ஃபோரியர் தொடர். தீர்வு உதாரணங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகளில் ஃபோரியர் தொடர்கள் ஒரு செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

2. ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் மூலம் தொடரின் குணகங்களைத் தீர்மானித்தல்.

2π காலத்துடன் கூடிய ஒரு காலச் சார்பு ƒ(x) இருக்கட்டும், அது ஒரு முக்கோணவியல் தொடரால் குறிக்கப்படும், அது இடைவெளியில் (-π, π), அதாவது இந்தத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை:

இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது இந்தத் தொடரின் விதிமுறைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் தொடரின் குணகங்களால் ஆன எண் தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது, அதாவது நேர்மறை எண் தொடர் ஒன்றிணைகிறது என்று நாம் கருதினால் இது உண்மையாக இருக்கும்.

தொடர் (1) பெரிதாக்கப்பட்டது மற்றும் கால இடைவெளியில் (-π, π) காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைக்கப்படலாம். சமத்துவத்தின் இரு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைக்கிறோம் (2):

வலது பக்கத்தில் நிகழும் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுகிறோம்:

,

,

இதனால், , எங்கே

. (4)

ஃபோரியர் குணகங்களின் மதிப்பீடு. (புக்ரோவ்)

தேற்றம் 1. 2π காலத்தின் ƒ(x) சார்பு, முழு உண்மையான அச்சில் உள்ள சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் வரிசையின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் ƒ (கள்) (x) ஐக் கொண்டிருக்கட்டும்:

│ ƒ (கள்) (x)│≤ எம் எஸ் ; (5)

பின்னர் ƒ செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன

ஆதாரம். பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்தல் மற்றும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

ƒ(-π) = ƒ(π), எங்களிடம் உள்ளது

ƒ ΄, …, ƒ (s-1) ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருப்பதையும், t = -π மற்றும் t = π புள்ளிகளிலும் அதே மதிப்புகளை எடுக்கிறது என்பதையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, (7) இன் வலது பக்கத்தை தொடர்ச்சியாக ஒருங்கிணைத்தல். மதிப்பீட்டின்படி (5), முதல் மதிப்பீட்டை (6) பெறுகிறோம்.

இரண்டாவது மதிப்பீடு (6) இதே வழியில் பெறப்பட்டது.

தேற்றம் 2. ஃபோரியர் குணகங்கள் ƒ(x) சமத்துவமின்மையை நிறைவு செய்கின்றன

(8)

ஆதாரம். எங்களிடம் உள்ளது

(9)

இந்த வழக்கில் மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்தி, ƒ(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாங்கள் பெறுகிறோம்

(9) மற்றும் (10) ஆகியவற்றைச் சேர்ப்பது நமக்குக் கிடைக்கிறது

இதேபோல் b k க்கான ஆதாரத்தை நாங்கள் செயல்படுத்துகிறோம்.

விளைவு. செயல்பாடு ƒ(x) தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதன் ஃபோரியர் குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

ஸ்கேலர் தயாரிப்புடன் செயல்பாடுகளின் இடம்.

ஒரு செயல்பாடு ƒ(x) இந்த பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அது முதல் வகையான இடைநிறுத்தங்களைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர, ஒரு பிரிவில் துண்டு துண்டாகத் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய புள்ளிகளை உண்மையான எண்களால் கூட்டலாம் மற்றும் பெருக்கலாம், இதன் விளைவாக, ஒரு பிரிவில் மீண்டும் துண்டு-தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைப் பெறலாம்.

இரண்டு துண்டாகத் தொடர்ச்சியின் அளவுகோல் தயாரிப்பு (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

வெளிப்படையாக, எந்தவொரு துண்டு-தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கும் ƒ , φ , ψ பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) மற்றும் சமத்துவம் (ƒ , ƒ) = 0 என்பது ƒ(x) =0 இல், ஒருவேளை, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் xயைத் தவிர்த்து;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

இதில் α, β ஆகியவை தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள்.

இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து துண்டு துண்டான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, சூத்திரத்தின்படி அளவிடுதல் தயாரிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (11), நாங்கள் குறிப்பிடுவோம், மற்றும் அழைப்பு இடம்

குறிப்பு 1.

கணிதத்தில், ஒரு இடைவெளி = (a, b) என்பது செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும் ƒ(x) அவை லெபெஸ்கு அர்த்தத்தில் அவற்றின் சதுரங்களுடன் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன, இதற்காக ஸ்கேலர் தயாரிப்பு சூத்திரத்தால் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது (11). கேள்விக்குரிய இடம் ஒரு பகுதியாகும். விண்வெளிக்கு விண்வெளியின் பல பண்புகள் உள்ளன, ஆனால் அனைத்தும் இல்லை.

பண்புகள் 1), 2), 3) முக்கியமான Bunyakovskii சமத்துவமின்மை | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , இது ஒருங்கிணைப்புகளின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

மதிப்பு

எஃப் செயல்பாட்டின் விதிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விதிமுறை பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) || f || ≥ 0, அதே சமயம் பூஜ்ஜிய செயல்பாடு f = 0 க்கு மட்டுமே சமத்துவம் இருக்க முடியும், அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான செயல்பாடு, ஒருவேளை, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

α என்பது ஒரு உண்மையான எண்.

ஒருங்கிணைப்புகளின் மொழியில் இரண்டாவது சொத்து இதுபோல் தெரிகிறது:

மற்றும் மின்கோவ்ஸ்கி சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சார்புகளின் வரிசை (f n) க்கு சொந்தமானது, ஒரு சார்புடன் ஒன்றிணைவது என்பது சராசரி சதுரத்தின் பொருளில் (அல்லது விதிமுறையில்) இருந்தால்,

ƒ n (x) சார்புகளின் வரிசையானது பிரிவில் உள்ள ƒ(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், போதுமான அளவு பெரிய n வேறுபாடு ƒ(x) - ƒ n (x) முழு மதிப்பில் சிறியதாக இருக்க வேண்டும். x பிரிவில் இருந்து.

ƒ n (x) ஆனது பிரிவில் சராசரி சதுர அர்த்தத்தில் ƒ(x) ஆக இருந்தால், பெரிய n க்கு எல்லா இடங்களிலும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வேறுபாடு சிறியதாக இருக்காது. பிரிவின் சில இடங்களில், இந்த வேறுபாடு பெரியதாக இருக்கலாம், ஆனால் பெரிய n க்கு பிரிவின் மேல் அதன் சதுரத்தின் ஒருங்கிணைப்பு சிறியதாக இருப்பது மட்டுமே முக்கியம்.

உதாரணமாக. கொடுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான துண்டு வரிசை நேரியல் சார்பு ƒ n (x) (n = 1, 2,...) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மற்றும்

(புக்ரோவ், ப. 281, படம் 120)

எந்த இயற்கை என்

மற்றும், அதன் விளைவாக, இந்த செயல்பாடுகளின் வரிசையானது, இது n → ∞ ஆக பூஜ்ஜியமாக மாறினாலும், சீரானதாக இல்லை. இதற்கிடையில்

அதாவது, செயல்பாடுகளின் வரிசை (f n (x)) மீது சராசரி சதுரத்தின் பொருளில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

செயல்பாடுகளின் சில வரிசைகளின் கூறுகளிலிருந்து ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,... (சொந்தமானது) ஒரு தொடரை உருவாக்குகிறோம்

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +... (12)

அதன் முதல் n உறுப்பினர்களின் கூட்டுத்தொகை

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

க்கு சொந்தமான ஒரு செயல்பாடு உள்ளது. அது நடந்தால், அதில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

பின்னர் தொடர் (12) என்பது சராசரி சதுர அர்த்தத்தில் ƒ செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைந்து எழுதுகிறது என்று கூறுகிறோம்

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

குறிப்பு 2.

சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் இடம் = (a, b) ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), இங்கு ƒ 1 (x) மற்றும் ƒ 2 (x) ஆகியவை உண்மையான துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும். . இந்த இடத்தில், செயல்பாடுகள் கலப்பு எண்களால் பெருக்கப்படுகின்றன மற்றும் ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) மற்றும் φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

மற்றும் விதிமுறை ƒ மதிப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது

ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தைத் தொடராகக் கொண்டு தன்னிச்சையாக எடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவமாகும். பொதுவாக, இந்த தீர்வு ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையில் ஒரு தனிமத்தின் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஃபோரியர் தொடரின் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம், ஒருங்கிணைத்தல், வேறுபடுத்துதல் மற்றும் ஒரு வாதம் மற்றும் மாற்றத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டை மாற்றும் போது இந்த மாற்றத்தின் பண்புகள் காரணமாக பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவியாகும்.

உயர் கணிதம் மற்றும் பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி ஃபோரியரின் படைப்புகள் பற்றி அறிந்திராத ஒரு நபர், இந்த "தொடர்கள்" என்ன, அவை எதற்காக என்பதை பெரும்பாலும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார். இதற்கிடையில், இந்த மாற்றம் நம் வாழ்வில் மிகவும் அடர்த்தியாகிவிட்டது. இது கணிதவியலாளர்களால் மட்டுமல்ல, இயற்பியலாளர்கள், வேதியியலாளர்கள், மருத்துவர்கள், வானியலாளர்கள், நிலநடுக்கவியலாளர்கள், கடல்சார் ஆய்வாளர்கள் மற்றும் பலரால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவரது காலத்திற்கு முன்பே ஒரு கண்டுபிடிப்பு செய்த சிறந்த பிரெஞ்சு விஞ்ஞானியின் படைப்புகளையும் நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

மனிதன் மற்றும் ஃபோரியர் மாற்றம்

ஃபோரியர் தொடர் முறைகளில் ஒன்றாகும் (பகுப்பாய்வு மற்றும் பிறவற்றுடன்) இந்த செயல்முறை ஒரு நபர் எந்த ஒலியைக் கேட்கும் ஒவ்வொரு முறையும் நிகழ்கிறது. எங்கள் காது தானாகவே ஒரு மீள் ஊடகத்தில் அடிப்படைத் துகள்களை மாற்றுகிறது, அவை வெவ்வேறு உயரங்களின் டோன்களுக்கான தொகுதி மட்டத்தின் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளின் வரிசைகளாக (ஸ்பெக்ட்ரமுடன்) சிதைக்கப்படுகின்றன. அடுத்து, மூளை இந்தத் தரவை நமக்கு நன்கு தெரிந்த ஒலிகளாக மாற்றுகிறது. இவை அனைத்தும் நம் ஆசை அல்லது நனவுடன் கூடுதலாக நிகழ்கின்றன, ஆனால் இந்த செயல்முறைகளைப் புரிந்து கொள்ள, உயர் கணிதத்தைப் படிக்க பல ஆண்டுகள் ஆகும்.

ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் பற்றி மேலும்

ஃபோரியர் மாற்றத்தை பகுப்பாய்வு, எண் மற்றும் பிற முறைகள் மூலம் மேற்கொள்ளலாம். ஃபோரியர் தொடர்கள் என்பது கடல் அலைகள் மற்றும் ஒளி அலைகள் முதல் சூரிய (மற்றும் பிற வானியல் பொருள்கள்) செயல்பாட்டின் சுழற்சிகள் வரை எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் சிதைப்பதற்கான எண் வழியைக் குறிக்கிறது. இந்த கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்ய முடியும், எந்த ஊசலாட்ட செயல்முறைகளையும் குறைந்தபட்சத்திலிருந்து அதிகபட்சம் மற்றும் நேர்மாறாகவும் செல்லும் சைனூசாய்டல் கூறுகளின் வரிசையாக பிரதிபலிக்கிறது. ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்ணுடன் தொடர்புடைய சைனூசாய்டுகளின் கட்டம் மற்றும் வீச்சு ஆகியவற்றை விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். வெப்ப, ஒளி அல்லது மின் ஆற்றலின் செல்வாக்கின் கீழ் ஏற்படும் மாறும் செயல்முறைகளை விவரிக்கும் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இந்த செயல்முறை பயன்படுத்தப்படலாம். மேலும், ஃபோரியர் தொடர்கள் சிக்கலான ஊசலாட்ட சமிக்ஞைகளில் நிலையான கூறுகளை தனிமைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகின்றன, இது மருத்துவம், வேதியியல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் பெறப்பட்ட சோதனை அவதானிப்புகளை சரியாக விளக்கியது.

வரலாற்றுக் குறிப்பு

இந்த கோட்பாட்டின் ஸ்தாபக தந்தை பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியர் ஆவார். இந்த மாற்றத்திற்கு பின்னர் அவர் பெயரிடப்பட்டது. ஆரம்பத்தில், விஞ்ஞானி வெப்ப கடத்தலின் வழிமுறைகளை ஆய்வு செய்து விளக்குவதற்கு தனது முறையைப் பயன்படுத்தினார் - திடப்பொருட்களில் வெப்பத்தின் பரவல். அசல் ஒழுங்கற்ற விநியோகத்தை எளிமையான சைனூசாய்டுகளாக சிதைக்க முடியும் என்று ஃபோரியர் பரிந்துரைத்தார், ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த வெப்பநிலை குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம், அத்துடன் அதன் சொந்த கட்டம் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும். இந்த வழக்கில், அத்தகைய ஒவ்வொரு கூறுகளும் குறைந்தபட்சம் முதல் அதிகபட்சம் மற்றும் நேர்மாறாக அளவிடப்படும். வளைவின் மேல் மற்றும் கீழ் சிகரங்களையும், ஒவ்வொரு ஹார்மோனிக்கின் கட்டத்தையும் விவரிக்கும் கணிதச் செயல்பாடு, வெப்பநிலை விநியோக வெளிப்பாட்டின் ஃபோரியர் மாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கோட்பாட்டின் ஆசிரியர் பொதுவான விநியோகச் செயல்பாட்டைக் குறைத்தார், இது கணித ரீதியாக விவரிக்க கடினமாக உள்ளது, இது அசல் விநியோகத்தைக் கொடுக்கும் கொசைன் மற்றும் சைன் ஆகியவற்றின் மிகவும் வசதியான தொடராக உள்ளது.

மாற்றத்தின் கொள்கை மற்றும் சமகாலத்தவர்களின் கருத்துக்கள்

விஞ்ஞானியின் சமகாலத்தவர்கள் - பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் முன்னணி கணிதவியலாளர்கள் - இந்த கோட்பாட்டை ஏற்கவில்லை. ஒரு நேர்கோடு அல்லது இடைவிடாத வளைவை விவரிக்கும் ஒரு இடைவிடாத செயல்பாடு, தொடர்ச்சியாக இருக்கும் சைனூசாய்டல் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம் என்ற ஃபோரியரின் வலியுறுத்தல் முக்கிய ஆட்சேபனையாகும். உதாரணமாக, ஹெவிசைட்டின் "படி" என்பதைக் கவனியுங்கள்: அதன் மதிப்பு இடைவெளியின் இடதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியமாகவும், வலதுபுறமாகவும் இருக்கும். சுற்று மூடப்படும் போது நேர மாறி மீது மின்னோட்டத்தின் சார்புநிலையை இந்த செயல்பாடு விவரிக்கிறது. அந்த நேரத்தில் கோட்பாட்டின் சமகாலத்தவர்கள் அத்தகைய சூழ்நிலையை சந்தித்ததில்லை, ஒரு தொடர்ச்சியற்ற வெளிப்பாடு ஒரு அதிவேக, சைனூசாய்டு, நேரியல் அல்லது இருபடி போன்ற தொடர்ச்சியான, சாதாரண செயல்பாடுகளின் கலவையால் விவரிக்கப்படும்.

ஃபோரியர் கோட்பாட்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர்களை குழப்பியது எது?

எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணிதவியலாளர் தனது கூற்றுகளில் சரியாக இருந்தால், எல்லையற்ற முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரை சுருக்கி, பல ஒத்த படிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், படிநிலை வெளிப்பாட்டின் சரியான பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறலாம். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில், அத்தகைய அறிக்கை அபத்தமானது. ஆனால் அனைத்து சந்தேகங்கள் இருந்தபோதிலும், பல கணிதவியலாளர்கள் இந்த நிகழ்வின் ஆய்வின் நோக்கத்தை விரிவுபடுத்தியுள்ளனர், இது வெப்ப கடத்துத்திறன் பற்றிய ஆய்வுகளின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது. இருப்பினும், பெரும்பாலான விஞ்ஞானிகள் கேள்வியால் தொடர்ந்து துன்புறுத்தப்பட்டனர்: "சைனூசாய்டல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை இடைவிடாத செயல்பாட்டின் சரியான மதிப்புடன் ஒன்றிணைக்க முடியுமா?"

ஃபோரியர் தொடர் ஒருங்கிணைப்பு: ஒரு எடுத்துக்காட்டு

எல்லையற்ற எண்களைத் தொகுக்க வேண்டியிருக்கும் போதெல்லாம், ஒருங்கிணைவு பற்றிய கேள்வி எழுப்பப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு உன்னதமான உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான அடியும் முந்தையதை விட பாதி அளவு இருந்தால் நீங்கள் எப்போதாவது சுவரை அடைய முடியுமா? நீங்கள் இலக்கிலிருந்து இரண்டு மீட்டர்கள் இருக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோம், முதல் படி உங்களை பாதிப் புள்ளிக்கும், அடுத்தது முக்கால்வாசிக்கும் நெருங்குகிறது, ஐந்தாவது படிக்குப் பிறகு நீங்கள் கிட்டத்தட்ட 97 சதவீதத்தை அடைவீர்கள். இருப்பினும், நீங்கள் எத்தனை படிகள் எடுத்தாலும், கடுமையான கணித அர்த்தத்தில் நீங்கள் விரும்பிய இலக்கை அடைய முடியாது. எண் கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தி, இறுதியில் தன்னிச்சையாக சிறிய கொடுக்கப்பட்ட தூரத்தை அணுக முடியும் என்பதைக் காட்டலாம். ஒரு பாதி, நான்கில் ஒரு பங்கு, முதலியவற்றின் மொத்த மதிப்பு ஒன்றுக்கு இருக்கும் என்பதை நிரூபிப்பதற்கு இந்த ஆதாரம் சமம்.

ஒருங்கிணைப்பின் ஒரு கேள்வி: இரண்டாவது வருகை, அல்லது லார்ட் கெல்வின் அப்ளையன்ஸ்

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இந்த கேள்வி மீண்டும் எழுப்பப்பட்டது, ஃபோரியர் தொடர்கள் ஏற்றம் மற்றும் ஓட்டத்தின் தீவிரத்தை கணிக்க பயன்படுத்தப்பட்டன. இந்த நேரத்தில், கெல்வின் பிரபு ஒரு சாதனத்தை கண்டுபிடித்தார், இது ஒரு அனலாக் கம்ப்யூட்டிங் சாதனமாகும், இது இராணுவ மற்றும் வணிகக் கடற்படையின் மாலுமிகள் இந்த இயற்கை நிகழ்வைக் கண்காணிக்க அனுமதித்தது. இந்த பொறிமுறையானது அலை உயரங்களின் அட்டவணையில் இருந்து கட்டங்கள் மற்றும் வீச்சுகளின் தொகுப்புகளை தீர்மானித்தது மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய நேரத் தருணங்கள், வருடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட துறைமுகத்தில் கவனமாக அளவிடப்படுகிறது. ஒவ்வொரு அளவுருவும் அலை உயர வெளிப்பாட்டின் சைனூசாய்டல் கூறு மற்றும் வழக்கமான கூறுகளில் ஒன்றாகும். அளவீடுகளின் முடிவுகள் லார்ட் கெல்வின் கால்குலேட்டரில் உள்ளிடப்பட்டன, இது அடுத்த ஆண்டுக்கான நேரத்தின் செயல்பாடாக நீரின் உயரத்தை கணிக்கும் ஒரு வளைவை ஒருங்கிணைத்தது. மிக விரைவில் உலகின் அனைத்து துறைமுகங்களுக்கும் இதேபோன்ற வளைவுகள் வரையப்பட்டன.

மற்றும் செயல்முறை இடைவிடாத செயல்பாட்டால் உடைந்தால்?

அந்த நேரத்தில், அதிக எண்ணிக்கையிலான எண்ணும் கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு அலை அலை முன்கணிப்பால் அதிக எண்ணிக்கையிலான கட்டங்களையும் வீச்சுகளையும் கணக்கிட முடியும், இதனால் மிகவும் துல்லியமான கணிப்புகளை வழங்க முடியும் என்பது தெளிவாகத் தெரிந்தது. ஆயினும்கூட, ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய அலை வெளிப்பாடு ஒரு கூர்மையான தாவலைக் கொண்டிருக்கும்போது, ​​​​அது இடைவிடாததாக இருக்கும்போது, ​​​​அந்த சந்தர்ப்பங்களில் இந்த ஒழுங்குமுறை கவனிக்கப்படவில்லை என்று மாறியது. நேரத் தருணங்களின் அட்டவணையில் இருந்து சாதனத்தில் தரவு உள்ளிடப்பட்டால், அது பல ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிடுகிறது. அசல் செயல்பாடு சைனூசாய்டல் கூறுகளுக்கு நன்றி மீட்டமைக்கப்படுகிறது (கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குணகங்களின் படி). அசல் மற்றும் மீட்டமைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு இடையிலான முரண்பாட்டை எந்த நேரத்திலும் அளவிட முடியும். மீண்டும் மீண்டும் கணக்கீடுகள் மற்றும் ஒப்பீடுகளை மேற்கொள்ளும்போது, ​​மிகப்பெரிய பிழையின் மதிப்பு குறையாது என்பதைக் காணலாம். இருப்பினும், அவை இடைநிறுத்தப் புள்ளியுடன் தொடர்புடைய பகுதியில் உள்ளமைக்கப்படுகின்றன, மேலும் வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். 1899 ஆம் ஆண்டில், இந்த முடிவை யேல் பல்கலைக்கழகத்தின் ஜோசுவா வில்லார்ட் கிப்ஸ் கோட்பாட்டளவில் உறுதிப்படுத்தினார்.

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொதுவாக கணிதத்தின் வளர்ச்சி

ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எண்ணற்ற வெடிப்புகளைக் கொண்ட வெளிப்பாடுகளுக்குப் பொருந்தாது. பொதுவாக, ஃபோரியர் தொடர், அசல் செயல்பாடு உண்மையான இயற்பியல் அளவீட்டின் விளைவாக இருந்தால், எப்போதும் ஒன்றிணைகிறது. குறிப்பிட்ட வகை செயல்பாடுகளுக்கான இந்த செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விகள் கணிதத்தில் புதிய பிரிவுகளின் தோற்றத்திற்கு வழிவகுத்தன, எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவான செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு. இது L. Schwartz, J. Mikusinsky மற்றும் J. கோயில் போன்ற பெயர்களுடன் தொடர்புடையது. இந்தக் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பிற்குள், டைராக் டெல்டா செயல்பாடு (இது ஒரு புள்ளியின் எல்லையற்ற சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் குவிந்துள்ள ஒரு பகுதியின் பகுதியை விவரிக்கிறது) மற்றும் ஹெவிசைட் போன்ற வெளிப்பாடுகளுக்கு தெளிவான மற்றும் துல்லியமான கோட்பாட்டு அடிப்படை உருவாக்கப்பட்டது. படி". இந்த வேலைக்கு நன்றி, ஃபோரியர் தொடர் சமன்பாடுகள் மற்றும் உள்ளுணர்வு கருத்துகள் தோன்றும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்குப் பொருந்தும்: ஒரு புள்ளி கட்டணம், ஒரு புள்ளி நிறை, காந்த இருமுனைகள் மற்றும் ஒரு கற்றை மீது ஒரு செறிவூட்டப்பட்ட சுமை.

ஃபோரியர் முறை

ஃபோரியர் தொடர், குறுக்கீடு கொள்கைகளுக்கு இணங்க, சிக்கலான வடிவங்களை எளிமையானதாக சிதைப்பதில் தொடங்குகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப ஓட்டத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் ஒழுங்கற்ற வடிவ வெப்ப-இன்சுலேடிங் பொருட்களால் செய்யப்பட்ட பல்வேறு தடைகள் அல்லது பூமியின் மேற்பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் - பூகம்பம், ஒரு வான உடலின் சுற்றுப்பாதையில் மாற்றம் - செல்வாக்கு மூலம் விளக்கப்படுகிறது. கிரகங்கள். ஒரு விதியாக, எளிய கிளாசிக்கல் அமைப்புகளை விவரிக்கும் ஒத்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொரு தனி அலைக்கும் அடிப்படையாக தீர்க்கப்படுகின்றன. ஃபோரியர் மிகவும் சிக்கலான பிரச்சனைகளுக்கு தீர்வுகளை வழங்க எளிய தீர்வுகளையும் சுருக்கமாகக் காட்டினார். கணிதத்தின் மொழியில் வெளிப்படுத்தப்படும், ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஹார்மோனிக்ஸ் - கொசைன் மற்றும் சைனூசாய்டுகளின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு நுட்பமாகும். எனவே, இந்த பகுப்பாய்வு "ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஃபோரியர் தொடர் - "கணினி யுகத்திற்கு" முன் சிறந்த நுட்பம்

கணினி தொழில்நுட்பத்தை உருவாக்குவதற்கு முன்பு, ஃபோரியர் நுட்பம் நமது உலகின் அலை இயல்புடன் பணிபுரியும் போது விஞ்ஞானிகளின் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் சிறந்த ஆயுதமாக இருந்தது. ஃபோரியர் தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் நியூட்டனின் இயக்கவியலின் விதிகளுக்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய எளிய சிக்கல்களை மட்டுமல்ல, அடிப்படை சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் நியூட்டனின் அறிவியலின் பெரும்பாலான கண்டுபிடிப்புகள் ஃபோரியரின் நுட்பத்தால் மட்டுமே சாத்தியமானது.

இன்று ஃபோரியர் தொடர்

கணினிகளின் வளர்ச்சியுடன், ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் ஒரு தரமான புதிய நிலைக்கு உயர்ந்துள்ளன. இந்த நுட்பம் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து துறைகளிலும் உறுதியாக உள்ளது. ஒரு உதாரணம் டிஜிட்டல் ஆடியோ மற்றும் வீடியோ சிக்னல். பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஒரு பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரால் உருவாக்கப்பட்ட கோட்பாட்டின் மூலம் மட்டுமே அதன் உணர்தல் சாத்தியமானது. எனவே, ஃபோரியர் தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் விண்வெளி ஆய்வில் ஒரு முன்னேற்றத்தை ஏற்படுத்தியது. கூடுதலாக, இது குறைக்கடத்தி பொருட்கள் மற்றும் பிளாஸ்மா, நுண்ணலை ஒலியியல், கடல்சார்வியல், ரேடார் மற்றும் நில அதிர்வு ஆகியவற்றின் இயற்பியல் ஆய்வில் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது.

முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர்

கணிதத்தில், ஃபோரியர் தொடர் என்பது தன்னிச்சையான சிக்கலான செயல்பாடுகளை எளிமையானவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் ஒரு வழியாகும். பொதுவான சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றதாக இருக்கலாம். மேலும், கணக்கீட்டில் அவற்றின் எண்ணிக்கை எவ்வளவு கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறதோ, அவ்வளவு துல்லியமானது இறுதி முடிவு. பெரும்பாலும், கோசைன் அல்லது சைனின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எளிமையானவையாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஃபோரியர் தொடர் முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் தீர்வு ஹார்மோனிக் விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறை கணிதத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. முதலாவதாக, முக்கோணவியல் தொடர் படத்திற்கான வழிமுறையை வழங்குகிறது, அத்துடன் செயல்பாடுகளின் ஆய்வு, இது கோட்பாட்டின் முக்கிய கருவியாகும். கூடுதலாக, இது கணித இயற்பியலின் பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. இறுதியாக, இந்த கோட்பாடு வளர்ச்சிக்கு பங்களித்தது மற்றும் கணித அறிவியலின் மிக முக்கியமான பல பிரிவுகளை உயிர்ப்பித்தது (ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடு, கால செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு). கூடுதலாக, இது ஒரு உண்மையான மாறியின் பின்வரும் செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சிக்கான தொடக்க புள்ளியாக செயல்பட்டது, மேலும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வின் தொடக்கத்தையும் குறித்தது.

அவை ஏற்கனவே மிகவும் சோர்வாக உள்ளன. கோட்பாட்டின் மூலோபாய இருப்புகளிலிருந்து புதிய பதிவு செய்யப்பட்ட உணவைப் பிரித்தெடுக்கும் தருணம் வந்துவிட்டது என்று நான் உணர்கிறேன். செயல்பாட்டைத் தொடராக வேறு வழியில் விரிவுபடுத்த முடியுமா? எடுத்துக்காட்டாக, சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் அடிப்படையில் ஒரு நேர்கோட்டுப் பகுதியை வெளிப்படுத்தவா? இது நம்பமுடியாததாக தோன்றுகிறது, ஆனால் அத்தகைய வெளித்தோற்றத்தில் தொலைதூர செயல்பாடுகள் தங்களைக் கொடுக்கின்றன
"ரீயூனியன்". கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறையில் பழக்கமான பட்டங்களுக்கு கூடுதலாக, ஒரு செயல்பாட்டை ஒரு தொடராக விரிவுபடுத்துவதற்கான பிற அணுகுமுறைகள் உள்ளன.

இந்த பாடத்தில், முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரைப் பற்றி அறிந்துகொள்வோம், அதன் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கலைத் தொடுவோம், நிச்சயமாக, செயல்பாடுகளை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். "ஃபோரியர் சீரிஸ் ஃபார் டம்மீஸ்" என்ற கட்டுரையை நான் உண்மையாக அழைக்க விரும்பினேன், ஆனால் இது தந்திரமானதாக இருக்கும், ஏனெனில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு கணித பகுப்பாய்வின் பிற பிரிவுகளின் அறிவும் சில நடைமுறை அனுபவமும் தேவைப்படும். எனவே, முன்னுரை விண்வெளி வீரர்களின் பயிற்சியை ஒத்திருக்கும் =)

முதலில், பக்கப் பொருட்களின் ஆய்வு சிறந்த வடிவத்தில் அணுகப்பட வேண்டும். தூக்கம், ஓய்வு மற்றும் நிதானமான. ஒரு வெள்ளெலியின் உடைந்த பாதத்தைப் பற்றிய வலுவான உணர்ச்சிகள் மற்றும் மீன் மீன்களின் வாழ்க்கையின் கஷ்டங்களைப் பற்றிய வெறித்தனமான எண்ணங்கள் இல்லாமல். ஃபோரியர் தொடர் புரிதலின் பார்வையில் கடினமாக இல்லை, இருப்பினும், நடைமுறை பணிகளுக்கு அதிக கவனம் தேவை - வெறுமனே, ஒருவர் வெளிப்புற தூண்டுதல்களை முற்றிலுமாக கைவிட வேண்டும். தீர்வு மற்றும் பதில் சரிபார்க்க எளிதான வழி இல்லை என்ற உண்மையால் நிலைமை மோசமாக உள்ளது. எனவே, உங்கள் உடல்நிலை சராசரிக்கும் குறைவாக இருந்தால், எளிமையான ஒன்றைச் செய்வது நல்லது. இது உண்மையா.

இரண்டாவதாக, விண்வெளியில் பறக்கும் முன், விண்கலத்தின் கருவி குழுவைப் படிப்பது அவசியம். கணினியில் கிளிக் செய்ய வேண்டிய செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

எந்தவொரு இயற்கை மதிப்புக்கும்:

1) . உண்மையில், சைனூசாய்டு ஒவ்வொரு "பை" மூலமாகவும் x- அச்சை "பளிச்சிடுகிறது":
. வாதத்தின் எதிர்மறை மதிப்புகளின் விஷயத்தில், முடிவு, நிச்சயமாக, ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

2) ஆனால் அனைவருக்கும் இது தெரியாது. கொசைன் "பை என்" என்பது "ஒளிரும் ஒளிக்கு" சமம்:

எதிர்மறை வாதம் வழக்கை மாற்றாது: .

ஒருவேளை போதுமானது.

மூன்றாவதாக, அன்புள்ள விண்வெளி வீரர்களே, உங்களால் முடியும் ... ஒருங்கிணைக்க.
குறிப்பாக, நிச்சயமாக ஒரு வித்தியாசமான அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டு வாருங்கள், பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கமற்றும் நல்ல உறவில் இருங்கள் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். விமானத்திற்கு முந்தைய முக்கியமான பயிற்சிகளைத் தொடங்குவோம். அதைத் தவிர்க்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கவில்லை, இதனால் நீங்கள் பூஜ்ஜிய ஈர்ப்பு விசையில் தட்டையாக இருக்க மாட்டீர்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்

இயற்கை மதிப்புகளை எங்கே எடுக்கிறது.

தீர்வு: ஒருங்கிணைப்பு "x" மாறியின் மீது மேற்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் இந்த கட்டத்தில் தனித்த மாறி "en" ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது. அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளிலும் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் கொண்டு வாருங்கள்:

தீர்வின் குறுகிய பதிப்பு, சுடுவதற்கு நன்றாக இருக்கும், இது போல் தெரிகிறது:

பழகுவது:

மீதமுள்ள நான்கு புள்ளிகள் சொந்தமாக உள்ளன. பணியை மனசாட்சியுடன் நடத்த முயற்சிக்கவும் மற்றும் ஒரு குறுகிய வழியில் ஒருங்கிணைப்புகளை ஏற்பாடு செய்யவும். பாடத்தின் முடிவில் மாதிரி தீர்வுகள்.

ஒரு தரமான பயிற்சிக்குப் பிறகு, நாங்கள் விண்வெளி உடைகளை அணிந்தோம்
மற்றும் தொடங்க தயாராகிறது!

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்

ஒரு செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் தீர்மானிக்கப்பட்டதுகுறைந்தபட்சம் இடைவெளியில் (மற்றும், ஒரு பெரிய இடைவெளியில்). இந்தச் செயல்பாடு பிரிவில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அதை ஒரு முக்கோணவியல் வரை விரிவாக்கலாம் ஃபோரியர் தொடர்:
, என்று அழைக்கப்படுபவை எங்கே ஃபோரியர் குணகங்கள்.

இந்த வழக்கில், எண் அழைக்கப்படுகிறது சிதைவு காலம், மற்றும் எண் அரை ஆயுள் சிதைவு.

வெளிப்படையாக, பொது வழக்கில், ஃபோரியர் தொடர் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களைக் கொண்டுள்ளது:

உண்மையில், அதை விரிவாக எழுதுவோம்:

தொடரின் பூஜ்ஜிய சொல் பொதுவாக எழுதப்படுகிறது.

ஃபோரியர் குணகங்கள் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

தொடக்கநிலையாளர்கள் தலைப்பைப் படிக்க புதிய சொற்கள் இன்னும் தெளிவற்றவை என்பதை நான் நன்றாகப் புரிந்துகொள்கிறேன்: சிதைவு காலம், அரை சுழற்சி, ஃபோரியர் குணகங்கள்மற்றும் மற்றவர்கள், பீதி அடைய வேண்டாம், விண்வெளி நடைப்பயணத்திற்கு முன் ஏற்படும் உற்சாகத்துடன் ஒப்பிட முடியாது. நடைமுறைக் கேள்விகளைக் கேட்பது தர்க்கரீதியானது என்பதைச் செயல்படுத்துவதற்கு முன், அருகிலுள்ள எடுத்துக்காட்டில் எல்லாவற்றையும் கண்டுபிடிப்போம்:

பின்வரும் பணிகளில் நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும்?

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குங்கள். கூடுதலாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம், ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் வரைபடம், ஒரு பகுதித் தொகை, மற்றும் அதிநவீன பேராசிரியர் கற்பனைகளின் விஷயத்தில், வேறு ஏதாவது செய்ய வேண்டும்.

ஒரு செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்குவது எப்படி?

அடிப்படையில், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஃபோரியர் குணகங்கள், அதாவது மூன்றை இயற்றுதல் மற்றும் கணக்கிடுதல் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள்.

ஃபோரியர் தொடரின் பொதுவான வடிவம் மற்றும் உங்கள் நோட்புக்கில் மூன்று வேலை சூத்திரங்களை நகலெடுக்கவும். சில தள பார்வையாளர்கள் ஒரு விண்வெளி வீரராக வேண்டும் என்ற சிறுவயது கனவை என் கண் முன்னே நனவாக்கியதில் நான் மிகவும் மகிழ்ச்சியடைகிறேன் =)

உதாரணம் 2

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவாக்கவும். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும், ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் வரைபடம் மற்றும் ஒரு பகுதித் தொகை.

தீர்வு: பணியின் முதல் பகுதியானது செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவதாகும்.

ஆரம்பம் நிலையானது, அதை எழுத மறக்காதீர்கள்:

இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் , அரை காலம் .

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

பொருத்தமான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம் ஃபோரியர் குணகங்கள். இப்போது நாம் மூன்று தொகுத்து கணக்கிட வேண்டும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள். வசதிக்காக, நான் புள்ளிகளை எண்ணுகிறேன்:

1) முதல் ஒருங்கிணைப்பு எளிமையானது, இருப்பினும், இதற்கு ஏற்கனவே ஒரு கண் மற்றும் ஒரு கண் தேவைப்படுகிறது:

2) நாங்கள் இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இந்த ஒருங்கிணைப்பு நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் அவர் அதை துண்டு துண்டாக எடுத்துக்கொள்கிறார்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்டபோது பயன்படுத்தப்பட்டது ஒரு வித்தியாசமான அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டுவரும் முறை.

பரிசீலனையில் உள்ள பணியில், உடனடியாகப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் :

ஒரு ஜோடி தொழில்நுட்ப குறிப்புகள். முதலில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு முழு வெளிப்பாடும் பெரிய அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட வேண்டும், அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு முன்னால் ஒரு மாறிலி இருப்பதால். அதை இழக்காமல் இருப்போம்! அடைப்புக்குறிகளை மேலும் எந்த படியிலும் திறக்க முடியும், நான் அதை கடைசி திருப்பத்தில் செய்தேன். முதல் "துண்டில்" மாற்றீட்டில் நாங்கள் தீவிர துல்லியத்தைக் காட்டுகிறோம், நீங்கள் பார்க்கிறபடி, மாறிலி வணிகத்திற்கு வெளியே உள்ளது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் தயாரிப்பில் மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல் சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. சரி, சூத்திரத்தின் இரண்டாவது "துண்டு" இன் ஒருங்கிணைப்பு பயிற்சி பணியிலிருந்து உங்களுக்கு நன்கு தெரியும் ;-)

மற்றும் மிக முக்கியமாக - கவனத்தின் இறுதி செறிவு!

3) நாங்கள் மூன்றாவது ஃபோரியர் குணகத்தைத் தேடுகிறோம்:

முந்தைய ஒருங்கிணைப்பின் உறவினர் பெறப்பட்டது, அதுவும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது:

இந்த நிகழ்வு இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது, மேலும் படிப்படியான வழிமுறைகளை நான் கூறுவேன்:

(1) முழு வெளிப்பாடும் பெரிய அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.. நான் ஒரு சலிப்பு போல் தோன்ற விரும்பவில்லை, அவர்கள் அடிக்கடி மாறிலியை இழக்கிறார்கள்.

(2) இந்த வழக்கில், நான் உடனடியாக அந்த பெரிய அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தினேன். சிறப்பு கவனம்நாங்கள் முதல் "துண்டு" க்கு அர்ப்பணிக்கிறோம்: தொடர்ந்து புகைபிடிக்கிறது மற்றும் தயாரிப்புடன் ஒருங்கிணைப்பு (மற்றும் ) வரம்புகளை மாற்றுவதில் பங்கேற்காது . பதிவின் ஒழுங்கீனத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் இந்தச் செயலை முன்னிலைப்படுத்த மீண்டும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது. இரண்டாவது "துண்டு" உடன் எல்லாம் எளிமையானது: இங்கே பின்னம் பெரிய அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு தோன்றியது, மற்றும் நிலையானது - பழக்கமான ஒருங்கிணைப்பை ஒருங்கிணைத்ததன் விளைவாக ;-)

(3) சதுர அடைப்புக்குறிக்குள், மாற்றங்களைச் செய்கிறோம், சரியான ஒருங்கிணைப்பில், ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை மாற்றுகிறோம்.

(4) சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து “ஃப்ளாஷரை” எடுக்கிறோம்: , அதன் பிறகு உள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம்: .

(5) அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள 1 மற்றும் -1 ஐ ரத்து செய்து, இறுதியான எளிமைப்படுத்தல்களைச் செய்கிறோம்.

இறுதியாக மூன்று ஃபோரியர் குணகங்களும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன:

அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்றவும் :

பாதியாக பிரிக்க மறக்காதீர்கள். கடைசி கட்டத்தில், "en" ஐச் சார்ந்து இல்லாத மாறிலி ("மைனஸ் இரண்டு"), கூட்டுத்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

இவ்வாறு, ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை இடைவெளியில் பெற்றுள்ளோம்:

ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்வியைப் படிப்போம். நான் குறிப்பாக கோட்பாட்டை விளக்குகிறேன் டிரிச்லெட் தேற்றம், உண்மையில் "விரல்களில்", எனவே உங்களுக்கு கடுமையான சூத்திரங்கள் தேவைப்பட்டால், கால்குலஸ் பற்றிய பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும் (உதாரணமாக, போஹானின் 2வது தொகுதி; அல்லது ஃபிச்சன்ஹோல்ட்ஸின் 3வது தொகுதி, ஆனால் அது மிகவும் கடினம்).

பணியின் இரண்டாம் பகுதியில், ஒரு வரைபடம், ஒரு தொடர் தொகை வரைபடம் மற்றும் ஒரு பகுதி தொகை வரைபடம் வரைய வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் வழக்கமானது விமானத்தில் நேர் கோடு, இது கருப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோடுடன் வரையப்பட்டது:

தொடரின் கூட்டுத்தொகையை நாங்கள் கையாளுகிறோம். உங்களுக்குத் தெரியும், செயல்பாட்டுத் தொடர்கள் செயல்பாடுகளாக ஒன்றிணைகின்றன. எங்கள் விஷயத்தில், கட்டமைக்கப்பட்ட ஃபோரியர் தொடர் "x" இன் எந்த மதிப்புக்கும்சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது. இந்த செயல்பாடு உட்பட்டது 1 வது வகையான இடைவெளிகள்புள்ளிகளில் , ஆனால் அவற்றிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (வரைபடத்தில் சிவப்பு புள்ளிகள்)

இதனால்: . இது அசல் செயல்பாட்டிலிருந்து குறிப்பிடத்தக்க வகையில் வேறுபடுவதைக் காண்பது எளிது, அதனால்தான் குறிப்பில் உள்ளது சமமான அடையாளத்திற்குப் பதிலாக ஒரு டில்டு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்க வசதியாக இருக்கும் ஒரு வழிமுறையைப் படிப்போம்.

மைய இடைவெளியில், ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாட்டிற்கு இணைகிறது (மத்திய சிவப்பு பிரிவு நேரியல் செயல்பாட்டின் கருப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது).

இப்போது கருதப்படும் முக்கோணவியல் விரிவாக்கத்தின் தன்மை பற்றி கொஞ்சம் பேசலாம். ஃபோரியர் தொடர் குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளை மட்டுமே உள்ளடக்கியது (நிலையான, சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள்), எனவே தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒரு காலச் செயல்பாடும் ஆகும்.

எங்கள் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில் இது என்ன அர்த்தம்? மேலும் இதன் பொருள் தொடரின் கூட்டுத்தொகை –அவசியம் அவ்வப்போதுமற்றும் இடைவெளியின் சிவப்பு பிரிவு இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் எண்ணற்ற முறையில் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும்.

இப்போது "சிதைவு காலம்" என்ற சொற்றொடரின் பொருள் இறுதியாக தெளிவாகிவிட்டது என்று நினைக்கிறேன். எளிமையாகச் சொன்னால், ஒவ்வொரு முறையும் நிலைமை மீண்டும் மீண்டும் நிகழ்கிறது.

நடைமுறையில், வரைபடத்தில் செய்யப்பட்டுள்ளபடி, மூன்று சிதைவு காலங்களை சித்தரிப்பது பொதுவாக போதுமானது. சரி, மேலும் அண்டை காலங்களின் "ஸ்டம்புகள்" - விளக்கப்படம் தொடர்கிறது என்பதை தெளிவுபடுத்துவதற்கு.

குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளன 1 வது வகையான தொடர்ச்சியின்மை புள்ளிகள். அத்தகைய புள்ளிகளில், ஃபோரியர் தொடர் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளுக்கு ஒன்றிணைகிறது, அவை இடைநிறுத்தம் "ஜம்ப்" (வரைபடத்தில் சிவப்பு புள்ளிகள்) நடுவில் சரியாக அமைந்துள்ளன. இந்த புள்ளிகளின் வரிசையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? முதலில், "மேல் தளத்தின்" ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்: இதற்காக, மைய விரிவாக்கக் காலத்தின் வலதுபுறத்தில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம்: . "கீழ் தளத்தின்" ஆர்டினேட்டைக் கணக்கிட, அதே காலகட்டத்தின் இடதுபுற மதிப்பை எடுப்பதே எளிதான வழி: . சராசரி மதிப்பின் ஆர்டினேட் என்பது "மேல் மற்றும் கீழ்" தொகையின் எண்கணித சராசரி: . ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​நடுவானது சரியாக அல்லது தவறாகக் கணக்கிடப்பட்டதா என்பதை நீங்கள் உடனடியாகப் பார்ப்பீர்கள் என்பது நல்லது.

தொடரின் ஒரு பகுதித் தொகையை உருவாக்குவோம், அதே நேரத்தில் "ஒன்றிணைதல்" என்ற சொல்லின் பொருளை மீண்டும் கூறுவோம். என்ற பாடத்திலிருந்து நோக்கம் அறியப்படுகிறது எண் தொடரின் கூட்டுத்தொகை. நமது செல்வத்தை விரிவாக விவரிப்போம்:

ஒரு பகுதி தொகையை உருவாக்க, நீங்கள் தொடரின் பூஜ்ஜியம் + மேலும் இரண்டு சொற்களை எழுத வேண்டும். அது,

வரைபடத்தில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் பச்சை நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது, மேலும் நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அது மொத்த தொகையை மிகவும் இறுக்கமாக சுற்றி வருகிறது. தொடரின் ஐந்து சொற்களின் ஒரு பகுதி தொகையை நாம் கருத்தில் கொண்டால், இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் சிவப்பு கோடுகளை இன்னும் துல்லியமாக தோராயமாக மதிப்பிடும், நூறு சொற்கள் இருந்தால், "பச்சை பாம்பு" உண்மையில் சிவப்பு பிரிவுகளுடன் முழுமையாக ஒன்றிணைந்துவிடும், முதலியன எனவே, ஃபோரியர் தொடர் அதன் கூட்டுத்தொகைக்கு இணைகிறது.

ஏதேனும் ஒரு பகுதித் தொகை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, ஆனால் தொடரின் மொத்தத் தொகை இன்னும் இடைவிடாமல் உள்ளது.

நடைமுறையில், ஒரு பகுதி தொகை வரைபடத்தை உருவாக்குவது அசாதாரணமானது அல்ல. அதை எப்படி செய்வது? எங்கள் விஷயத்தில், பிரிவின் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம், பிரிவின் முனைகளிலும் இடைநிலை புள்ளிகளிலும் அதன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் (அதிக புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, வரைபடம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்). பின்னர் நீங்கள் இந்த புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும் மற்றும் காலத்தின் வரைபடத்தை கவனமாக வரைய வேண்டும் , பின்னர் அதை அருகில் உள்ள இடைவெளிகளில் "பிரதி" செய்யவும். வேறு எப்படி? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தோராயமானது ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு ஆகும் ... ... அதன் வரைபடம் எப்படியோ ஒரு மருத்துவ சாதனத்தின் காட்சியில் ஒரு சீரான இதய தாளத்தை எனக்கு நினைவூட்டுகிறது.

நிச்சயமாக, கட்டுமானத்தை மேற்கொள்வது மிகவும் வசதியானது அல்ல, ஏனெனில் நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும், அரை மில்லிமீட்டருக்கும் குறையாத துல்லியத்தை பராமரிக்க வேண்டும். இருப்பினும், வரைபடத்துடன் முரண்படும் வாசகர்களை நான் மகிழ்விப்பேன் - ஒரு "உண்மையான" பணியில், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது எப்போதுமே அவசியமில்லை, எங்காவது 50% நிகழ்வுகளில் செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்க வேண்டும். அது.

வரைபடத்தை முடித்த பிறகு, நாங்கள் பணியை முடிக்கிறோம்:

பதில்:

பல பணிகளில், செயல்பாடு பாதிக்கப்படுகிறது 1 வது வகை முறிவுசிதைவு காலத்தில் வலதுபுறம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்குங்கள். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் தொடரின் மொத்த தொகையையும் வரையவும்.

முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாடு துண்டு துண்டாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (மற்றும், நீங்கள் நினைவில் கொள்ளுங்கள், பிரிவில் மட்டும்)மற்றும் தாங்க 1 வது வகை முறிவுபுள்ளியில். ஃபோரியர் குணகங்களைக் கணக்கிட முடியுமா? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை. செயல்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகள் இரண்டும் அவற்றின் இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியவை, எனவே மூன்று சூத்திரங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பூஜ்ஜிய குணகத்திற்கு இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறியது, இது வேலையைக் குறைத்தது, ஆனால் இது எப்போதும் இல்லை.

மற்ற இரண்டு ஃபோரியர் குணகங்களும் இதேபோல் எழுதப்பட்டுள்ளன.

ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு காட்டுவது? இடது இடைவெளியில் நாம் ஒரு நேர் கோடு பகுதியை வரைகிறோம் , மற்றும் இடைவெளியில் - ஒரு நேர் கோடு பிரிவு (அச்சு பகுதியை தடிமனான-தடலில் முன்னிலைப்படுத்தவும்). அதாவது, விரிவாக்க இடைவெளியில், மூன்று "மோசமான" புள்ளிகளைத் தவிர, எல்லா இடங்களிலும் தொடரின் கூட்டுத்தொகை செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளியில், ஃபோரியர் தொடர் ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பாக ஒன்றிணைகிறது, இது இடைநிறுத்தத்தின் "ஜம்ப்" இன் நடுவில் சரியாக அமைந்துள்ளது. வாய்வழியாகப் பார்ப்பது கடினம் அல்ல: இடது கை வரம்பு:, வலது கை வரம்பு: மற்றும், வெளிப்படையாக, நடுப்புள்ளியின் ஆர்டினேட் 0.5 ஆகும்.

கூட்டுத்தொகையின் கால இடைவெளியின் காரணமாக, படம் அண்டை காலங்களாக "பெருக்கப்பட வேண்டும்", குறிப்பாக, இடைவெளிகளில் அதே விஷயத்தை சித்தரிக்க வேண்டும் மற்றும் . இந்த வழக்கில், புள்ளிகளில், ஃபோரியர் தொடர் இடைநிலை மதிப்புகளுக்கு இணைகிறது.

உண்மையில், இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை.

இந்த சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும். பாடத்தின் முடிவில் சிறந்த வடிவமைப்பு மற்றும் வரைபடத்தின் தோராயமான மாதிரி.

ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் தன்னிச்சையான காலத்தில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம்

"el" என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் தன்னிச்சையான விரிவாக்க காலத்திற்கு, ஃபோரியர் தொடர் மற்றும் ஃபோரியர் குணகங்களுக்கான சூத்திரங்கள் சற்று சிக்கலான சைன் மற்றும் கொசைன் வாதத்தில் வேறுபடுகின்றன:

என்றால், நாம் தொடங்கிய இடைவெளிக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுவோம்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை மற்றும் கொள்கைகள் முற்றிலும் பாதுகாக்கப்படுகின்றன, ஆனால் கணக்கீடுகளின் தொழில்நுட்ப சிக்கலானது அதிகரிக்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 4

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தி, தொகையைத் திட்டமிடவும்.

தீர்வு: உண்மையில், எடுத்துக்காட்டு எண். 3 இன் அனலாக் உடன் 1 வது வகை முறிவுபுள்ளியில். இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் , அரை காலம் . செயல்பாடு அரை-இடைவெளியில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் இது விஷயங்களை மாற்றாது - செயல்பாட்டின் இரு பகுதிகளும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருப்பது முக்கியம்.

செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்துவோம்:

தோற்றத்தில் செயல்பாடு இடைவிடாமல் இருப்பதால், ஒவ்வொரு ஃபோரியர் குணகமும் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்பட வேண்டும்:

1) முதல் ஒருங்கிணைப்பை முடிந்தவரை விரிவாக எழுதுவேன்:

2) நிலவின் மேற்பரப்பை கவனமாக உற்றுப் பாருங்கள்:

இரண்டாவது ஒருங்கிணைந்த பகுதிகளாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

தீர்வின் தொடர்ச்சியை நட்சத்திரக் குறியுடன் திறந்த பிறகு நீங்கள் என்ன கவனம் செலுத்த வேண்டும்?

முதலில், நாம் முதல் ஒருங்கிணைப்பை இழக்க மாட்டோம் , நாம் உடனடியாக இயக்கும் இடத்தில் வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் கொண்டு வருகிறது. இரண்டாவதாக, பெரிய அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன் மோசமான மாறிலியை மறந்துவிடாதீர்கள் அறிகுறிகளால் குழப்பமடைய வேண்டாம்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் போது . பெரிய அடைப்புக்குறிகள், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடுத்த கட்டத்தில் உடனடியாக திறக்க மிகவும் வசதியானது.

மீதமுள்ளவை நுட்பத்தின் விஷயம், ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதில் போதுமான அனுபவம் மட்டுமே சிரமங்களை ஏற்படுத்தும்.

ஆம், பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபோரியரின் புகழ்பெற்ற சகாக்கள் கோபமடைந்தது வீண் அல்ல - செயல்பாடுகளை முக்கோணவியல் தொடராக சிதைக்க அவர் எப்படித் துணிந்தார்?! =) மூலம், கேள்விக்குரிய பணியின் நடைமுறை அர்த்தத்தில் அநேகமாக எல்லோரும் ஆர்வமாக உள்ளனர். ஃபோரியர் தானே வெப்ப கடத்தலின் கணித மாதிரியில் பணிபுரிந்தார், பின்னர் அவருக்கு பெயரிடப்பட்ட தொடர் பல கால செயல்முறைகளைப் படிக்க பயன்படுத்தத் தொடங்கியது, அவை வெளி உலகில் கண்ணுக்கு தெரியாதவை. இப்போது, ​​இரண்டாவது உதாரணத்தின் வரைபடத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட கால இதய தாளத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல என்று நினைத்துக்கொண்டேன். ஆர்வமுள்ளவர்கள் நடைமுறை பயன்பாட்டைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளலாம் ஃபோரியர் மாற்றங்கள்மூன்றாம் தரப்பு மூலங்களிலிருந்து. ... அதை செய்யாமல் இருப்பது நல்லது என்றாலும் - இது முதல் காதல் என்று நினைவில் வைக்கப்படும் =)

3) மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிடப்பட்ட பலவீனமான இணைப்புகளைக் கருத்தில் கொண்டு, நாங்கள் மூன்றாவது குணகத்தைக் கையாளுகிறோம்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்தல்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஃபோரியர் குணகங்களை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம் , பூஜ்ஜிய குணகத்தை பாதியாக பிரிக்க மறக்கவில்லை:

தொடரின் கூட்டுத்தொகையைத் திட்டமிடுவோம். செயல்முறையை சுருக்கமாக மீண்டும் செய்வோம்: இடைவெளியில் நாம் ஒரு வரியை உருவாக்குகிறோம், மற்றும் இடைவெளியில் - ஒரு வரி. "x" இன் பூஜ்ஜிய மதிப்புடன், இடைவெளியின் "ஜம்ப்" இன் நடுவில் ஒரு புள்ளியை வைத்து, அண்டை காலங்களுக்கான விளக்கப்படத்தை "பிரதி" செய்கிறோம்:


காலங்களின் "சந்திகளில்", கூட்டுத்தொகை இடைவெளியின் "ஜம்ப்" இன் நடுப்புள்ளிகளுக்கு சமமாக இருக்கும்.

தயார். செயல்பாடு அரை இடைவெளியில் மட்டுமே நிபந்தனையுடன் வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதையும், வெளிப்படையாக, இடைவெளிகளில் தொடரின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதையும் நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.

பதில்:

சில நேரங்களில் துண்டு துண்டாக கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு விரிவாக்க காலத்திலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். எளிமையான உதாரணம்: . தீர்வு (பார்க்க போஹன் தொகுதி 2)இரண்டு முந்தைய உதாரணங்களில் உள்ளதைப் போலவே உள்ளது: இருந்தாலும் செயல்பாடு தொடர்ச்சிபுள்ளியில், ஒவ்வொரு ஃபோரியர் குணகமும் இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

முறிவு இடைவெளியில் 1 வது வகையான தொடர்ச்சியின்மை புள்ளிகள்மற்றும் / அல்லது வரைபடத்தின் "சந்தி" புள்ளிகள் அதிகமாக இருக்கலாம் (இரண்டு, மூன்று மற்றும் பொதுவாக ஏதேனும் இறுதிஅளவு). ஒரு செயல்பாடு ஒவ்வொரு பகுதியிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், அது ஃபோரியர் தொடரிலும் விரிவாக்கக்கூடியது. ஆனால் நடைமுறை அனுபவத்திலிருந்து, அத்தகைய தகரம் எனக்கு நினைவில் இல்லை. ஆயினும்கூட, இப்போது கருதப்பட்டதை விட கடினமான பணிகள் உள்ளன, மேலும் அனைவருக்கும் கட்டுரையின் முடிவில் அதிகரித்த சிக்கலான ஃபோரியர் தொடருக்கான இணைப்புகள் உள்ளன.

இதற்கிடையில், ஓய்வெடுப்போம், எங்கள் நாற்காலிகளில் சாய்ந்துகொண்டு, முடிவில்லாத நட்சத்திரங்களின் விரிவாக்கங்களைப் பற்றி சிந்தித்துப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 5

இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தி, தொடரின் கூட்டுத்தொகையைத் திட்டமிடுங்கள்.

இந்த பணியில், செயல்பாடு தொடர்ச்சியானசிதைவு அரை இடைவெளியில், இது தீர்வை எளிதாக்குகிறது. எல்லாம் எடுத்துக்காட்டு எண் 2 க்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. விண்கலத்திலிருந்து தப்பிக்க முடியாது - நீங்கள் முடிவு செய்ய வேண்டும் =) பாடத்தின் முடிவில் ஒரு தோராயமான வடிவமைப்பு மாதிரி, அட்டவணை இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம்

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுடன், சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்முறை குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அதனால் தான். "இரண்டு பை" காலப்பகுதியில் ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்திற்கு திரும்புவோம் மற்றும் தன்னிச்சையான காலம் "இரண்டு அலேஸ்" .

நமது செயல்பாடு சீரானது என்று வைத்துக் கொள்வோம். தொடரின் பொதுவான சொல், நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சம கோசைன்கள் மற்றும் ஒற்றைப்படை சைன்கள் உள்ளன. நாம் ஒரு EVEN செயல்பாட்டை சிதைத்தால், நமக்கு ஏன் ஒற்றைப்படை சைன்கள் தேவை?! தேவையற்ற குணகத்தை மீட்டமைப்போம்: .

இதனால், ஒரு சமமான செயல்பாடு கொசைன்களில் மட்டுமே ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைகிறது:

ஏனெனில் சம செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்பூஜ்ஜியத்தைப் பொறுத்தமட்டில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு சமச்சீரின் ஒரு பிரிவை இரட்டிப்பாக்க முடியும், பின்னர் மீதமுள்ள ஃபோரியர் குணகங்களும் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன.

இடைவெளிக்கு:

தன்னிச்சையான இடைவெளிக்கு:

ஏறக்குறைய எந்த கால்குலஸ் பாடப்புத்தகத்திலும் காணப்படும் பாடநூல் எடுத்துக்காட்டுகளில் கூட செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கங்கள் அடங்கும் . கூடுதலாக, எனது தனிப்பட்ட நடைமுறையில் அவர்கள் மீண்டும் மீண்டும் சந்தித்தனர்:

எடுத்துக்காட்டு 6

ஒரு செயல்பாடு வழங்கப்பட்டது. தேவை:

1) செயல்பாட்டை ஒரு ஃபோரியர் தொடராக காலத்துடன் விரிவுபடுத்தவும், இதில் தன்னிச்சையான நேர்மறை எண் உள்ளது;

2) இடைவெளியில் விரிவாக்கத்தை எழுதி, ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்கி, தொடரின் மொத்த தொகையை வரைபடமாக்குங்கள்.

தீர்வு: முதல் பத்தியில், சிக்கலை ஒரு பொதுவான வழியில் தீர்க்க முன்மொழியப்பட்டது, இது மிகவும் வசதியானது! ஒரு தேவை இருக்கும் - உங்கள் மதிப்பை மாற்றவும்.

1) இந்த சிக்கலில், விரிவாக்க காலம் , அரை காலம் . மேலும் செயல்களின் போது, ​​குறிப்பாக ஒருங்கிணைப்பின் போது, ​​"எல்" ஒரு மாறிலியாகக் கருதப்படுகிறது

செயல்பாடு சமமானது, அதாவது இது கொசைன்களில் மட்டுமே ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைகிறது: .

ஃபோரியர் குணகங்கள் சூத்திரங்களால் தேடப்படுகின்றன . அவர்களின் முழுமையான நன்மைகளுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள். முதலாவதாக, விரிவாக்கத்தின் நேர்மறையான பிரிவில் ஒருங்கிணைப்பு மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது தொகுதியிலிருந்து பாதுகாப்பாக விடுபடுகிறோம். , இரண்டு துண்டுகளிலிருந்து "x" மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளப்படுகிறது. மற்றும், இரண்டாவதாக, ஒருங்கிணைப்பு குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

இரண்டு:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்தல்:

இதனால்:
, "en" ஐச் சார்ந்து இல்லாத மாறிலி, கூட்டுத்தொகையிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

பதில்:

2) இடைவெளியில் விரிவாக்கத்தை எழுதுகிறோம், இதற்காக அரை காலத்தின் விரும்பிய மதிப்பை பொது சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம். ஒரு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசெலின் சமத்துவமின்மை சமத்துவம் பார்செவல் மூடிய அமைப்புகள் அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல்

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை சார்புகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் \-1 பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு f(x), இங்கு I > 0, சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y-அச்சுக்கு சமச்சீராக இருந்தாலும் அழைக்கப்படுகிறது. J பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட f(x) சார்பு, இங்கு I > 0, ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றத்துடன் சமச்சீராக இருந்தால் ஒற்றைப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக. அ) செயல்பாடு சம மற்றும் ஒற்றைப்படை சார்புகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் என்பதால், அனைத்து x e b) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை பிரிவில் உள்ளது |-jt, jt). ஒரு தன்னிச்சையான காலகட்டத்துடன் கூடிய செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் ஃபோரியர் தொடர்களின் சிக்கலான குறியீடு. செயல்பாடு f(x)=x2-x, இதில் சம அல்லது ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளுக்குச் சொந்தமில்லை, ஏனெனில் தேற்றம் 1 இன் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடு f(x) x பிரிவில் சமமாக இருக்கட்டும். பின்னர் அனைவருக்கும் அதாவது. /(g) cos nx என்பது ஒரு சமமான செயல்பாடு, மற்றும் f(x) sinnx என்பது ஒற்றைப்படை. எனவே, சமச் சார்பின் ஃபோரியர் குணகங்கள் /(x) சமமாக இருக்கும்.எனவே, சமச் சார்பின் ஃபோரியர் தொடர் f(x) sin nx ஒரு சமச் சார்பு ஆகும். எனவே, நாம் இவ்வாறு இருப்போம், ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் வடிவம் கொண்டது இரண்டு முறை பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம், எனவே, இந்தச் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் இதுபோல் தெரிகிறது: அல்லது, விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், இந்த சமத்துவம் எந்த x € க்கும் செல்லுபடியாகும், ஏனெனில் புள்ளிகளில் x = ±ir புள்ளிகளில் தொடர் f(x) = x2 செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகிறது, ஏனெனில் f(x) = x செயல்பாட்டின் வரைபடங்கள் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தொடரின் தொகைகள் படம். கருத்து. இந்த ஃபோரியர் தொடர், x \u003d 0 க்கு, ஒன்றிணைந்த எண் தொடர்களில் ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. செயல்பாடு /(x) தேற்றம் 1 இன் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது, எனவே இது ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தப்படலாம், இந்த செயல்பாட்டின் விந்தையின் காரணமாக, பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கும் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், எனவே ஃபோரியர் குணகங்களைக் காண்கிறோம், ஃபோரியர் இந்தச் செயல்பாட்டின் வரிசையானது அனைத்து x В புள்ளிகளுக்கும் x - ±tg போன்ற வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது பிரிவு [- *, n-] தொடரின் கூட்டுத்தொகையானது / (x) \u003d x செயல்பாட்டின் கால தொடர்ச்சியாகும்; அதன் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 6. § 6. ஒரு இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் விரிவாக்கம், சைன்கள் அல்லது கோசைன்களின் அடிப்படையில் ஒரு தொடராக ஒரு வரம்பிற்குட்பட்ட துண்டு துண்டாக மோனோடோனிக் செயல்பாடு / ஒரு இடைவெளியில் கொடுக்கப்படும். இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் இடைவெளி 0| பல்வேறு வழிகளில் வரையறுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாடு / பிரிவில் mc] என்ற முறையில் வரையறுக்க முடியும். இந்த வழக்கில் அது கூறப்பட்டது) "பிரிவு 0] வரை நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது"; அதன் ஃபோரியர் தொடரில் கொசைன்கள் மட்டுமே இருக்கும். எவ்வாறாயினும், /(x) செயல்பாடு [-x, mc] பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டால் /(, பின்னர் ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு கிடைக்கும், பின்னர் / "பிரிவு [-*, 0 வரை நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறோம். ] ஒற்றைப்படை வழியில்"; இந்த நிலையில், ஃபோரியர் தொடரில் சைன்கள் மட்டுமே இருக்கும். எனவே, ஒவ்வொரு வரம்பிற்குட்பட்ட துண்டு-மோனோடோன் செயல்பாடு /(x), பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம். sines மற்றும் cosines.எடுத்துக்காட்டு 1. ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்: a) cosineகள் மூலம்; b) சைன்களுடன். M இந்தச் செயல்பாடு, அதன் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை நீட்டிப்புகளுடன் | a) நாம் / (z) பிரிவில் தொடர்கிறோம் 0) a) j \ x) பிரிவில் (-m, 0 | ஒரு சமமான வழியில் (படம் 7) தொடர்கிறோம், அதன் ஃபோரியர் தொடரில் நான் P வடிவத்தைப் பெறுவோம். \u003d 1 ஃபோரியர் குணகங்கள் சமமாக இருக்கும், எனவே, b) /(z) பிரிவில் [-x,0] ஒற்றைப்படை வழியில் தொடர்வோம் (படம் 8). பின்னர் அதன் ஃபோரியர் தொடர் §7. தன்னிச்சையான காலகட்டத்துடன் கூடிய செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் 21.1 ^ 0 கால இடைவெளியில் குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் இருக்கட்டும். I > 0 என்ற இடைவெளியில் அதை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்க, x = jt ஐ அமைப்பதன் மூலம் மாறியை மாற்றுவோம். . பின்னர் F(t) =/ ^tj சார்பு ஒரு காலகட்டத்துடன் t என்ற வாதத்தின் ஒரு காலச் செயல்பாடாக இருக்கும், மேலும் இது ஒரு ஃபோரியர் தொடரின் ஒரு பிரிவில் விரிவுபடுத்தப்படலாம் x மாறிக்கு திரும்புதல், அதாவது, அமைப்பானது, நாம் பெறும் , இருக்கும் தன்னிச்சையான காலகட்டத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாடுகளுக்கும் கட்டாயப்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டு. இந்தச் செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால், அதன் ஃபோரியர் தொடரானது ஃபோரியர் குணகங்களின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை ஃபோரியர் தொடரில் மாற்றியமைக்கும் படிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், காலச் செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கியப் பண்பைக் கவனிக்கிறோம். தேற்றம் 5. ஒரு செயல்பாட்டின் காலம் T மற்றும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், எந்த எண்ணுக்கும் சமத்துவம் m உள்ளது. அதாவது ஒரு பிரிவின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியின் நீளம் T க்கு சமமாக இருக்கும், உண்மையான அச்சில் இந்த பிரிவின் நிலை எதுவாக இருந்தாலும், அதே மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். உண்மையில், நாம் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் மாறியை மாற்றுகிறோம் இது கொடுக்கிறது, எனவே, வடிவியல் ரீதியாக, இந்த சொத்து என்பது படத்தில் நிழலாடிய பகுதியின் விஷயத்தில். 10 பகுதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம். குறிப்பாக, ஒரு காலகட்டத்துடன் கூடிய f(x) செயல்பாட்டிற்கு, சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கத்தில், ஒரு பிரிவில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை சைன்கள் அல்லது கோசைன்கள் ஃபோரியர் தொடரின் அடிப்படையில் ஒரு செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடராகப் பெறுகிறோம். ஒரு தன்னிச்சையான காலம் ஃபோரியர் தொடரின் பொதுவான ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளில் ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான பிரதிநிதித்துவம் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகள் ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசல் சமத்துவமின்மை பார்செவல் சமத்துவம் மூடிய அமைப்புகள் முழுமை மற்றும் மூடிய அமைப்புகளின் ஃபோரியர் குணகங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் f(x) ஒரு தன்னிச்சையான உண்மையான எண்ணாக இருக்கும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி 21 காலத்துடன் கணக்கிடலாம் (செயல்பாடுகள் cos - மற்றும் sin ஆகியவை 2/ காலத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்). எடுத்துக்காட்டு 3. ஃபோரியர் தொடரில் 2x கால இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் (படம் 11). 4 இந்த செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்களைக் கண்டறியவும். சூத்திரங்களை வைத்து, ஆகையால், ஃபோரியர் தொடர் இப்படி இருக்கும்: x = jt (முதல் வகையின் தொடர்ச்சியின்மை புள்ளி) புள்ளியில் §8 உள்ளது. ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான குறியீடு இந்த பிரிவில், சிக்கலான பகுப்பாய்வின் சில கூறுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (அத்தியாயம் XXX ஐப் பார்க்கவும், சிக்கலான வெளிப்பாடுகளுடன் இங்கு செய்யப்படும் அனைத்து செயல்பாடுகளும் கண்டிப்பாக நியாயப்படுத்தப்படுகின்றன). ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைய போதுமான நிபந்தனைகளை f(x) செயல்பாடு பூர்த்தி செய்யட்டும். பின்னர் x] பிரிவில், இது வடிவத்தின் தொடரால் குறிப்பிடப்படலாம், யூலர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வெளிப்பாடுகளை தொடரில் (1) பதிலாக cos nx மற்றும் sin xy க்கு பதிலாக நாம் பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம் பின்னர் தொடர் (2) வடிவம் எடுக்கிறது இவ்வாறு, ஃபோரியர் தொடர் (1) சிக்கலான வடிவத்தில் (3) வழங்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் குணகங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, இறுதியாக, с„, с_п மற்றும் с க்கான சூத்திரங்களை பின்வருமாறு எழுதலாம்: . . குணகங்கள் cn செயல்பாட்டின் சிக்கலான ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஒரு காலகட்டத்துடன் கூடிய காலச் செயல்பாட்டிற்கு), ஃபோரியர் தொடரின் சிக்கலான வடிவம், வரம்புகள் இருந்தால், வடிவ மதிப்புகளை எடுக்கும் எடுத்துக்காட்டு. காலச் செயல்பாட்டை ஒரு சிக்கலான ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும். இந்தச் செயல்பாட்டின் சிக்கலான ஃபோரியர் குணகங்களைக் கண்டறியலாம். இரட்டைப்படை n அல்லது, சுருக்கமாக. மதிப்புகளை மாற்றுவது), இறுதியாக இந்த தொடரை பின்வருமாறு எழுதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க: பொதுவான ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளின் செயல்பாடுகளில் ஃபோரியர் தொடர்கள் 9.1. ஆர்த்தோகனல் சிஸ்டம்ஸ் ஆஃப் ஃபங்ஷன்ஸ் என்பது சதுரமாக வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் [a, 6] இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய அனைத்து (உண்மையான) செயல்பாடுகளின் தொகுப்பால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கும் [a , 6], 6 க்கு சொந்தமானது, மேலும் அவற்றின் Lebesgue ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகள் ரீமான் ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. வரையறை. செயல்பாடுகளின் அமைப்பு, அங்கு, இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் என்று அழைக்கப்படுகிறது [a, b\, நிபந்தனை (1) கருதினால், செயல்பாடுகள் எதுவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது. ஒருங்கிணைப்பு என்பது Lebesgue என்ற பொருளில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. மற்றும் அளவை ஒரு செயல்பாட்டின் நெறி என்று அழைக்கிறோம்.நம்மிடம் உள்ள எந்த n க்கும் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் இருந்தால், செயல்பாடுகளின் அமைப்பு ஆர்த்தோநார்மல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணினி (y>n(x)) ஆர்த்தோகனல் என்றால், கணினி எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு முக்கோணவியல் அமைப்பு ஒரு பிரிவில் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். செயல்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது செயல்பாடுகளின் ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பாகும், எடுத்துக்காட்டு 2. கொசைன் அமைப்பு மற்றும் சைன் அமைப்பு ஆர்த்தோநார்மல் ஆகும். அவை செக்மென்ட்டில் ஆர்த்தோகனல் (0, எஃப்|, ஆனால் ஆர்த்தோநார்மல் இல்லை (I ↦ 2) என்ற குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவற்றின் விதிமுறைகள் COS என்பதால், செயல்பாடுகள் ஒரு பிரிவில் ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பு செயல்பாடுகளை உருவாக்குகின்றன. காட்டுவோம், எடுத்துக்காட்டாக, லெஜெண்ட்ரே பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆர்த்தோகனல். பிரிவின் [-1,1) முனைகளில் நான் உட்பட மறைந்து விடுகிறேன். வரையறை. செயல்பாடுகளின் அமைப்பு (pn(x)) இடைவெளியில் (a, b) ஓவர்ஹாங் p(x) மூலம் ஆர்த்தோகனல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடை செயல்பாடு p(x) வரையறுக்கப்பட்டு, இடைவெளியில் (a, b) எல்லா இடங்களிலும் நேர்மறையாக இருக்கும், p(x) மறையக்கூடிய வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைத் தவிர. சூத்திரம் (3) இல் வேறுபாட்டைச் செய்த பிறகு, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம். செபிஷேவ்-ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் என்று காட்டலாம் எடுத்துக்காட்டு 4. பெசல் செயல்பாடுகளின் அமைப்பு (jL(pix)^ என்பது பெசல் செயல்பாடு அமைப்பின் பூஜ்ஜியங்களின் இடைவெளியில் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். (a, 6) மற்றும் தொடர் (cj = const) ஆனது இந்த இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒருங்கிணைக்கட்டும்: அமைப்பின் ஆர்த்தோகனாலிட்டியின் காரணமாக, இந்தச் செயல்பாடு, பொதுவாகச் சொன்னால், முற்றிலும் முறையான தன்மையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் பெறுகிறோம். இருப்பினும், சில சந்தர்ப்பங்களில், எடுத்துக்காட்டாக, தொடர் (4) ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், அனைத்து செயல்பாடுகளும் தொடர்ச்சியாகவும், இடைவெளி (a, 6) வரையறுக்கப்பட்டதாகவும் இருந்தால், இந்த செயல்பாடு சட்டபூர்வமானது. ஆனால் முறையான விளக்கம்தான் இப்போது நமக்கு முக்கியம். எனவே ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். (5) சூத்திரத்தின்படி c * எண்களை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் வலது பக்கத்தில் உள்ள தொடரை கணினியைப் பொறுத்தவரை f (x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது (^n (n)) - எண்கள் Cn இந்த அமைப்பில் f (x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சூத்திரம் (6) இல் உள்ள குறி ~ என்பது சூத்திரம் (5) மூலம் Cn எண்கள் f(x) செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது என்பதை மட்டுமே குறிக்கிறது (இந்த விஷயத்தில், வலதுபுறத்தில் உள்ள தொடர் ஒன்றுசேர்கிறது, மிகக் குறைவாக ஒன்றிணைகிறது என்று கருதப்படவில்லை. செயல்பாட்டிற்கு f(x)). எனவே, கேள்வி இயல்பாகவே எழுகிறது: இந்தத் தொடரின் பண்புகள் என்ன? எந்த அர்த்தத்தில் இது f(x) செயல்பாட்டை "குறிப்பிடுகிறது"? 9.3 சராசரி ஒருங்கிணைப்பு வரையறை. ஒரு வரிசையானது ஒரு தனிமத்திற்கு ] சராசரியாக நெறிமுறை விண்வெளி தேற்றத்தில் இருந்தால் 6. ஒரு வரிசை ) ஒரே சீராக ஒன்றிணைந்தால், அதுவும் சராசரியாக ஒன்றிணைகிறது. M வரிசை ()) பிரிவு [a, b] இல் f(x) செயல்பாட்டிற்கு ஒரே சீராக ஒன்றிணைக்கட்டும். இதன் பொருள், எதற்கும், போதுமான அளவு பெரிய n க்கும், எங்களிடம் உள்ளது, அதிலிருந்து எங்கள் வலியுறுத்தல் பின்வருமாறு. நேர்மாறானது உண்மையல்ல: வரிசை () சராசரியாக /(x) ஆகக் கூடும், ஆனால் ஒரே மாதிரியாகக் குவிந்திருக்காது. உதாரணமாக. nx வரிசையைக் கருத்தில் கொள்வோம், ஆனால் இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஒரே மாதிரியாக இல்லை: e உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, n எவ்வளவு பெரியதாக இருந்தாலும், ஃபோரியர் தொடரின் தன்னிச்சையான காலகட்டத்துடன் கூடிய ஒரு செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடரில் உள்ளது. ஃபோரியர் தொடர் ஃபோரியர் தொடர் பொதுவாக ஆர்த்தோகனல் அமைப்புகளின் செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர் ஒரு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பில் ஃபோரியர் குணகங்களின் குறைந்தபட்ச சொத்து பெசல் சமத்துவமின்மை பார்செவல் சமத்துவம் மூடிய அமைப்புகள் அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல் மற்றும் அனுமதி ) ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பில் b n ^ 1 உள்ள ஒரு நேரியல் கலவையைக் கவனியுங்கள். ஒரு நிலையான முழு எண், மற்றும் ஒருங்கிணைந்த அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும் மாறிலிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். அதை இன்னும் விரிவாக எழுதுவோம், காலத்தின் அடிப்படையில் காலத்தை ஒருங்கிணைத்து, அமைப்பின் கட்டுப்பாடான தன்மை காரணமாக, சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள முதல் இரண்டு சொற்கள் (7) சுதந்திரமானவை, மூன்றாவது சொல் எதிர்மறையானது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பு (*) ak = sk இல் குறைந்தபட்ச மதிப்பைப் பெறுகிறது. Tn(x) இன் நேரியல் கலவையாக f(x) செயல்பாட்டின் ரூட்-சராசரி-சதுர தோராயமாக ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, /\ செயல்பாட்டின் ரூட்-மீன்-ஸ்கொயர் தோராயமானது எப்போது குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். கணினியில் உள்ள /(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடரின் 71வது பகுதித் தொகை Tn(x) ஆகும் போது (. ak = ck, (7) இலிருந்து சமத்துவம் (9) ஐப் பெறுவது பெசல் அடையாளம் எனப்படும். அதன் இடமிருந்து பக்கமானது எதிர்மறையானது அல்ல, பின்னர் அதிலிருந்து பெசலின் சமத்துவமின்மை பின்தொடர்கிறது, நான் இங்கு தன்னிச்சையாக இருப்பதால், பெசலின் சமத்துவமின்மையை வலுப்படுத்தப்பட்ட வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம், அதாவது, எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் /, இந்தச் செயல்பாட்டின் ஸ்கொயர் ஃபோரியர் குணகங்களின் வரிசை ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அமைப்பில் ஒன்றிணைகிறது. . அமைப்பானது [-x, r] பிரிவில் ஆர்த்தோநார்மலாக இருப்பதால், சமத்துவமின்மை (10) முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரின் வழக்கமான குறியீடாக மொழிபெயர்க்கப்பட்டால், ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சதுரத்துடன் கூடிய எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் தொடர்பை அளிக்கிறது. f2(x) ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால், சமத்துவமின்மையின் (11) இடது பக்கத்தில் தொடரை ஒன்றிணைக்க தேவையான நிபந்தனையின் மூலம், அதைப் பெறுகிறோம். பார்செவலின் சமத்துவம் சில அமைப்புகளுக்கு (^n(x)) சூத்திரத்தில் உள்ள சமத்துவமின்மை குறியை (10) மாற்றலாம் (அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் f(x) 6 x) சம அடையாளத்தால் மாற்றப்படும். இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவம் பார்செவல்-ஸ்டெக்லோவ் சமத்துவம் (முழுமை நிலை) என்று அழைக்கப்படுகிறது. Bessel அடையாளம் (9) நிபந்தனையை (12) சமமான வடிவத்தில் எழுத அனுமதிக்கிறது விண்வெளி விதிமுறை 6]. வரையறை. ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் சிஸ்டம் ( b2[ay b] இல் முழுமையானது என அழைக்கப்படுகிறது, எந்தச் செயல்பாட்டையும் சராசரியாக ஏதேனும் துல்லியத்துடன் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்றால், படிவத்தின் நேரியல் கலவையை போதுமான அளவு விதிமுறைகளுடன், அதாவது எந்தச் செயல்பாட்டிற்கும் f(x) ∈ b2[a, b\ மற்றும் எந்த e > 0 க்கும் ஒரு இயற்கை எண் nq மற்றும் எண்கள் a\, a2y..., அதாவது எண் தேற்றம் 7. அமைப்பு என்றால் ) ஆர்த்தோநார்மலைசேஷன் மூலம் விண்வெளியில் முடிந்தது, ஃபோரியர் தொடர் இந்த அமைப்பில் உள்ள எந்தச் செயல்பாடும் சராசரியாக f(x) க்கு இணைகிறது, அதாவது விதிமுறைப்படி முக்கோணவியல் அமைப்பு விண்வெளியில் நிறைவடைந்துள்ளது என்பதைக் காட்டலாம். இது வலியுறுத்தலைக் குறிக்கிறது. தேற்றம் 8. ஒரு சார்பு /0 என்றால் அதன் முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் சராசரியாக அதனுடன் ஒன்றிணைகிறது. 9.5 மூடிய அமைப்புகள். அமைப்புகளின் முழுமை மற்றும் மூடல் வரையறை. ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் சார்பு அமைப்பு \, ஸ்பேஸ் Li\a, b) அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற செயல்பாடு ஆர்த்தோகனல் இல்லை என்றால் மூடப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒத்துப்போகின்றன. பயிற்சிகள் 1. இடைவெளியில் (-i-, x) ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும் 2. ஃபோரியர் தொடரில் உள்ள செயல்பாட்டை இடைவெளியில் (-r, r) விரிவுபடுத்தவும் 3. ஃபோரியர் தொடரில் உள்ள செயல்பாட்டை இடைவெளியில் விரிவாக்கவும். (-r, r) 4. இடைவெளியில் (-jt, r) செயல்பாடு 5 இல் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கவும். ஃபோரியர் தொடரில் இடைவெளியில் (-r, r) f(x) = x + x செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள். 6. ஃபோரியர் தொடரின் இடைவெளியில் (-jt, r) செயல்பாடு n 7. ஃபோரியர் தொடரில் (-r, x) செயல்பாடு / (x) \u003d sin2 x இல் விரிவாக்கவும். 8. ஃபோரியர் தொடரில் இடைவெளியில் (-m, jt) செயல்பாடு f(x) = y 9. ஃபோரியர் தொடரில் விரிவு (-mm, -k) செயல்பாடு f(x) = | sinx|. 10. ஃபோரியர் தொடரில் இடைவெளியில் (-x-, r) செயல்பாடு f(x) = g விரிவுபடுத்தவும். 11. இடைவெளியில் (-r, r) செயல்பாடு f (x) \u003d sin § இல் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கவும். 12. ஃபோரியர் தொடரில் f (x) = n -2x செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும், இடைவெளியில் (0, x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதை இடைவெளியில் (-x, 0): a) தொடரவும்; b) ஒரு வித்தியாசமான வழியில். 13. இடைவெளியில் (0, x) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு / (x) \u003d x2 ஐ சைன்களின் அடிப்படையில் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்கவும். 14. ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடு / (x) \u003d 3-x, இடைவெளியில் (-2,2) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 15. இடைவெளியில் (-1,1) கொடுக்கப்பட்ட f (x) \u003d |x | செயல்பாட்டை ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்குங்கள். 16. இடைவெளியில் (0,1) குறிப்பிடப்பட்ட f (x) \u003d 2x செயல்பாட்டை சைன்களின் அடிப்படையில் ஃபோரியர் தொடரில் விரிவாக்குங்கள்.

ஃபோரியர் தொடர்- ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை எளிமையான, நன்கு அறியப்பட்டவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் வழி.
சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவை காலச் செயல்பாடுகள். அவை ஒரு ஆர்த்தோகனல் அடிப்படையையும் உருவாக்குகின்றன. இந்த குணத்தை அச்சுகளுடன் ஒப்புமை மூலம் விளக்கலாம் X X எக்ஸ்மற்றும் YY ஒய்ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில். அச்சுகளைப் பொறுத்து ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை விவரிக்கும் அதே வழியில், சைன்கள் மற்றும் கோசைன்கள் தொடர்பான எந்தச் செயல்பாட்டையும் விவரிக்கலாம். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன மற்றும் கணிதத்தில் பயன்படுத்த எளிதானது.

அத்தகைய அலைகளின் வடிவத்தில் நீங்கள் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம்:

நீலம் என்பது கொசைன்கள், சிவப்பு என்பது சைன்கள். இந்த அலைகள் ஹார்மோனிக்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. கோசைன்கள் சமமானவை, சைன்கள் ஒற்றைப்படை. ஹார்மோனிகா என்ற சொல் பழங்காலத்திலிருந்து வந்தது மற்றும் இசையில் சுருதிகளின் உறவைப் பற்றிய அவதானிப்புகளுடன் தொடர்புடையது.

ஃபோரியர் தொடர் என்றால் என்ன

சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகள் எளிமையானதாகப் பயன்படுத்தப்படும் அத்தகைய தொடர் முக்கோணவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் - 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில், அதன் கண்டுபிடிப்பாளர் ஜீன் பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டது. எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் அத்தகைய ஹார்மோனிக்ஸ் கலவையாக குறிப்பிட முடியும் என்பதை நிரூபித்தவர். நீங்கள் எவ்வளவு அதிகமாக எடுத்துக்கொள்கிறீர்களோ, அவ்வளவு துல்லியமாக இந்தப் பிரதிநிதித்துவம் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே உள்ள படம்: அதிக எண்ணிக்கையிலான ஹார்மோனிக்ஸ் மூலம், அதாவது, ஃபோரியர் தொடரின் உறுப்பினர்கள், சிவப்பு வரைபடம் நீல நிறத்துடன் நெருக்கமாகிறது - அசல் செயல்பாடு.

நவீன உலகில் நடைமுறை பயன்பாடு

இந்த வரிசைகள் இப்போது தேவையா? அவற்றை நடைமுறையில் எங்கு பயன்படுத்தலாம் மற்றும் தத்துவார்த்த கணிதவியலாளர்களைத் தவிர வேறு யாராவது அவற்றைப் பயன்படுத்துகிறார்களா? ஃபோரியர் உலகம் முழுவதும் பிரபலமானவர் என்று மாறிவிடும், ஏனெனில் அவரது தொடரின் நடைமுறை பயன்பாடு உண்மையில் கணக்கிட முடியாதது. அதிர்வுகள் அல்லது அலைகள் இருக்கும் இடங்களில் அவற்றைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது: ஒலியியல், வானியல், ரேடியோ பொறியியல், முதலியன. அதன் பயன்பாட்டின் எளிய உதாரணம் கேமரா அல்லது வீடியோ கேமராவின் பொறிமுறையாகும். சுருக்கமாக, இந்த சாதனங்கள் படங்களை மட்டுமல்ல, ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்களையும் பதிவு செய்கின்றன. இது எல்லா இடங்களிலும் வேலை செய்கிறது - இணையத்தில் படங்களை பார்க்கும் போது, ​​ஒரு திரைப்படம் அல்லது இசையைக் கேட்கும் போது. ஃபோரியர் தொடருக்கு நன்றி, இப்போது இந்த கட்டுரையை உங்கள் மொபைல் ஃபோனிலிருந்து படிக்கலாம். ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் இல்லாவிட்டால், தரமான தரத்தில் கூட, YouTube வீடியோவைப் பார்ப்பதற்குப் போதுமான இணைய இணைப்புகள் எங்களிடம் இருக்காது.

இந்த வரைபடத்தில், இரு பரிமாண ஃபோரியர் உருமாற்றம், இது படத்தை ஹார்மோனிக்ஸ், அதாவது அடிப்படை கூறுகளாக சிதைக்கப் பயன்படுகிறது. இந்த வரைபடத்தில், மதிப்பு -1 கருப்பு நிறத்திலும், 1 வெள்ளை நிறத்திலும் குறியிடப்பட்டுள்ளது. வரைபடத்தின் வலது மற்றும் கீழ், அதிர்வெண் அதிகரிக்கிறது.

ஃபோரியர் விரிவாக்கம்

ஒருவேளை, நீங்கள் ஏற்கனவே படித்து சோர்வாக இருக்கிறீர்கள், எனவே சூத்திரங்களுக்கு செல்லலாம்.
ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம் போன்ற ஒரு கணித நுட்பத்திற்கு, ஒருவர் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க வேண்டும். நிறைய ஒருங்கிணைப்புகள். பொதுவாக, ஃபோரியர் தொடர் ஒரு எல்லையற்ற தொகையாக எழுதப்படுகிறது:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (அ n​ cos (n x) +பி n​ பாவம் (n x))
எங்கே
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\liits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxஅ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxபி n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

நாம் எப்படியாவது எண்ணற்ற எண்ணை எண்ணினால் ஒரு n a_n அ n​ மற்றும் b n b_n பி n​ (அவை ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஒரு ஏ ஏஇந்த விரிவாக்கத்தின் மாறிலி மட்டுமே), அதன் விளைவாக வரும் தொடர் 100% அசல் செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகும் f(x)f(x) f(x)பிரிவில் இருந்து − π -\pi − π முன் π\pi π . சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள் காரணமாக இத்தகைய பிரிவு ஏற்படுகிறது. மேலும் n n n, செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் குணகங்களை ஒரு தொடராக கணக்கிடுகிறோம், இந்த விரிவாக்கம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக

ஒரு எளிய செயல்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம் y=5x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x = 1 2 π ∫ - π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\liits_(-\pi) (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f (x) d x =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\dis int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0அ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \lec(1)(\pi)\display int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10பி 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) பாவம் (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac\1)(\pi) displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) ) 5x\cos(2x)dx = 0அ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(1) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\\ பை) 5x\sin(2x)dx = -5பி 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(எக்ஸ்) பாவம்(2 எக்ஸ்) ஈஎக்ஸ்= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 எக்ஸ்பாவம்(2 எக்ஸ்) ஈஎக்ஸ்= − 5

மற்றும் பல. அத்தகைய செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், அனைத்தையும் உடனடியாகச் சொல்லலாம் a n = 0 a_n=0அn​ = 0 , குணகங்கள் b n b_nபிn​ கணக்கிட வேண்டும். செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கத்தின் முதல் நான்கு சொற்களை எடுத்துக் கொண்டால் y=5x y=5xஒய்= 5 எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

$5எக்ஸ்\approx 10\cdot பாவம்(எக்ஸ்)-5\cdot பாவம்(2\cdot எக்ஸ்)+310\cdot பாவம்(3\cdot எக்ஸ்)-25\cdot பாவம்(4\cdot எக்ஸ்)$

விளைந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் இப்படி இருக்கும்:

இதன் விளைவாக வரும் ஃபோரியர் விரிவாக்கம் நமது அசல் செயல்பாட்டை அணுகுகிறது. தொடரில் அதிக எண்ணிக்கையிலான சொற்களை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, 15, நாங்கள் ஏற்கனவே பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்:

ஒரு தொடரில் அதிக விரிவாக்க விதிமுறைகள், அதிக துல்லியம்.
வரைபடத்தின் அளவை நாம் சிறிது மாற்றினால், மாற்றத்தின் மற்றொரு அம்சத்தை நாம் கவனிக்கலாம்: ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஒரு காலகட்டத்துடன் கூடிய ஒரு கால செயல்பாடு ஆகும். 2 π 2\pi2 π .

இதனால், இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் [ - π ; பை ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . சிக்கலான செயல்பாடுகளால் விவரிக்கப்படும் சில நிகழ்வுகளின் பகுப்பாய்வை எளிதாக்குவதற்கு இவை அனைத்தும் அவசியம். வழித்தோன்றலை பகுப்பாய்வு ரீதியாக (அதாவது சூத்திரம் மூலம்) கணக்கிடுவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, மேலும் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் தொகுப்பில், அத்தகைய சிக்கல் எழாது. ஃபோரியர் தொடராக விரிவடைவது, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மாடல்களில் பெரும்பாலும் சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு முறையில் தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, அதற்கு ஒரு உதாரணம் ஃபோரியர் தொடர்.