio tonams. Tada smegenys šiuos duomenis paverčia mums žinomais garsais. Visa tai vyksta be mūsų noro ar sąmonės, savaime, tačiau norint suprasti šiuos procesus, prireiks kelerių metų studijuoti aukštąją matematiką.

Daugiau apie Furjė transformaciją

Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Furjė serijos nurodo skaitinį bet kokių virpesių procesų skaidymo būdą – nuo vandenyno potvynių ir šviesos bangų iki saulės (ir kitų astronominių objektų) veiklos ciklų. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Šis procesas gali būti naudojamas sprendžiant labai sudėtingas lygtis, apibūdinančias dinaminius procesus, vykstančius šiluminės, šviesos ar elektros energijos įtakoje. Taip pat Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose svyruojančiuose signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius stebėjimus medicinoje, chemijoje ir astronomijoje.

Istorijos nuoroda

Šios teorijos įkūrėjas yra prancūzų matematikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier. Vėliau ši transformacija buvo pavadinta jo vardu. Iš pradžių mokslininkas savo metodą taikė tirdamas ir aiškindamas šilumos laidumo – šilumos sklidimo kietose medžiagose – mechanizmus. Furjė pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas pasiskirstymas gali būti suskaidytas į paprasčiausias sinusoidus, kurių kiekviena turės savo temperatūros minimumą ir maksimumą, taip pat savo fazę. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas bus matuojamas nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, apibūdinanti viršutinę ir apatinę kreivės smailes, taip pat kiekvienos harmonikos fazę, vadinama temperatūros pasiskirstymo išraiškos Furjė transformacija. Teorijos autorius bendrą skirstinio funkciją, kurią sunku apibūdinti matematiškai, sumažino iki labai patogios kosinuso ir sinuso eilės, kurios susumavus suteikia pirminį skirstinį.

Transformacijos principas ir amžininkų pažiūros

Mokslininko amžininkai – XIX amžiaus pradžios pirmaujantys matematikai – šios teorijos nepriėmė. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė tvirtinimas, kad nenutrūkstamą funkciją, apibūdinančią tiesią liniją arba nepertraukiamą kreivę, galima pavaizduoti kaip sinusoidinių išraiškų, kurios yra tolydžios, sumą. Kaip pavyzdį apsvarstykite Heaviside „žingsnį“: jo reikšmė yra nulis kairėje nuo tarpo ir viena dešinėje. Ši funkcija apibūdina elektros srovės priklausomybę nuo laiko kintamojo, kai grandinė uždaryta. To meto teorijos amžininkai niekada nebuvo susidūrę su tokia situacija, kai nenutrūkstamą išraišką apibūdintų nuolatinių, įprastų funkcijų, tokių kaip eksponentinė, sinusoidė, tiesinė ar kvadratinė, derinys.

Kas supainiojo prancūzų matematikus Furjė teorijoje?

Galų gale, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, susumavus begalinę trigonometrinę Furjė eilutę, galima gauti tikslų laipsniškos išraiškos vaizdą, net jei ji turi daug panašių žingsnių. XIX amžiaus pradžioje toks teiginys atrodė absurdiškas. Tačiau nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo apimtį, perkeldami jį už šilumos laidumo tyrimų ribų. Tačiau daugumą mokslininkų ir toliau kankino klausimas: „Ar sinusoidinių eilučių suma gali susilyginti su tikslia nenutrūkstamos funkcijos verte?

Furjė serijos konvergencija: pavyzdys

Konvergencijos klausimas keliamas kaskart, kai reikia susumuoti begalines skaičių eilutes. Norėdami suprasti šį reiškinį, apsvarstykite klasikinį pavyzdį. Ar kada nors galite pasiekti sieną, jei kiekvienas tolesnis žingsnis yra perpus mažesnis už ankstesnį? Tarkime, kad esate du metrai nuo tikslo, pirmas žingsnis priartina prie pusiaukelės, kitas – prie trijų ketvirčių žymos, o po penkto žingsnio įveiksite beveik 97 procentus kelio. Tačiau, kad ir kiek žingsnių atliktumėte, užsibrėžto tikslo griežtąja matematine prasme nepasieksite. Naudojant skaitinius skaičiavimus, galima parodyti, kad galiausiai galima priartėti prie savavališkai mažo nurodyto atstumo. Šis įrodymas prilygsta parodymui, kad bendra pusės, ketvirtadalio ir tt vertė bus viena.

Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas arba lordo Kelvino prietaisas

Šis klausimas vėl buvo iškeltas XIX amžiaus pabaigoje, kai Furjė serijomis buvo bandoma numatyti atoslūgių ir atoslūgių intensyvumą. Tuo metu lordas Kelvinas išrado įrenginį, kuris yra analoginis skaičiavimo įrenginys, leidžiantis kariuomenės ir prekybinio laivyno jūreiviams sekti šį gamtos reiškinį. Šis mechanizmas nustatė fazių ir amplitudių rinkinius iš potvynių aukščių lentelės ir atitinkamų laiko momentų, kruopščiai išmatuotų tam tikrame uoste per metus. Kiekvienas parametras buvo sinusoidinis potvynio aukščio išraiškos komponentas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai buvo įvesti į lordo Kelvino skaičiuotuvą, kuris susintetino kreivę, numatančią vandens aukštį kaip laiko funkciją kitiems metams. Labai greitai panašios kreivės buvo nubrėžtos visuose pasaulio uostuose.

O jei procesą nutraukia nepertraukiama funkcija?

Tuo metu atrodė akivaizdu, kad potvynio bangos prognozuotojas su daugybe skaičiavimo elementų gali apskaičiuoti daugybę fazių ir amplitudių ir taip pateikti tikslesnes prognozes. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šio dėsningumo nesilaikoma tais atvejais, kai sintezuojama potvynio išraiška turėjo staigų šuolį, tai yra, buvo nenutrūkstama. Tuo atveju, kai į įrenginį įvedami duomenys iš laiko momentų lentelės, jis apskaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Sinusoidinių komponentų dėka (pagal rastus koeficientus) atkuriama pirminė funkcija. Neatitikimas tarp pradinės ir atkurtos išraiškos gali būti išmatuotas bet kuriame taške. Atliekant pakartotinius skaičiavimus ir palyginimus, matyti, kad didžiausios paklaidos reikšmė nemažėja. Tačiau jie yra lokalizuoti regione, atitinkančiame nepertraukiamumo tašką, ir bet kuriame kitame taške linkę į nulį. 1899 metais šį rezultatą teoriškai patvirtino Joshua Willardas Gibbsas iš Jeilio universiteto.

Furjė eilučių konvergencija ir matematikos raida apskritai

Furjė analizė netaikoma išraiškoms, turinčioms begalinį skaičių serijų tam tikrame intervale. Apskritai Furjė serija, jei pradinė funkcija yra tikro fizinio matavimo rezultatas, visada suartėja. Šio proceso konvergencijos konkrečioms funkcijų klasėms klausimai lėmė naujų matematikos skyrių, pavyzdžiui, apibendrintų funkcijų teorijos, atsiradimą. Ji siejama su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Šios teorijos rėmuose buvo sukurtas aiškus ir tikslus teorinis pagrindas tokioms išraiškoms kaip Dirako delta funkcija (ji apibūdina vienos srities plotą, sutelktą be galo mažoje taško kaimynystėje) ir Heaviside. žingsnis“. Šio darbo dėka Furjė serija tapo pritaikyta sprendžiant lygtis ir uždavinius, kuriuose atsiranda intuityvios sąvokos: taškinis krūvis, taškinė masė, magnetiniai dipoliai, taip pat koncentruota spindulio apkrova.

Furjė metodas

Furjė serijos, pagal trukdžių principus, prasideda sudėtingų formų skaidymu į paprastesnes. Pavyzdžiui, šilumos srauto pasikeitimas paaiškinamas jo praėjimu per įvairias kliūtis, pagamintas iš netaisyklingos formos šilumą izoliuojančios medžiagos arba žemės paviršiaus pasikeitimu – žemės drebėjimu, dangaus kūno orbitos pasikeitimu – įtaka. planetos. Paprastai panašios lygtys, apibūdinančios paprastas klasikines sistemas, elementariai išsprendžiamos kiekvienai atskirai bangai. Furjė parodė, kad paprasti sprendimai taip pat gali būti apibendrinti, kad būtų pateikti sudėtingesnių problemų sprendimai. Išreikšta matematikos kalba, Furjė serija yra išraiškos kaip harmonikų - kosinuso ir sinusoidų - sumos vaizdavimo technika. Todėl ši analizė taip pat žinoma kaip „harmoninė analizė“.

Furjė serija – ideali technika prieš „kompiuterių amžių“

Prieš kuriant kompiuterines technologijas, Furjė technika buvo geriausias ginklas mokslininkų arsenale dirbant su mūsų pasaulio bangine prigimtimi. Sudėtinga Furjė serija leidžia išspręsti ne tik paprastas problemas, kurias galima tiesiogiai pritaikyti Niutono mechanikos dėsniams, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma Niutono mokslo atradimų XIX amžiuje buvo įmanomi tik Furjė technika.

Furjė serija šiandien

Tobulėjant kompiuteriams Furjė transformacijos pakilo į kokybiškai naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Ją įgyvendinti tapo įmanoma tik XIX amžiaus pradžioje prancūzų matematiko sukurtos teorijos dėka. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro ir seismologijos tyrimams.

Trigonometrinė Furjė serija

Matematikoje Furjė serija yra būdas pavaizduoti savavališkas sudėtingas funkcijas kaip paprastesnių funkcijų sumą. Paprastai tokių išraiškų skaičius gali būti begalinis. Be to, kuo labiau skaičiuojant atsižvelgiama į jų skaičių, tuo tikslesnis galutinis rezultatas. Dažniausiai trigonometrinės kosinuso arba sinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios. Šiuo atveju Furjė eilutės vadinamos trigonometrinėmis, o tokių išraiškų sprendimas – harmonikos išplėtimu. Šis metodas vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Visų pirma, trigonometrinė serija suteikia vaizdą, taip pat funkcijų tyrimą, tai yra pagrindinis teorijos aparatas. Be to, tai leidžia išspręsti daugybę matematinės fizikos problemų. Galiausiai ši teorija prisidėjo prie daugelio labai svarbių matematikos mokslo sekcijų (integralų teorijos, periodinių funkcijų teorijos) kūrimo ir atgaivino. Be to, tai buvo atspirties taškas kuriant šias realaus kintamojo funkcijas, taip pat buvo harmoninės analizės pradžia.

Kurie jau gana pavargę. Ir jaučiu, kad atėjo momentas, kai laikas iš strateginių teorijos rezervų išgauti naujus konservus. Ar galima kaip nors kitaip išplėsti funkciją į seriją? Pavyzdžiui, išreikšti tiesiosios linijos atkarpą sinusais ir kosinusais? Atrodo neįtikėtina, bet tokios iš pažiūros nutolusios funkcijos tinka
"susijungimas". Be žinomų teorijos ir praktikos laipsnių, yra ir kitų būdų išplėsti funkciją į seriją.

Šioje pamokoje susipažinsime su trigonometrine Furjė eilute, paliesime jos konvergencijos ir sumos klausimą ir, žinoma, išanalizuosime daugybę funkcijų išplėtimo į Furjė eilutę pavyzdžių. Straipsnį nuoširdžiai norėjau pavadinti „Fourier serija manekenams“, tačiau tai būtų gudru, nes sprendžiant problemas reikės žinių apie kitus matematinės analizės skyrius ir šiek tiek praktinės patirties. Todėl preambulė bus panaši į astronautų mokymą =)

Pirma, puslapio medžiagos tyrimas turėtų būti atliktas puikiai. Mieguistas, pailsėjęs ir blaivus. Be stiprių emocijų apie sulaužytą žiurkėno leteną ir įkyrių minčių apie akvariumo žuvų gyvenimo sunkumus. Furjė serija nėra sudėtinga supratimo požiūriu, tačiau praktinės užduotys tiesiog reikalauja didesnės dėmesio koncentracijos - idealiu atveju reikėtų visiškai atsisakyti išorinių dirgiklių. Padėtį apsunkina tai, kad nėra lengvo būdo patikrinti sprendimą ir atsakymą. Taigi, jei jūsų sveikata yra žemesnė nei vidutinė, geriau daryti ką nors paprastesnio. Tiesa.

Antra, prieš skrendant į kosmosą, būtina ištirti erdvėlaivio prietaisų skydelį. Pradėkime nuo funkcijų, kurias reikia spustelėti mašinoje, verčių:

Dėl bet kokios gamtos vertės:

vienas). Ir iš tikrųjų sinusoidas „mirksi“ x ašimi per kiekvieną „pi“:
. Jei argumento reikšmės yra neigiamos, rezultatas, žinoma, bus toks pat: .

2). Tačiau ne visi tai žinojo. Kosinusas „pi en“ yra „mirksinčios šviesos“ atitikmuo:

Neigiamas argumentas atvejo nekeičia: .

Galbūt pakankamai.

Ir trečia, brangus kosmonautų korpusas, jūs turite sugebėti ... integruoti.
Visų pirma, būtinai priskirti funkciją po diferencialiniu ženklu, integruoti dalimis ir būti su jais gerais santykiais Niutono-Leibnizo formulė. Pradėkime svarbius pratimus prieš skrydį. Primygtinai nerekomenduoju jo praleisti, kad vėliau nesuplotumėte esant nulinei gravitacijai:

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus

kur paima gamtos vertybes.

Sprendimas: integracija vykdoma per kintamąjį "x" ir šiame etape diskretinis kintamasis "en" laikomas konstanta. Visuose integraluose perkelkite funkciją po diferencialo ženklu:

Trumpa sprendimo versija, kurią būtų naudinga fotografuoti, atrodo taip:

Priprasti prie:

Likę keturi taškai yra atskiri. Stenkitės sąžiningai elgtis su užduotimi ir trumpai išdėstyti integralus. Pamokos pabaigoje sprendimų pavyzdžiai.

Po KOKYBĖS mankštos apsirengiame skafandrus
ir ruošiamės pradėti!

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje intervale

Panagrinėkime funkciją, kuri apibrėžta bent jau intervale (ir, galbūt, didesniame intervale). Jei ši funkcija integruota į segmentą , ją galima išplėsti į trigonometrinį Furjė serija:
, kur yra vadinamieji Furjė koeficientai.

Tokiu atveju skambinama numeriu skilimo laikotarpis, o skaičius yra pusinės eliminacijos periodo skilimas.

Akivaizdu, kad bendruoju atveju Furjė seriją sudaro sinusai ir kosinusai:

Iš tiesų, parašykime tai išsamiai:

Nulinis serijos terminas paprastai rašomas kaip .

Furjė koeficientai apskaičiuojami naudojant šias formules:

Puikiai suprantu, kad pradedantiesiems studijuoti temą nauji terminai vis dar neaiškūs: skilimo laikotarpis, pusė ciklo, Furjė koeficientai ir kiti. Neišsigąskite, tai nepalyginama su jauduliu prieš išėjimą į kosmosą. Išsiaiškinkime viską artimiausiame pavyzdyje, prieš jį vykdydami logiška užduoti aktualius praktinius klausimus:

Ką reikia padaryti atliekant šias užduotis?

Išplėskite funkciją į Furjė seriją. Be to, dažnai reikia nubraižyti funkcijos grafiką, serijos sumos grafiką, dalinę sumą, o sudėtingų profesoriaus fantazijų atveju – dar ką nors padaryti.

Kaip išplėsti funkciją į Furjė seriją?

Iš esmės reikia rasti Furjė koeficientai, tai yra, sudarykite ir apskaičiuokite tris apibrėžtieji integralai.

Nukopijuokite bendrąją Furjė serijos formą ir tris darbo formules į savo bloknotą. Labai džiaugiuosi, kad kai kurių svetainės lankytojų akyse išsipildo vaikystės svajonė tapti astronautu =)

2 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė seriją intervale . Sukurkite grafiką, serijos sumos ir dalinės sumos grafiką.

Sprendimas: pirmoji užduoties dalis yra išplėsti funkciją į Furjė eilutę.

Pradžia yra standartinė, būtinai užsirašykite, kad:

Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis.

Išplečiame funkciją Furjė serijoje intervale:

Naudodami atitinkamas formules randame Furjė koeficientai. Dabar turime sudaryti ir apskaičiuoti tris apibrėžtieji integralai. Patogumui sunumeruosiu taškus:

1) Pirmasis integralas yra paprasčiausias, tačiau jam jau reikia akies ir akies:

2) Mes naudojame antrąją formulę:

Šis integralas yra gerai žinomas ir jis paima jį dalimis:

Radus naudotą funkcijai priskirti diferencialiniu ženklu metodas.

Nagrinėjamoje užduotyje patogiau iš karto naudoti formulė integravimui dalimis į apibrėžtąjį integralą :

Pora techninių pastabų. Pirma, pritaikius formulę visa išraiška turi būti įterpta į didelius skliaustus, nes prieš pradinį integralą yra konstanta. Nepraraskime! Skliaustus galima atidaryti bet kuriame tolesniame žingsnyje, aš tai padariau paskutiniame posūkyje. Pirmame "gabale" mes rodome ypatingą pakeitimo tikslumą, kaip matote, konstanta neveikia, o integracijos ribos yra pakeistos į produktą. Šis veiksmas pažymėtas laužtiniais skliaustais. Na, o antrojo formulės „gabalo“ integralas tau gerai žinomas iš treniruotės užduoties ;-)

Ir svarbiausia – didžiausia dėmesio koncentracija!

3) Ieškome trečiojo Furjė koeficiento:

Gaunamas ankstesnio integralo giminaitis, kuris taip pat yra integruota dalimis:

Šis atvejis yra šiek tiek sudėtingesnis, žingsnis po žingsnio pakomentuosiu tolesnius veiksmus:

(1) Visa išraiška yra dideliuose skliaustuose.. Nenorėjau atrodyti kaip nuobodu, jie per dažnai praranda pastovumą.

(2) Šiuo atveju aš iš karto išplėčiau tuos didelius skliaustus. Ypatingas dėmesys skiriame pirmajam „gabalui“: nuolatinis rūko nuošalyje ir nedalyvauja integravimo (ir) į gaminį ribų pakeitime. Atsižvelgiant į įrašo netvarką, vėlgi patartina šį veiksmą paryškinti laužtiniuose skliaustuose. Su antruoju "gabalu" viskas paprasčiau: čia trupmena atsirado atidarius didelius skliaustus, o konstanta - dėl pažįstamo integralo integravimo ;-)

(3) laužtiniuose skliaustuose atliekame transformacijas, o dešiniajame integrale pakeičiame integravimo ribas.

(4) Išimame „blykstę“ iš laužtinių skliaustų: , po to atidarome vidinius skliaustus: .

(5) Panaikiname 1 ir -1 skliausteliuose ir padarome galutinius supaprastinimus.

Galiausiai rasti visi trys Furjė koeficientai:

Pakeiskite juos į formulę :

Nepamirškite padalyti per pusę. Paskutiniame žingsnyje iš sumos išimama konstanta ("minus du"), kuri nepriklauso nuo "en".

Taigi, mes gavome funkcijos išplėtimą Furjė serijoje intervale:

Panagrinėkime Furjė eilučių konvergencijos klausimą. Konkrečiai paaiškinsiu teoriją Dirichleto teorema, pažodžiui „ant pirštų“, taigi, jei reikia griežtų formuluočių, skaitykite skaičiavimo vadovėlį (pavyzdžiui, 2-asis Bohano tomas; arba 3-asis Fichtenholtzo tomas, bet jame sunkiau).

Antroje užduoties dalyje reikia nubraižyti grafiką, eilės sumos grafiką ir dalinės sumos grafiką.

Funkcijos grafikas yra įprastas tiesi linija plokštumoje, kuris nubrėžtas juoda punktyrine linija:

Mes kalbame apie serijos sumą. Kaip žinote, funkcinės serijos susilieja su funkcijomis. Mūsų atveju sukonstruota Furjė serija bet kuriai "x" reikšmei susilieja su raudonai pavaizduota funkcija. Šiai funkcijai taikoma 1 tipo pertraukos taškuose , bet ir juose apibrėžtas (raudoni taškai brėžinyje)

Šiuo būdu: . Nesunku pastebėti, kad ji labai skiriasi nuo pradinės funkcijos , todėl žymėjime vietoj lygybės ženklo naudojama tildė.

Išnagrinėkime algoritmą, pagal kurį patogu sudaryti serijos sumą.

Centriniame intervale Furjė serija susilieja su pačia funkcija (centrinis raudonas segmentas sutampa su juoda punktyrine tiesinės funkcijos linija).

Dabar pakalbėkime šiek tiek apie svarstomo trigonometrinio išplėtimo pobūdį. Furjė serija apima tik periodines funkcijas (konstantą, sinusus ir kosinusus), todėl eilutės suma taip pat yra periodinė funkcija.

Ką tai reiškia mūsų konkrečiame pavyzdyje? Ir tai reiškia, kad serijos suma –būtinai periodiškai o raudonasis intervalo segmentas turi būti be galo kartojamas kairėje ir dešinėje.

Manau, kad dabar pagaliau paaiškėjo posakio „skilimo laikotarpis“ prasmė. Paprasčiau tariant, kiekvieną kartą situacija kartojasi vėl ir vėl.

Praktikoje dažniausiai užtenka pavaizduoti tris skilimo periodus, kaip tai daroma brėžinyje. Na, ir dar kaimyninių laikotarpių „kelmai“ – kad būtų aišku, kad diagrama tęsiasi.

Ypatingą susidomėjimą kelia 1 tipo nenutrūkstamumo taškai. Tokiuose taškuose Furjė serija susilieja į izoliuotas reikšmes, kurios yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje (raudoni taškai brėžinyje). Kaip rasti šių taškų ordinates? Pirmiausia suraskime „viršutinio aukšto“ ordinates: tam apskaičiuojame funkcijos reikšmę pačiame dešiniajame centrinio išsiplėtimo periodo taške: . Norint apskaičiuoti „apatinio aukšto“ ordinates, paprasčiausias būdas yra paimti to paties laikotarpio kairiausią reikšmę: . Vidutinės reikšmės ordinatė yra „viršaus ir apačios“ sumos aritmetinis vidurkis: . Smagu tai, kad statant piešinį iškart pamatysite, ar vidurys paskaičiuotas teisingai, ar neteisingai.

Sukonstruokime dalinę eilutės sumą ir tuo pačiu pakartokime termino „konvergencija“ reikšmę. Motyvas žinomas iš pamokos apie skaičių serijos suma. Išsamiai apibūdinkime savo turtus:

Norėdami sudaryti dalinę sumą, turite užrašyti nulį + dar du serijos terminus. Tai yra,

Brėžinyje funkcijos grafikas pavaizduotas žaliai ir, kaip matote, gana tvirtai apgaubia bendrą sumą. Jei atsižvelgsime į dalinę penkių serijos narių sumą, tada šios funkcijos grafikas dar tiksliau apytiksliai apytikslės raudonas linijas, jei yra šimtas terminų, tada „žalia gyvatė“ iš tikrųjų visiškai susilies su raudonais segmentais, ir tt Taigi Furjė eilutė suartėja su jos suma.

Įdomu pastebėti, kad bet kokia dalinė suma yra nuolatinė funkcija, tačiau bendra serijų suma vis dar nenutrūksta.

Praktikoje neretai sudaromas dalinės sumos grafikas. Kaip tai padaryti? Mūsų atveju būtina atsižvelgti į atkarpos funkciją, apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir tarpiniuose taškuose (kuo daugiau taškų atsižvelgsite, tuo tikslesnis bus grafikas). Tada pažymėkite šiuos taškus brėžinyje ir atsargiai nubrėžkite laikotarpio grafiką, o tada „atkartokite“ jį į gretimus intervalus. Kaip kitaip? Juk aproksimacija taip pat yra periodinė funkcija ... ... jos grafikas man kažkaip primena tolygų širdies ritmą medicinos prietaiso ekrane.

Žinoma, tai nėra labai patogu atlikti statybą, nes turite būti ypač atsargūs, išlaikant ne mažesnį nei pusės milimetro tikslumą. Tačiau nudžiuginsiu skaitytojus, kurie nesutaria su piešimu - atliekant „tikrąją“ užduotį, toli gražu ne visada reikia piešti, kai kur 50% atvejų reikia išplėsti funkciją į Furjė seriją ir tai yra tai.

Užbaigę piešinį, atliekame užduotį:

Atsakymas:

Daugelyje užduočių nukenčia funkcija 1-osios rūšies plyšimas tiesiai skilimo laikotarpiu:

3 pavyzdys

Furjė serijoje išplėskite intervale nurodytą funkciją. Nubraižykite funkcijos ir visos eilučių sumos grafiką.

Siūloma funkcija pateikiama dalimis (ir, atminkite, tik segmente) ir ištverti 1-osios rūšies plyšimas taške. Ar galima apskaičiuoti Furjė koeficientus? Jokiu problemu. Kairioji ir dešinioji funkcijos dalys yra integruojamos savo intervalais, todėl kiekvienos iš trijų formulių integralai turėtų būti pavaizduoti kaip dviejų integralų suma. Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip tai daroma nuliniam koeficientui:

Antrasis integralas pasirodė lygus nuliui, o tai sumažino darbą, tačiau taip būna ne visada.

Panašiai rašomi kiti du Furjė koeficientai.

Kaip parodyti serijos sumą? Kairiajame intervale nubrėžiame tiesios linijos atkarpą , o intervale - tiesiosios linijos atkarpą (ašies sekciją paryškinkite pusjuodžiu-paryškintu šriftu). Tai yra, išplėtimo intervale serijų suma sutampa su funkcija visur, išskyrus tris „blogus“ taškus. Funkcijos nepertraukiamumo taške Furjė eilutė susilieja į izoliuotą reikšmę, kuri yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje. Tai nesunku pamatyti žodžiu: kairioji riba:, dešinė riba: ir, aišku, vidurio taško ordinatė yra 0,5.

Dėl sumos periodiškumo paveikslas turi būti „padaugintas“ į gretimus laikotarpius, ypač pavaizduoti tą patį intervaluose ir . Šiuo atveju taškuose Furjė eilutė suartėja su medianinėmis reikšmėmis.

Tiesą sakant, čia nieko naujo.

Pabandykite šią problemą išspręsti patys. Apytikslis dailaus dizaino ir piešimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Funkcijos išplėtimas Furjė serijoje savavališkame periode

Savavališkam išplėtimo laikotarpiui, kai "el" yra bet koks teigiamas skaičius, Furjė eilučių ir Furjė koeficientų formulės skiriasi šiek tiek sudėtingesniu sinuso ir kosinuso argumentu:

Jei , tada gauname intervalo, nuo kurio pradėjome, formules.

Problemos sprendimo algoritmas ir principai yra visiškai išsaugoti, tačiau techninis skaičiavimų sudėtingumas didėja:

4 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę ir nubraižykite sumą.

Sprendimas: iš tikrųjų, pavyzdžio Nr. 3 analogas su 1-osios rūšies plyšimas taške. Šioje problemoje išplėtimo laikotarpis, pusės laikotarpis. Funkcija apibrėžiama tik pusės intervale, bet tai nieko nekeičia – svarbu, kad abi funkcijos dalys būtų integruojamos.

Išplėskime funkciją į Furjė seriją:

Kadangi funkcija pradžioje yra nenutrūkstama, kiekvienas Furjė koeficientas turėtų būti parašytas kaip dviejų integralų suma:

1) Pirmąjį integralą parašysiu kuo detaliau:

2) Atsargiai žvilgtelėkite į mėnulio paviršių:

Antrasis integralas paimti dalimis:

Į ką turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį, kai sprendimo tęsinį atidarome žvaigždute?

Pirma, mes neprarandame pirmojo integralo , kur mes iš karto vykdome atnešant po diferencialo ženklu. Antra, nepamirškite nelemtos konstantos prieš didžiuosius skliaustus ir nesupainiokite ženklų kai naudojate formulę . Dideli skliausteliai, juk patogiau iš karto atidaryti kitame žingsnyje.

Likusi dalis – technikos reikalas, sunkumų gali sukelti tik nepakankama integralų sprendimo patirtis.

Taip, ne veltui garsūs prancūzų matematiko Furjė kolegos piktinosi - kaip jis išdrįso išskaidyti funkcijas į trigonometrines eilutes ?! =) Beje, turbūt visus domina praktinė nagrinėjamos užduoties prasmė. Pats Fourier dirbo prie matematinio šilumos laidumo modelio, o vėliau jo vardu pavadinta serija buvo pradėta naudoti tiriant daugelį periodinių procesų, kurie išoriniame pasaulyje akivaizdžiai nematomi. Dabar, beje, pagavau save galvojant, kad neatsitiktinai antrojo pavyzdžio grafiką palyginau su periodiniu širdies ritmu. Norintieji gali susipažinti su praktiniu pritaikymu Furjė transformacijos iš trečiųjų šalių šaltinių. ... Nors geriau to nedaryti - tai bus prisiminta kaip pirmoji meilė =)

3) Atsižvelgdami į ne kartą minėtas silpnąsias grandis, nagrinėjame trečiąjį koeficientą:

Integravimas dalimis:

Rastus Furjė koeficientus pakeičiame į formulę , nepamirštant nulinio koeficiento padalyti per pusę:

Nubraižykime serijos sumą. Trumpai pakartokime procedūrą: ant intervalo statome eilutę, o ant intervalo - eilutę. Turėdami nulinę „x“ reikšmę, dedame tašką tarpo „šuolio“ viduryje ir „pakartojame“ gretimų laikotarpių diagramą:

Periodų „susijungimo vietose“ suma taip pat bus lygi tarpo „šuolio“ vidurio taškams.

Paruošta. Primenu, kad pati funkcija sąlygiškai apibrėžiama tik pusės intervale ir, aišku, sutampa su intervalų serijų suma

Atsakymas:

Kartais atskira funkcija taip pat yra nuolatinė plėtimosi laikotarpiu. Paprasčiausias pavyzdys: . Sprendimas (Žr. Bohano 2 tomą) yra toks pat kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose: nepaisant funkcijos tęstinumas taške Kiekvienas Furjė koeficientas išreiškiamas kaip dviejų integralų suma.

Išsiskyrimo intervale 1 tipo nenutrūkstamumo taškai ir (arba) grafiko „sankryžos“ taškų gali būti daugiau (du, trys ir apskritai bet kuris galutinis suma). Jei funkcija yra integruota į kiekvieną dalį, ji taip pat gali būti išplečiama Furjė serijoje. Bet iš praktinės patirties tokios skardos nepamenu. Nepaisant to, yra ir sunkesnių užduočių, nei tik svarstoma, o straipsnio pabaigoje visiems yra nuorodos į padidinto sudėtingumo Furjė serijas.

Tuo tarpu atsipalaiduokime, atsilošdami į kėdes ir apmąstykime begales žvaigždžių platybes:

5 pavyzdys

Išplėskite funkciją į Furjė eilutę intervale ir nubraižykite serijos sumą.

Šioje užduotyje funkcija tęstinis dėl skilimo pusės intervalo, kuris supaprastina sprendimą. Viskas labai panašu į pavyzdį Nr.2. Iš kosminio laivo nepabėgsi - reikia apsispręsti =) Apytikslis dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje, grafikas pridedamas.

Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas

Naudojant lygines ir nelygines funkcijas, problemos sprendimo procesas pastebimai supaprastinamas. Ir todėl. Grįžkime prie Furjė serijos funkcijos išplėtimo „dviejų pi“ periode ir savavališkas laikotarpis "du ale" .

Tarkime, kad mūsų funkcija yra lygi. Bendrame serijos termine, kaip matote, yra lyginiai kosinusai ir nelyginiai sinusai. Ir jei mes išskaidome LYGinę funkciją, kam mums reikia nelyginių sinusų?! Iš naujo nustatykime nereikalingą koeficientą: .

Šiuo būdu, lygi funkcija išsiplečia į Furjė eilutę tik kosinusais:

Nes lyginių funkcijų integralai per integravimo segmentą, simetrišką nulio atžvilgiu, galima padvigubinti, tada likę Furjė koeficientai taip pat supaprastinami.

Dėl intervalo:

Savavališkam intervalui:

Vadovėlių pavyzdžiai, kuriuos galima rasti beveik bet kuriame skaičiavimo vadovėlyje, apima lyginių funkcijų išplėtimus . Be to, jie ne kartą susitiko mano asmeninėje praktikoje:

6 pavyzdys

Suteikta funkcija. Reikalinga:

1) išplėskite funkciją į Furjė eilutę su periodu , kur yra savavališkas teigiamas skaičius;

2) Užrašykite intervalo išplėtimą, sukurkite funkciją ir nubraižykite bendrą serijų sumą.

Sprendimas: pirmoje pastraipoje siūloma problemą spręsti bendrai, ir tai labai patogu! Atsiras poreikis – tiesiog pakeiskite savo vertę.

1) Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis , pusės periodas . Atliekant tolesnius veiksmus, ypač integracijos metu, „el“ laikomas konstanta

Funkcija yra lygi, o tai reiškia, kad ji išsiplečia į Furjė seriją tik kosinusais: .

Furjė koeficientų ieškoma pagal formules . Atkreipkite dėmesį į jų absoliučius pranašumus. Pirma, integracija atliekama per teigiamą išplėtimo segmentą, o tai reiškia, kad mes saugiai atsikratome modulio , atsižvelgiant tik į "x" iš dviejų dalių. Ir, antra, integracija pastebimai supaprastinta.

Du:

Integravimas dalimis:

Šiuo būdu:
, o konstanta , kuri nepriklauso nuo „en“, išimama iš sumos.

Atsakymas:

2) Rašome intervalo išplėtimą, tam pakeičiame norimą pusės periodo reikšmę į bendrą formulę:

Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas segmente pateiktos funkcijos išplėtimas į eilę sinusais arba kosinusais Furjė eilutė, skirta funkcijai su savavališku periodu Kompleksinis Furjė serijos vaizdavimas bendrosiose ortogonaliose funkcijų sistemose Furjė eilutė stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Besselio nelygybė Lygybė Parseval Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas

Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas Funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje \-1, kur I > 0, iškviečiama net jei lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas y ašiai. Funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje J, kur I > 0, vadinama nelygine, jei nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu. Pavyzdys. a) Funkcija yra lyginė atkarpoje |-jt, jt), nes visiems x e b) Funkcija yra nelyginė, nes lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė serijos išplėtimas yra funkcijos, nurodytos segmente, išplėtimas. sinusai arba kosinusai Furjė eilutės funkcijai su savavališku periodu Kompleksinis Furjė serijos žymėjimas bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose Furjė eilutės stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Beselio nelygybė Parsevalinė lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas c) Funkcija f(x)=x2-x, kur nepriklauso nei lyginėms, nei nelyginėms funkcijoms, nes Tegul funkcija f(x), atitinkanti 1 teoremos sąlygas, yra lyginė atkarpoje x|. Tada visiems t.y. /(g) cos nx yra lyginė funkcija, o f(x)sinnx yra nelyginė. Todėl lyginės funkcijos Furjė koeficientai /(x) bus lygūs.Todėl lyginės funkcijos Furjė eilutės forma yra f(x) sin nx yra lyginė funkcija. Todėl turėsime Taigi nelyginės funkcijos Furjė eilutė turi formą Taikydami integraciją dalimis turime du kartus, gauname, kad Taigi šios funkcijos Furjė eilutė atrodo taip: arba, išplėstoje formoje, Ši lygybė galioja bet kokiam x €, nes taškuose x = ±ir yra serija sutampa su funkcijos f(x ) = x2 reikšmėmis, nes funkcijos f(x) = x grafikai ir gautų eilučių sumos pateiktos fig. komentuoti. Ši Furjė eilutė leidžia rasti vienos iš konvergencinių skaitinių eilučių sumą, būtent, jei x \u003d 0, mes gauname, kad Funkcija /(x) tenkina 1 teoremos sąlygas, todėl ją galima išplėsti į Furjė eilutę, kuri dėl šios funkcijos keistumo turės formą Integruojant dalimis, randame Furjė koeficientus Todėl Furjė Šios funkcijos serija turi formą Ši lygybė galioja visiems x В taškams x - ±tg Furjė eilutės suma nesutampa su funkcijos / (x) = x reikšmėmis, nes ji yra lygi Už segmentas [- *, n-] serijos suma yra periodinis funkcijos / (x) \u003d x tęsinys; jo grafikas parodytas fig. 6. § 6. Funkcijos, pateiktos intervale, išplėtimas į eilę sinusų arba kosinusų atžvilgiu. Šios funkcijos reikšmės intervale 0| galima apibrėžti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, segmente mc] galima apibrėžti funkciją / taip, kad /. Šiuo atveju sakoma, kad) "yra pratęstas iki atkarpos 0] tolygiai"; jos Furjė serijoje bus tik kosinusai. Tačiau jei funkcija /(x) yra apibrėžta segmente [-x, mc] taip, kad /(, tada gaunama nelyginė funkcija, ir tada sakome, kad / "yra išplėsta iki atkarpos [-*, 0 ] nelyginiu būdu"; šiuo atveju Furjė eilutėje bus tik sinusai. Taigi kiekviena apribota dalimis monotoniška funkcija /(x), apibrėžta segmente , gali būti išplėsta į Furjė eilutę tiek pagal sinusai ir kosinusai.Pavyzdys 1. Išplėskite funkciją Furjė eilutėje: a) kosinusais; b) išilgai sinusų. M Ši funkcija su lyginiais ir nelyginiais segmento |-x, 0) plėtiniais bus ribota ir monotoniška. a) Tęsiame / (z) į atkarpą 0) a) Tęsiame j \ x) į atkarpą (-m, 0 | lygiu būdu (7 pav.), tada jos Furjė eilutė i turės formą P \u003d 1 kur Furjė koeficientai yra lygūs, atitinkamai, todėl b) Tęskime /(z) atkarpoje [-x,0] nelyginiu būdu (8 pav.). Tada jos Furjė serija §7. Furjė serija funkcijai su savavališku periodu Tegul funkcija fix) yra periodinė, kurios periodas yra 21,1 ^ 0. Norėdami išplėsti ją į Furjė seriją intervale, kuriame I > 0, pakeičiame kintamąjį nustatydami x = jt . Tada funkcija F(t) = / ^tj bus periodinė argumento t funkcija su tašku ir ji gali būti išplėsta Furjė serijos segmente Grįžtant prie kintamojo x, t.y. nustatant, gauname , lieka jėga taip pat ir periodinėms funkcijoms su savavališku periodu 21. Visų pirma, išlieka galioti ir pakankamas funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę kriterijus. 1 pavyzdys. Furjė serijoje išplėskite periodinę funkciją su periodu 21, pateiktą atkarpoje [-/,/] pagal formulę (9 pav.). Kadangi ši funkcija yra lygi, jos Furjė serija turi formą Pakeičiant Furjė koeficientų reikšmes į Furjė eilutes, gauname Pastebime vieną svarbią periodinių funkcijų savybę. 5 teorema. Jei funkcija turi periodą T ir yra integruojama, tai bet kuriam skaičiui a galioja lygybė m. y., atkarpos, kurios ilgis lygus periodui T, integralas turi tokią pačią reikšmę, nepaisant šio atkarpos padėties tikrojoje ašyje. Iš tiesų, antrojo integralo kintamąjį keičiame, darydami prielaidą Tai suteikia, todėl geometriškai ši savybė reiškia, kad ploto, užtamsinto Fig. 10 sričių yra lygios viena kitai. Konkrečiai, funkcijai f(x) su periodu, lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė serijos išplėtimas gauname segmente pateiktos funkcijos išplėtimą į eilę sinusų arba kosinusų atžvilgiu Furjė serija funkcijai su savavališkas periodas Kompleksinis Furjė serijos vaizdavimas bendrosiose stačiakampių sistemų funkcijose Furjė serija stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Parsevalio lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas periodinės funkcijos Furjė koeficientai f(x) su periodu 21 galima apskaičiuoti naudojant formules, kur a yra savavališkas realusis skaičius (atkreipkite dėmesį, kad funkcijos cos - ir sin turi periodą 2/). 3 pavyzdys. Furjė eilutėje išplėskite funkciją, pateiktą intervale, kurio periodas yra 2x (11 pav.). 4 Raskite šios funkcijos Furjė koeficientus. Sudėjus formules, matome, kad Todėl Furjė serija atrodys taip: Taške x = jt (pirmojo tipo nenutrūkstamumo taškas) turime §8. Furjė serijos kompleksinis žymėjimas Šiame skyriuje naudojami kai kurie kompleksinės analizės elementai (žr. XXX skyrių, kur visos čia atliekamos operacijos su sudėtingomis išraiškomis yra griežtai pagrįstos). Tegul funkcija f(x) tenkina pakankamas sąlygas išplėtimui į Furjė eilutę. Tada atkarpoje x] jį galima pavaizduoti formos serija Naudojant Eilerio formules Pakeitus šias išraiškas į eilutes (1), o ne cos nx ir sin xy, mes turėsime Įvedame tokį žymėjimą Tada serija (2) įgauna formą Taigi Furjė serija (1) pateikiama kompleksine forma (3). Raskime koeficientų išraiškas integralais. Turime Panašiai randame Galiausiai с„, с_п ir с formules galima parašyti taip: . . Koeficientai cn vadinami kompleksiniais funkcijos Furjė koeficientais Periodinei funkcijai su periodu) Furjė serijos kompleksinė forma įgauna formos reikšmes w, jei yra ribos. Pavyzdys. Išplėsti periodo funkciją į sudėtingą Furjė eilutę Ši funkcija atitinka pakankamas sąlygas išplėsti Furjė seriją. Raskite šios funkcijos kompleksinius Furjė koeficientus. Mes turime nelyginį lyginį n, arba, trumpai tariant. Pakeitę reikšmes), galiausiai gauname Atkreipkite dėmesį, kad šią eilutę galima parašyti ir taip: Furjė eilutės bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose 9.1. Stačiakampės funkcijų sistemos Žymėkite aibe visų (tikrųjų) funkcijų, kurios yra apibrėžtos kvadratu ir integruojamos intervale [a, 6], t. y. tas, kurioms yra integralas. Visų pirma, visos funkcijos f(x), kurios yra ištisiniai intervale [a , 6], priklauso 6], o jų Lebesgue integralų reikšmės sutampa su Riemann integralų reikšmėmis. Apibrėžimas. Funkcijų sistema, kur vadinama stačiakampe intervale [a, b\, jei sąlyga (1) visų pirma daro prielaidą, kad nė viena funkcija nėra identiškai lygi nuliui. Integralas suprantamas Lebesgue prasme. o dydį vadiname funkcijos norma.Jei stačiakampėje sistemoje bet kuriam n turime, tai funkcijų sistema vadinama ortonormalia. Jei sistema (y>n(x)) yra stačiakampė, tai sistema 1 pavyzdys. Trigonometrinė sistema yra statmena atkarpoje. Funkcijų sistema yra ortonormali funkcijų sistema, 2 pavyzdys. Kosinusų sistema ir sinusų sistema yra ortonormali. Įveskime žymėjimą, kad jos yra statmenos atkarpoje (0, f|, bet ne stačiakampės (I ↦ 2). Kadangi jų normos yra COS, tai funkcijos sudaro ortonormalią atkarpos funkcijų sistemą. Parodykime, pavyzdžiui, kad Legendre polinomai yra stačiakampiai. Tegul m > n. Šiuo atveju integruodami n kartų dalimis, randame, kadangi funkcijai t/m = (z2 - I)m visos išvestinės iki eilės m - I imtinai išnyksta atkarpos galuose [-1,1). Apibrėžimas. Funkcijų sistema (pn(x)) vadinama stačiakampe intervale (a, b) per iškyšą p(x), jei: 1) yra integralai visiems n = 1,2,... Čia daroma prielaida, kad svorio funkcija p(x) yra apibrėžta ir teigiama visur intervale (a, b), išskyrus baigtinį taškų skaičių, kur p(x) gali išnykti. Atlikę diferenciaciją (3) formulėje, randame. Galima parodyti, kad Čebyševo-Hermito daugianariai yra stačiakampiai intervale 4 pavyzdys. Beselio funkcijų sistema (jL(pix)^ yra stačiakampė Besselio funkcijų sistemos nulių intervalui Tegul stačiakampė funkcijų sistema intervale (a, 6) ir leiskite eilutei (cj = const) suartėti šiame intervale į funkciją f(x): Dėl sistemos ortogonalumo gauname, kad ši operacija paprastai turi grynai formalų pobūdį. Tačiau kai kuriais atvejais, pavyzdžiui, kai serija (4) konverguoja tolygiai, visos funkcijos yra tolydžios, o intervalas (a, 6) yra baigtinis, ši operacija yra teisėta. Bet mums dabar svarbi formali interpretacija. Tarkime, kad funkcija yra duota. Skaičius c * formuojame pagal formulę (5) ir užrašome Dešinėje pusėje esanti eilutė vadinama funkcijos f (x) Furjė serija sistemos atžvilgiu (^n (n)) - Skaičiai Cn yra šioje sistemoje vadinami funkcijos f (x) Furjė koeficientais. Ženklas ~ formulėje (6) reiškia tik tai, kad skaičiai Cn yra susieti su funkcija f(x) pagal (5) formulę (šiuo atveju nemanoma, kad dešinėje esančios eilutės išvis konverguoja, o tuo labiau konverguoja prie funkcijos f(x)). Todėl natūraliai kyla klausimas: kokios šios serijos savybės? Kokia prasme ji „vaizduoja“ funkciją f(x)? 9.3. Vidutinės konvergencijos apibrėžimas. Seka konverguoja į elementą ] vidutiniškai, jei norma yra erdvėje 6 teorema. Jei seka ) konverguoja tolygiai, tai ji taip pat konverguoja vidutiniškai. M Tegul seka ()) tolygiai konverguoja atkarpoje [a, b] į funkciją f(x). Tai reiškia, kad bet kuriam, visiems pakankamai dideliam n, turime Vadinasi, iš kurio išplaukia mūsų teiginys. Atvirkščiai netiesa: seka () gali susivesti vidutiniškai į /(x), bet ne būti tolygiai konverguojanti. Pavyzdys. Panagrinėkime seką nx Nesunku pastebėti, kad bet ši konvergencija nėra vienoda: egzistuoja, pavyzdžiui, toks, kad nesvarbu, koks n yra didelis, Furjė segmento eilutėje funkcijai su savavališku periodu. Furjė serija bendrosiose stačiakampėse funkcijų sistemose Furjė eilutė stačiakampėje sistemoje Minimali Furjė koeficientų savybė Besselio nelygybė Parsevalio lygybė Uždarosios sistemos Sistemų užbaigtumas ir uždarumas ir tegul) ortonormalioje sistemoje b Apsvarstykite tiesinę kombinaciją, kur n ^ 1 yra fiksuotas sveikasis skaičius ir raskite konstantų, kurių integralas turi mažiausią reikšmę, reikšmes. Parašykime išsamiau Integruodami terminą po termino, dėl sistemos ortonormalumo gauname Pirmieji du nariai dešinėje lygybės (7) pusėje yra nepriklausomi, o trečiasis – neneigiamas. Todėl integralas (*) įgauna mažiausią reikšmę, kai ak = sk. Integralas vadinamas funkcijos f(x) kvadratiniu aproksimacija kaip tiesine Tn(x) kombinacija. Taigi funkcijos /\ kvadratinio vidurkio aproksimacija įgyja mažiausią reikšmę, kai. kai Tn(x) yra 71-oji funkcijos /(x) Furjė serijos dalinė suma sistemoje (. Nustatant ak = ck, iš (7) gauname lygybę (9) vadinama Beselio tapatybe. Kadangi jos kairėje pusė yra neneigiama, tai iš jos išplaukia Besselio nelygybė Kadangi i čia savavališka, Besselio nelygybė gali būti pavaizduota sustiprinta forma, t.y., bet kuriai funkcijai / šios funkcijos kvadratinių Furjė koeficientų serija ortonormalioje sistemoje ) suartėja . Kadangi sistema yra ortonormali atkarpoje [-x, r], tai nelygybė (10), išversta į įprastą trigonometrinės Furjė eilutės žymėjimą, suteikia ryšį do, galiojantį bet kuriai funkcijai f(x) su integruojamu kvadratu. Jei f2(x) yra integruojamas, tai pagal būtiną eilučių konvergencijos sąlygą kairėje nelygybės (11) pusėje gauname tai. Parsevalio lygybė Kai kurioms sistemoms (^n(x)) nelygybės ženklą formulėje (10) galima pakeisti (visoms funkcijoms f(x) 6 x) lygybės ženklu. Gauta lygybė vadinama Parseval-Steklov lygybe (išsamumo sąlyga). Besselio tapatybė (9) leidžia mums įrašyti sąlygą (12) lygiaverte forma pagal erdvės normą 6]. Apibrėžimas. Ortonormali sistema ( vadinama užbaigta b2[ay b], jei bet kurią funkciją galima bet kokiu tikslumu aproksimuoti vidutiniškai naudojant tiesinę formos derinį su pakankamai dideliu terminų skaičiumi, t. y. jei bet kuriai funkcijai f(x) ∈ b2[a, b\ ir bet kuriam e > 0 yra natūralusis skaičius nq ir skaičiai a\, a2y..., kad Nr. 7 teorema. Jei sistema ) yra baigta erdvėje ortonormalizavimo būdu, Furjė serija bet kuri funkcija / šioje sistemoje konverguoja į f( x) vidutiniškai, t.y., pagal normą Galima parodyti, kad trigonometrinė sistema yra pilna erdvėje.Tai reiškia teiginį. 8 teorema. Jei funkcija /0 jos trigonometrinė Furjė eilutė konverguoja į ją vidutiniškai. 9.5. uždaros sistemos. Sistemų užbaigtumas ir uždarumas Apibrėžimas. Ortonormali funkcijų sistema \, vadinama uždara, jei erdvėje Li\a, b) nėra nulinės funkcijos, statmenos visoms funkcijoms Erdvės L2\a, b\ ortonormalių sistemų užbaigtumo ir uždarumo sąvokos sutampa. Pratimai 1. Išplėskite funkciją Furjė serijoje intervale (-i-, x) 2. Išplėskite funkciją Furjė eilutėje intervale (-r, r) 3. Išplėskite funkciją Furjė serijoje intervale (-r, r) 4. Išplėskite Furjė seriją intervalo (-jt, r) funkcija 5. Išplėskite Furjė seriją intervale (-r, r) funkciją f(x) = x + x. 6. Furjė serijoje intervale (-jt, r) išplėskite funkciją n. 7. Furjė serijoje intervale (-r, x) išplėskite funkciją / (x) \u003d sin2 x. 8. Furjė eilutėje intervale (-m, jt) išplėskite funkciją f(x) = y 9. Furjė eilutėje intervale (-mm, -k) išplėskite funkciją f(x) = | sinx|. 10. Furjė eilutėje intervale (-x-, r) išplėskite funkciją f(x) = g. 11. Išplėskite Furjė seriją intervale (-r, r) funkciją f (x) \u003d sin §. 12. Furjė eilutėje išplėskite funkciją f (x) = n -2x, pateiktą intervale (0, x), tęsdami ją intervale (-x, 0): a) lyginiu būdu; b) keistu būdu. 13. Furjė eilutėje sinusų atžvilgiu išplėskite funkciją / (x) \u003d x2, pateiktą intervale (0, x). 14. Furjė eilutėje išplėskite funkciją / (x) \u003d 3-x, pateiktą intervale (-2,2). 15. Furjė eilutėje išplėskite funkciją f (x) \u003d |x |, pateiktą intervale (-1,1). 16. Furjė eilutėje sinusais išplėskite funkciją f (x) \u003d 2x, nurodytą intervale (0,1).

Furjė serija- būdas pavaizduoti sudėtingą funkciją kaip paprastesnių, gerai žinomų funkcijų sumą.
Sinusas ir kosinusas yra periodinės funkcijos. Jie taip pat sudaro ortogonalinį pagrindą. Šią savybę galima paaiškinti pagal analogiją su ašimis X X X ir YY Y koordinačių plokštumoje. Lygiai taip pat, kaip galime apibūdinti taško koordinates ašių atžvilgiu, galime apibūdinti bet kurią funkciją sinusų ir kosinusų atžvilgiu. Trigonometrinės funkcijos yra gerai suprantamos ir lengvai pritaikomos matematikoje.

Jūs galite pavaizduoti sinusus ir kosinusus tokių bangų pavidalu:

Mėlyna yra kosinusai, raudona yra sinusai. Šios bangos dar vadinamos harmonikomis. Kosinusai yra lyginiai, sinusai yra nelyginiai. Terminas armonika kilęs iš antikos laikų ir siejamas su pastebėjimais apie tonų ryšį muzikoje.

Kas yra Furjė serija

Tokia serija, kur sinuso ir kosinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios, vadinamos trigonometrine. Jis pavadintas jo išradėjo Jeano Baptiste'o Josepho Furjė vardu, XVIII amžiaus pabaigoje – XIX amžiaus pradžioje. kurie įrodė, kad bet kurią funkciją galima pavaizduoti kaip tokių harmonikų derinį. Ir kuo daugiau imsitės, tuo tikslesnis bus šis vaizdas. Pavyzdžiui, paveikslėlis žemiau: matote, kad esant daugybei harmonikų, t.y. Furjė serijos narių, raudonas grafikas priartėja prie mėlynos - pradinės funkcijos.

Praktinis pritaikymas šiuolaikiniame pasaulyje

Ar šių eilučių dabar tikrai reikia? Kur jas galima pritaikyti praktiškai ir ar kas nors kitas, išskyrus teorinius matematikus, jas naudoja? Pasirodo, Furjė yra žinomas visame pasaulyje, nes jo serijos praktinis panaudojimas tiesiogine prasme yra neapskaičiuojamas. Patogu juos naudoti ten, kur yra kokių nors vibracijų ar bangų: akustikoje, astronomijoje, radijo inžinerijoje ir kt. Paprasčiausias jų panaudojimo pavyzdys – kameros ar vaizdo kameros mechanizmas. Trumpai tariant, šie įrenginiai įrašo ne tik nuotraukas, bet ir Furjė serijos koeficientus. Ir tai veikia visur – žiūrint nuotraukas internete, filmuojant ar klausantis muzikos. Furjė serijos dėka dabar galite skaityti šį straipsnį iš savo mobiliojo telefono. Be Furjė transformacijos neturėtume pakankamai interneto ryšio pralaidumo, kad galėtume tiesiog žiūrėti „YouTube“ vaizdo įrašą, net ir standartine kokybe.

Šioje diagramoje yra dvimatė Furjė transformacija, kuri naudojama vaizdui suskaidyti į harmonikus, ty pagrindinius komponentus. Šioje diagramoje juodai užkoduota reikšmė -1, balta spalva 1. Grafiko dešinėje ir žemyn dažnis didėja.

Furjė plėtra

Tikriausiai jau pavargote skaityti, tad pereikime prie formulių.
Tokiai matematinei technikai kaip Furjė serijos funkcijų išplėtimas, reikės imti integralus. Daug integralų. Apskritai Furjė serija rašoma kaip begalinė suma:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a n cos (n x ) +b n nuodėmė (n x ) )
kur
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 − π ∫ π f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n = π 1 − π ∫ π f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f(x)sin(nx)dx

Jei kaip nors galime suskaičiuoti begalinį skaičių a n a_n a n ir b n b_n b n (jie vadinami Furjė plėtimosi koeficientais, A A A yra tik šio išplėtimo konstanta), tada gauta serija 100 % sutaps su pradine funkcija f(x)f(x) f(x) segmente nuo − π -\pi − π prieš π\pi π . Toks segmentas yra dėl sinuso ir kosinuso integravimo savybių. Daugiau n n n, kuriai apskaičiuosime funkcijos plėtimosi į eilutę koeficientus, tuo tikslesnis šis išplėtimas bus.

Pavyzdys

Paimkime paprastą funkciją y = 5x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 − π ∫ π f (x) d x =2 π1 − π ∫ π 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (x ) d x =π 1 − π ∫ π 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sin (x) d x =π 1 − π ∫ π 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(x) nuodėmė(2 x) dx= π 1 − π ∫ π 5 xnuodėmė(2 x) dx= − 5

Ir taip toliau. Tokios funkcijos atveju iš karto galime pasakyti, kad viskas $a_n = 0$

$\ nuodėmė ⁡ (x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac(10) (3) \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac(5)(2) \cdot \sin (4 \ cdotx)$

Gautos funkcijos grafikas atrodys taip:

Gauta Furjė plėtra artėja prie mūsų pradinės funkcijos. Jei paimsime didesnį skaičių serijos terminų, pavyzdžiui, 15, jau pamatysime:

Kuo daugiau išplėtimo terminų serijoje, tuo didesnis tikslumas.
Jei šiek tiek pakeisime grafiko mastelį, pastebėsime dar vieną transformacijos ypatybę: Furjė eilutė yra periodinė funkcija su tašku. $2\pi$

Taigi galima pavaizduoti bet kurią funkciją, kuri yra ištisinė intervale $[-\pi;\pi]$